第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析

1、經(jīng)理拿來(lái)了一個(gè)小的電子設(shè)備，接到示波器上面，對(duì)張三說(shuō): 看，這個(gè)小設(shè)備產(chǎn)生的波形根本沒(méi)法用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)說(shuō)明，而且，它連續(xù)不斷的發(fā)出信號(hào)！不過(guò)幸好，這個(gè)連續(xù)信號(hào)是每隔一段時(shí)間就重復(fù)一次的。張三，你來(lái)測(cè)試以下，連到我們的設(shè)備上，會(huì)產(chǎn)生什么輸出波形！ 張三擺擺手:輸入信號(hào)是無(wú)限時(shí)長(zhǎng)的，難道我要測(cè)試無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間才能得到一個(gè)穩(wěn)定的，重復(fù)的波形輸出嗎?經(jīng)理怒了:反正你給我搞定，否則炒魷魚(yú)！ 張三心想:這次輸入信號(hào)連公式都給出出來(lái)，一個(gè)很混亂的波形；時(shí)間又是無(wú)限長(zhǎng)的，卷積也不行了，怎么辦呢? 及時(shí)地，上帝又出現(xiàn)了:把混亂的時(shí)間域信號(hào)映射到另外一個(gè)數(shù)學(xué)域上面，計(jì)算完成以后再映射回來(lái) 宇宙的每一個(gè)原子都在旋

2、轉(zhuǎn)和震蕩，你可以把時(shí)間信號(hào)看成若干個(gè)震蕩疊加的效果，也就是若干個(gè)可以確定的，有固定頻率特性的東西。 我給你一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)f，時(shí)間域無(wú)限的輸入信號(hào)在f域有限的。時(shí)間域波形混亂的輸入信號(hào)在f域是整齊的容易看清楚的。這樣你就可以計(jì)算了 同時(shí)，時(shí)間域的卷積在f域是簡(jiǎn)單的相乘關(guān)系，我可以證明給你看看 計(jì)算完有限的程序以后，取f(-1)反變換回時(shí)間域，你就得到了一個(gè)輸出波形，剩下的就是你的數(shù)學(xué)計(jì)算了！ 張三謝過(guò)了上帝，保住了他的工作。后來(lái)他知道了，f域的變換有一個(gè)名字，叫做傅利葉，什么什么. 再后來(lái)，公司開(kāi)發(fā)了一種新的電子產(chǎn)品，輸出信號(hào)是無(wú)限時(shí)間長(zhǎng)度的。這次，張三開(kāi)始學(xué)拉普拉斯了.Chapter4第四章 傅

3、里葉變換與系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換與系統(tǒng)的頻域分析本章要點(diǎn)本章要點(diǎn)信號(hào)表示為正交函數(shù)集信號(hào)表示為正交函數(shù)集周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換FFFFFFFFFFFFFFFF連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析非周期信號(hào)的傅里葉變換非周期信號(hào)的傅里葉變換取樣定理取樣定理周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)能量譜與功率譜能量譜與功率譜FF引言引言 時(shí)域分析時(shí)域分析：1）以）以沖激函數(shù)沖激函數(shù)為基本信號(hào)。為基本信號(hào)。2）任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)。）任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)。3）yzs(t) = h(t)

4、*f(t)。 頻域分析頻域分析：1）正弦信號(hào)正弦信號(hào)和和虛指數(shù)信號(hào)虛指數(shù)信號(hào)ejt為基本信號(hào)。為基本信號(hào)。2）任意輸入信號(hào)可分解為一系列）任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率不同頻率的正弦信號(hào)或的正弦信號(hào)或 虛指數(shù)信號(hào)之和。虛指數(shù)信號(hào)之和。 用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率頻率。故稱(chēng)為。故稱(chēng)為頻域分析頻域分析。 64.1 4.1 信號(hào)的正交分解信號(hào)的正交分解一一 矢量的正交分解矢量的正交分解正交矢量正交矢量：相互垂直的矢量：相互垂直的矢量若若V V1 、V V2為正交單位矢量為正交單位矢量 兩矢量?jī)墒噶縑1與與V2正交時(shí)的夾角為正交時(shí)的夾角為90。不難得到兩。不難得到兩正交矢

5、量的正交矢量的點(diǎn)積點(diǎn)積為零，為零， 即即 090cos2121VVVVoV2V190oVc2V2c1V1V1V2211)1)任意平面矢量任意平面矢量A:A: 可用二維維正交的分矢量組合表示可用二維維正交的分矢量組合表示2211VcVcV式中，式中，V1V2=0。 82)2)任意空間矢量任意空間矢量A:A: 可用三維正交的分矢量組合表示可用三維正交的分矢量組合表示 類(lèi)似，我們?cè)谛盘?hào)空間找到相互正交的基本信號(hào)，類(lèi)似，我們?cè)谛盘?hào)空間找到相互正交的基本信號(hào)，使信號(hào)空間中的任意信號(hào)均可表示為它們的線(xiàn)性組合。使信號(hào)空間中的任意信號(hào)均可表示為它們的線(xiàn)性組合。1 12233ACVC VC VAC1V1C2V2

6、C3V30 1, 2, 3iiiiA VCiVV其 中二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集1. 定義：定義： 定義在定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù) 1(t)和和 2(t),若滿(mǎn)足若滿(mǎn)足 210d)()(*21ttttt(兩函數(shù)的內(nèi)積為兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱(chēng)則稱(chēng) 1(t)和和 2(t) 在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)內(nèi)正交正交。 2. 正交函數(shù)集：正交函數(shù)集： 若若n個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿(mǎn)足內(nèi)滿(mǎn)足 21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt則稱(chēng)此函數(shù)集

7、為在區(qū)間則稱(chēng)此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的的正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)3. 完備正交函數(shù)集：完備正交函數(shù)集： 如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，不之外，不存在函數(shù)存在函數(shù)(t)(0）滿(mǎn)足滿(mǎn)足 則稱(chēng)此函數(shù)集為則稱(chēng)此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集。210d)()(ttittt( i =1，2，n)這有兩層意思：這有兩層意思：1.如果如果(t)在區(qū)間內(nèi)與在區(qū)間內(nèi)與 i(t) 正交，則正交，則(t)必屬于這個(gè)正交集。必屬于這個(gè)正交集。2.若若(t)與與 i(t)正交，但正交，但 i(t) 中不包含中不包含(t) ，

8、則此集不完備。，則此集不完備。4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)例例: : 三角函數(shù)集三角函數(shù)集,sin,2sin,sin,cos,2cos,cos, 1tntttntt例例: :復(fù)指數(shù)函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集), 2, 1, 0(netjnTtnmTttdtntmtdtntm1111tt0sinsincoscos0tt2sincos111122nmTtTtTtdtntdtn為任意整數(shù)Ttnmtdtinntm11t,0scos4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)三、信號(hào)的正交分解三、信號(hào)的正交分解 設(shè)有設(shè)有n個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)

9、成構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這用這n個(gè)正交函數(shù)的線(xiàn)性組個(gè)正交函數(shù)的線(xiàn)性組合來(lái)近似，可表示為合來(lái)近似，可表示為 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何選擇各系數(shù)如何選擇各系數(shù)Cj。使使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最?。?jī)?nèi)為最??？ 通常使誤差的方均值通常使誤差的方均值(稱(chēng)為稱(chēng)為均方誤差均方誤差)最小。均方誤差為最小。均方誤差為 ttCtfttttnjjjd )()(121211224.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)為使上式最小為使上式最小0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC展

10、開(kāi)上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為展開(kāi)上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為0，寫(xiě)為，寫(xiě)為 210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即即 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系數(shù)所以系數(shù)212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC代入，得最小均方誤差代入，得最小均方誤差0d)(112212221njjjttKCttftt4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù) 在用正交函數(shù)去近似在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n越大，越大，則均方誤差越小。則均方誤

11、差越小。 當(dāng)當(dāng)n時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。 12221d)(jjjttKCttf 帕斯瓦爾帕斯瓦爾(Parseval)公式公式，表明：，表明： 在區(qū)間在區(qū)間(t1 ,t2 )上上 f(t)所含能量所含能量恒等恒等于于f(t)在完備正交函數(shù)集中在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。分解的各正交分量能量的總和。 1)()(jjjtCtf函數(shù)函數(shù)f(t)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和?？煞纸鉃闊o(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和。4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)一、周期信號(hào)一、周期信號(hào)f(t)表示為付里葉級(jí)數(shù)表示為付里葉級(jí)數(shù) 由數(shù)學(xué)分析知，當(dāng)周期信

12、號(hào)由數(shù)學(xué)分析知，當(dāng)周期信號(hào)f(t)滿(mǎn)足狄氏條件時(shí)，滿(mǎn)足狄氏條件時(shí)，可展開(kāi)為三角付里葉級(jí)數(shù)或復(fù)指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)?？烧归_(kāi)為三角付里葉級(jí)數(shù)或復(fù)指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)。狄氏條件：狄氏條件：（1 1）在一周期內(nèi)，間斷點(diǎn)的數(shù)目有限；）在一周期內(nèi)，間斷點(diǎn)的數(shù)目有限；（2 2）在一周期內(nèi)，極大、極小值的數(shù)目有限；）在一周期內(nèi)，極大、極小值的數(shù)目有限；（3 3）在一周期內(nèi)，）在一周期內(nèi)，dttfTtt11)( 電子技術(shù)中的周期信號(hào)大都滿(mǎn)足狄氏條件，當(dāng)電子技術(shù)中的周期信號(hào)大都滿(mǎn)足狄氏條件，當(dāng)f(t)滿(mǎn)足滿(mǎn)足狄氏條件時(shí)，狄氏條件時(shí)， 才存在。才存在。nnba,4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)設(shè)f(t)是周期為是周期為T(mén),角頻率

13、角頻率 =2 /T的函數(shù)的函數(shù)tnbtnaatfnnnsincos2)(10TttTttTttnTttTttTttntdtntfTtdtntdtntfbtdtntfTtdtntdtntfa111111111111sin)(2sinsin)(cos)(2coscos)(22 an 是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， bn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。在均方誤差最小的條件下4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)1010)cos(2sincos2)(nnnnnntnAatnbtnaatf22nnnbaAnanbnnnnabtg1將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫(xiě)為將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫(xiě)為 周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。周期

14、信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。a0/2為為直流分量直流分量； A1cos( t+ 1)稱(chēng)為稱(chēng)為基波或一次諧波基波或一次諧波，頻率與原周期信號(hào)相同；，頻率與原周期信號(hào)相同；A2cos(2 t+ 2)稱(chēng)為稱(chēng)為二次諧波二次諧波，頻率是基波的，頻率是基波的2倍；倍；Ancos(n t+ n)稱(chēng)為稱(chēng)為n次諧波次諧波。 An是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， n是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)18200sin)(40TttnntdtntfTba，的對(duì)稱(chēng)條件)(tf），縱軸對(duì)稱(chēng)（偶函數(shù))()(tftf），半半周周鏡鏡像像（奇奇

15、諧諧函函數(shù)數(shù))2()(Ttftf ），半周重疊（偶諧函數(shù))()(2Ttftf，原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（奇函數(shù)）)()(tftf展開(kāi)式中系數(shù)特點(diǎn)200cos)(40TttnntdtntfTab，和偶次諧波無(wú)奇次諧波，只有直流諧波分量無(wú)偶次諧波，只有奇次二、周期信號(hào)的對(duì)稱(chēng)性與付立葉系數(shù)的關(guān)系。二、周期信號(hào)的對(duì)稱(chēng)性與付立葉系數(shù)的關(guān)系。FFFF4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù))()(tftf下形式在一個(gè)周期內(nèi)可寫(xiě)為如022202tTtTETttTE0nbtf是偶函數(shù)，故)(EtdtTEtdtTETdttfTaTTTT)(02202202222.求其傅立葉展開(kāi)式形如圖所示，例、有一偶函數(shù)，其波)(tftTT2T2TE解解

16、:4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù))()(1122nnE)()()(為偶數(shù)為奇數(shù)nnnE042tnnEEtfncos142)(5 , 3 , 122sin1sin8)2(cos242020220tdtnntnntTETtdtntTETaTTTn2/E24E294E2254E0135nA4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)4T2TTtE)(tf00)23sin2(sin)2sin143sin14sin1(2)coscos(243240nnnETnnTnnTnnTEtdtnEtdtnETaTTTn求其傅立葉展開(kāi)式波形如圖所示，例、有一偶諧函數(shù)，其解解:4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)、 21sin12)(2jtn

17、nEtfjn)cos1 ()cos23cos12(cos)sinsin(243240nnEnnnnEtdtnEtdtnETbTTTn為偶數(shù)為奇數(shù)nnEn20E02nA2E3E464.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式 由于由于 cosx=(ejx + ejx)/2 1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf上式中第三項(xiàng)的上式中第三項(xiàng)的n用用n代換，代換，A n=An， n= n，則，則110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAAntjnjnnAt

18、fee21)(4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)令復(fù)數(shù)令復(fù)數(shù)njnjnFFAnnee21傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù))(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntfTntjnnFtfe)(任意周期信號(hào)任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和?？煞纸鉃樵S多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜一、信號(hào)頻譜的概念一、信號(hào)頻譜的概念周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜： 周期信號(hào)中周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系

19、各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系。單邊譜：?jiǎn)芜呑V：雙邊譜：雙邊譜：|Fn|n 和和 nn 的關(guān)系。的關(guān)系。 若若Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)Fn 。頻譜圖：信號(hào)中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重。頻譜圖：信號(hào)中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重。ntjnnFtfe)(10)cos(2)(nnntnAAtf相位頻譜的關(guān)系圖（線(xiàn)圖）與幅度頻譜的關(guān)系圖（線(xiàn)圖）與nnAnn周期信號(hào)周期信號(hào)f(t)可用付里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示可用付里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示: :或或例：例：周期信號(hào)周期信號(hào) f(t) =試求基波周期試求基波周期T，基波角頻率，基波角頻率，畫(huà)出單邊頻譜圖。，畫(huà)出單邊頻譜圖。63sin4132

20、4cos211tt解解 首先應(yīng)用三角公式改寫(xiě)首先應(yīng)用三角公式改寫(xiě)f(t)的表達(dá)式，即的表達(dá)式，即263cos41324cos211)(tttf顯然顯然1是該信號(hào)的直流分量。是該信號(hào)的直流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 8323cos41的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角頻率，基波角頻率=2/T = /124.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜34cos21t是是f(t)的的/4/12 =3次諧波分量；次諧波分量； 323cos41t是是f(t)的的/3/12 =4次諧波分量；次諧波分量；畫(huà)出畫(huà)出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖的單邊振幅頻

21、譜圖、相位頻譜圖如圖(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n14.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)例：一幅度為例：一幅度為1，脈沖寬度為，脈沖寬度為 的周的周期矩形脈沖，其周期為期矩形脈沖，其周期為T(mén)，如圖所，如圖所示。求頻譜。示。求頻譜。 tTttfTFtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT令令Sa(t)=sin(t)/t (取樣函數(shù)）取樣函數(shù)） nnTjnTtjn)2sin(2e122sin( )( )tf tStt4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1，

22、2， Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。設(shè)為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。設(shè)T = 4畫(huà)圖。畫(huà)圖。零點(diǎn)為零點(diǎn)為mn2所以所以mn2，m為整數(shù)。為整數(shù)。Fn022441頻帶寬度的定義1Bf2B對(duì)于周期矩形信號(hào)，一般或 對(duì)于一般頻譜，常以0頻率到振幅過(guò)第一個(gè)零點(diǎn)的頻率之間的頻帶定義為信號(hào)的頻帶寬度B4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜討論頻譜結(jié)構(gòu)與討論頻譜結(jié)構(gòu)與 、T的關(guān)系的關(guān)系1.當(dāng) 不變，T增大，譜線(xiàn)間隔 減小，譜線(xiàn)逐漸密集，幅度 減小 T2TT當(dāng)非周期信號(hào)0連續(xù)頻率n非周期信號(hào)連續(xù)頻譜振幅為0的諧波頻率,.,422.當(dāng)T不變， 減小時(shí)，T間隔不變，T23.周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)(3)收斂性各頻譜的

23、高度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸減小。(1)離散性譜線(xiàn)是離散的而不是連續(xù)的，譜線(xiàn)之間的間隔為 。T2(2)諧波性譜線(xiàn)在頻譜軸上的位置是基頻 的整數(shù)倍。4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換一、傅里葉變換一、傅里葉變換1.1.頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù) 以周期矩形信號(hào)為例，當(dāng)周期 （周期信號(hào)變?yōu)榉侵芷谛盘?hào)）， （離散頻譜變成連續(xù)頻譜）， 即譜線(xiàn)長(zhǎng)度趨于零（無(wú)窮小）。T0021nnAF 本節(jié)把上述傅立葉分析方法推廣到非周期信號(hào)中，導(dǎo)出非周期信號(hào)的本節(jié)把上述傅立葉分析方法推廣到非周期信號(hào)中，導(dǎo)出非周期信號(hào)的傅立葉變換傅立葉變換FTFT。 此時(shí)，原分析

24、方法失效，但譜線(xiàn)長(zhǎng)度（振幅）雖同為無(wú)窮小，但它們的大小并不相同，相對(duì)值仍有差別。4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換 為了表明無(wú)窮小的振幅間的相對(duì)差別，有必要引入一個(gè)為了表明無(wú)窮小的振幅間的相對(duì)差別，有必要引入一個(gè)新的量新的量稱(chēng)為稱(chēng)為“頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)”。設(shè)周期信號(hào)設(shè)周期信號(hào)ntjnneFf(t)221TTtjnndtf(t)eTF22)(2TTtjnnndtetfFTFT：兩邊同時(shí)乘以dtetfdtetfTFjFtjTTtjnTnT)()(limlim)(22F(j)頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)連續(xù)頻率，離散頻率為非周期信號(hào)若nd，Tf(t)4.4 非周期信號(hào)的頻

25、譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換 頻譜函數(shù)。的頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)為原函數(shù)值，反映單位頻帶的頻譜頻譜密度的概念f(t)jFFTFjFnn2:，由周期信號(hào)ntjnneFtf)(de)(211e)(tjntjnnjFTTFtf換非周期信號(hào)的付里葉變. 2,22TdTnd，當(dāng)4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換傅立葉逆變換傅立葉正變換dejFtfdtetfjFtjtj)()()()(21)F(j)()()()1tfjFFtff(t)FF(j，或，記作：dtjFjdtjFdejFtfdejFtftjtj)(sin)(21)(cos)(21)(21)()(21)(.3()(

26、的三角函數(shù)形式奇函數(shù)積分為零4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換0)(cos)(1)(cos)(21)(dtjFdtjFtf從上式可以看出：從上式可以看出：非周期信號(hào)和周期信號(hào)一樣，也可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量。非周期信號(hào)和周期信號(hào)一樣，也可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量。不同的是，由于非周期信號(hào)的不同的是，由于非周期信號(hào)的 于是它包含了從零到無(wú)限高的所于是它包含了從零到無(wú)限高的所有頻率分量。有頻率分量。同時(shí)，三角函數(shù)振幅同時(shí)，三角函數(shù)振幅 ，故用頻譜不能直接畫(huà)出，必須用它的，故用頻譜不能直接畫(huà)出，必須用它的密度函數(shù)作出。密度函數(shù)作出。1.1. 最后必須指

27、出，從理論上講，最后必須指出，從理論上講，F(xiàn)TFT也應(yīng)滿(mǎn)足類(lèi)似狄氏條件。也應(yīng)滿(mǎn)足類(lèi)似狄氏條件。0djF)(而非必要條件。,絕對(duì)可積存在的充分條件是的，dtf(t)FTf(t), 0,T4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換)2(2sin2)(1)()(2222aeejdtedtetfjFsjjtjtj)2()(ajFst202)(tf)(:tg脈沖1二、常用函數(shù)的傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換1 1、矩形單脈沖信號(hào)（門(mén)函數(shù)）、矩形單脈沖信號(hào)（門(mén)函數(shù)） 0)(或4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換6420)(jF86420)()( jF86420

28、4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換0)()(2tetft、單邊指數(shù)信號(hào)1t0f(t)2 01220)(11)()()(jtgtjtjejdtedtetftfjFF0 1)( jF122)(1)(1)(tgjFjtet即不存在。不收斂，時(shí)，F(xiàn)Tdtet04.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換0)(3tetf、雙邊指數(shù)信號(hào)f(t)0t1)( jF0)( 020222222)()()(jFdteeejFtjttF部分系作出，所以只須作出的部分可以根據(jù)對(duì)稱(chēng)關(guān)故作圖時(shí)的奇函數(shù)。）是（的偶函數(shù)，是說(shuō)明：下節(jié)將證明00)(jF4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)

29、的頻譜傅里葉變換傅里葉變換）（、單位沖激函數(shù)t4)(t) 1 (0t)(jF011)(1)()()(0tedtettjFjtjF物理意義：在時(shí)域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量。 因此，這種頻譜常稱(chēng)為“均勻譜“或”白色譜“。4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換nnntjnttjtjnnnjtjtjttjtttfttft)()( )( )(de)( eddde)( )0() 1(d)()( 0）（）（）（）（即性質(zhì)由沖擊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)抽樣）（、單位沖激函數(shù)tn)(54.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換6. 常數(shù)常數(shù)1有些函數(shù)不滿(mǎn)足絕對(duì)

30、可積條件，如有些函數(shù)不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，如1， (t) 等，但傅里葉變換卻存在。等，但傅里葉變換卻存在。 (t)1(t)1代入反變換定義式，有代入反變換定義式，有)(de21ttj將將 t t，t-t- )(de21ttj)(2)(2de1ttj再根據(jù)傅里葉變換定義式，得再根據(jù)傅里葉變換定義式，得4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換7. 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-100,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(22008. 階躍函數(shù)階躍函數(shù) (t

31、)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換歸納記憶：1. F 變換對(duì)變換對(duì)2. 常用函數(shù)常用函數(shù) F 變換對(duì)：變換對(duì)：t域域域域tetfjFtjd)()(d)(21)(tjejFtf(t)(t) j1)(e - - t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t|222 1 12()4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)一、線(xiàn)性一、線(xiàn)性(Linear Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)thenProof: F a f1(t) + b f2(t)ttbftaftjde)()(2

32、112a( )edb( )edjtjtf ttf tt= a F1(j) + b F2(j) a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 1）疊加性相加信號(hào)的頻譜等于各個(gè)單獨(dú)信號(hào)的頻譜之和。2）齊次性信號(hào)增大a倍，頻譜增大a倍。47 21 j1sgn21t j1t10tsgn(t)-110t(t)1/2For example F(j) = ?4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example F(j) = ?0f ( t )t1-11Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() -

33、 - 2Sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)()()( )( )cos( )sin( )( )()j tjF jf t edtf ttdtjf ttdtRjXF je 二、奇偶性二、奇偶性(Parity)的奇函數(shù)是的偶函數(shù)，是 )()()()()()()()(jFRXarctgXRjF22的奇函數(shù)是與的偶函數(shù)是與是實(shí)函數(shù)分析：)()()()()() 1 (XjFRtf4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)的實(shí)偶函數(shù)必為則是實(shí)偶函數(shù)，即)(cos)()()(sin)()()()()()(jFtdttfRjFtdttfXtftf

34、tf0202的虛奇函數(shù)必為則是實(shí)奇函數(shù)，即)(sin)(2)()(0)()()()()3(0jFtdttfjjXjFRtftftf4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)三、對(duì)稱(chēng)性質(zhì)三、對(duì)稱(chēng)性質(zhì)(Symmetrical Property)If f (t) F(j) thenProof:de)(21)(tjjFtf（1）in (1) t ，t thentjtFftjde)(21)( （2）in (2) - - thentjtFftjde)(21)( F(j t) 2f () endF( jt ) 2f () FF ( (t) =1) =1 F 1 F 1 =2 =2(-(- ) =2) =2(

35、( ) )If f (t) F(j) thenF( jt ) 2f ()For example 求求F F Sa(t) For exampleIf f (t) F(j) thenF( jt ) 2f ()2()(Satg)(2)(2)2(ggtSa)(2)(22gtSa)()(2gtSa4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì))(212tg1/21t10)(Sa1)(tSat1)()(22gf011函數(shù)。形脈沖的頻譜必為矩形函數(shù)，而顯然矩形脈沖的頻譜為aaSS的互求提供方便與本性質(zhì)為)()(jFtf4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example F(j) = ?211)(ttf

36、Ans:22| |2etif =1,2| |12et|2e212t|2e11t4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example f(t) = F(j) = ?11jtAns:ajtat1)(e)(e21aajt)(e211jt由對(duì)稱(chēng)性由對(duì)稱(chēng)性,a = - -1,so that,4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)四、尺度變換性質(zhì)四、尺度變換性質(zhì)(Scaling Transform Property)If f (t) F(j) then Proof:F f (a t ) =teatftjd)(For a 0 ,F f (a t ) d1e)(afajatajFa1for a 0

37、 ,F f (at ) de)(1d1e)(ajajatfaafajFa1f (a t ) ajFa|1ajFaatf|1)(a = - -1,f (- t ) F( - -j) 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì))(2tf01t)(1tf12t20)(1jF2424)(2jF222一一對(duì)對(duì)矛矛盾盾。速速度度與與占占用用頻頻帶帶寬寬度度是是在在無(wú)無(wú)線(xiàn)線(xiàn)電電通通信信中中，通通信信等等效效于于在在頻頻域域中中壓壓縮縮。展展反反之之，信信號(hào)號(hào)在在時(shí)時(shí)域域中中擴(kuò)擴(kuò)等等效效于于在在頻頻域域中中擴(kuò)擴(kuò)展展?？s縮說(shuō)說(shuō)明明：信信號(hào)號(hào)在在時(shí)時(shí)域域中中壓壓)()(11aa4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性

38、質(zhì)五、時(shí)移性質(zhì)五、時(shí)移性質(zhì)(Timeshifting Property)If f (t) F(j) then)(e)(00jFttftjProof: F f (t t0 ) tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtj否則輸出會(huì)失真。都滯后相位則系統(tǒng)的每個(gè)頻率分量時(shí)延通過(guò)一個(gè)系統(tǒng)傳輸后僅應(yīng)用：要使一個(gè)信號(hào)相對(duì)應(yīng)。延時(shí)和在頻域中的移相說(shuō)明：信號(hào)在時(shí)域中的,)(0,01tttf60例例4.5-3 求圖求圖 所示信號(hào)的頻譜函數(shù)。所示信號(hào)的頻譜函數(shù)。 f(t)的波形；的波形；to(a)1()o(b)24422f (t)0)()(0tjejFttf4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的

39、性質(zhì)For example F(j) = ?Ans: f1(t) = g6(t - 5) f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) =5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t22146862思考題思考題： f f (t) 如圖所示如圖所示 ，求，求F F f f (t) t t0 0( )f t112222 ()2sin4jjjjaFjGjeGjeseej 2211 f tg tg t解：解：4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For e

40、xample Given that f (t)F( j), find f (at b) ?Ans: f (t b)e - -jb F( j)f (at b) ajFabaje|1orf (at) ajFa|1f (at b) =)(abtafajFeabaj|164 1( )(1)2ftt， 求 F(j).1( )( )tj 已知：1(1)( )jtej ( )jej 21(1)2(2 )22jetj2( )jej 0)()(0tjejFttf1()()fa tFjaa4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)六、頻移性質(zhì)六、頻移性質(zhì)(Frequency Shifting Property)If

41、 f (t) F(j) thenProof:where “0” is real constant.F e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0= F j(- -0) end)()(e00jFtftj。頻率軸右移頻譜沿等效于在頻域中將整個(gè)中乘以說(shuō)明：一個(gè)信號(hào)在時(shí)域0 ,0tje4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 1f(t) = ej3t F(j) = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(- -3)For example 2f(t) = cos0t F(j) = ?Ans:tjtjtf00e21e21)(F(j) = (-0)+ (+

42、 +0)頻譜圖頻譜圖頻譜圖頻譜圖For example 3Given that f(t) F(j) The modulated signal f(t) cos0t ? 00000021sin)( 21cos)( jjFjjFjttfjjFjjFttf同理由頻移特性tjtjt00e21e21)cos( 0由歐拉公式tjtjtftfttf00e)(21e)(21)cos()( 0故4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)68 該特性在通信系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用，如調(diào)幅、同步解該特性在通信系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用，如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等過(guò)程都是在頻譜搬移原理上實(shí)現(xiàn)調(diào)、變頻等過(guò)程都是在頻譜搬移原理上實(shí)現(xiàn)

43、.頻移原理（調(diào)制原理）頻移原理（調(diào)制原理） f (t )： 調(diào)制信號(hào)（含信息）調(diào)制信號(hào)（含信息）000 ( )( )cos()( )2jtjteey tf ttf t00011( )( )sin()22y tf ttjFjjFj 00011 ( )cos22y tf ttF jF j 可見(jiàn)已調(diào)信號(hào)可見(jiàn)已調(diào)信號(hào)y(t)y(t)的頻譜是把的頻譜是把f f (t)(t)的頻譜的頻譜F F( (j j ) )一分為二分別向左和右搬移一分為二分別向左和右搬移 0 0 s(t )： 載波載波信號(hào)（高頻的單一頻率）信號(hào)（高頻的單一頻率） ()f t ( )y t00 ( )cos()sin()s ttt或y

44、(t )： 已調(diào)已調(diào)信號(hào)信號(hào)69 0Y(j ) 0 02t t0 0( )g t122 0F(j ) 0Fcos 0t- 0 0t t0 0122( )y tt t0 00cost70聲音、圖像、編碼所轉(zhuǎn)變的電信號(hào)的主要頻率分聲音、圖像、編碼所轉(zhuǎn)變的電信號(hào)的主要頻率分量（即主要信息量）集中在低頻段，不能以電磁量（即主要信息量）集中在低頻段，不能以電磁波形式輻射到空間遠(yuǎn)距離傳播，或者多個(gè)信號(hào)糾波形式輻射到空間遠(yuǎn)距離傳播，或者多個(gè)信號(hào)糾混在一起形成干擾，所以必須借助于高頻載波信混在一起形成干擾，所以必須借助于高頻載波信號(hào)傳輸?shù)皖l信號(hào)，使不同信號(hào)分別搬移到不同載號(hào)傳輸?shù)皖l信號(hào)，使不同信號(hào)分別搬移到不

45、同載波頻率上，頻譜互不混疊，然后用帶通選頻網(wǎng)絡(luò)波頻率上，頻譜互不混疊，然后用帶通選頻網(wǎng)絡(luò)接收各個(gè)信號(hào)。接收各個(gè)信號(hào)。頻分復(fù)用。頻分復(fù)用。調(diào)制定理：調(diào)制信號(hào)在時(shí)域乘以一個(gè)等幅高頻振蕩，相當(dāng)調(diào)制定理：調(diào)制信號(hào)在時(shí)域乘以一個(gè)等幅高頻振蕩，相當(dāng)于在頻域把調(diào)制信號(hào)的各頻率分量均搬至高頻振蕩的頻率于在頻域把調(diào)制信號(hào)的各頻率分量均搬至高頻振蕩的頻率上，調(diào)制信號(hào)的各頻率分量幅度減半。上，調(diào)制信號(hào)的各頻率分量幅度減半。調(diào)制與解調(diào)調(diào)制與解調(diào)幅度調(diào)制與解調(diào)過(guò)程（波形與頻譜分析）幅度調(diào)制與解調(diào)過(guò)程（波形與頻譜分析）乘法器乘法器放大器放大器x(t)z(t)x m(t)乘法器乘法器濾波器濾波器z(t)x(t)4.5 傅里

46、葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)t0)(tfA22ttfccos)(2t2)(jF)()(21ccjjFjjF頻等。如調(diào)幅、同步解調(diào)、變系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用，頻譜搬移技術(shù)，在通信734 ( )(), (2 3)j tf tF jeft頻譜密度函數(shù)。 例: 已知 求其 ( )(f tF j:) 解1(3 )()33ftF j231(2 3 )()33jftF je0)()(0tjejFttf1()()fatFjaa2(2)(jftF je)231(23 )(33jftFje)231(23 )(33jftFje)2(4)4314(23 )(33jj teftFje)ftFj0j0 ( )etf tFj4

47、.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)七、卷積性質(zhì)七、卷積性質(zhì)(Convolution Property)時(shí)域卷積：時(shí)域卷積：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)頻域卷積：頻域卷積：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)214.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)Proof:d)()()(*)(2121tfftftf F f1(t)*f2(t) dde)()(ded)()(2121ttffttfftjtj由時(shí)移特性jtjjFttfe)(de)(22So

48、 that, F f1(t)*f2(t) de)()(de)()(1221jjfjFjFf= F1(j)F2(j)4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example?)(sin2jFttAns:)Sa(2)(2tgUsing symmetry,)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -20F(j)2- -204.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)八、時(shí)域的微分和積分八、時(shí)域的微分和積分(Differentiation and Integration in time domain)If f (t) F

49、(j) then )()()( )(jFjtfnn時(shí)域微分jjFFxxft)()()0(d)( 時(shí)域積分ttfjFFd)()()0(0Proof:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(- -1)(t)= (t)*f(t) jjFFjFj)()()0()(1)(4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)f(t)= 1/t2 ?For example 1Ans:jt2)sgn()sgn(22 jt由對(duì)稱(chēng)性)sgn(1jt)sgn()sgn()(1dd jjtt由時(shí)域微分|)sgn(12t4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 2Given th

50、at f (t) F1(j)，Prooff (t) F1(j) + f(-)+ f() ( )j1)()()()(1)(dd)(d)(1dd)(d)()(11ffjFjtttfjFjtttfftftProof)()()()(1)()(2)(1ffjFjfjFSo)()()()(1)(1ffjFjjFSummary: if f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 3f(t)2- -20t t2Determine f (t) F (j)f (t)t

51、t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(-2)f (t)Ans:f ” ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 F (j) =222)2cos(22)()(jjFNotice:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)九、頻域的微分和積分九、頻域的微分和積分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j) then (jt)n f (t) F(n)(j)

52、xjxFtfjttfd)()(1)()0(d)(21)0(jFf頻域微分頻域微分頻域積分頻域積分4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 1Determine f (t) = t(t) F (j)=?jt1)()(Ans:jtjt1)(dd)(21)( )( jttNotice: t(t) =(t) * (t) jj1)(1)(Its wrong. Because ( ) ( ) and (1/j ) ( ) is not defined.小測(cè)驗(yàn)小測(cè)驗(yàn)1.求求)3(tft 的傅里葉變換（已知的傅里葉變換（已知f (t)的傅里葉變換為的傅里葉變換為F(j )） 2.求求 的

53、傅立葉變換的傅立葉變換ttf )( 3.求求 的傅立葉逆變換的傅立葉逆變換jejF)2()()( 4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析d)()()(tftfL LT TI I系系統(tǒng)統(tǒng)零零狀狀態(tài)態(tài)yzs(t)f (t)d)()()(thftyzs即將即將 f (t)分解為無(wú)限個(gè)分解為無(wú)限個(gè) 之疊加之疊加。( ) t即零狀態(tài)響應(yīng)分解為所有被激勵(lì)加權(quán)的即零狀態(tài)響應(yīng)分解為所有被激勵(lì)加權(quán)的 之疊加之疊加。( )h t1.時(shí)域分析法時(shí)域分析法LTI系統(tǒng)的全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)本節(jié)只研究零狀態(tài)響應(yīng)。本節(jié)只研究零狀態(tài)響應(yīng)。 傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻率

54、的虛指傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。數(shù)函數(shù)之和。ntjnnFtfe)(對(duì)周期信號(hào)：對(duì)周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：de)(21)(tjjFtf其其基本信號(hào)基本信號(hào)為為 ej t2.頻域分析法頻域分析法 說(shuō)明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)檎f(shuō)明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)?，)，而，而t= 總可認(rèn)為系統(tǒng)總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為的狀態(tài)為0。因此本節(jié)的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫(xiě)為。因此本節(jié)的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫(xiě)為y(t)。 4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析1、基本信號(hào)、基本信號(hào)ej t作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的

55、響應(yīng) LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，激勵(lì)是角頻率，激勵(lì)是角頻率的基本信號(hào)的基本信號(hào)ej t，其響應(yīng)其響應(yīng) tjjtjhhtyede)(de)()()(h(t)的傅里葉變換，記為的傅里葉變換，記為H(j )，常稱(chēng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。，常稱(chēng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。de)(jhy(t) = H(j ) ej tH(j )反映了響應(yīng)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej t一、頻率響應(yīng)一、頻率響應(yīng)2、一般信號(hào)、一般信號(hào)f(t)作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)ej tH(j ) ej t21F(j ) ej t d 21F(j )H(j )

56、ej t d 齊次齊次性性de)(21tjjFde)()(21tjjFjH可加可加性性f(t)y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j )4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析LTI* h(t) =傅傅氏氏 變變換換傅傅氏氏 反反變變換換f (t)傅傅氏氏 變變換換y(t)F(j)H(j)Y(j) 頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)H(j )系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y(j )與與激勵(lì)激勵(lì)f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F(j )之比，即之比，即 )()()(jFjYjH)()()()()()()(fyjjejFjYejHjH H(j ) 稱(chēng)為稱(chēng)為幅

57、頻特性幅頻特性（或（或幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)），）， H(j ) 是是 的偶函數(shù)。的偶函數(shù)。( )稱(chēng)為稱(chēng)為相頻特性相頻特性（或（或相頻響應(yīng)相頻響應(yīng)），），( )是是 的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 頻域分析法步驟：頻域分析法步驟：傅里葉變換法傅里葉變換法4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析例例1：某：某LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的 H(j ) 和和( )如圖，如圖，若若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。，求系統(tǒng)的響應(yīng)。|H(j)|()10- -1001- -解解：用傅里葉變換：用傅里葉變換F(j ) = 4() + 4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10) Y

58、(j ) = F(j )H(j ) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5)+ 4(10) H(j10) + (+10) H(-j10) H(j )= H(j ) ej( )= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j ) = 2 + 2sin(5t)4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析3、頻率響應(yīng)、頻率響應(yīng)H(j )的求法的求法1） H(j ) = F h(t) 2） H(j ) = Y(j )/F(j )由微分方程求，對(duì)微分方程兩邊取傅里葉變換。由微分方程求，對(duì)微分方

59、程兩邊取傅里葉變換。(1) 由電路直接求出。由電路直接求出。 例例2：如圖電路，：如圖電路，R=1，C=1F，以，以u(píng)C(t)為輸出，求其為輸出，求其h(t)。解解：畫(huà)電路頻域模型：畫(huà)電路頻域模型US(j)RUC(j)Cj11111)()()(jCjRCjjUjUjHSCh(t)= e-t (t) uC(t)uS(t)CR4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析例例3：某系統(tǒng)的微分方程為：某系統(tǒng)的微分方程為 y (t) + 2y(t) = f(t)。求求f(t) = e-t(t)時(shí)的時(shí)的響應(yīng)響應(yīng)y(t)。解解：微分方程兩邊取傅里葉變換：微分方程兩邊取傅里葉變換j Y(j ) + 2Y(j )

60、 = F(j ) 21)()()(jjFjYjHf(t) = e-t(t)11)(jjFY(j ) = H(j )F(j )2111)2)(1(1jjjjy(t) = (e-t e-2t )(t) 4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析二、無(wú)失真?zhèn)鬏敹?、無(wú)失真?zhèn)鬏斒д妫合到y(tǒng)的響應(yīng)波形與激勵(lì)波形不相同，稱(chēng)信號(hào)在傳輸過(guò)程中產(chǎn)生了失真。失真：系統(tǒng)的響應(yīng)波形與激勵(lì)波形不相同，稱(chēng)信號(hào)在傳輸過(guò)程中產(chǎn)生了失真。1.線(xiàn)性系統(tǒng)引起信號(hào)失真的原因線(xiàn)性系統(tǒng)引起信號(hào)失真的原因1）幅度失真：系統(tǒng)對(duì)信號(hào)中）幅度失真：系統(tǒng)對(duì)信號(hào)中各頻率分量的幅度產(chǎn)生不同程度的衰減各頻率分量的幅度產(chǎn)生不同程度的衰減， 引起幅度失真。引起