xtifpv對數(shù)與對數(shù)運算第二節(jié)

1、w2.2.1 對數(shù)與對數(shù)運算學點一學點一學點二學點二學點三學點三學點四學點四學點五學點五1.如果如果ax=N(a0,且且a1)，那么數(shù)，那么數(shù)x叫做叫做 ,記記作作 ，其中，其中a叫做叫做 ，N叫做叫做 .2.對數(shù)的性質對數(shù)的性質:(1)1的對數(shù)等于的對數(shù)等于 ;(2)底數(shù)的對數(shù)等于底數(shù)的對數(shù)等于 ;(3)零和負數(shù)沒有零和負數(shù)沒有 .(4)(5)3.以以10為底的對數(shù)叫做為底的對數(shù)叫做 ,log10N記作記作 .4.以無理數(shù)以無理數(shù)e=2.718 28為底的對數(shù)稱為為底的對數(shù)稱為 ，logeN記作記作 .以以a為底為底N的對數(shù)的對數(shù)x=logaN對數(shù)的底數(shù)對數(shù)的底數(shù)真數(shù)真數(shù) 01對數(shù)對數(shù)常用對

2、數(shù)常用對數(shù)lgN自然對數(shù)自然對數(shù)lnN返回返回 ), 1 () 1 , 0(底數(shù)底數(shù) 的取值范圍：的取值范圍： a真數(shù)真數(shù)N N 的取值范圍：的取值范圍：), 0( 對數(shù)對數(shù)的取值范圍：的取值范圍：x),(logNaaNlogaNaN.如果如果a0，且，且a1，M0;N0，那么：，那么：（1）loga(MN)= ；loga(N1N2Nk)= ;（2）loga = ;（3）logaMn= .NMlogaM+logaNlogaN1+logaN2+logaNklogaM-logaNnlogaM返回返回 對數(shù)的換底公式對數(shù)的換底公式alogblogblogcca)0b), 1()1 , 0(c , a

3、(證明：設 由對數(shù)的定義可以得：由對數(shù)的定義可以得： ,abx即證得即證得 , xbloga,alogblogxcc, alogxblogccalogblogxccalogblogblogcca這個公式叫做換底公式這個公式叫做換底公式其他重要公式其他重要公式1:algblgblogaalnblnbloga其他重要公式其他重要公式2:blogmnbloganam證明：設證明：設 ,logpNnam由對數(shù)的定義可以得：由對數(shù)的定義可以得： ,)(pmnaN 即證得即證得 NmnNanamloglogmpnaN pnmNa logpnmaN blogbloganan其他重要公式其他重要公式3:alo

4、g1blogba), 1 () 1 , 0(,ba證明:由換底公式 取以b為底的對數(shù)得： 還可以變形,得 , 1logbbalogblogblogccaabbbbalogloglogabbalog1logzlogzlogylogxyxzlogylogzlogylogzlogylogxxxxyx32log9log2789103lg32lg52lg33lg227lg32lg8lg9lg9103log3533log227log32log8log9log222222公式的運用：公式的運用：利用換底公式統(tǒng)一對數(shù)底數(shù)，即利用換底公式統(tǒng)一對數(shù)底數(shù)，即“化異為同化異為同”是解決有關對數(shù)問題的基本思想方法；是解

5、決有關對數(shù)問題的基本思想方法；解法解法:原式原式=解法解法:原式原式=例題例題2：計算：計算37254954log31log81log2log的值的值1.分析：先利用對數(shù)運算性質法則和換底分析：先利用對數(shù)運算性質法則和換底公式進行化簡，然后再求值；公式進行化簡，然后再求值；2.解：原式解：原式=37lg32lg25lg23lg7lg23lg45lg2lg21, 518, a9logb1845log36已知求的值（用a，b表示）ba5log,9log1818a12log18分析：已知對數(shù)和冪的底數(shù)都是分析：已知對數(shù)和冪的底數(shù)都是18，所以先將，所以先將需求值的對數(shù)化為與已知對數(shù)同底后再求解；需求

6、值的對數(shù)化為與已知對數(shù)同底后再求解；解：解： ，一定要求aba22log15log9log36log45log45log181818181836利用換底公式利用換底公式“化異為同化異為同”是解決有關對數(shù)問是解決有關對數(shù)問題的基本思想方法，它在求值或恒等變形中起題的基本思想方法，它在求值或恒等變形中起了重要作用，在解題過程中應注意：了重要作用，在解題過程中應注意：（1）針對具體問題，選擇好底數(shù)；）針對具體問題，選擇好底數(shù)；（2）注意換底公式與對數(shù)運算法則結合使用；）注意換底公式與對數(shù)運算法則結合使用；（3）換底公式的正用與逆用；）換底公式的正用與逆用；1643tzyxyxz21111643tzy

7、x6lglg4lglg3lglgtztytx，yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11 例三、設 求證： 證： )5lg1(p32lgp33lgp33log2q3lg5lg5log3)5lg1 (33lg5lgpqqpqpq35lg)31 (pqpq3135lg 例四、若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5 解： log 8 3 = p 又 2loglog8log4log4843m218lglg4lg8lg3lg4lgm3lg21lgm3m 例六、若例六、若 求 m 解：由題意： 例例1、解方程、解方程： （1）2 2x 1 = 8 x解

8、：原方程化為解：原方程化為 2 2x 1 = 2 3x2x 1 = 3xx = 1 方程的解為方程的解為 x = 1 （2）lg x lg ( x 3 ) = 1解：原方程化為解：原方程化為 lg x = lg 10 + lg ( x 3 )lg x = lg 10( x 3 )x = 10( x 3 )310 x310 x經(jīng)檢驗，方程的解為經(jīng)檢驗，方程的解為 例例2、解方程、解方程： （1）82 x = 923 x解：原方程化為解：原方程化為 2 x + 3 = 923 x( x + 3 ) lg 2 = ( x 2 9 ) lg 3( x + 3 ) ( xlg 3 3 lg 3 lg 2

9、 ) = 03lg2lg3lg33 xx或或3lg2lg3lg33 xx或或故方程的解為故方程的解為（2）log ( 2x 1 ) ( 5x 2 + 3x 17 ) = 2解：原方程化為解：原方程化為 5x 2 + 3x 17 = ( 2x 1 ) 2 x 2 + 7x 18 = 0 x = 9 或或 x = 2當當 x = 9 時，時， 2x 1 0與對數(shù)定義矛盾，故舍去與對數(shù)定義矛盾，故舍去經(jīng)檢驗，方程的解為經(jīng)檢驗，方程的解為 x = 2例例3、解方程：、解方程：（1）4)32()32( xx4)32(1)32( xx解：原方程化為解：原方程化為xt)32( 設設則有則有 t2 4t +

10、1 = 0 32t32)32(32)32( xx或或即即 x = 1 或或 x = 1故方程的解為故方程的解為 x = 1 或或 x = 1.（2）log 25 x 2log x 25 = 1解：原方程化為解：原方程化為 log 25 x = 1x25log2設設 t = log 25 x則有則有 t 2 t 2 = 0 t = 1 或或 t = 2即即 log 25 x =1 或或 log 25 x = 2 x = 或或 x = 625251 x = 或或 x = 625251經(jīng)檢驗，方程的解為經(jīng)檢驗，方程的解為例例4、解方程：、解方程：log 3 ( 3 x 1 )log 3 ( 3 x

11、1 ) = 231解：原方程化為解：原方程化為 2)31331(log)13(log33 xx2)13(31log)13(log33 xx2)13(log31log)13(log333 xx)13(log3 xt令令則則 t ( t 1 ) = 2022 tt21 tt或或2)13(log1)13(log33 xx或或即即9133113 xx或或103343 xx或或10log34log33 xx或或10log34log33 xx或或故方程的解為故方程的解為解法解法類型類型等價式等價式a、b 0 且且 a、b 1 ，a b， c 為常量為常量a f ( x ) = a g ( x )f ( x

12、 ) = g ( x )log a f(x) = log a g(x)a f ( x ) = b g ( x )f ( x )lg a = g ( x )lg blog f ( x ) g ( x ) = cg ( x ) = f ( x ) cpa 2x + qa x + r = 0plg 2x + qlgx + r = 0pt 2 + qt + r = 0化同底法化同底法指對互表指對互表 法法換元法換元法解對數(shù)方程應注意兩個方面問題解對數(shù)方程應注意兩個方面問題：(1)驗根；驗根；(2)變形時的未知數(shù)的范圍認可擴大不要縮小變形時的未知數(shù)的范圍認可擴大不要縮小.學生練習：解方程學生練習：解方程

13、1、lg x + lg ( x 3 ) = 12、3、4、lg 2 ( x + 1) 2lg ( x + 1) = 35、262132254 xxxx4)32()32( xx2)23(log)59(log121121 xx答案：答案：1、x = 5 2、x = 3、x = 2 4、x = 999 或或 x = 5、x = 22133 109 ylgxlg4lg3lg)y3x2lg()yxlg(. 4已知已知例例.yx的值的值求求1、計算、計算： (1) log 5 35 2log 5 + log 5 7 log 5 1. 837解：原式解：原式 = log 5 ( 57 ) 2( log 5

14、7 log 5 3 ) + log 5 7 log 5 59= 1 + log 5 7 2log 5 7 + 2log 5 3 + log 5 7 ( log 5 3 2 1 )= 1 + 2log 5 3 2 log 5 3 + 1 = 2(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2解：原式解：原式 = lg 2 + lg 2 lg + lg 2210210= ( 1 lg 2 ) 2 + lg 2 ( 1 lg 2 ) + lg 2= 1 2lg 2 + lg 2 2 + lg 2 lg 2 2 + lg 2= 1積、商、冪的對數(shù)運算法則：積、商、冪的對數(shù)運算法則：如果如果

15、a 0，a 1，M 0， N 0 有：有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa重要公式重要公式:blogmnbloganamalogblogblogcca)0b), 1()1 , 0(c , a(1alogblogba), 1()1 , 0(b, a學點一學點一 不查表計算對數(shù)值不查表計算對數(shù)值計算下列各式的值計算下列各式的值: (1) ; (2) ; (3)(lg2)3+(lg5)3+3lg2lg5; (4)lg500+lg - lg64+50(lg2+lg5)2.58211lg2)2(lglg52lg)22(

16、lg2214log3lg33log46log1323)91(1023【分析【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質創(chuàng)造條件，靈活地加以應用根據(jù)對數(shù)的運算性質創(chuàng)造條件，靈活地加以應用.返回返回 【解析【解析】（1）原式）原式= （2）原式）原式=（3）原式）原式=(lg2+lg5)(lg2)2-lg2lg5+(lg5)2+3lg2lg5 =(lg2)2-lg2lg5+(lg5)2+3lg2lg5 =(lg2+lg5)2=1.12lg12lg2lg1lg5)(lg22lg1)2(lglg5)2(2lg2lg21639169274818310216331633263lg2lg27lglg返回返回 （4）解法一：原

17、式）解法一：原式=lg（50085）-lg +50lg(25)2 =lg800-lg8+50 =lg +50=lg100+50=2+50=52.解法二：原式解法二：原式=lg5+lg100+lg8-lg5- lg82+50 =lg100+50=52.64880021【評析】（【評析】（1）對于有關對數(shù)式的化簡問題，解題的常）對于有關對數(shù)式的化簡問題，解題的常用方法：用方法：“拆拆”：將積（商）的對數(shù)拆成兩對數(shù)之和：將積（商）的對數(shù)拆成兩對數(shù)之和（差）；（差）；“收收”：將同底的和（差）的對數(shù)收成積：將同底的和（差）的對數(shù)收成積（商）的對數(shù)（商）的對數(shù).（2）分是為了合，合是為了分，注意本例解法

18、中的拆）分是為了合，合是為了分，注意本例解法中的拆項、并項不是盲目的，它們都是為了求值而進行的項、并項不是盲目的，它們都是為了求值而進行的.返回返回 計算下列各式的值計算下列各式的值:(1)lg52+ lg8+lg5lg20+(lg2)2;(2) ;(3)lg1.810lg-lg32lg2237315975)5353(log4loglog log2 log232返回返回 (1)原式原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2 =2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.(2)原式原式= . (3)原式原式=212lg1.8lg1.82lg1.810

19、18lglg1.8)lg10-lg9lg2(21121232log23)592535(3log9log2log)5353(log4log7log9loglog5log2log4442237443153133123331返回返回 學點二學點二 求值問題求值問題【分析【分析】解本題的關鍵是設法將解本題的關鍵是設法將45的常用對數(shù)分解為的常用對數(shù)分解為2,3的常用對數(shù)的常用對數(shù),再代入計算再代入計算.【解析【解析】解法一解法一: = lg45= lg = (lg9+lg10-lg2) = (2lg3+1-lg2) =lg3+ - lg2 =0.477 1+0.5-0.150 5 =0.826 6.2

20、1212121212145lg290已知已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,求求 的值的值.45lg返回返回 【評析】在運算過程中注意運算法則的正確運用【評析】在運算過程中注意運算法則的正確運用,體體會會lg2+lg5=1性質的靈活運用性質的靈活運用.解法二解法二: = lg45= lg(59) = (lg5+2lg3) = (1-lg2+2lg3) = - lg2+lg3=0.826 6.21212121212145lg返回返回 (1)用用lg2和和lg3表示表示lg75;(2)用用logax,logay,logaz表示表示loga .3324xyzxzy(1)原式原式=lg

21、(253)=lg(523)=2lg5+lg3=2lg（ ）+lg3=2(1-lg2)+lg3=2-2lg2+lg3.(2)原式原式=loga(x4 )-loga=4logax+ loga(y2z)- loga(xyz3)=4logax+ (2logay+logaz)- (logax+logay+3logaz)= logax+ logay- logaz.21032zy3xyz31212761673121返回返回 學點三學點三 條件求值條件求值已知已知log189=a,18b=5,求求log3645.【分析【分析】利用對數(shù)換底公式和其他對數(shù)公式變形利用對數(shù)換底公式和其他對數(shù)公式變形.【解析】解法一

22、【解析】解法一：log189=a,18b=5,log185=b,于是于是log3645= =解法二解法二：log189=a,18b=5,log185=b,于是于是log3645 = .36log45log18182)(18log5)(9log18182log15log9log181818a-2ba 9log2log5log9log918log5)(9log1818181821818a-2ba918log1ba18返回返回 【評析】（【評析】（1）解決這類問題，要注意分析條件和所）解決這類問題，要注意分析條件和所求式子之間的聯(lián)系，找到聯(lián)系就找到了思路求式子之間的聯(lián)系，找到聯(lián)系就找到了思路.（2）

23、當出現(xiàn)多個不同底的對數(shù)時，往往要用換底公）當出現(xiàn)多個不同底的對數(shù)時，往往要用換底公式統(tǒng)一成適當?shù)耐讈斫鉀Q，要有式統(tǒng)一成適當?shù)耐讈斫鉀Q，要有“化同底化同底”的意識的意識.（3）題中利用了）題中利用了“方程組方程組”的觀點，把的觀點，把log32,log35作作為兩個未知數(shù)處理為兩個未知數(shù)處理.返回返回 (1)(1)已知已知6 6a a=27,=27,求求loglog161618;18;(2)(2)已知已知loglog3 310=a,log10=a,log6 625=b,25=b,求求loglog4 445.45.(1) 6a=27,a=log627= ,log23= .log1618= .(

24、2)a=log310=log32+log35 b=log325log36= 由由可知可知log32= ,log35= .于是于是log445 = .3log133log6log27log2222a-3a)3(43432log116log18log222aa2log152log33b2b-2a2bbabb)-2(2a43bab22log5log24log45log3333返回返回 學點四學點四 對數(shù)方程對數(shù)方程已知已知log3(x-1)=log9(x+5)，求，求x.【分析【分析】對簡單的對數(shù)方程，同底法是最基本的求解方法，對簡單的對數(shù)方程，同底法是最基本的求解方法，利用換底公式可得利用換底公式可得logaN=loganNn(N0,n0).【解析【解析】原方程可化為原方程可化為log9(x-1)2=log9(x+5), (x-1)2=x+5,x2-3x-4=0, 解得解得x=-1或或x=4.將將x=-1，x=4分別代入方程分別代入方程,檢驗知檢驗知x=-1不合題意，舍去不合題意，舍去.原方程的根為原方程的根為x=4.【評析】注意解題的等價變形，如本題中將【評析】注意解題的等價變形，如本題中將log3(x-1)化化為為log9(x-1)2，實質上是非等價變形，擴大了定義域，實質上是非等價變形，擴大了定義域，因此，在解對數(shù)方程后要驗根因此，在解對數(shù)方程后要驗根.返回返回