中考動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題

1、中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題 動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題第一部分 真題精講【例1】如圖，在梯形中，梯形的高為動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒）（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）試探究：為何值時(shí)，為等腰三角形【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，很多同學(xué)看到可能就會(huì)無(wú)從下手。但是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，首先就是要找誰(shuí)在動(dòng)，誰(shuí)沒(méi)在動(dòng)，通過(guò)分析動(dòng)態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對(duì)于大多數(shù)題目來(lái)說(shuō)，都有一個(gè)由動(dòng)轉(zhuǎn)靜的瞬間，就本題而言，M，N是在動(dòng)，意味著B(niǎo)M,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動(dòng)態(tài)的條件

2、密切相關(guān)的條件DC,BC長(zhǎng)度都是給定的，而且動(dòng)態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當(dāng)題中設(shè)定MN/AB時(shí)，就變成了一個(gè)靜止問(wèn)題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果?！窘馕觥拷猓海?）由題意知，當(dāng)、運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，如圖，過(guò)作交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形， （根據(jù)第一講我們說(shuō)梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形內(nèi)，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平行時(shí)候的靜態(tài)問(wèn)題） （這個(gè)比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動(dòng)態(tài)聯(lián)系起來(lái)的關(guān)鍵） 解得【思路分析2】第二問(wèn)失分也是最嚴(yán)重的，很多同學(xué)看到等腰三角形，理所當(dāng)然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動(dòng)態(tài)問(wèn)題當(dāng)中碰見(jiàn)等腰三角形，一定不要忘記

3、分類(lèi)討論的思想，兩腰一底一個(gè)都不能少。具體分類(lèi)以后，就成為了較為簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題，于是可以輕松求解【解析】（2）分三種情況討論： 當(dāng)時(shí)，如圖作交于，則有即（利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的性質(zhì)），解得 當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)作于H則， 當(dāng)時(shí)， 則 綜上所述，當(dāng)、或時(shí)，為等腰三角形【例2】在ABC中，ACB=45點(diǎn)D（與點(diǎn)B、C不重合）為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF（1）如果AB=AC如圖，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）如果ABAC，如圖，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（1）中結(jié)論是否成立，為什么？（3）若正方形ADE

4、F的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P，設(shè)AC，CD=，求線段CP的長(zhǎng)（用含的式子表示） 【思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會(huì)給出一個(gè)條件使得動(dòng)點(diǎn)靜止，而本題并未給出那個(gè)“靜止點(diǎn)”，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中，什么條件是不動(dòng)的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動(dòng)的，于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn)行傳遞，就可以得解。【解析】：（1）結(jié)論：CF與BD位置關(guān)系是垂直； 證明如下：AB=AC ，ACB=45，ABC=45由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90， DAB=FAC，DABFAC ， ACF=ABDBCF=ACB+ACF= 90即 CFB

5、D【思路分析2】這一問(wèn)是典型的從特殊到一般的問(wèn)法，那么思路很簡(jiǎn)單，就是從一般中構(gòu)筑一個(gè)特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問(wèn)的條件，然后一樣求解。（2）CFBD(1)中結(jié)論成立 理由是：過(guò)點(diǎn)A作AGAC交BC于點(diǎn)G，AC=AG可證：GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90 即CFBD【思路分析3】這一問(wèn)有點(diǎn)棘手，D在BC之間運(yùn)動(dòng)和它在BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置是不一樣的，所以已給的線段長(zhǎng)度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類(lèi)討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.（3）過(guò)點(diǎn)A作AQBC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q， 點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)

6、時(shí)，BCA=45，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x，易證AQDDCP， ， ， 點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BCA=45，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x 過(guò)A作交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則 CFBD，AQDDCP， ， ，【例3】已知如圖，在梯形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是等邊三角形（1）求證：梯形是等腰梯形；（2）動(dòng)點(diǎn)、分別在線段和上運(yùn)動(dòng)，且保持不變?cè)O(shè)求與的函數(shù)關(guān)系式；ADCBPMQ60（3）在（2）中，當(dāng)取最小值時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由【思路分析1】本題有一點(diǎn)綜合題的意味，但是對(duì)二次函數(shù)要求不算太高，重點(diǎn)還是在考察幾何方面。第一問(wèn)純靜態(tài)問(wèn)題，自不必說(shuō)，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問(wèn)

7、和例1一樣是雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，所以就需要研究在P,Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中什么東西是不變的。題目給定MPQ=60，這個(gè)度數(shù)的意義在哪里？其實(shí)就是將靜態(tài)的那個(gè)等邊三角形與動(dòng)態(tài)條件聯(lián)系了起來(lái).因?yàn)樽罱K求兩條線段的關(guān)系,所以我們很自然想到要通過(guò)相似三角形找比例關(guān)系.怎么證相似三角形呢? 當(dāng)然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）證明：是等邊三角形是中點(diǎn) 梯形是等腰梯形（2）解：在等邊中， (這個(gè)角度傳遞非常重要,大家要仔細(xì)揣摩) (設(shè)元以后得出比例關(guān)系,輕松化成二次函數(shù)的樣子)【思路分析2】第三問(wèn)的條件又回歸了當(dāng)動(dòng)點(diǎn)靜止時(shí)的問(wèn)題。由第二問(wèn)所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當(dāng)X取對(duì)稱(chēng)軸的值時(shí)Y有最小值。接下來(lái)就變成

8、了“給定PC=2，求PQC形狀”的問(wèn)題了。由已知的BC=4，自然看出P是中點(diǎn)，于是問(wèn)題輕松求解。（3）解： 為直角三角形當(dāng)取最小值時(shí)，是的中點(diǎn)，而以上三類(lèi)題目都是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，這一類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某角固定時(shí)，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題化為靜態(tài)問(wèn)題去求解。如果沒(méi)有特殊條件，那么就需要研究在動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中哪些條件是保持不變的。當(dāng)動(dòng)的不是點(diǎn)，而是一些具體的圖形時(shí)，思路是不是一樣呢?接下來(lái)我們看另外兩道題.【例4】已知正方形中，為對(duì)角線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，連接，為中點(diǎn)，連接（1）直接寫(xiě)出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖1中繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，取中點(diǎn)，連接，你在（1）中得到的結(jié)論是

9、否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明 （3）將圖1中繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45到旋轉(zhuǎn)任意角度，要求考生討論其中的不動(dòng)關(guān)系。第一問(wèn)自不必說(shuō)，兩個(gè)共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。第二問(wèn)將BEF旋轉(zhuǎn)45之后，很多考生就想不到思路了。事實(shí)上，本題的核心條件就是G是中點(diǎn)，中點(diǎn)往往意味著一大票的全等關(guān)系，如何構(gòu)建一對(duì)我們想要的全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在。連接AG之后，拋開(kāi)其他條件，單看G點(diǎn)所在的四邊形ADFE，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)梯形，于是根據(jù)我們?cè)诘谝恢v專(zhuān)題中所討

10、論的方法，自然想到過(guò)G點(diǎn)做AD,EF的垂線。于是兩個(gè)全等的三角形出現(xiàn)了。（1） （2）（1）中結(jié)論沒(méi)有發(fā)生變化，即證明：連接，過(guò)點(diǎn)作于，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)在與中， 在與中， 在矩形中， 在與中， 【思路分析2】第三問(wèn)純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會(huì)答出仍然成立。但是我們不應(yīng)該止步于此。將這道題放在動(dòng)態(tài)問(wèn)題專(zhuān)題中也是出于此原因，如果BEF任意旋轉(zhuǎn)，哪些量在變化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應(yīng)該如何思考。建議有余力的同學(xué)自己研究一下，筆者在這里提供一個(gè)思路供參考：在BEF的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，始終不變的依然是G點(diǎn)是FD的中點(diǎn)?？梢匝娱L(zhǎng)一倍EG到H，從而構(gòu)造一個(gè)和EFG全等的三角形，利用BE=EF這

11、一條件將全等過(guò)渡。要想辦法證明三角形ECH是一個(gè)等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關(guān)系就可以得證了。（3）（1）中的結(jié)論仍然成立 【例5】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE交射線DC于點(diǎn)F，將ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B 處（1）當(dāng)=1 時(shí)，CF=_cm，（2）當(dāng)=2 時(shí)，求sinDAB 的值；CADB（3）當(dāng)= x 時(shí)（點(diǎn)C與點(diǎn)E不重合），請(qǐng)寫(xiě)出ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式，（只要寫(xiě)出結(jié)論，不要解題過(guò)程）【思路分析】動(dòng)態(tài)問(wèn)題未必只有點(diǎn)的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折（就是軸對(duì)稱(chēng)）也是一大熱點(diǎn)。這

12、一題是朝陽(yáng)卷的壓軸題，第一問(wèn)給出比例為1，第二問(wèn)比例為2，第三問(wèn)比例任意，所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進(jìn)式題目。同學(xué)們需要仔細(xì)把握翻折過(guò)程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒(méi)有發(fā)生變化。一般說(shuō)來(lái)，翻折中，角，邊都是不變的，所以軸對(duì)稱(chēng)圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系，所以要利用這些來(lái)獲得線段之間的比例關(guān)系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長(zhǎng)線上都是可能的，所以需要大家分類(lèi)討論，不要遺漏?！窘馕觥浚?）CF= 6 cm； （延長(zhǎng)之后一眼看出，EAZY） （2） 如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，延長(zhǎng)AB交DC于點(diǎn)M，圖1 ABCF， ABEFCE， =2， CF=3

13、ABCF，BAE=F又BAE=B AE， B AE=F MA=MF設(shè)MA=MF=k，則MC=k -3，DM=9-k在RtADM中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA= DM=（設(shè)元求解是這類(lèi)題型中比較重要的方法）圖2 sinDAB=； 如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)AD交B E于點(diǎn)N，同可得NA=NE設(shè)NA=NE=m，則B N=12-m在RtAB N中，由勾股定理，得m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN= B N= sinDAB= （3）當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，y=； （所求A B E的面積即為ABE的面積，再由相似表示出邊長(zhǎng)）當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，y= 【總結(jié)

14、】 通過(guò)以上五道例題，我們研究了動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題當(dāng)中點(diǎn)動(dòng)，線動(dòng)，乃至整體圖形動(dòng)這么幾種可能的方式。動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題往往作為壓軸題來(lái)出,所以難度不言而喻,但是希望考生拿到題以后不要慌張,因?yàn)闊o(wú)論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是在變化過(guò)程中那些不變的量。只要條分縷析,一個(gè)個(gè)將條件抽出來(lái),將大問(wèn)題化成若干個(gè)小問(wèn)題去解決,就很輕松了.為更好的幫助考生,筆者總結(jié)這種問(wèn)題的一般思路如下：第一、仔細(xì)讀題，分析給定條件中那些量是運(yùn)動(dòng)的，哪些量是不動(dòng)的。針對(duì)運(yùn)動(dòng)的量，要分析它是如何運(yùn)動(dòng)的，運(yùn)動(dòng)過(guò)程是否需要分段考慮，分類(lèi)討論。針對(duì)不動(dòng)的量，要分析它們和動(dòng)量之間可能有什么關(guān)系，如何建立這種關(guān)系。第二、畫(huà)出圖形，進(jìn)行分析

15、，尤其在于找準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中靜止的那一瞬間題目間各個(gè)變量的關(guān)系。如果沒(méi)有靜止?fàn)顟B(tài)，通過(guò)比例，相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來(lái)研究。第三、做題過(guò)程中時(shí)刻注意分類(lèi)討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學(xué)丟分就丟在沒(méi)有討論，只是想當(dāng)然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒(méi)有想到另外的方式，如本講例5當(dāng)中的比例關(guān)系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關(guān)鍵。第二部分 發(fā)散思考【思考1】已知：如圖（1），射線射線，是它們的公垂線，點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合、點(diǎn)與點(diǎn)不重合），是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持，且（1）求證：；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（3）設(shè)，請(qǐng)

16、探究：的周長(zhǎng)是否與值有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示的周長(zhǎng)；若無(wú)關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由 【思路分析】本題動(dòng)點(diǎn)較多，并且是以和的形式給出長(zhǎng)度。思考較為不易，但是圖中有多個(gè)直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的線段、角關(guān)系去分析。第三問(wèn)計(jì)算周長(zhǎng)，要將周長(zhǎng)的三條線段分別轉(zhuǎn)化在一類(lèi)關(guān)系當(dāng)中，看是否為定值，如果是關(guān)于M的函數(shù)，那么就是有關(guān)，如果是一個(gè)定值，那么就無(wú)關(guān)，于是就可以得出結(jié)論了?！舅伎?】 ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BP=BA，若PBC180，且PBC平分線上的一點(diǎn)D滿足DB=DA，（1）當(dāng)BP與BA重合時(shí)（如圖1），BPD= ；（2）當(dāng)BP在ABC的內(nèi)部時(shí)（如圖2），求BPD的

17、度數(shù)；（3）當(dāng)BP在ABC的外部時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出BPD的度數(shù)，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形 【思路分析】本題中，和動(dòng)點(diǎn)P相關(guān)的動(dòng)量有PBC，以及D點(diǎn)的位置，但是不動(dòng)的量就是BD是平分線并且DB=DA，從這幾條出發(fā)，可以利用角度相等來(lái)找出相似、全等三角形。事實(shí)上，P點(diǎn)的軌跡就是以B為圓心，BA為半徑的一個(gè)圓，那D點(diǎn)是什么呢？留給大家思考一下【思考3】如圖：已知，四邊形ABCD中，AD/BC， DCBC，已知AB=5，BC=6，cosB=點(diǎn)O為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OD，以O(shè)為圓心，BO為半徑的O分別交邊AB于點(diǎn)P，交線段OD于點(diǎn)M，交射線BC于點(diǎn)N，連結(jié)MN（1）當(dāng)BO=AD時(shí)，求BP的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)

18、的過(guò)程中，是否存在BP=MN的情況？若存在，請(qǐng)求出當(dāng)BO為多長(zhǎng)時(shí)BP=MN；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；ABCDOPMNABCD（備用圖）（3）在點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，以點(diǎn)C為圓心，CN為半徑作C，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)C存在時(shí)，O與C的位置關(guān)系，以及相應(yīng)的C半徑CN的取值范圍?！舅悸贩治觥窟@道題和其他題目不同點(diǎn)在于本題牽扯到了有關(guān)圓的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。在和圓有關(guān)的問(wèn)題當(dāng)中，時(shí)刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個(gè)隱藏的靜態(tài)條件。本題第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單，等腰梯形中的計(jì)算問(wèn)題。第二問(wèn)則需要用設(shè)元的方法表示出MN和BP，從而討論他們的數(shù)量關(guān)系。第三問(wèn)的猜想一定要記得分類(lèi)分情況討論?！舅伎?】在中，過(guò)點(diǎn)C作CECD交AD于點(diǎn)E,將

19、線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EF(如圖1)（1）在圖1中畫(huà)圖探究：當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)（P1不與C重合）時(shí)，連結(jié)EP1繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到線段EC1.判斷直線FC1與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；當(dāng)P2為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，連結(jié)EP2,將線段EP2繞點(diǎn)E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EC2.判斷直線C1C2與直線CD的位置關(guān)系，畫(huà)出圖形并直接寫(xiě)出你的結(jié)論.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的條件下，設(shè)CP1=，S=，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍.【思路分析】本題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動(dòng)點(diǎn)動(dòng)線一起考出來(lái)，難倒了不少同學(xué)。事實(shí)上就在于如何把握這個(gè)旋轉(zhuǎn)90

20、的條件。旋轉(zhuǎn)90自然就是垂直關(guān)系，于是又出現(xiàn)了一堆直角三角形，于是證角，證線就手到擒來(lái)了。第二問(wèn)一樣是利用平行關(guān)系建立函數(shù)式，但是實(shí)際過(guò)程中很多同學(xué)依然忘記分類(lèi)討論的思想，漏掉了很多種情況，失分非?？上?。建議大家仔細(xì)研究這道中考原題，按照上面總結(jié)的一般思路去拆分條件，步步為營(yíng)的去解答。第三部分 思考題解析【思考1解析】（1）證明： ， 又 ， 第25題 （2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)， 是的中點(diǎn)，容易證明 在中， ， （3）解：的周長(zhǎng)， 設(shè)，則 ， 即 由（1）知， 的周長(zhǎng)的周長(zhǎng) 的周長(zhǎng)與值無(wú)關(guān) 【思考2答案】解：（1）BPD= 30 ； （2）如圖8，連結(jié)CD 解一： 點(diǎn)D在PBC的平分線上， 1=2 ABC是等邊三角形，圖8 BA=BC=AC，ACB= 60 BP=BA， BP=BC BD= BD， PBDCBD BPD=3- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 DB=DA，BC=AC，CD=CD， BCDACD BPD =30 解二： ABC是等邊三角形， BA =BC=AC DB=DA