多元函數(shù)的極限

1、多元函數(shù)一元函數(shù) 多元函數(shù)推廣推廣主要以二元函數(shù)為主，討論其極限、連續(xù)、微分及其應(yīng)用。在學(xué)習(xí)方法上多注意多元函數(shù)相應(yīng)概念與方法與一元函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同. 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)， 是某是某一正數(shù)，與點(diǎn)一正數(shù)，與點(diǎn)),(000yxP距離小于距離小于 的點(diǎn)的點(diǎn)),(yxP的全體，稱為點(diǎn)的全體，稱為點(diǎn)0P的的 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU，（1 1）鄰域）鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函數(shù)的概念 空心鄰域：空心鄰域：),(0 PUo |00PPP)()(00PU

2、PUo或（2 2）區(qū)域）區(qū)域.)(的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)為為則稱則稱，的某一鄰域的某一鄰域一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)是平面上的是平面上的是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，設(shè)設(shè)EPEPUPPE .EE 的內(nèi)點(diǎn)屬于的內(nèi)點(diǎn)屬于EP .為開(kāi)集為開(kāi)集則稱則稱的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即為開(kāi)集即為開(kāi)集 若存在點(diǎn)若存在點(diǎn) P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E = ,則稱則稱 P 為為 E 的的外點(diǎn)外點(diǎn) ;外點(diǎn)是否屬于外點(diǎn)是否屬于E？的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn)為為），則稱），則稱可以不屬于可以不屬于，也，也本身可以屬于本身可以屬于的點(diǎn)（點(diǎn)的點(diǎn)（點(diǎn)也有不屬于也

3、有不屬于的點(diǎn)，的點(diǎn)，于于的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬如果點(diǎn)如果點(diǎn)EPEEPEEPEP 的邊界的邊界的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為 EE是連通的是連通的開(kāi)集開(kāi)集，則稱，則稱且該折線上的點(diǎn)都屬于且該折線上的點(diǎn)都屬于連結(jié)起來(lái)，連結(jié)起來(lái)，任何兩點(diǎn)，都可用折線任何兩點(diǎn)，都可用折線內(nèi)內(nèi)如果對(duì)于如果對(duì)于DDD 或或D為連通集。為連通集。記作記作E ;連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo 若點(diǎn)集若點(diǎn)集 E E , 則稱

4、則稱 E 為為閉集閉集；0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無(wú)界開(kāi)區(qū)域無(wú)界開(kāi)區(qū)域xyo例如，例如，則稱為無(wú)界點(diǎn)集則稱為無(wú)界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集，否為有界點(diǎn)集，否成立，則稱成立，則稱對(duì)一切對(duì)一切即即，不超過(guò)不超過(guò)間的距離間的距離與某一定點(diǎn)與某一定點(diǎn)，使一切點(diǎn)，使一切點(diǎn)如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)對(duì)于點(diǎn)集對(duì)于點(diǎn)集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx（3）聚點(diǎn)）聚點(diǎn) 設(shè)設(shè) E 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，P 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，如如果果點(diǎn)點(diǎn) P 的的任任何何一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)總總有有無(wú)無(wú)限限多多個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于點(diǎn)點(diǎn)集集 E，則則稱稱 P 為為 E 的的

5、聚聚點(diǎn)點(diǎn). 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)； 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn) 點(diǎn)集點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合 整個(gè)平面整個(gè)平面 點(diǎn)集點(diǎn)集 1),(xyx是開(kāi)集，是開(kāi)集， 是最大的開(kāi)集是最大的開(kāi)集 , 也是最大的閉也是最大的閉集集；但非區(qū)域但非區(qū)域 .11oxyTH。A Rn是開(kāi)集是開(kāi)集Ac是閉

6、集。是閉集。 空集既是開(kāi)集也是閉集?？占仁情_(kāi)集也是閉集。 又如，又如，DRNkkkD )0 , 0(,| )1,1(2（0,0）是否聚點(diǎn)？）是否聚點(diǎn)？D是否閉集？若是否閉集？若D是單點(diǎn)集或有限點(diǎn)集呢？是單點(diǎn)集或有限點(diǎn)集呢？（4 4）n n維空間維空間 n維空間的記號(hào)為維空間的記號(hào)為;nR n維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 RRRRnnkxxxxkn,2, 1,R),(21),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)

7、軸、平面、時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離3, 2, 1 n內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義鄰域：鄰域：設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為（5 5）二元函數(shù)的定義）二元函數(shù)的定義當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念因變量等概念.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)對(duì)函數(shù)的一些要討論的問(wèn)題：求定義域，表達(dá)式等等。對(duì)函數(shù)的一些要討論的問(wèn)題：求定義域，表達(dá)式等等。例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin

8、(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD 例例2 2 求求 的定義域的定義域yxyxyxf ln),(解解| , 0| ),(| , 0| ),(xyxyxxyxyxD 例例3. 設(shè)設(shè),),(222yxyxfxy求求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy設(shè)設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令令uvyx2vuxy2vy uvx

9、),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf（6） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，對(duì)于任意，對(duì)于任意取定的取定的DyxP ),(，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為),(yxfz ，這樣，以，這樣，以x為橫坐標(biāo)、為橫坐標(biāo)、y為縱坐為縱坐標(biāo)、標(biāo)、z為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)),(zyxM，當(dāng)當(dāng)x取遍取遍D上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這個(gè)點(diǎn)集稱，這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形為二元函數(shù)的圖形.（如

10、下頁(yè)圖）（如下頁(yè)圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.xzy例如例如, 二元函數(shù)二元函數(shù)221yxz定義域?yàn)槎x域?yàn)?),(22 yxyx圓域圓域說(shuō)明說(shuō)明: 二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面的圖形一般為空間曲面 .12R),(yx三元函數(shù)三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域?yàn)槎x域?yàn)?),(222zyxzyx圖形為圖形為4R空間中的超曲面空間中的超曲面.單位閉球單位閉球xyzoxyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.

11、2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:二、多元函數(shù)的極限、連續(xù)說(shuō)明：說(shuō)明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；常用來(lái)證明的方式是任意的；常用來(lái)證明極限不存在。極限不存在。0PP（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則，夾逼定理等與一元）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則，夾逼定理等與一元函數(shù)類似求極限的方法？函數(shù)類似求極限的方法？比較比較：一元函數(shù)中極限定義，單側(cè)極限，連續(xù)問(wèn)題問(wèn)題：那些概念可以推廣？例例1. 設(shè)設(shè)22),(yxxyyxf

12、求證：求證：.0),(lim00yxfyx證證: 2222222221210yxyxyxyxxy故故0),(lim00yxfyx0),( yxf,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng) 220yx , 2 總有總有0, 欲使欲使 只要只要 222 yx取取手寫其它例1，2，3，4，小結(jié)方法。例例 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 若當(dāng)點(diǎn)若當(dāng)

13、點(diǎn)),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設(shè)設(shè) P(x , y) 沿直線沿直線 y = k x 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點(diǎn)在點(diǎn) (0, 0) 的極限的極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則可以斷定函數(shù)極限則有則有21kkk 值不同極限不同值不同極限不同 !在在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于以不同方式趨于,),(000時(shí)yxP不存在不存在 .例例5. 討論函數(shù)討論函數(shù)函數(shù)函數(shù)例例6 6 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取

14、取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在例例7. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而而620)cos1 (4limrrr化為極坐標(biāo),222yxr令則62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r22r故故22222200)()cos(1limyxyxyxyx例例7. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 而而化為極坐標(biāo),222yxr令

15、則故故22222200)()cos(1limyxyxyxyx 226402262022222200sincos2limsincoscos1lim)()cos(1limrrrryxyxyxrryx 222221sincos21rr 例例2. 設(shè)0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求證：.0),(lim00yxfyx證：證：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 時(shí)，當(dāng)022yxxyyx11sinsin總有 2 要證小結(jié)小結(jié)：二元函數(shù)求極限的方法二元函數(shù)求極限的方法1.化為一元函數(shù)（變量代換、運(yùn)算等化）；化為一元函

16、數(shù)（變量代換、運(yùn)算等化）；2 .夾逼定理、極限運(yùn)算性質(zhì)等；夾逼定理、極限運(yùn)算性質(zhì)等；3.利用連續(xù)性利用連續(xù)性；4.(化函數(shù)為極坐標(biāo)形式化函數(shù)為極坐標(biāo)形式)5.證明極限不存在；證明極限不存在；（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxP，若若極極限限值值與與k有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2） 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言但兩者不相等，此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP處極限不存在處極限不存在n元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限推廣推廣：利用點(diǎn)函數(shù)的形式有：利用點(diǎn)函

17、數(shù)的形式有 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, PD是其聚點(diǎn)且是其聚點(diǎn)且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 則稱則稱n元函數(shù)元函數(shù))(Pf在點(diǎn)在點(diǎn)0P處連續(xù)處連續(xù). . 設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)，如如果果)(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn).三、多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義3 3例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(

18、fyxf )cos(sin33 02 故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 多元初等函數(shù)：多元初等函數(shù)：稱一個(gè)變量稱一個(gè)變量x（或（或y）的基本初等函）的基本初等函數(shù)為二元基本初等函數(shù)，將數(shù)為二元基本初等函數(shù)，將二元基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限二元基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的函數(shù)叫多元初等函數(shù)。的函數(shù)叫多元初等函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域

19、內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域2運(yùn)算：二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商、復(fù)合仍是連續(xù)函 數(shù)。3 二元初等函數(shù)的連續(xù)性例如例如, 函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在極限不存在, 又如又如, 函數(shù)函數(shù)11),(22yxyxf上間斷上間斷.其它點(diǎn)上連續(xù)。其它點(diǎn)上連續(xù)。122 yx 故故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn)為其間斷點(diǎn).其它連續(xù)。其它連續(xù)。在圓周在圓周).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處連續(xù)，于是處連續(xù)，于是點(diǎn)點(diǎn)在在的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則是是數(shù)，且數(shù)，且是初等函是初等函時(shí)，如果時(shí)，如果一般地，求一般地，求例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 2. 證明證明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù)在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù)為初等函數(shù) , 故連續(xù)故連續(xù).又又220yxyxyxyx222222221yxyx02221 yx2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函數(shù)在全平面連續(xù)故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準(zhǔn)則得由夾逼準(zhǔn)則得求函