選修2-215定積分的概念

1、 課題：1.5 定積分的概念三維目標：知識與技能：通過求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程，了解定積分的背景；借助于幾何直觀體會定積分的基本思想，了解定積分的概念，能用定積分法求簡單的定積分3.理解掌握定積分的幾何意義和性質(zhì)；過程與方法：通過問題的探究體會逼近、以直代曲的數(shù)學思想方法。情感態(tài)度與價值觀：通過分割、逼近的觀點體會定積分的來歷，使學生從本質(zhì)上理解定積分的幾何意義，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。教學重點：定積分的概念、用定義求簡單的定積分、定積分的幾何意義教學難點：定積分的概念、定積分的幾何意義第一課時 教學過程：一創(chuàng)設情景問題：我們在小學、初中就學習過求平面圖形面積的問題。有的是規(guī)則

2、的平面圖形，但現(xiàn)實生活中更多的是不規(guī)則的平面圖形。對于不規(guī)則的圖形我們該如何求面積？比如XX省的國土面積。此問題在學生九年級中已有涉及，在九年級時學生了解過以下求不規(guī)則面積的方法：方法1 將圖形放在坐標紙上，也即將圖形分割，看它有多少個“單位面積”。方法2 將圖形從內(nèi)外兩個方面用規(guī)則圖形(或規(guī)則圖形的組合)逼近。方法3 將這塊圖形用一個正方形圍住，然后隨機地向正方形內(nèi)扔“點”(如小石子等小顆粒)，當點數(shù)P足夠大時，統(tǒng)計落入不規(guī)則圖形中的點數(shù)A，則圖形的面積與正方形面積的比約為A/P。方法4“稱量”面積：在正方形區(qū)域內(nèi)均勻鋪滿一層細沙，分別稱得重量是P(正方形區(qū)域內(nèi)細沙重)、A(所求圖形內(nèi)細沙重

3、)，則所求圖形的面積與正方形面積的比是重量之比。二合作探究問題一 曲邊梯形的面積 如圖，陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形如何計算這個曲邊梯形的面積？ 探究1：分割，怎樣分割？分割成多少個？分成怎樣的形狀？有幾種方案？ （分割）提出自己的看法，同伴之間進行交流。探究2：采用哪種好？把分割的幾何圖形變?yōu)榇鷶?shù)的式子。（近似代替）、（求和）寫出面積求和式。老師巡視，給予指導，即時糾正學生中的運算錯誤。及時實物投影比較三種求和式的優(yōu)劣，規(guī)定近似代替的原則。探究3：如何用數(shù)學的形式表達分割的幾何圖形越來越多？ （取極限）寫出分割無限多時，相應的數(shù)學含

4、義。思考：（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別？ （2）能否將求這個曲邊梯形面積S的問題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問題？分析：曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別：曲邊梯形有一邊是曲線段，“直邊圖形”的所有邊都是直線段“以直代曲”的思想的應用研究：求圖中陰影部分是由拋物線，直線以及軸所圍成的平面圖形的面積S。把區(qū)間分成許多個小區(qū)間，進而把區(qū)邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代取”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值分割越細，面積的近似值就越精確。當分割無限變細時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S也

5、即：用劃歸為計算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積解：（1）分割在區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間： ， 記第個區(qū)間為，其長度為分別過上述個分點作軸的垂線，從而得到個小曲邊梯形，他們的面積分別記作： ， 顯然，（2）近似代替記，如圖所示，當很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認為它近似的等于左端點處的函數(shù)值，從圖形上看，就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊（如圖）這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有 （3）求和由，上圖中陰影部分的面積為= = = = 從而得到的近似值= （4）取極限分

6、別將區(qū)間等分8，16，20，等份（如圖），可以看到，當趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有從數(shù)值上看出這一變化趨勢： 問題：如果不是在區(qū)間的兩個端點取，而是在每一個區(qū)間中間取任意一點作為高，會有怎樣的結(jié)果？歸納總結(jié)求曲邊梯形面積的四個步驟:第一步：分割在區(qū)間中任意插入各分點，將它們等分成個小區(qū)間，區(qū)間的長度，第二步：近似代替?！耙灾贝　保镁匦蔚拿娣e近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小曲邊梯形面積的近似值第三步：求和第四步：取極限。（說明：最后所得曲邊形的面積不是近似值，而是真實值）P24頁探究鞏固練習三維設計P30頁例1及活學活用作業(yè)布置課本P42頁練習第二課時1.5.2 汽車行駛

7、的路程-求變速運動的路程 教學過程問題1：利用導數(shù)我們解決了“已知物體運動路程與時間的關系，求物體運動速度”的問題反之，如果已知物體的速度與時間的關系，如何求其在一定時間內(nèi)經(jīng)過的路程呢？ 例如：汽車以速度組勻速直線運動時，經(jīng)過時間所行駛的路程為如果汽車作變速直線運動，在時刻的速度為（單位：km/h），那么它在01(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程（單位：km）是多少？分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運動的路程問題，化歸為勻速直線運動的路程問題把區(qū)間分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運動，從而求得汽車在每個小區(qū)間上行駛路程

8、的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最后讓趨緊于無窮大就得到（單位：km）的精確值（思想：用化歸為各個小區(qū)間上勻速直線運動路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運動的路程）解：1分割 在時間區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間：， 記第個區(qū)間為其長度為 把汽車在時間段，上行駛的路程分別記作：，顯然， （2）近似代替 當很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認為它近似的等于左端點處的函數(shù)值，從物理意義上看，即使汽車在時間段上的速度變化很小，不妨認為它近似地以時刻處的速度作勻速直線運動，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”于是用小矩形的面積近似的代替

9、，則有 （3）求和 由得，= = = = 從而得到的近似值= （4）取極限當趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有思考 結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認為汽車行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關系？結(jié)合上述求解過程可知，汽車行駛的路程在數(shù)據(jù)上等于由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積歸納得到 一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)為，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在ab內(nèi)所作的位移鞏固練習變力做功練習：彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力（為常數(shù)，是伸長量），求彈簧從平衡位置拉長所作的功分析：利用

10、“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解（過程見課件）作業(yè)布置課本P45頁練習第2題第三課時定積分的概念教學過程問題1從前面求曲邊圖形面積以及求變速直線運動路程的過程，你發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)了什么，它們有什么共同特征？第一， 都可以通過“分割、近似代替、求和、取極限來解決問題，第二， 最終的結(jié)果都歸結(jié)為求一個特定形式和的極限， 事實上，許多問題都可以歸結(jié)為求這種特定形式和的極限定積分的定義 一般地，設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上取一點，作和式：當）時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為： 即=其中函數(shù)叫做 ，叫做 變量，

11、區(qū)間為 區(qū)間，積分 ，積分 。說明：（1）定積分是一個常數(shù) （2）用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點；求和：；取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運動路程問題2 你能說說定積分的幾何意義嗎？定積分的幾何意義 從幾何上看，如果在區(qū)間a,b上的函數(shù)連續(xù)且恒有。那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積。想一想：當f(x)在區(qū)間a，b上且f(x)0時， f(x)dx表示的含義是什么？提示當f(x)在區(qū)間a，b上值小于零時，f(x)dx表示由 yf(x)，xa，xb，y0所圍成的圖形的面積的相反數(shù) 探究:根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的面積?例題講

12、解例1 求x3dx.分析這里的被積函數(shù)f(x)x3顯然是連續(xù)函數(shù)現(xiàn)按定義中包含的幾個步驟來求x3dx.解析(1)分割0,1：01.(2)近似代替：作和333.3.(因為x3連續(xù)，所以i可隨意取而不影響極限，故我們此處將i取為xi，xi1的右端點也無妨)(3)取極限：332，x3dxli .(此處用到了求和公式1323n3(12n)22)因此x3dx.點評求定積分的四個步驟：分割、近似代替、求和、取極限，關鍵環(huán)節(jié)是求和體現(xiàn)的基本思想就是先分后合，化曲為直，通過取極限，形成整體圖形的面積變式1利用定積分的定義求2dx的值例2.用定積分的幾何意義求 (x33x)dx.變式2定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1 性質(zhì)2 （其中k是不為0的常數(shù)） （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)3 （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)4 （定積分對積分區(qū)間的可加性）說明：推廣： 推廣:四鞏固提高1、定積分 （c為常數(shù)）的幾何意義是 2、由y=sinx, x=0,x=,y=0所圍成圖形的面積寫成定