復變函數(shù)54課時大綱初稿

1、復變函數(shù)與積分變換課程教學大綱 年制訂， 年修訂課程名稱：復變函數(shù)與積分變換/ Functions of Complex Variable and Integral Transforms課程類別：公共課開課單位：數(shù)學系開課對象：電子信息科學與技術(shù)專業(yè)、電子信息工程專業(yè)二年級課 時：54學時選定教材：復變函數(shù)與積分變換(第2版)，蘇變萍，北京，高等教育出版社，2010年4月1日。參 考 書：復變函數(shù)與積分變換，焦紅偉，北京：北京大學出版社，2007年9月1日。課程概述：本課程主要討論復變函數(shù)和積分變換，內(nèi)容主要包括：復數(shù)運算、解析函數(shù)、初等函數(shù)、復變函數(shù)的積分理論、級數(shù)展開及留數(shù)理論、拉普拉斯變

2、換、富里葉變換通過本課程的學習，使學生初步掌握復變函數(shù)的基本理論和方法，掌握傅里葉變換與拉普拉斯變換的基本概念與方法，為學習相關(guān)專業(yè)課及以后實際應用提供必要的基礎(chǔ)。教學目的：本課程為電子類、計算機類各專業(yè)及熱能專業(yè)的基礎(chǔ)課。要求學生掌握復分析及積分變換的方法。為適應諸多專業(yè)對復變函數(shù)理論的需求，學生必須熟練掌握：1復變解析函數(shù)理論；2復變函數(shù)的積分理論及留數(shù)理論；3拉氏變換與富氏變換理論；學生還應掌握復變函數(shù)的一些基礎(chǔ)理論，如羅朗級數(shù)理論；了解調(diào)和函數(shù)理論。學時分配：章節(jié)主要內(nèi)容課內(nèi)外學時比備注講授實驗討論習題課外其它小計復變函數(shù) 第一章復數(shù)和復變函數(shù)82414第二章解析函數(shù)4127第三章復變

3、函數(shù)的積分82414第四章級數(shù)62412第五章留數(shù)5128積分變換 第一章傅立葉變換62412 第二章拉普拉斯變換6128各章教學要求及教學要點復變函數(shù)第一章 教學要求：(一)復數(shù)及其代數(shù)運算 2學時1理解復數(shù)的概念。2熟練掌握復數(shù)的四則運算。(二)復數(shù)的幾何表示 1學時1熟練掌握復數(shù)的各種表示法，掌握復數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形。(三)復數(shù)的乘冪與方根 1學時1熟練掌握復數(shù)的四則運算及復數(shù)的乘冪與方根。(四)區(qū)域 1學時1理解區(qū)域、簡單（閉）曲線、單（多）連通域的概念。(五)復變函數(shù) 1學時1理解區(qū)域；簡單（閉）曲線，單連通域與多連通域，復變函數(shù)與映射的概念。（六）復變函數(shù)的極限和連續(xù)性

4、 2學時1掌握復變函數(shù)的極限和連續(xù)性的運算法則與性質(zhì)及其與實變函數(shù)極限和連續(xù)性間的關(guān)系。教學內(nèi)容：一、復數(shù)及其代數(shù)運算1.主要內(nèi)容：復數(shù)及其代數(shù)運算。2.基本概念和知識點：復數(shù)的概念，復數(shù)的運算（四則運算）。3.問題與應用（能力要求）：熟練掌握復數(shù)的四則運算。二、復數(shù)的幾何表示1.主要內(nèi)容：復數(shù)的幾何表示（代數(shù)表示，指數(shù)表示與三角表示），復數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形，復球面，無窮遠點，擴充復平面。2.基本概念和知識點：復數(shù)的各種表示法，復球面，無窮遠點，擴充復平面的概念。3.問題與應用（能力要求）：熟練掌握復數(shù)的各種表示法，掌握復數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形。三、復數(shù)的乘冪與方根1.主要

5、內(nèi)容：復數(shù)的乘冪與方根。2.基本概念和知識點：復數(shù)的運算（四則運算），復數(shù)的方根。3.問題與應用（能力要求）：熟練掌握復數(shù)的四則運算及復數(shù)的乘冪與方根。四、區(qū)域1.主要內(nèi)容：區(qū)域。2.基本概念和知識點：區(qū)域的概念，簡單（閉）曲線，單連通域多連通域。3.問題與應用（能力要求）：理解區(qū)域、簡單（閉）曲線、單（多）連通域的概念。五、復變函數(shù)1.主要內(nèi)容：復變函數(shù)的定義與映射的概念。2.基本概念和知識點：復變函數(shù)的定義與映射的概念，復變函數(shù)與一元實函數(shù)的關(guān)系。3.問題與應用（能力要求）：理解復變函數(shù)的定義與映射的概念。六、復變函數(shù)的極限和連續(xù)性1.主要內(nèi)容：復變函數(shù)的極限和連續(xù)性。2.基本概念和知識點

6、：復變函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念及其運算法則與性質(zhì)，與實變函數(shù)極限和連續(xù)性間的關(guān)系。3.問題與應用（能力要求）：掌握復變函數(shù)的極限和連續(xù)性的運算法則與性質(zhì)。第二章 教學要求：（一）解析函數(shù)的概念1理解導數(shù)與微分及解析函數(shù)的概念。（二）函數(shù)解析的充要條件1熟練掌握函數(shù)導數(shù)及解析的判別法。（三）初等函數(shù)1理解初等函數(shù)的定義及主要性質(zhì)。教學內(nèi)容：一、解析函數(shù)的概念 1學時1.主要內(nèi)容：解析函數(shù)的概念。2.基本概念和知識點：導數(shù)與微分及解析函數(shù)的概念。3.問題與應用（能力要求）：理解導數(shù)與微分及解析函數(shù)的概念。二、函數(shù)解析的充要條件 2學時1.主要內(nèi)容：函數(shù)解析的充要條件。2.基本概念和知識點：函數(shù)解析

7、的判別法。3.問題與應用（能力要求）：熟練掌握函數(shù)導數(shù)及解析的判別法。三、初等函數(shù) 1學時1.主要內(nèi)容：初等函數(shù)。2.基本概念和知識點：各種初等函數(shù)的定義，多值函數(shù)。3.問題與應用（能力要求）：理解初等函數(shù)的定義及主要性質(zhì)。第三章 教學要求：(一)復變函數(shù)積分的概念 1學時1理解復變函數(shù)積分的概念及性質(zhì)。(二)柯西古薩基本定理 1學時1了解柯西古薩基本定理。(三)基本定理的推廣復合閉路 2學時1懂得靈活運用復合閉路定理。(四)原函數(shù)與不定積分 1學時1理解原函數(shù)與不定積分的概念，牛頓萊布尼茨公式。(五)柯西積分公式 1學時1靈活運用柯西積分公式。(六)解析函數(shù)的高階導數(shù) 2學時1熟練掌握高階導

8、數(shù)公式。教學內(nèi)容：一、復變函數(shù)積分的概念1.主要內(nèi)容：復變函數(shù)積分的概念及性質(zhì)。2.基本概念和知識點：復變函數(shù)積分的概念及性質(zhì)。3.問題與應用（能力要求）：理解復變函數(shù)積分的概念及性質(zhì)。二、柯西古薩基本定理1.主要內(nèi)容：柯西古薩基本定理。2.基本概念和知識點：柯西古薩基本定理。3.問題與應用（能力要求）：熟悉柯西古薩基本定理。三、基本定理的推廣復合閉路1.主要內(nèi)容：基本定理的推廣復合閉路。2.基本概念和知識點：柯西積分定理。3.問題與應用（能力要求）：靈活運用復合閉路定理。四、原函數(shù)與不定積分1.主要內(nèi)容：原函數(shù)與不定積分。2.基本概念和知識點：原函數(shù)與不定積分的概念，牛頓萊布尼茨公式。3.問

9、題與應用（能力要求）：理解原函數(shù)與不定積分的概念，牛頓萊布尼茨公式。五、柯西積分公式1.主要內(nèi)容：柯西積分公式。2.基本概念和知識點：柯西積分公式。3.問題與應用（能力要求）：靈活運用柯西積分公式。六、解析函數(shù)的高階導數(shù)1.主要內(nèi)容：解析函數(shù)的高階導數(shù)。2.基本概念和知識點：高階導數(shù)公式。3.問題與應用（能力要求）：熟練掌握高階導數(shù)公式。第四章 教學要求：（一）復數(shù)項級數(shù) 2學時1. 理解復數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散、條件收斂與絕對收斂的概念與性質(zhì)，熟悉收斂的必要條件。（二）冪級數(shù) 1學時1熟悉阿貝爾Abel定理，冪級數(shù)的運算與性質(zhì)。（三）泰勒級數(shù) 2學時1熟悉的泰勒展開式，熟練地把一些解析函數(shù)展開成

10、泰勒級數(shù)。（四）洛朗級數(shù) 1學時1熟練地把一些解析函數(shù)在不同的圓環(huán)內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。教學內(nèi)容：第一節(jié)復數(shù)項級數(shù)1.主要內(nèi)容：復數(shù)項級數(shù)。2.基本概念和知識點：復數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散、條件收斂與絕對收斂的概念與性質(zhì)；收斂的必要條件。3.問題與應用（能力要求）：理解復數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散、條件收斂與絕對收斂的概念與性質(zhì)，熟悉收斂的必要條件。第二節(jié)冪級數(shù)1.主要內(nèi)容：冪級數(shù)。2.基本概念和知識點：阿貝爾Abel定理，冪級數(shù)的運算與性質(zhì)。3.問題與應用（能力要求）：熟悉阿貝爾Abel定理，冪級數(shù)的運算與性質(zhì)。第三節(jié)泰勒級數(shù)1.主要內(nèi)容：泰勒級數(shù)。2.基本概念和知識點：泰勒展開定理。3.問題與應用（能力要求

11、）：熟悉的泰勒展開式，熟練地把一些解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)。第四節(jié)洛朗級數(shù)1.主要內(nèi)容：洛朗級數(shù)。2.基本概念和知識點：雙邊冪級數(shù)的概念與性質(zhì)，洛朗展開定理。3.問題與應用（能力要求）：熟練地把一些解析函數(shù)在不同的圓環(huán)內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。第五章 教學目的：（一）孤立奇點 2學時1理解孤立奇點的概念。2熟悉可去奇點、極點與本性奇點的特征，函數(shù)的零點與極點的關(guān)系。3.了解函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)。（二）留數(shù) 2學時1理解留數(shù)的概念。2熟練掌握留數(shù)的計算規(guī)則與求法，了解函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)。（三）留數(shù)在定積分計算上的應用 1學時1了解留數(shù)在定積分計算上的應用。教學內(nèi)容：一、孤立奇點1.主要內(nèi)容：孤立奇點。2

12、.基本概念和知識點：孤立奇點的概念，可去奇點、極點與本性奇點的特征，函數(shù)的零點與極點的關(guān)系，函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)。3.問題與應用（能力要求）：理解孤立奇點的概念，熟悉可去奇點、極點與本性奇點的特征，函數(shù)的零點與極點的關(guān)系，了解函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)。二、留數(shù)1.主要內(nèi)容：留數(shù)。2.基本概念和知識點：留數(shù)的概念與計算規(guī)則。3.問題與應用（能力要求）：理解留數(shù)的概念，熟練掌握留數(shù)的計算規(guī)則與求法，了解函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)。三、留數(shù)在定積分計算上的應用1.主要內(nèi)容：留數(shù)在定積分計算上的應用。2.基本概念和知識點：留數(shù)在計算三種類型實積分上的應用。3.問題與應用（能力要求）：了解留數(shù)在定積分計算上的應用

13、。積分變換第一章 教學目的：（一）Fourier積分 1學時1熟悉Fourier積分公式與Fourier積分存在定理。（二）Fourier變換 2學時1理解傅里葉變換及其逆變換的概念。2了解單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)，F(xiàn)ourier變換的物理意義頻譜。（三）Fourier變換的性質(zhì) 2學時1掌握傅里葉變換的性質(zhì)，一些函數(shù)的Fourier變換與逆變換的求法。（四）卷積與相關(guān)函數(shù) 1學時1了解卷積與相關(guān)函數(shù)的概念，卷積定理。教學內(nèi)容：一、Fourier積分1.主要內(nèi)容：傅里葉積分。2.基本概念和知識點：Fourier積分公式與Fourier積分存在定理。3.問題與應用（能力要求）：熟悉Fourier積分公

14、式與Fourier積分存在定理。二、Fourier變換1.主要內(nèi)容：傅里葉變換。2.基本概念和知識點：傅里葉變換及其逆變換的概念，單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)，F(xiàn)ourier變換的物理意義頻譜。3.問題與應用（能力要求）：理解傅里葉變換及其逆變換的概念，了解單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)，F(xiàn)ourier變換的物理意義頻譜。三、Fourier變換的性質(zhì)1.主要內(nèi)容：傅里葉變換的性質(zhì)。2.基本概念和知識點：傅里葉變換的性質(zhì)。3.問題與應用（能力要求）：掌握傅里葉變換的性質(zhì)，一些函數(shù)的Fourier變換與逆變換的求法。四、卷積與相關(guān)函數(shù)1.主要內(nèi)容：卷積與相關(guān)函數(shù)。2.基本概念和知識點：卷積與相關(guān)函數(shù)的概念，卷積定理。3

15、.問題與應用（能力要求）：了解卷積與相關(guān)函數(shù)的概念，卷積定理。第二章 教學目的：（一）Laplace變換的概念 1學時1理解Laplace變換及其逆變換的概念，拉氏變換的存在定理。2了解Laplace變換與Fourier變換的區(qū)別。（二）Laplace變換的性質(zhì) 2學時1掌握Laplace變換的性質(zhì)及用Laplace變換的性質(zhì)求解一些函數(shù)的Laplace變換。（三）Laplace逆變換 1學時1了解拉氏反演積分，掌握用留數(shù)求像原函數(shù)。（四）卷積 1學時1了解卷積的概念與卷積定理。 （五）Laplace變換的應用 1學時 1掌握一些微分方程的拉氏變換解法。教學內(nèi)容：一、Laplace變換的概念1

16、.主要內(nèi)容：拉普拉斯變換的概念。2.基本概念和知識點：Laplace變換及其逆變換的概念，拉氏變換的存在定理，Laplace變換與Fourier變換的區(qū)別。3.問題與應用（能力要求）：理解Laplace變換及其逆變換的概念，拉氏變換的存在定理，了解Laplace變換與Fourier變換的區(qū)別。二、Laplace變換的性質(zhì)1.主要內(nèi)容：拉氏變換的性質(zhì)。2.基本概念和知識點：拉氏變換的性質(zhì)。3.問題與應用（能力要求）：掌握Laplace變換的性質(zhì)及用Laplace變換的性質(zhì)求解一些函數(shù)的Laplace變換。三、Laplace逆變換1.主要內(nèi)容：拉普拉斯逆變換。2.基本概念和知識點：拉氏反演積分，用留數(shù)求像原函數(shù)