第二章桿件的內(nèi)力截面法

1、第五章桿件的內(nèi)力第五章桿件的內(nèi)力 5-1 桿件的拉伸（壓縮）內(nèi)力桿件的拉伸（壓縮）內(nèi)力 5-2 桿件的扭轉(zhuǎn)內(nèi)力桿件的扭轉(zhuǎn)內(nèi)力 5-3 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力剪力與彎矩剪力與彎矩 5-4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 5-6 剪力、彎矩和載荷集度間的微分關(guān)系剪力、彎矩和載荷集度間的微分關(guān)系5-7 平面剛架與平面曲桿的彎矩內(nèi)力平面剛架與平面曲桿的彎矩內(nèi)力5-1 5-1 桿件的拉伸或壓縮時(shí)的內(nèi)力桿件的拉伸或壓縮時(shí)的內(nèi)力 受力特點(diǎn)：受力特點(diǎn)：力或合外力沿軸線(xiàn)方向力或合外力沿軸線(xiàn)方向 變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：沿軸向伸長(zhǎng)或縮短沿軸向伸長(zhǎng)或縮短 直桿的軸向拉伸或壓縮直桿的軸向拉伸或壓縮一、一、軸向拉伸或壓縮的概念軸向

2、拉伸或壓縮的概念活塞桿計(jì)算簡(jiǎn)圖計(jì)算簡(jiǎn)圖壓桿壓桿拉桿拉桿二、二、軸力與軸力圖軸力與軸力圖a）假想地將構(gòu)件沿截面）假想地將構(gòu)件沿截面m-m處處 一一 分為二；分為二；b)取其中任一部分為研究對(duì)象取其中任一部分為研究對(duì)象;c)由平衡條件由平衡條件 FN分布內(nèi)力系的合力分布內(nèi)力系的合力軸力軸力符號(hào)規(guī)定：拉為正符號(hào)規(guī)定：拉為正(+)，壓為負(fù)，壓為負(fù)(-), 0 xF求得內(nèi)力求得內(nèi)力FF N0NFF外力不能沿作用線(xiàn)移動(dòng)。因?yàn)椴牧狭W(xué)中研究的對(duì)外力不能沿作用線(xiàn)移動(dòng)。因?yàn)椴牧狭W(xué)中研究的對(duì) 象是變形體，不是剛體，象是變形體，不是剛體，力的可傳性不成立力的可傳性不成立。對(duì)變。對(duì)變形體而言，力是定位矢量。形體而言

3、，力是定位矢量。 1、軸力軸力注意注意2、軸力圖軸力圖用用 平行于桿軸線(xiàn)的坐標(biāo)平行于桿軸線(xiàn)的坐標(biāo) 表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線(xiàn)的坐標(biāo)表表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線(xiàn)的坐標(biāo)表示橫截面上的軸力數(shù)值，從而繪出表示軸力與橫截面位置關(guān)系的圖線(xiàn)，示橫截面上的軸力數(shù)值，從而繪出表示軸力與橫截面位置關(guān)系的圖線(xiàn)，稱(chēng)為稱(chēng)為 軸力圖軸力圖 。將正的軸力畫(huà)在上側(cè)，負(fù)的畫(huà)在下側(cè)。將正的軸力畫(huà)在上側(cè)，負(fù)的畫(huà)在下側(cè)。解解: 1) AB段：段：3) CD段段 軸力圖軸力圖2) BC段：段：由平衡方程由平衡方程, 0 xF得得kN43NF043NF, 0 xF得得由平衡方程由平衡方程061NFkN61NF1NF2NF3N

4、FNF由平衡方程由平衡方程, 0 xF得得kN122NF01862NF150kN50kN4m3m軸力圖軸力圖2) BC段：段：解解: 1) AB段：段：, 0yF得得由平衡方程由平衡方程01NFFkN501NFF150kN50kN4m3m由平衡方程由平衡方程, 0yF得得kN15032NFF032NFF1、用截面法求軸力時(shí)，取留下的一部分作受力圖時(shí)，在切開(kāi)的截、用截面法求軸力時(shí)，取留下的一部分作受力圖時(shí)，在切開(kāi)的截面上建議面上建議假設(shè)正的軸力假設(shè)正的軸力，由平衡方程得出的，由平衡方程得出的FN值為正，說(shuō)明軸力值為正，說(shuō)明軸力為正（拉力）；為正（拉力）； FN值為負(fù)，說(shuō)明軸力為負(fù)（壓力）。值為負(fù)

5、，說(shuō)明軸力為負(fù)（壓力）。 或或。2、在畫(huà)軸力圖時(shí)，填充為下畫(huà)線(xiàn)或無(wú)填充，不要畫(huà)剖面線(xiàn)形式；、在畫(huà)軸力圖時(shí)，填充為下畫(huà)線(xiàn)或無(wú)填充，不要畫(huà)剖面線(xiàn)形式；并注上并注上 符號(hào)符號(hào)注意注意NF150kN50kN4m3m150kN50kN4m3m5-2 5-2 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念. .扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖一、一、扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念1受力特征受力特征：在桿件兩端垂直于桿軸線(xiàn)的平面：在桿件兩端垂直于桿軸線(xiàn)的平面 內(nèi)作用一對(duì)大小相等，方向相反內(nèi)作用一對(duì)大小相等，方向相反 的外力偶。的外力偶。 2變形特征變形特征：橫截面形狀大小未變，只是繞軸：橫截面形狀大小未變，只是繞軸 線(xiàn)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。線(xiàn)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。軸

6、軸：以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件稱(chēng)為軸：以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件稱(chēng)為軸 。計(jì)算簡(jiǎn)圖計(jì)算簡(jiǎn)圖從動(dòng)輪B軸主動(dòng)輪A軸主軸主軸eMeMeMeM二、二、外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算已知：已知：P傳遞的功率傳遞的功率,（kw） n轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速,（r/min） 求：外力偶矩求：外力偶矩Me ( Nm)301000nMPe由此求得外力偶矩：由此求得外力偶矩：eMP 30nm).(N7024nPMe若傳遞功率單位為馬力（若傳遞功率單位為馬力（PS)時(shí)時(shí), 由于由于1PS=735.5Nm/sMeMe解：解：m).(N9549301000nPnPMe三、三、扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖 1、扭矩扭矩, 0 xM由0mTmT得扭矩的

7、正負(fù)號(hào)規(guī)定：扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：按右手螺旋法按右手螺旋法則，則，T矢量背離截面為正，指向截面矢量背離截面為正，指向截面為負(fù)（或矢量與截面外法線(xiàn)方向一為負(fù)（或矢量與截面外法線(xiàn)方向一致為正，反之為負(fù)）致為正，反之為負(fù)）T稱(chēng)為截面稱(chēng)為截面n-n上的上的扭矩扭矩。用截面法求扭矩時(shí)，建議均假設(shè)各截面扭矩用截面法求扭矩時(shí)，建議均假設(shè)各截面扭矩T為正，如果為正，如果由平衡方程得到由平衡方程得到T為正，則說(shuō)明是正的扭矩，如果為負(fù)，為正，則說(shuō)明是正的扭矩，如果為負(fù)，則是負(fù)的扭矩。在畫(huà)軸的扭矩圖，則是負(fù)的扭矩。在畫(huà)軸的扭矩圖，正的扭矩畫(huà)在正的扭矩畫(huà)在x x軸上方，軸上方，負(fù)的扭矩畫(huà)在負(fù)的扭矩畫(huà)在x x軸下方。軸下方

8、。注意注意2、扭矩圖扭矩圖解：各輪上的外力偶矩：解：各輪上的外力偶矩：m).(N11469549nPMAAm).(N3509549nPMMBcBm).(N4469549nPMDD在在BCBC段內(nèi)，假想以截面段內(nèi)，假想以截面1-11-1將軸分成將軸分成兩部分，取左半部分為研究對(duì)象兩部分，取左半部分為研究對(duì)象0, 01BxMTM由例：已知：傳動(dòng)軸，例：已知：傳動(dòng)軸，n=300r/min，PA=36kW，PB=PC=11kW，PD=14kW。試畫(huà)出軸的扭矩圖。試畫(huà)出軸的扭矩圖。同理，同理，CA段：段：ADAD段：段：扭矩圖扭矩圖.446N m700N m350N mm.N3501BMTm.N7002

9、CBMMTm.N4463DMT5-3 彎曲的概念.剪力與彎矩受力特點(diǎn)受力特點(diǎn)：在包含桿軸的縱向平面內(nèi)作用一對(duì)大小相等、方向相反：在包含桿軸的縱向平面內(nèi)作用一對(duì)大小相等、方向相反 的力偶或在垂直于桿件軸線(xiàn)方向作用橫向力。的力偶或在垂直于桿件軸線(xiàn)方向作用橫向力。變形特點(diǎn)變形特點(diǎn)：桿件軸線(xiàn)由直線(xiàn)變?yōu)榍€(xiàn)。：桿件軸線(xiàn)由直線(xiàn)變?yōu)榍€(xiàn)。一、彎曲的概念一、彎曲的概念以以彎曲變形彎曲變形為主要變形的桿件。為主要變形的桿件。梁梁對(duì)稱(chēng)彎曲對(duì)稱(chēng)彎曲：工程中最常見(jiàn)的梁，其橫截面一般至少有一根對(duì)稱(chēng)軸，因而整個(gè)桿件有一個(gè)工程中最常見(jiàn)的梁，其橫截面一般至少有一根對(duì)稱(chēng)軸，因而整個(gè)桿件有一個(gè)包含軸線(xiàn)的包含軸線(xiàn)的縱向?qū)ΨQ(chēng)面縱向?qū)?/p>

10、稱(chēng)面。若所有外力都作用在該縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)時(shí)，梁彎曲變。若所有外力都作用在該縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)時(shí)，梁彎曲變形后的軸線(xiàn)將是位于該平面內(nèi)的一條曲線(xiàn)，這種彎曲形式稱(chēng)為形后的軸線(xiàn)將是位于該平面內(nèi)的一條曲線(xiàn)，這種彎曲形式稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)彎曲對(duì)稱(chēng)彎曲（或（或平面彎曲平面彎曲）。）。非對(duì)稱(chēng)彎曲非對(duì)稱(chēng)彎曲 ：梁不具有縱向?qū)ΨQ(chēng)面，或具有縱向?qū)ΨQ(chēng)面，但外力并不：梁不具有縱向?qū)ΨQ(chēng)面，或具有縱向?qū)ΨQ(chēng)面，但外力并不 作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)這種彎作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)這種彎 曲稱(chēng)為曲稱(chēng)為非對(duì)稱(chēng)彎曲非對(duì)稱(chēng)彎曲。縱向?qū)ΨQ(chēng)面縱向?qū)ΨQ(chēng)面對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸軸線(xiàn)軸線(xiàn)變形后的軸線(xiàn)變形后的軸線(xiàn)二、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖二、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖 簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁：一端為固定鉸支座，而另一端為

11、一端為固定鉸支座，而另一端為可動(dòng)鉸支座，如右圖可動(dòng)鉸支座，如右圖a a所示。所示。 懸臂梁懸臂梁：一端為固定端，另一端為自由端一端為固定端，另一端為自由端的梁，如右圖的梁，如右圖b b所示。所示。 外伸梁外伸梁：一端伸出支座之外的梁，如右圖一端伸出支座之外的梁，如右圖c c所示。所示。 靜定梁靜定梁：梁的所有支座反力均可由靜力平衡方程確定。梁的所有支座反力均可由靜力平衡方程確定。 跨跨：梁在兩支座之間的部分稱(chēng)為跨，其長(zhǎng)度稱(chēng)為梁的跨長(zhǎng)。梁在兩支座之間的部分稱(chēng)為跨，其長(zhǎng)度稱(chēng)為梁的跨長(zhǎng)。 三、彎曲內(nèi)力三、彎曲內(nèi)力 1 1、由梁的靜力平衡方程求兩端的支座反力、由梁的靜力平衡方程求兩端的支座反力FA、F

12、B2 2、用假想截面、用假想截面m-m將梁分為兩部分，并以左段為將梁分為兩部分，并以左段為研究對(duì)象研究對(duì)象 ；，得由平衡方程 0yF1SFFFA0S1FFFAFS稱(chēng)為橫截面稱(chēng)為橫截面m-m上的上的剪力剪力，它是與橫截面相切的，它是與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力。分布內(nèi)力系的合力。axFxFMA10, 01xFaxFMMAO由M稱(chēng)為橫截面稱(chēng)為橫截面m-m上的上的彎矩彎矩。它是與橫截面垂直。它是與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩。的分布內(nèi)力系的合力偶矩。 FSMFSMy剪力與彎矩的符號(hào)規(guī)定：剪力與彎矩的符號(hào)規(guī)定：彎矩彎矩：下凸為正下凸為正， 反之為負(fù)反之為負(fù)剪力剪力： “左上右下左上右下”為正，為

13、正， 反之為負(fù)反之為負(fù)剪力對(duì)所取梁段內(nèi)任意一點(diǎn)的剪力對(duì)所取梁段內(nèi)任意一點(diǎn)的矩為順時(shí)針，為正剪力，反之矩為順時(shí)針，為正剪力，反之為負(fù)（順為正，逆為負(fù)）。為負(fù)（順為正，逆為負(fù)）。固定截面，若外力或外力偶使梁產(chǎn)固定截面，若外力或外力偶使梁產(chǎn)生上挑的變形，則該力或力偶在截生上挑的變形，則該力或力偶在截面上產(chǎn)生正的彎矩，反之為負(fù)的彎面上產(chǎn)生正的彎矩，反之為負(fù)的彎矩（上挑為正，下壓為負(fù)）。矩（上挑為正，下壓為負(fù)）。解：解：1.1.求支座反力求支座反力FSDMD03, 0)(0, 0lFlFFMFFFFBABAy得得FFFFBA31,322.2.求截面求截面1 11 1上的內(nèi)力上的內(nèi)力FFFAD32SFaa

14、FMAD32同理同理, ,對(duì)于對(duì)于C C左左截面：截面：FllFMFFFCAC92332,32S左左MC右右FSC右右對(duì)于對(duì)于C C右右截面：截面：3SFFFFAC右FllFMAC923右平衡方程求解內(nèi)力的正負(fù)號(hào)表示假平衡方程求解內(nèi)力的正負(fù)號(hào)表示假設(shè)方向與實(shí)際方向關(guān)系。設(shè)方向與實(shí)際方向關(guān)系。在集中力作用處，左右截面上剪在集中力作用處，左右截面上剪力發(fā)生突變，突變值為該集中力力發(fā)生突變，突變值為該集中力的大?。欢鴱澗乇３植蛔?。的大?。欢鴱澗乇３植蛔?。右左右左CCCCMMFF,SS例例1 1 如圖所示的簡(jiǎn)支梁，試求如圖所示的簡(jiǎn)支梁，試求1 11 1及及C左右截面上的內(nèi)力。左右截面上的內(nèi)力。 求截面

15、求截面F FS S和和M M時(shí)，均按規(guī)定正向假設(shè)，時(shí)，均按規(guī)定正向假設(shè)，這樣求出的剪力為正號(hào)即表明該截面上的剪力為正這樣求出的剪力為正號(hào)即表明該截面上的剪力為正的剪力，如為負(fù)號(hào)則表明為負(fù)的剪力。對(duì)于彎矩正的剪力，如為負(fù)號(hào)則表明為負(fù)的剪力。對(duì)于彎矩正負(fù)號(hào)也作同樣判斷。負(fù)號(hào)也作同樣判斷。建議建議解：解：1.1.求支反力求支反力0, 0AxxFF2, 0qlFFFAyy83, 0)(2qlFlMFmAA2.2.求截面求截面C的內(nèi)力的內(nèi)力2qlFFFFAySCSC右左8222qlFllFMMMAyACC右左注：對(duì)懸臂梁，可取截面到自由端部分為研究對(duì)象，可省略求支反力注：對(duì)懸臂梁，可取截面到自由端部分為

16、研究對(duì)象，可省略求支反力3.3.求距求距A為為x處截面的內(nèi)力處截面的內(nèi)力)()2(xlqFlxqFFAySx2)2(21lxqxFMMAxAx2)(2122qlFlxqlFqxAyFAxFAyFAMAyFAxFAMAyFMCFSCAxFAMAyFMxFSx例例2 2 如圖所示的懸臂梁，求截面如圖所示的懸臂梁，求截面C及距及距A端為端為x處截面的內(nèi)力。處截面的內(nèi)力。5-4 剪力圖和彎矩圖一、剪力、彎矩方程一、剪力、彎矩方程若以橫坐標(biāo)若以橫坐標(biāo)x表示橫截面在梁軸線(xiàn)上的位置，則各橫截面上的剪力和彎矩表示橫截面在梁軸線(xiàn)上的位置，則各橫截面上的剪力和彎矩, ,可以可以表示為表示為x的函數(shù)，稱(chēng)為剪力和彎矩

17、方程，即的函數(shù)，稱(chēng)為剪力和彎矩方程，即 )(SSxMMxFF三、根據(jù)剪力方程和彎矩方程畫(huà)出剪力圖和彎矩圖的步驟三、根據(jù)剪力方程和彎矩方程畫(huà)出剪力圖和彎矩圖的步驟 第一，求支座反力。第一，求支座反力。 第二，根據(jù)截荷情況分段列出第二，根據(jù)截荷情況分段列出FS(x）和和M(x)方程。方程。 在集中力（包括支座反力）在集中力（包括支座反力） 、集中力偶和分布載荷的起止點(diǎn)處，剪力方程和彎、集中力偶和分布載荷的起止點(diǎn)處，剪力方程和彎矩方程可能發(fā)生變化，所以這些點(diǎn)均為剪力方程和彎矩方程的分段點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的截面稱(chēng)矩方程可能發(fā)生變化，所以這些點(diǎn)均為剪力方程和彎矩方程的分段點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的截面稱(chēng)為控制截面。為控制截面。

18、第三，求控制截面內(nèi)力，作第三，求控制截面內(nèi)力，作FS、M圖。一般每段的兩個(gè)端點(diǎn)截面為控制截面。在圖。一般每段的兩個(gè)端點(diǎn)截面為控制截面。在有均布載荷的段內(nèi)，有均布載荷的段內(nèi)，F(xiàn)S=0的截面處彎矩為極值，也作為控制截面求出其彎矩值。將控的截面處彎矩為極值，也作為控制截面求出其彎矩值。將控制截面的內(nèi)力值標(biāo)在坐標(biāo)的相應(yīng)位置處制截面的內(nèi)力值標(biāo)在坐標(biāo)的相應(yīng)位置處 。分段點(diǎn)之間的圖形可根據(jù)剪力方程和。分段點(diǎn)之間的圖形可根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪出。并注明彎矩方程繪出。并注明 的數(shù)值。的數(shù)值。 maxmaxMFS和二、剪力圖及彎矩圖二、剪力圖及彎矩圖 一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化，將剪

19、力和彎矩一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化，將剪力和彎矩沿梁軸線(xiàn)的變化情況用圖形表示出來(lái)，這種圖形分別稱(chēng)為沿梁軸線(xiàn)的變化情況用圖形表示出來(lái)，這種圖形分別稱(chēng)為剪力圖剪力圖和和彎矩圖彎矩圖例例3 3 試畫(huà)出如圖示簡(jiǎn)支梁試畫(huà)出如圖示簡(jiǎn)支梁AB的剪力圖和彎矩圖。的剪力圖和彎矩圖。解：解：1.1.求支反力，由求支反力，由0, 0AxmF得得lFaFlFbFBA,2.2.列剪力、彎矩方程列剪力、彎矩方程 在在AC段內(nèi)，段內(nèi)，axlFbFxFAS0,)(1axxlFbxFxMA0,)(1在在BC段內(nèi)段內(nèi)lxalFaFxFB,)(2S lxaxllFaxlFxMB,)(2集中力作用處剪力圖

20、有突變，變化值等于集集中力作用處剪力圖有突變，變化值等于集中力的大小中力的大小彎矩圖上無(wú)突變，但斜率發(fā)生突變，折角點(diǎn)彎矩圖上無(wú)突變，但斜率發(fā)生突變，折角點(diǎn)在某一段上若無(wú)載荷作用，剪力圖在某一段上若無(wú)載荷作用，剪力圖為一水平線(xiàn)，彎矩圖為一斜直線(xiàn)。為一水平線(xiàn)，彎矩圖為一斜直線(xiàn)。例例4 4 受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁，如下圖所示，作梁的剪力圖和彎矩圖。受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁，如下圖所示，作梁的剪力圖和彎矩圖。解：解：1.1.求支反力求支反力2qlFFByAy2.2.列剪力、彎矩方程列剪力、彎矩方程lxqxqlqxFxFAy0,2)(SlxqxxqlxqxxFxMAy0,222)(28, 2/2,02ma

21、xmaxqlMlxqlFlxS；or 0,82, 002lMqllMM 2,20SSqllFqlFFAyFByFAyFSMMSF3.3.求控制截面處的剪力和彎矩求控制截面處的剪力和彎矩4.4.作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖在梁段上作用分布載荷，剪力圖為一斜直線(xiàn)，彎矩圖為一拋物線(xiàn)。且彎矩在梁段上作用分布載荷，剪力圖為一斜直線(xiàn)，彎矩圖為一拋物線(xiàn)。且彎矩M最大值發(fā)生于最大值發(fā)生于F FS S=0=0處。處?？梢?jiàn)可見(jiàn)例例5 5 如圖示的簡(jiǎn)支梁，試作梁的剪力圖和彎矩圖。如圖示的簡(jiǎn)支梁，試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：解：1.1.求支反力，由求支反力，由0, 0BAmm2.2.求內(nèi)力求內(nèi)力在在ACAC段內(nèi)段

22、內(nèi)axlmFxFAy0,)(01SaxxlmxFxMAy0,)(01在在BCBC段內(nèi)段內(nèi)lmFFByAy0得得lxalmFxFBy,)(02S lxaxllmxlFxMBy,)(023.3.畫(huà)剪力圖和彎矩圖畫(huà)剪力圖和彎矩圖FAyFByFS1M1FAyFS2M2FBySFM在集中力偶作用處，彎矩圖上發(fā)生突變，在集中力偶作用處，彎矩圖上發(fā)生突變，突變值為突變值為: :,000mlamlbm而剪力圖無(wú)改變而剪力圖無(wú)改變注意注意x取值范圍等號(hào)的取法：取值范圍等號(hào)的取法：1.1.在集中力作用處在集中力作用處( (剪力圖中有突變剪力圖中有突變) )，剪力方程中，剪力方程中x的取值沒(méi)有等號(hào)；的取值沒(méi)有等號(hào)；

23、2.2.在集中力偶作用處在集中力偶作用處( (彎矩圖中有突變彎矩圖中有突變) )，彎矩方程中，彎矩方程中x的取值沒(méi)有等號(hào)；的取值沒(méi)有等號(hào)；3.3.對(duì)于某一截面，在無(wú)限接近的范圍內(nèi)，左右相等才有對(duì)于某一截面，在無(wú)限接近的范圍內(nèi)，左右相等才有“”, ,即即剪力圖和彎矩圖為連續(xù)時(shí)才有等號(hào)。剪力圖和彎矩圖為連續(xù)時(shí)才有等號(hào)。(0 xa),(axl)axlFbFxFAS0,)(1lxalFaFxFB,)(2SMaxxlmxFxMAy0,)(01 lxaxllmxlFxMBy,)(02v集中力作用處剪力圖有突變，變化值等于集中力的大小集中力作用處剪力圖有突變，變化值等于集中力的大小; ;彎矩圖上無(wú)突變，但斜

24、率發(fā)生突變，彎矩圖上為折角點(diǎn)。彎矩圖上無(wú)突變，但斜率發(fā)生突變，彎矩圖上為折角點(diǎn)。v在某一段上若無(wú)載荷作用，剪力圖為一水平線(xiàn)，彎矩圖為一斜直線(xiàn)。在某一段上若無(wú)載荷作用，剪力圖為一水平線(xiàn)，彎矩圖為一斜直線(xiàn)。v在某一段上作用分布載荷，剪力圖為一斜直線(xiàn)，彎矩圖為一拋物線(xiàn)。在某一段上作用分布載荷，剪力圖為一斜直線(xiàn)，彎矩圖為一拋物線(xiàn)。且彎矩且彎矩M最大值發(fā)生于最大值發(fā)生于FS=0處。處。v在集中力偶作用處，彎矩圖上發(fā)生突變，突變值為該集中力偶的大小在集中力偶作用處，彎矩圖上發(fā)生突變，突變值為該集中力偶的大小而剪力圖無(wú)改變。而剪力圖無(wú)改變?？偨Y(jié)總結(jié) 5-5 剪力、彎矩及載荷集度間的微分關(guān)系規(guī)定：分布載荷規(guī)定

25、：分布載荷q向上為正。向上為正。解：考慮解：考慮dx段的平衡段的平衡0d)()(d)()(, 0SSSxxqxFxFxFFy02dd)(d)()(d)(, 0)(SxxqxMxMxMxxFFMO第二式中最后一項(xiàng)為高階微量，可以略去，故得第二式中最后一項(xiàng)為高階微量，可以略去，故得上式再對(duì)上式再對(duì)x一次微分，得一次微分，得)()(xFdxxdMS)()(22xqdxxMd)()(dSxqdxxF 以上三式給出了以上三式給出了q(x)、FS(x)、M(x)間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系。它表明：它表明：1、剪力圖上某點(diǎn)處的斜率等于梁在該點(diǎn)處荷載集度、剪力圖上某點(diǎn)處的斜率等于梁在該點(diǎn)處荷載集度q(x)的大小

26、。的大小。2、彎矩圖上某點(diǎn)處的斜率等于梁在該點(diǎn)處剪力、彎矩圖上某點(diǎn)處的斜率等于梁在該點(diǎn)處剪力F(x)的大小。的大小。3 3、彎矩圖上某點(diǎn)處的斜率變化率等于梁在該點(diǎn)處的分布載荷集度。、彎矩圖上某點(diǎn)處的斜率變化率等于梁在該點(diǎn)處的分布載荷集度。)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM4 4、利用導(dǎo)數(shù)關(guān)系，經(jīng)過(guò)積分得、利用導(dǎo)數(shù)關(guān)系，經(jīng)過(guò)積分得 211S2SxxdxxqxFxF 21S12xxdxxFxMxM 以上兩式表明，在以上兩式表明，在x= =x2 2和和x= =x1 1兩截面上的剪力之差，等于兩截兩截面上的剪力之差，等于兩截面間載荷圖的面積；兩截面上的彎矩之差，

27、等于兩截面間剪力圖的面間載荷圖的面積；兩截面上的彎矩之差，等于兩截面間剪力圖的面積。面積。梁段上無(wú)荷載作用，即梁段上無(wú)荷載作用，即 q(x)0時(shí)，時(shí)，)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM剪力剪力FS(x)=C(常數(shù)），常數(shù)），剪力圖為剪力圖為一條水平直線(xiàn)；一條水平直線(xiàn)；xFS(x)oxoM(x)彎矩彎矩M( (x) )C C x D D, ,即彎矩為即彎矩為x的一次函數(shù)，的一次函數(shù)，彎矩圖為一斜直線(xiàn)，彎矩圖為一斜直線(xiàn)，當(dāng)當(dāng)FS 00時(shí)，彎矩圖時(shí)，彎矩圖(/)(/)；當(dāng)當(dāng)FS 00時(shí)，彎矩圖時(shí)，彎矩圖 ()() 。xFS(x)oq(x)、FS(x)、M(x)

28、間間圖三者間的關(guān)系圖三者間的關(guān)系xoM(x)剪力剪力FS( (x) )為為x的一次函數(shù)的一次函數(shù), , 剪力圖為斜直線(xiàn)，剪力圖為斜直線(xiàn)，而彎矩而彎矩M(x) 為為x的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線(xiàn)。的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線(xiàn)。 若若q( (x) ) = =常數(shù)，常數(shù)，)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM當(dāng)當(dāng)q 00,0,剪力圖為剪力圖為一向右上方傾斜的直線(xiàn)一向右上方傾斜的直線(xiàn)，M(x)圖為一向圖為一向下下凸的二次拋物線(xiàn)。凸的二次拋物線(xiàn)。xFS( (x) )oxFS( (x) )oxoM(x)xoM(x)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d2

29、2xqxxM若某截面的剪力若某截面的剪力 ，根據(jù)根據(jù) ，該截面的彎矩為極值。該截面的彎矩為極值。 0)(xFS0)(dxxdM在集中力在集中力F作用處，剪力圖有突變作用處，剪力圖有突變, ,突變值等于突變值等于集中力集中力F F的大小，彎矩圖為折角點(diǎn)；在集中力的大小，彎矩圖為折角點(diǎn)；在集中力偶偶M作用處，剪力圖不變，彎矩圖有突變，突作用處，剪力圖不變，彎矩圖有突變，突變值等于力偶矩變值等于力偶矩M。FSmax出現(xiàn)的地方：出現(xiàn)的地方：集中力集中力F作用處；作用處；支座處；支座處；Mmax出現(xiàn)的地方：出現(xiàn)的地方：剪力剪力FS=0的截面；的截面；集中力集中力F作用處；作用處；集中力偶集中力偶M作用處

30、。作用處。利用以上各點(diǎn)，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用以上各點(diǎn)，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，利用微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步驟如下：其步驟如下：1 1求支座反力；求支座反力；2 2分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；3 3求控制截面內(nèi)力，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖；求控制截面內(nèi)力，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖； 4 4確定確定 和和 。maxSFmaxM一段梁上一段梁上的外力情的外力情況況剪力圖的特征剪力圖的特征彎矩圖的特征

31、彎矩圖的特征最大彎矩所在最大彎矩所在截面的可能位截面的可能位置置表表 5-1 在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征q0向下的均布向下的均布荷載荷載無(wú)荷載無(wú)荷載集中力集中力FC集中力偶集中力偶mC上凸的二次上凸的二次拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)在在FS=0的截面的截面一般斜直線(xiàn)一般斜直線(xiàn)或或在在C處有突變處有突變F在在C處有尖角處有尖角或或在剪力突變?cè)诩袅ν蛔兊慕孛娴慕孛嬖谠贑處無(wú)變化處無(wú)變化C在在C處有突變處有突變m在緊靠在緊靠C的某的某一側(cè)截面一側(cè)截面向右下傾斜向右下傾斜的直線(xiàn)的直線(xiàn) 水平直線(xiàn)水平直線(xiàn) 例例6 6 如圖示一外伸梁，試作出梁的剪力圖和彎矩圖。如圖示一外伸梁，試作出梁

32、的剪力圖和彎矩圖。解：解：1.1.求支反力求支反力kN25kN,35BAFF2.2.畫(huà)剪力圖畫(huà)剪力圖在在AC段，段，q=0，該段剪力圖，該段剪力圖(-)(-)在在AB段，段，q=C0，該段剪力圖，該段剪力圖()()在在A點(diǎn)，因有反力點(diǎn)，因有反力FA，剪力圖有突，剪力圖有突 變，突變值為變，突變值為= FA 。3.3.畫(huà)彎矩圖畫(huà)彎矩圖在在CA段，段，q=0，F(xiàn)S0，彎矩圖，彎矩圖()()；在在AB段，段， q=C0, ,彎矩圖彎矩圖()()；在；在FS =0的截面處，的截面處，M圖取極值；圖取極值；在在A點(diǎn)，因有力偶點(diǎn)，因有力偶m，彎矩圖有突，彎矩圖有突 變，突變值為變，突變值為= m 。圖SF

33、BFAFm.kN25.310m5 . 2maxSMFx處，例例7 7如圖示一外伸梁，試作出梁的剪力圖和彎矩圖。如圖示一外伸梁，試作出梁的剪力圖和彎矩圖。4243442434例例9 9 已知簡(jiǎn)支梁的剪力圖如圖所示。作梁的彎矩圖和荷載圖。已知梁上沒(méi)有集已知簡(jiǎn)支梁的剪力圖如圖所示。作梁的彎矩圖和荷載圖。已知梁上沒(méi)有集中力偶作用。中力偶作用。 18kN2kN14kN3m3m6mABCDP=20kNq=2kN/m圖：SF54kN.m48kN.m圖：M例例8 8 試作下列具有中間鉸的梁的剪力圖和彎矩圖。試作下列具有中間鉸的梁的剪力圖和彎矩圖。 2523122243982523122243982523122

34、24398。2,qaMqaFe已知已知 5-7 平面剛架與平面曲桿的彎矩內(nèi)力平面剛架與平面曲桿的彎矩內(nèi)力靜定剛架靜定剛架: :凡未知反力和內(nèi)力能由凡未知反力和內(nèi)力能由靜力學(xué)平衡條件確定的剛架。靜力學(xué)平衡條件確定的剛架。剛架剛架：桿系結(jié)構(gòu)若在節(jié)點(diǎn)處為剛性連接，則這種結(jié)構(gòu)稱(chēng)為剛架。：桿系結(jié)構(gòu)若在節(jié)點(diǎn)處為剛性連接，則這種結(jié)構(gòu)稱(chēng)為剛架。 平面剛架的內(nèi)力平面剛架的內(nèi)力:剪力、彎矩、軸力剪力、彎矩、軸力平面剛架平面剛架：由在同一平面內(nèi)、不同取向的桿件，通過(guò)桿端相互剛性連接而組：由在同一平面內(nèi)、不同取向的桿件，通過(guò)桿端相互剛性連接而組 成的結(jié)構(gòu)。成的結(jié)構(gòu)。各桿連接處稱(chēng)為各桿連接處稱(chēng)為剛節(jié)點(diǎn)剛節(jié)點(diǎn)。剛架變形時(shí)，剛節(jié)點(diǎn)處各桿軸線(xiàn)之間的夾角保持不變。剛架變形時(shí)，剛節(jié)點(diǎn)處各桿軸線(xiàn)之間的夾角保持不變。彎矩圖彎矩圖：畫(huà)在各桿的受壓一側(cè)，不注：畫(huà)在各桿的受壓一側(cè)，不注明正、負(fù)號(hào)。明正、負(fù)號(hào)。剪力圖及軸力圖剪