第14章分析力學(xué)基礎(chǔ)

1、1理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)14-2 虛位移原理虛位移原理第第 14 章章 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)14-1 自由度自由度約束與廣義坐標約束與廣義坐標14-3 動力學(xué)普遍方程動力學(xué)普遍方程14-4 第一類拉格朗日方程第一類拉格朗日方程14-5 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程14-6 拉格朗日方程初積分拉格朗日方程初積分2理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 牛頓力學(xué)牛頓力學(xué)研究的主要內(nèi)容在于確定物體運動與研究的主要內(nèi)容在于確定物體運動與相互作用之間的關(guān)系，用矢量形式建立了質(zhì)點系相互作用之間的關(guān)系，用矢量形式建立了質(zhì)點系動動力學(xué)普遍定理

2、力學(xué)普遍定理（動量定理、動量矩定理和動能定動量定理、動量矩定理和動能定理理），這種處理動力學(xué)問題的方法和體系稱為），這種處理動力學(xué)問題的方法和體系稱為“矢矢量力學(xué)量力學(xué)”。它形式簡單，概念清晰，但由于矢量力。它形式簡單，概念清晰，但由于矢量力學(xué)要求事先對系統(tǒng)中每個質(zhì)點的受力情況進行分析，學(xué)要求事先對系統(tǒng)中每個質(zhì)點的受力情況進行分析，所以在研究求解具有復(fù)雜約束系統(tǒng)和變形體的動力所以在研究求解具有復(fù)雜約束系統(tǒng)和變形體的動力學(xué)問題方面會遇到很大困難。學(xué)問題方面會遇到很大困難。3理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 本章針對矢量力學(xué)所遇到的困難，首先介紹普本章針對矢量力學(xué)所遇到的

3、困難，首先介紹普遍適用于研究任意質(zhì)點系平衡問題的一個原理，它遍適用于研究任意質(zhì)點系平衡問題的一個原理，它應(yīng)用功的概念應(yīng)用功的概念分析系統(tǒng)的分析系統(tǒng)的平衡問題平衡問題。從位移和功的。從位移和功的概念出發(fā)，得出任意質(zhì)點系的平衡條件。該原理叫概念出發(fā)，得出任意質(zhì)點系的平衡條件。該原理叫做做虛位移原理虛位移原理。 它是研究它是研究平衡問題平衡問題的最一般的原理，是的最一般的原理，是解決靜解決靜力學(xué)平衡問題力學(xué)平衡問題的另一途徑。的另一途徑。4理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 本章采用分析數(shù)學(xué)的方法來求解動力學(xué)問題，本章采用分析數(shù)學(xué)的方法來求解動力學(xué)問題，它利用它利用能量和功能

4、量和功來描述物體運動與相互作用之間的來描述物體運動與相互作用之間的關(guān)系，在關(guān)系，在達朗伯原理和虛位移原理達朗伯原理和虛位移原理的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出動力學(xué)普遍方程和第二類拉格朗日方程動力學(xué)普遍方程和第二類拉格朗日方程（簡稱（簡稱拉格拉格朗日方程朗日方程）。成為研究動力學(xué)問題的有力手段，在）。成為研究動力學(xué)問題的有力手段，在解決非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題時，顯得十分簡捷、解決非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題時，顯得十分簡捷、規(guī)范。規(guī)范。5理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)14-1自由度自由度約束與廣義坐標約束與廣義坐標1. 自由度自由度非自由質(zhì)點非自由質(zhì)點：質(zhì)點在空間的運動受

5、到某種限制，它：質(zhì)點在空間的運動受到某種限制，它的位置和（或）速度必須滿足某種限制條件。的位置和（或）速度必須滿足某種限制條件。非自由質(zhì)點系非自由質(zhì)點系：由非自由質(zhì)點組成的系統(tǒng)。：由非自由質(zhì)點組成的系統(tǒng)。 一個自由質(zhì)點在空間的位置可用直角坐標（一個自由質(zhì)點在空間的位置可用直角坐標（x,y,z)表示，這表示，這3個坐標獨立可變，稱為個坐標獨立可變，稱為3個自由度個自由度。若被限。若被限制在平面內(nèi)運動，則它的位置可由制在平面內(nèi)運動，則它的位置可由2個坐標確定，因而個坐標確定，因而具有具有2個自由度個自由度。自由質(zhì)點自由質(zhì)點：質(zhì)點可占據(jù)空間任何位置。：質(zhì)點可占據(jù)空間任何位置。6理論力學(xué)電子教案理論力

6、學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 4個坐標中只要個坐標中只要給出給出1個，另個，另3個就個就確定了，此質(zhì)點系確定了，此質(zhì)點系具有具有1個自由度個自由度例如：例如：曲柄連桿機構(gòu)曲柄連桿機構(gòu)222ryxAA 0 , )()(222 BABABylyyxx2約束及其分類約束及其分類 為研究方便，對靜力學(xué)中約束概念重新定義，為研究方便，對靜力學(xué)中約束概念重新定義，即限制質(zhì)點或質(zhì)點系運動的各種條件稱為即限制質(zhì)點或質(zhì)點系運動的各種條件稱為約束約束。表。表示這些限制條件的數(shù)學(xué)方程稱為示這些限制條件的數(shù)學(xué)方程稱為約束方程約束方程。下面從。下面從不同角度對約束分類。不同角度對約束分類。7理論力學(xué)電子教案理論

7、力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)平面單擺平面單擺222lyx 例如：例如： 2個坐標中只要個坐標中只要給出給出1個個, 另另1個就個就確定了，此質(zhì)點系確定了，此質(zhì)點系具有具有1個自由度個自由度 平面運動的剛體可由其平面運動的剛體可由其上任意一線段上任意一線段OM的位置的位置確定，因確定，因OM兩點的距離兩點的距離為已知，它具有為已知，它具有3個自由度個自由度。8理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)(1) 幾何約束和運動約束幾何約束和運動約束 當約束對質(zhì)點或質(zhì)點系的運動情況當約束對質(zhì)點或質(zhì)點系的運動情況進行限制時，這種約束條件稱為進行限制時，這種約束條件稱為運動運動約

8、束約束。如圖，車輪作純滾動。如圖，車輪作純滾動。 又如，質(zhì)點又如，質(zhì)點M在固定曲面上運動，在固定曲面上運動，其曲面方程就是該質(zhì)點的約束方程，其曲面方程就是該質(zhì)點的約束方程，即即o),( zyxf 限制質(zhì)點或質(zhì)點系在空間的幾何位置的條件稱為限制質(zhì)點或質(zhì)點系在空間的幾何位置的條件稱為幾何約束幾何約束。如前述的平面單擺和曲柄連桿機構(gòu)中的。如前述的平面單擺和曲柄連桿機構(gòu)中的限制條件都是限制條件都是幾何約束幾何約束。9理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)幾何約束幾何約束ryA 運動約束運動約束00 rxrvAA或或(2) 定常約束和非定常約束定常約束和非定常約束 如圖，初始時擺長如

9、圖，初始時擺長 l0 , 勻速勻速v拉拉動繩子。則動繩子。則x2+y2=(l0-vt)2該方程中該方程中顯含時間顯含時間t。 約束方程不顯含約束方程不顯含 t 的約束為的約束為定常約束定常約束。前面的例。前面的例子中約束條件都是定常約束。子中約束條件都是定常約束。 當約束條件與時間有關(guān)，并隨時間變化時，即當約束條件與時間有關(guān)，并隨時間變化時，即約束方程顯含約束方程顯含 t 時，這類約束稱為時，這類約束稱為非定常約束非定常約束。10理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)(3) 其他約束其他約束 若約束方程中含有坐標對時間的導(dǎo)數(shù)，且方程若約束方程中含有坐標對時間的導(dǎo)數(shù)，且方程不

10、可能積分為有限形式，即約束方程中含有的坐標不可能積分為有限形式，即約束方程中含有的坐標導(dǎo)數(shù)項不是某一函數(shù)全微分，這類約束稱為導(dǎo)數(shù)項不是某一函數(shù)全微分，這類約束稱為非完整非完整約束約束。反之，若約束方程中不包含坐標對時間的導(dǎo)。反之，若約束方程中不包含坐標對時間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中的微分項可以積分為有限形式，數(shù)，或者約束方程中的微分項可以積分為有限形式，這類約束稱為這類約束稱為完整約束完整約束。例如上述做純滾動的車輪。例如上述做純滾動的車輪的約束就是完整約束。的約束就是完整約束。 完整約束的一般形式為完整約束的一般形式為), 2 , 1(0);,(111sjtzyxzyxfnnnj 11理論力學(xué)

11、電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。非完整約束一定是運動約束，但運動約幾何約束。非完整約束一定是運動約束，但運動約束未必是非完整約束。束未必是非完整約束。 如右圖，剛性桿限制了如右圖，剛性桿限制了質(zhì)點質(zhì)點M拉伸和壓縮方向的位移，拉伸和壓縮方向的位移，這類約束稱為這類約束稱為雙面約束雙面約束（或（或固執(zhí)約束）。若剛性桿改為固執(zhí)約束）。若剛性桿改為繩，則只限制單一方向運繩，則只限制單一方向運動，該類約束稱為動，該類約束稱為單面約束單面約束（或非固執(zhí)約束）。顯（或非固執(zhí)約束）。顯然雙面約束方程為

12、等式，單面約束方程為不等式。然雙面約束方程為等式，單面約束方程為不等式。剛桿x2+y2=l2繩x2+y2 l212理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)本章只討論本章只討論定常雙面幾何約束定常雙面幾何約束：), 2 , 1(0),(111sjzyxzyxfnnnj 式中式中n為質(zhì)點系的質(zhì)點數(shù)，為質(zhì)點系的質(zhì)點數(shù)，s 為完整約束的方程數(shù)。為完整約束的方程數(shù)。 一個自由質(zhì)點一個自由質(zhì)點在空間的位置：（在空間的位置：（x, y, z ) 一個自由質(zhì)點系在空間的位置一個自由質(zhì)點系在空間的位置:(xi ,yi ,zi )(i=1,2n)，對一個非自由質(zhì)點系，受對一個非自由質(zhì)點系，受s個

13、完整約束個完整約束，有有(3n-s )個獨立個獨立坐標。坐標。確定一個受完整約束的質(zhì)點系的位置所需的獨立確定一個受完整約束的質(zhì)點系的位置所需的獨立坐標的數(shù)目坐標的數(shù)目，稱為該質(zhì)點系的，稱為該質(zhì)點系的自由度的數(shù)目自由度的數(shù)目，簡稱為，簡稱為自自由度由度。3廣義坐標廣義坐標13理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 例如：曲柄連桿機構(gòu)中，可取曲柄例如：曲柄連桿機構(gòu)中，可取曲柄OA的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 為為廣義坐標廣義坐標，則：，則：0 , sincossin , cos222 BBAAyrlrxryrx 廣義坐標選定廣義坐標選定后，質(zhì)點系中每一后，質(zhì)點系中每一質(zhì)點的直角坐標都質(zhì)點的直角

14、坐標都可表示為廣義坐標可表示為廣義坐標的函數(shù)。的函數(shù)。 用來確定質(zhì)點系位置的獨立參變量用來確定質(zhì)點系位置的獨立參變量，稱為，稱為廣義廣義坐標坐標。廣義坐標的選擇不是唯一的。廣義坐標可取。廣義坐標的選擇不是唯一的。廣義坐標可取線位移（線位移（x, y, z, s 等）也可取角位移（如等）也可取角位移（如 , , 等）。等）。14理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 在完整約束條件下，確定質(zhì)點系位在完整約束條件下，確定質(zhì)點系位置的獨立參變量的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由置的獨立參變量的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)度數(shù)。 例如：一質(zhì)點例如：一質(zhì)點M限制在球面的限制在球面的上半部運動，則上半部運

15、動，則)214( )()()114(0)()()(2222222 byaxRczRczbyax故該質(zhì)點在空間的位置由故該質(zhì)點在空間的位置由x，y就可確定，其自由度就可確定，其自由度數(shù)為數(shù)為2。式中。式中R為球的半徑，球心坐標為（為球的半徑，球心坐標為（a,b,c)。15理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 如上面的質(zhì)點如上面的質(zhì)點M的位置由的位置由x ，y確定，則確定，則x ，y就就是其一組廣義坐標，此外，我們可以選取其它的一是其一組廣義坐標，此外，我們可以選取其它的一組獨立參變量組獨立參變量(x x,h h)來表達其位置：來表達其位置：222)2()2(,2,2baRc

16、zyx h hx xh hx xh hx xh hx x廣義坐標的選擇并不是唯一的。廣義坐標的選擇并不是唯一的。16理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 設(shè)設(shè)q1， q2， qN(N=3n-s)為系統(tǒng)的一組為系統(tǒng)的一組廣義廣義坐標坐標，我們可以將各質(zhì)點的坐標表示為，我們可以將各質(zhì)點的坐標表示為), 3 , 2 , 1(0),(21nitqqqrrNii (14-4)考慮考慮 n 個質(zhì)點個質(zhì)點組成的系統(tǒng)受到組成的系統(tǒng)受到 s 個完整雙面約束個完整雙面約束), 3 , 2 , 1(0),(21sktrrrfnk (14-3)17理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分

17、析力學(xué)基礎(chǔ) 某瞬時，質(zhì)點系中質(zhì)點為某瞬時，質(zhì)點系中質(zhì)點為約束允許的任意的無約束允許的任意的無限小位移，稱為質(zhì)點系（在該瞬時）的虛位移。限小位移，稱為質(zhì)點系（在該瞬時）的虛位移。 虛位移可以是虛位移可以是線位移線位移，也可以是，也可以是角位移角位移。通常。通常用變分符號用變分符號d d 表示虛位移。表示虛位移。1虛位移虛位移 系統(tǒng)中質(zhì)點在平衡時系統(tǒng)中質(zhì)點在平衡時本來是不動的，但我們本來是不動的，但我們假想在約束允許條件下，假想在約束允許條件下，給某質(zhì)點一個任意的、給某質(zhì)點一個任意的、極其微小的位移。極其微小的位移。14-2 虛位移原理虛位移原理18理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分

18、析力學(xué)基礎(chǔ) 實位移是在一定條件下真正實現(xiàn)的位移，它除了實位移是在一定條件下真正實現(xiàn)的位移，它除了與約束條件有關(guān)外，還與時間、主動力以及運動的與約束條件有關(guān)外，還與時間、主動力以及運動的初始條件有關(guān)；而虛位移僅與約束條件有關(guān)，在初始條件有關(guān)；而虛位移僅與約束條件有關(guān)，在定定常約束下，實位移只是所有虛位移中的一個，而虛常約束下，實位移只是所有虛位移中的一個，而虛位移可以有多個，甚至無窮多個位移可以有多個，甚至無窮多個。 而對于而對于非定常約束非定常約束，如圖所，如圖所示，由于實位移與時間有關(guān)，而示，由于實位移與時間有關(guān)，而虛位移是將時間固定后，約束允虛位移是將時間固定后，約束允許的位移，此時許的位

19、移，此時實位移不再是虛實位移不再是虛位移之一位移之一。19理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 設(shè)設(shè)q1， q2， qN(N=3n-s)為系統(tǒng)的一組廣義為系統(tǒng)的一組廣義坐標，我們可以將各質(zhì)點的坐標表示為坐標，我們可以將各質(zhì)點的坐標表示為), 3 , 2 , 1(0),(21nitqqqrrNii (14-4)考慮考慮n個質(zhì)點組成的系統(tǒng)受到個質(zhì)點組成的系統(tǒng)受到s個完整雙面約束個完整雙面約束), 3 , 2 , 1(0),(21sktrrrfnk (14-3)由虛位移的定義，對上式進行變分運算，得到由虛位移的定義，對上式進行變分運算，得到), 3 , 2 , 1(1niqqr

20、rkNkkii (14-5)其中其中d dqk(k=1,2,3,N)為廣義坐標為廣義坐標qk的變分，稱為的變分，稱為廣義虛位移廣義虛位移。20理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 非自由質(zhì)點系的各質(zhì)點，其運動互相制約，因非自由質(zhì)點系的各質(zhì)點，其運動互相制約，因此各質(zhì)點的虛位移間也應(yīng)存在一定的聯(lián)系此各質(zhì)點的虛位移間也應(yīng)存在一定的聯(lián)系, 確定這確定這些聯(lián)系通常有兩種方法：些聯(lián)系通常有兩種方法：(一一) 幾何法幾何法 由運動學(xué)知，質(zhì)點的位移與速度成正比，由運動學(xué)知，質(zhì)點的位移與速度成正比，可以用分析速度的方法分析各點虛位移之間的關(guān)系。可以用分析速度的方法分析各點虛位移之間的關(guān)系

21、。tvrdd 21理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)kkiiiikkiiiikkiiiiqqzqqzqqzzqqyqqyqqyyqqxqqxqqxx221122112211 ), 2 , 1(ni (二二) 解析法解析法 質(zhì)點系中各質(zhì)點的坐標可表示為廣義質(zhì)點系中各質(zhì)點的坐標可表示為廣義坐標的函數(shù)坐標的函數(shù)（ q1 ， q2 ， qk），），廣義坐標分廣義坐標分別有變分別有變分 d dq1 ，d dq2 ， d dqk ，各質(zhì)點的虛位移，各質(zhì)點的虛位移d dri在直角坐標上的投影可以表示為在直角坐標上的投影可以表示為22理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力

22、學(xué)基礎(chǔ) 虛功有正功和負功，它盡管和實位移中的元功采虛功有正功和負功，它盡管和實位移中的元功采用了同一符號用了同一符號d dW，但它們之間有本質(zhì)區(qū)別但它們之間有本質(zhì)區(qū)別。zFyFxFWrFWzyx 或或 力在質(zhì)點發(fā)生的虛位移上所作的功稱為虛功力在質(zhì)點發(fā)生的虛位移上所作的功稱為虛功，記為記為d dW 。 2虛功虛功 虛功虛功是假是假想想的，不是真實發(fā)生的。在靜止質(zhì)點的，不是真實發(fā)生的。在靜止質(zhì)點系或機構(gòu)中，力沒有做任何功，但力可以有虛功。系或機構(gòu)中，力沒有做任何功，但力可以有虛功。23理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 如果在質(zhì)點系的任何虛位移上，所有約束力如果在質(zhì)點系的任

23、何虛位移上，所有約束力所做虛功的和等于零所做虛功的和等于零，稱這種約束為，稱這種約束為理想約束理想約束。質(zhì)點系受有理想約束的條件：質(zhì)點系受有理想約束的條件：0NNN iiirFWW3理想約束理想約束 如光滑固定面約束、光滑鉸鏈、無重剛桿、不如光滑固定面約束、光滑鉸鏈、無重剛桿、不可伸長的柔索、固定端等約束均為可伸長的柔索、固定端等約束均為理想約束理想約束。24理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)4）無重剛桿。）無重剛桿。5）不可伸長的柔索。）不可伸長的柔索。0N iW3）剛體的純滾動）剛體的純滾動1) 光滑固定面約束光滑固定面約束 0N rFW 2)活動鉸支座、活動鉸支座

24、、固定鉸支座和向心軸承固定鉸支座和向心軸承rrr 0s rFW0N iW25理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 分析圖示機構(gòu)在圖示位置分析圖示機構(gòu)在圖示位置時，點時，點C、A與與B的虛位移。的虛位移。 (已知已知 OC=BC= a， OA=l ) 解：此為一個自由度系統(tǒng)，解：此為一個自由度系統(tǒng)，取桿取桿OA與軸與軸x 夾角夾角 為廣義坐標。為廣義坐標。1. 幾何法幾何法 sin21sin2 aaPBPCrrlarrBCAC例題例題14-126理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)dd lrarAC , 將將C、A、B點的坐標表示成廣義坐標點的坐標表示

25、成廣義坐標 的函數(shù)，得的函數(shù)，得0 , cos2sin , cossin , cos BBAACCyaxlylxayax 2. 解析法解析法 sin21sin2 aaPBPCrrlarrBCAC例題例題14-127理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)對廣義坐標對廣義坐標 求變分，求變分，得各點虛位移在相應(yīng)坐得各點虛位移在相應(yīng)坐標軸上的投影：標軸上的投影：0 ,sin2cos ,sincos ,sin BBAACCyaxlylxayax d d 0 , cos2sin , cossin , cos BBAACCyaxlylxayax 例題例題14-128理論力學(xué)電子教案理論

26、力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)例如：雙錘擺。設(shè)只在鉛直平面內(nèi)擺動。例如：雙錘擺。設(shè)只在鉛直平面內(nèi)擺動。2212212221212211)()( ),( , ),(byyxxayxyxyx 兩個自由度取廣義坐標兩個自由度取廣義坐標 ， coscos , sinsincos , sin2211baybaxayax 29理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)4. 虛位移原理虛位移原理 如圖，設(shè)一質(zhì)點系如圖，設(shè)一質(zhì)點系靜止靜止，任取，任取一質(zhì)點，則該質(zhì)點也處于一質(zhì)點，則該質(zhì)點也處于靜止靜止狀態(tài)，狀態(tài)，有有0N iiFF 若給質(zhì)點系某虛位移，則作用若給質(zhì)點系某虛位移，則作用于

27、該質(zhì)點上力的于該質(zhì)點上力的虛功之和虛功之和為為0N iiiirFrF 對質(zhì)點系所有質(zhì)點，都可以得到上面同樣的等對質(zhì)點系所有質(zhì)點，都可以得到上面同樣的等式，把這些等式相加，得式，把這些等式相加，得0N iiiirFrF30理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 如果質(zhì)點系具有理想約束，則約束力在虛位移如果質(zhì)點系具有理想約束，則約束力在虛位移中所作的虛功和為零，即中所作的虛功和為零，即00N iiFiiirFWrF所以所以因為因為(14-6) 所以可得結(jié)論：所以可得結(jié)論：對于具有理想、雙面、定常約對于具有理想、雙面、定常約束的質(zhì)點系，其平衡的充分必要條件是：作用于質(zhì)束的質(zhì)點系，

28、其平衡的充分必要條件是：作用于質(zhì)點系的所有主動力在任何虛位移中所作的虛功的和點系的所有主動力在任何虛位移中所作的虛功的和為零為零。這個結(jié)論稱為。這個結(jié)論稱為虛位移原理虛位移原理，也稱，也稱虛功原理虛功原理，式式(14-6)又稱又稱虛功方程虛功方程。該方程也可寫成解析式：。該方程也可寫成解析式： 0)(iziiyiixizFyFxF(14-7)31理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 充分性：即質(zhì)點系滿足充分性：即質(zhì)點系滿足 ，質(zhì)點系一，質(zhì)點系一定平衡。若定平衡。若 ，而質(zhì)點系不平衡，則，而質(zhì)點系不平衡，則至少有第至少有第i個質(zhì)點不平衡。個質(zhì)點不平衡。 0iirF0 RN

29、iiiFFF 上面的推導(dǎo)證明了上面的推導(dǎo)證明了虛位移原理的必要性虛位移原理的必要性，下面給，下面給出其出其充分性充分性： 在在FRi方向上產(chǎn)生實位移方向上產(chǎn)生實位移dri，取，取d dri=dri，則，則0)(RN iiiiirFrFF0)(N iiirFF對質(zhì)點系：對質(zhì)點系： 在理想約束下在理想約束下 0NiirF 0iirF所所以以與前題條件矛盾與前題條件矛盾故故 時質(zhì)點系必處于平衡。時質(zhì)點系必處于平衡。 0iirF32理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 以不解除約束的理想約束系統(tǒng)為研究對象（若系以不解除約束的理想約束系統(tǒng)為研究對象（若系統(tǒng)無自由度，則需要解除約束，

30、使得系統(tǒng)至少有一個統(tǒng)無自由度，則需要解除約束，使得系統(tǒng)至少有一個自由度）。若系統(tǒng)存在非理想約束，可把它們計入主自由度）。若系統(tǒng)存在非理想約束，可把它們計入主動力，則系統(tǒng)又是理想約束系統(tǒng)，可選為研究對象。動力，則系統(tǒng)又是理想約束系統(tǒng)，可選為研究對象。 若要求解約束力，需解除相應(yīng)的約束，代之以約若要求解約束力，需解除相應(yīng)的約束，代之以約束力，并計入主動力。應(yīng)逐步解除約束，每一次研究束力，并計入主動力。應(yīng)逐步解除約束，每一次研究對象只解除一個約束，將一個約束力計入主動力，增對象只解除一個約束，將一個約束力計入主動力，增加一個自由度。加一個自由度。 應(yīng)用應(yīng)用虛位移原理求解質(zhì)點系平衡問題虛位移原理求解質(zhì)

31、點系平衡問題的步驟的步驟和要點：和要點：1. 正確正確選取研究對象選取研究對象33理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)2. 正確進行正確進行受力分析受力分析： 畫出主動力的受力圖，包括計入主動力的非理畫出主動力的受力圖，包括計入主動力的非理想約束力和待求的約束力。想約束力和待求的約束力。3. 正確進行正確進行虛位移分析虛位移分析，確定虛位移之間的關(guān)系。，確定虛位移之間的關(guān)系。4. 應(yīng)用應(yīng)用虛位移原理建立方程虛位移原理建立方程。5. 解虛功方程求出未知量解虛功方程求出未知量。34理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 圖示橢圓規(guī)機構(gòu)，連桿圖示橢圓規(guī)機構(gòu)，

32、連桿AB長長l，桿重和滑道摩，桿重和滑道摩擦不計，鉸鏈為光滑的，試求在圖示位置平衡時，擦不計，鉸鏈為光滑的，試求在圖示位置平衡時，主動力大小主動力大小P和和Q之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 解：研究整個機構(gòu)。解：研究整個機構(gòu)。系統(tǒng)的所有約束都系統(tǒng)的所有約束都是完整、定常、理是完整、定常、理想的。想的。例題例題14-235理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)1. 幾何法幾何法：使：使A發(fā)生虛位發(fā)生虛位移移 ，B的虛位移的虛位移 ，則，則由虛位移原理，得虛功方程：由虛位移原理，得虛功方程：ArBr0)tan( ArQP 所以所以由由d drA的任意性，得的任意性，得 P = Qta

33、n 0 BArQrP tan cossin ABBArrrr而而例題例題14-236理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 2、解析法解析法 由于系統(tǒng)為單自由度，可取由于系統(tǒng)為單自由度，可取 為廣義坐為廣義坐標。標。 cos , sinsin ,coslylxlylxABAB 由于由于 任意，故任意，故 tan QP , 0 BAxQyP0)sincos( lQP例題例題14-237理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 解：這是一個具有兩個自解：這是一個具有兩個自由度的系統(tǒng)，取角由度的系統(tǒng)，取角 及及 為廣為廣義坐標，現(xiàn)用兩種方法求解。義坐標，現(xiàn)用兩種

34、方法求解。 均質(zhì)桿均質(zhì)桿OA及及AB在點在點A用鉸連接，并在用鉸連接，并在O點用鉸支點用鉸支承，如圖所示。兩桿各長承，如圖所示。兩桿各長2a和和2b，各重，各重P1及及P2，設(shè)，設(shè)在在B點加水平力點加水平力 F 以維持平衡，試求兩桿與鉛直線以維持平衡，試求兩桿與鉛直線所成的角所成的角 及及 。例題例題14-338理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)應(yīng)用虛位移原理應(yīng)用虛位移原理(a) 021 BDCxFyPyP代入代入(a)式，得：式，得：0)cos2sin()cos2sin2sin(221 bFbPaFaPaP解法一（解法一（解析法解析法）：）： cos2cos2 , s

35、in2sin2 sinsin2 , coscos2 sin , cos baxbaxbaybayayayBBDDCC 而而例題例題14-339理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)由于由于d d ，d d 是彼此獨立的，所以：是彼此獨立的，所以：0cos2sin0cos2sin2sin221 bFbPaFaPaP2212tan , 22tanPFPPF 由此解得：由此解得：0)cos2sin()cos2sin2sin(221 bFbPaFaPaP例題例題14-340理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)0sincos2 DBrPrF而而 , 2brbrD

36、B 代入上式，得代入上式，得2222tanPFbPbF 解法二（解法二（幾何法幾何法）：）： 先使先使 保持不變，而使保持不變，而使 獲得變分獲得變分d d ，得到系，得到系統(tǒng)的一組虛位移，如圖所示。統(tǒng)的一組虛位移，如圖所示。例題例題14-341理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 再使再使 保持不變，而使保持不變，而使 獲得變分獲得變分d d ，得到系，得到系統(tǒng)的另一組虛位移，如圖所示。統(tǒng)的另一組虛位移，如圖所示。0sinsincos21 DCBrPrPrF而而 2, arrrarADBC 代入上式后，得：代入上式后，得： 22tan21PPF 0)sin2sin2co

37、s(21 aPaPaFBDArrr 圖示中：圖示中：例題例題14-342理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)5. 以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件 設(shè)作用在第設(shè)作用在第 i個質(zhì)點上的主動力的合力個質(zhì)點上的主動力的合力 在三在三個坐標軸上的投影分別為（個坐標軸上的投影分別為（Fxi ,Fyi ,Fzi ），把式），把式(14-5)中廣義坐標表示的虛位移代入中廣義坐標表示的虛位移代入虛功方程虛功方程，得到，得到0)( )(1111111 kNknikizikiyikixinkniNkkkiziNkkkiyiNkkkixiFiFqqzFqyFqxFq

38、qzFqqyFqqxFWW(14-8), 3 , 2 , 1()(1NkqzFqyFqxFQnikizikiyikixik 令令(14-9)iF43理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)則式則式(14-8)可以寫成可以寫成01 kNkkFqQW(14-10)上式中上式中Qkd dqk具有功的量綱，所以稱具有功的量綱，所以稱Qk為與廣義坐標為與廣義坐標qk相對應(yīng)的廣義力。相對應(yīng)的廣義力。 由于由于廣義坐標的獨立性廣義坐標的獨立性，d dqk可以任意選取，則可以任意選取，則若式若式(14-8)成立，必須有成立，必須有 NQQQ21(14-11)上式說明，上式說明，質(zhì)點系的平衡條

39、件是系統(tǒng)所有的廣義力質(zhì)點系的平衡條件是系統(tǒng)所有的廣義力都等于零。都等于零。這就是這就是用廣義坐標表示的質(zhì)點系的平衡用廣義坐標表示的質(zhì)點系的平衡條件。條件。44理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 求廣義力的方法有兩種：一種方法是直接從式求廣義力的方法有兩種：一種方法是直接從式(14-9)出發(fā)進行計算；另一種是利用廣義虛位移的出發(fā)進行計算；另一種是利用廣義虛位移的任意性，令某一個任意性，令某一個d dqk不等于零，而其他不等于零，而其他N-1個廣義個廣義虛位移都等于零，代入虛位移都等于零，代入kkFqQW 從而從而kFkqWQ (14-12)在解決實際問題時，往往采用第二種

40、方法比較方便。在解決實際問題時，往往采用第二種方法比較方便。 下面研究質(zhì)點系在勢力場中的情況，如果作用在下面研究質(zhì)點系在勢力場中的情況，如果作用在質(zhì)點系上的主動力都是有勢力，則勢能應(yīng)為各質(zhì)點質(zhì)點系上的主動力都是有勢力，則勢能應(yīng)為各質(zhì)點坐標的函數(shù)，為坐標的函數(shù)，為),(111nnnzyxzyxVV (14-13)45理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)則虛功方程則虛功方程(14-8)中各有勢力的投影可以表達為中各有勢力的投影可以表達為iziiyiixizVFyVFxVF ,于是有于是有VzzVyyVxxVzFyFxFWiiiiiiiiiiziiyiixiF)( )( 這樣，

41、虛位移原理的表達式成為這樣，虛位移原理的表達式成為 d dV=0 (14-14)上式說明：上式說明：在勢力場中，在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點系的具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件為質(zhì)點系的勢能在平衡位置處的一階變分平衡條件為質(zhì)點系的勢能在平衡位置處的一階變分為零。為零。46理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)如果用廣義坐標如果用廣義坐標q1， q2， qN表示質(zhì)點系的位置，表示質(zhì)點系的位置，則有則有),(321NqqqqVV 由廣義力表達式由廣義力表達式(14-9)，在勢力場中可將廣義力，在勢力場中可將廣義力Qk表達為表達為), 3 , 2 , 1()( )(NkqVqzz

42、VqyyVqxxVqzFqyFqxFQkkiikiikiikizikiyikixik (14-15)則則由廣義坐標表示的平衡條件由廣義坐標表示的平衡條件：), 3 , 2 , 1(0NkqVQkk (14-16)47理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)圖圖a中球的平衡狀態(tài)稱為中球的平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡；即：即：在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件是勢能對于每個廣義坐標的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零是勢能對于每個廣義坐標的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。上面。上面式式(14-14)和式和式(14-16)對于求解彈性系統(tǒng)的平衡問題具對于求解彈性系

43、統(tǒng)的平衡問題具有重要意義。有重要意義。 引用勢能，還可分析保守系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性問題，引用勢能，還可分析保守系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性問題，滿足平衡條件的保守系統(tǒng)可能處于不同的穩(wěn)定狀態(tài)。滿足平衡條件的保守系統(tǒng)可能處于不同的穩(wěn)定狀態(tài)。圖圖b稱為稱為隨遇平衡隨遇平衡；圖圖c中小球的平衡狀態(tài)稱為中小球的平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡。48理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 上述三種平衡狀態(tài)都滿足勢能在平衡位置處上述三種平衡狀態(tài)都滿足勢能在平衡位置處dV=0的平衡條件，但在穩(wěn)定平衡位置處，系統(tǒng)受到的平衡條件，但在穩(wěn)定平衡位置處，系統(tǒng)受到擾動后，新的位置系統(tǒng)的勢能高于平衡位置處的勢擾動后，

44、新的位置系統(tǒng)的勢能高于平衡位置處的勢能，因此，在穩(wěn)定平衡位置處，系統(tǒng)的能，因此，在穩(wěn)定平衡位置處，系統(tǒng)的勢能具有勢能具有極極小值小值，因而系統(tǒng)可以回到低勢能位置處；相反在不，因而系統(tǒng)可以回到低勢能位置處；相反在不穩(wěn)定平衡位置上，系統(tǒng)勢能具有穩(wěn)定平衡位置上，系統(tǒng)勢能具有極極大值大值，在沒有外，在沒有外力作用下，系統(tǒng)不能從低勢能處回到高勢能處；對力作用下，系統(tǒng)不能從低勢能處回到高勢能處；對隨遇平衡，系統(tǒng)在某位置附近的隨遇平衡，系統(tǒng)在某位置附近的勢能是不變勢能是不變的，所的，所以其附近任何位置都是平衡位置。以其附近任何位置都是平衡位置。49理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)0

45、dd qV 如果系統(tǒng)處于如果系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則在平衡位置處，則在平衡位置處，系統(tǒng)勢能具有系統(tǒng)勢能具有極小值極小值，即系統(tǒng)對廣義坐標的二階導(dǎo)，即系統(tǒng)對廣義坐標的二階導(dǎo)數(shù)大于零數(shù)大于零0dd22 qV該式是該式是一個自由度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)一個自由度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)。 對于一個自由度系統(tǒng)，只有一個廣義坐標對于一個自由度系統(tǒng)，只有一個廣義坐標q，則，則系統(tǒng)勢能為系統(tǒng)勢能為q的一元函數(shù)，即的一元函數(shù)，即V=V(q)，當系統(tǒng)平衡，當系統(tǒng)平衡時，在平衡位置處有時，在平衡位置處有50理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)1. 系統(tǒng)在給定位置平衡時，求主動力之間的關(guān)

46、系；系統(tǒng)在給定位置平衡時，求主動力之間的關(guān)系；2. 求系統(tǒng)在已知主動力作用下的平衡位置，并可以求系統(tǒng)在已知主動力作用下的平衡位置，并可以 判斷彈性系統(tǒng)平衡位置的穩(wěn)定性（靜力學(xué)列平衡方程判斷彈性系統(tǒng)平衡位置的穩(wěn)定性（靜力學(xué)列平衡方程不能解決此問題）不能解決此問題）；3. 求系統(tǒng)在已知主動力作用下平衡時的約束力；求系統(tǒng)在已知主動力作用下平衡時的約束力；4. 求平衡構(gòu)架內(nèi)二力桿的內(nèi)力。求平衡構(gòu)架內(nèi)二力桿的內(nèi)力。 雖然虛位移原理的條件是質(zhì)點系應(yīng)具有理想約束，雖然虛位移原理的條件是質(zhì)點系應(yīng)具有理想約束，但也可以用于有非理想約束的情況，只要把非理想約束但也可以用于有非理想約束的情況，只要把非理想約束力當作

47、主動力，在虛功方程中計入力所作的虛功即可。力當作主動力，在虛功方程中計入力所作的虛功即可。6. 虛位移原理的應(yīng)用虛位移原理的應(yīng)用51理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 圖示多跨靜定圖示多跨靜定梁，試求支座梁，試求支座B處處約束力。約束力。解：將支座解：將支座B 除除去，代入相應(yīng)去，代入相應(yīng)的約束力的約束力FB。0211 MrPrFrPCBBBBCBBrMrrPrrPF 211 所以所以例題例題14-452理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)96118111211121614 , 811 , 21 1 BCBEBGBBCBrrrrrrrrrrr 而而

48、MPPFB961181121 21 所以所以BBCBBrMrrPrrPF 211 所以所以例題例題14-453理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 滑套滑套D套在光滑直桿套在光滑直桿AB上，上，并帶動桿并帶動桿CD在鉛直滑道上滑動。在鉛直滑道上滑動。已知已知 =0o時，彈簧等于原長，時，彈簧等于原長，彈簧剛度系數(shù)為彈簧剛度系數(shù)為5 kN/m，試試求求在任意位置（在任意位置（ 角）平衡時，加角）平衡時，加在桿在桿AB上的力偶矩上的力偶矩M ？ 解：這是一個已知系統(tǒng)平衡，求作用于系統(tǒng)上主解：這是一個已知系統(tǒng)平衡，求作用于系統(tǒng)上主動力之間關(guān)系的問題。將彈簧力計入主動力，系統(tǒng)動力

49、之間關(guān)系的問題。將彈簧力計入主動力，系統(tǒng)簡化為理想約束系統(tǒng)，故可以用虛位移原理求解。簡化為理想約束系統(tǒng)，故可以用虛位移原理求解。例題例題14-554理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 選擇選擇AB桿、桿、CD桿和滑套桿和滑套D的系統(tǒng)為的系統(tǒng)為研究對象。研究對象。 tan sec3 . 0sec3 . 0)kN( |sec1|5 . 1|)m( |sec1|3 . 0|cos300600 , )mm(300300600 , 0000 ssllkFFllllD角時角時時時由虛位移原理，得：由虛位移原理，得：)mkN( cos)cos1(sin45. 03 M0 sFM 0

50、tan sec3 . 0|sec1|5 . 1 M例題例題14-555理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) n個質(zhì)點組成的系統(tǒng)，第個質(zhì)點組成的系統(tǒng)，第i個質(zhì)點各參數(shù)個質(zhì)點各參數(shù)為：為： 。若系統(tǒng)只受理想約束，由達。若系統(tǒng)只受理想約束，由達郎貝爾原理和虛位移原理，有郎貝爾原理和虛位移原理，有iiiiiFFrrmN, 上式表明，上式表明，在理想約束條件下，質(zhì)點系在任一瞬時在理想約束條件下，質(zhì)點系在任一瞬時所受的主動力系和虛加的慣性力系在虛位移上所做所受的主動力系和虛加的慣性力系在虛位移上所做的功之和等于零。的功之和等于零。該式稱為該式稱為動力學(xué)普遍方程。動力學(xué)普遍方程。14-

51、3動力學(xué)普遍方程動力學(xué)普遍方程0)()(1IN1 iiniiiiiniirrmFrFFF (14-17)寫成解析式，有寫成解析式，有0)()()(1 iiiziiiiyiiiixinizzmFyymFxxmF (14-17a)56理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 動力學(xué)普遍方程動力學(xué)普遍方程將達朗貝爾原理與虛位移原理將達朗貝爾原理與虛位移原理結(jié)合，可求解質(zhì)點系的動力學(xué)問題，特別適合求解結(jié)合，可求解質(zhì)點系的動力學(xué)問題，特別適合求解非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題。非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題。0)()()(1 iiiziiiiyiiiixinizzmFyymFxxmF (14-17

52、a)0)()(1IN1 iiniiiiiniirrmFrFFF (14-17)57理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 三棱柱三棱柱B沿三棱柱沿三棱柱A的光滑斜面滑動，三棱柱的光滑斜面滑動，三棱柱A置于光滑水平面上，置于光滑水平面上，A和和B的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為M和和m，斜，斜面傾角為面傾角為 。試求三棱柱。試求三棱柱A的加速度。的加速度。 解：研究兩三棱柱解：研究兩三棱柱組成的系統(tǒng)。該系統(tǒng)組成的系統(tǒng)。該系統(tǒng)受理想約束，具有兩受理想約束，具有兩個自由度。個自由度。rere , maQmaQQQQMaQrBBBBBA 例題例題 14-658理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教

53、案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 由動力學(xué)普遍方程：由動力學(xué)普遍方程：0)sincos()cos(rere BBBABBAsQQQxQQQ 系統(tǒng)為二自由度，互不相關(guān)的系統(tǒng)為二自由度，互不相關(guān)的d dxA，d dsB為獨立虛為獨立虛位移，且位移，且Q=mg，所以，所以 0sincos0cosrr mamgmamamaMa 解得：解得：gmMma)sin(22sin 2 例題例題 14-659理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)14-4第一類拉格朗日方程第一類拉格朗日方程 把約束方程把約束方程(14-3)代入動力學(xué)普遍方程代入動力學(xué)普遍方程(14-17)，并引入符號并引入符號kz

54、fjyfixfrfikikikik (14-18)對式對式(14-3)取變分取變分),3 , 2 , 1(01skrrfniiik (14-19)引入拉格朗日乘子引入拉格朗日乘子l lk(k=1,2,3,s)，將上式兩端乘，將上式兩端乘l lk并并對對k求和求和0)()(1111 iikskkniskiniikkrrfrrfl ll l(14-20)把式把式(14-17) 與式與式(14-20) 相減，得相減，得0)(11 skiikkniiiirrfrmF l l60理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 在在3n個質(zhì)點坐標中，獨立坐標有個質(zhì)點坐標中，獨立坐標有3n-s個

55、，對于個，對于s個個不獨立的坐標變分，可以選取適當?shù)牟华毩⒌淖鴺俗兎?，可以選取適當?shù)膌 lk ，使得變分前，使得變分前的系數(shù)為零，而此時獨立坐標變分前的系數(shù)也等于零的系數(shù)為零，而此時獨立坐標變分前的系數(shù)也等于零，有，有), 2 , 1(01nirfrmFskikkiii l l(14-21)上式就是帶拉格朗日乘子的質(zhì)點系動力學(xué)方程，又稱上式就是帶拉格朗日乘子的質(zhì)點系動力學(xué)方程，又稱為為第一類拉格朗日方程第一類拉格朗日方程。方程有。方程有3n+s個未知量，故須個未知量，故須與方程與方程(14-3)聯(lián)立求解。對式聯(lián)立求解。對式(14-21)與質(zhì)點系的達郎與質(zhì)點系的達郎貝爾原理進行比較，可以看出含拉

56、格朗日乘子貝爾原理進行比較，可以看出含拉格朗日乘子 相對應(yīng)與相對應(yīng)與s個約束作用于系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點上的約束力。個約束作用于系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點上的約束力。)(1 skikkrfl l61理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 采用拉格朗日乘子也可以求解具有非完整約束系采用拉格朗日乘子也可以求解具有非完整約束系統(tǒng)的動力學(xué)問題，因而具有更為普遍的應(yīng)用性。統(tǒng)的動力學(xué)問題，因而具有更為普遍的應(yīng)用性。), 2 , 1(01nirfrmFskikkiii l l(14-21)62理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)14-5第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程 設(shè)設(shè)q1， q2

57、， qN(N=3n-s)為系統(tǒng)的一組廣義坐標，為系統(tǒng)的一組廣義坐標，由式（由式（14-4）), 3 , 2 , 1(0),(21nitqqqrrNii 對上式兩邊求變分，得到對上式兩邊求變分，得到 niNkkkiiNkkkiiqQrFqqrr111注意到注意到把上面兩式代入把上面兩式代入(14-15)并注意交換求和次序，有并注意交換求和次序，有0)()(111 knikiiiNkkiiiniiqqrrmQrrmF 63理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)對完整系統(tǒng)，對完整系統(tǒng)，d dqk(k=1,2,3,N) 是任意的，上式恒是任意的，上式恒成立，有成立，有(14-22)

58、01 nikiiikqrrmQ 上式第二項與廣義力上式第二項與廣義力Qk相對應(yīng)，稱為相對應(yīng)，稱為廣義慣性力廣義慣性力。式式(14-22)不便直接應(yīng)用，可以做如下變換：不便直接應(yīng)用，可以做如下變換：kikiNkikkiiiqrqrtrqqrrtr 所以所以因為因為1dd)1(14-23)kikiqrqrt )(dd)2(14-24)64理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)式式(14-24)的簡單證明：的簡單證明： ),(21tqqqqrqrNkiki 對時間求微分對時間求微分kijNjkjikijkiNjjkiqtrqqqrqrtqqrqqrt 2121 )()()(dd(

59、14-25)kijNjkjiijNjjikkiqtrqqqrtrqqrqqr 2121)(而而(14-26)65理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ)在式在式(14-4)具有一階和而階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)下具有一階和而階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)下,有式有式(14-24) 成立成立由式由式(14-23) 和式和式(14-24),有有kkkiniiiqTqTtqrrm )(dd)3(1 (14-27)將式將式(14-27)代入式代入式(14-22)，得到，得到), 2 , 1(0)(ddNkQqTqTtkkk (14-28)上式稱為上式稱為第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程,簡稱簡稱拉格朗日方程拉格

60、朗日方程，其其方程式數(shù)目方程式數(shù)目等于質(zhì)點系的等于質(zhì)點系的自由度數(shù)自由度數(shù)。66理論力學(xué)電子教案理論力學(xué)電子教案 分析力學(xué)基礎(chǔ)分析力學(xué)基礎(chǔ) 如果作用在質(zhì)點系上的主動力都是有勢力如果作用在質(zhì)點系上的主動力都是有勢力(保守保守力力)，則廣義力，則廣義力Qk可寫成用質(zhì)點系勢能表達的形式可寫成用質(zhì)點系勢能表達的形式（式（式(14-15)）,于是式于是式(14-28)為為), 2 , 1(0)(ddNkqVqTqTtkkk (14-28a)引入引入拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)(又稱為又稱為動勢動勢)VTL 注意到勢能不是廣義速度的函數(shù)注意到勢能不是廣義速度的函數(shù),則拉格朗日方程則拉格朗日方程又可以寫成又可以