（精心整理）三角形相似相關(guān)知識

1、龍文教育學(xué)科導(dǎo)學(xué)案教師: 田勇健 學(xué)生: 徐博源 日期:2011- 星期: 時段: 課 題幾何復(fù)習(xí)一（三角形相關(guān)知識）學(xué)習(xí)目標(biāo)與考點分析 全面系統(tǒng)的認(rèn)識三角形，題型中的各種邊角關(guān)系學(xué)習(xí)重點 邊角關(guān)系，全等三角形的判定，等腰三角形學(xué)習(xí)方法歸納總結(jié)， 針對考點的習(xí)題誘導(dǎo)講解學(xué)習(xí)內(nèi)容與過程一三角形的邊與角（一）三角形是基本圖形之一，三邊相互制約，三個內(nèi)角之和為定值，邊與角之間有密切的聯(lián)系(如大角對大邊，大邊對大角)，熟悉三角形三邊關(guān)系定理及推論，三角形內(nèi)角和定理及推論。 解與三角形的邊與角有關(guān)的問題時，往往要用到數(shù)形結(jié)合及分類討論法，即用代數(shù)方法解幾何計算題及簡單證明題。（代數(shù)法解幾何計算問題的基本

2、思路是通過設(shè)元，運用幾何知識建立方程組或不等式，將問題轉(zhuǎn)化為解方程或不等式）熟悉以下基本圖形，并證明基本結(jié)論：（1） 1+ 2= 3+ 4；（2） 若BD,CO分別為 ABC, ACB的角平分線，則 BOC=90+1/2 A（3） 若BD,CO分別為 DBC, ECB的角平分線，則BOC=90-1/2 A（4） 若BE,CE分別為 ABC, ACD的角平分線，則 E=1/2 A例1(1)在三角形ABC中，三個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)，且 A= B= C,4 C=7 A,則 B的度數(shù)是多少？(2)若三角形的三個外角比是2:3:3，則這個三角形的最大內(nèi)角度數(shù)是多少？（3）一條線段的長為a，若要使3a-1

3、,4a+1,12-a這三條線段組成一個三角形，則a的取值范圍是多少例2以1995的質(zhì)因數(shù)為邊長的三角形共有多少個？.例3.（1）如圖，BE是 ABD的角平分線，CF是 ACD的角平分線，BE與CF交于G，若 BDC=140，BGC=110，求 A的大小。(2)在 ABC中， A=50，高BE,CF交于O，且O不與BC重合，求 BOC的度數(shù)。（二）勾股定理（邊得關(guān)系） 應(yīng)用主要體現(xiàn)在：是現(xiàn)階段線段計算，證明線段平方關(guān)系的主要方法；運用其逆定理，通過計算也是證明兩直線垂直位置關(guān)系的一種有效手段。 直角三角形中：兩銳角互余（角的關(guān)系），勾股定理（邊得關(guān)系），30所對的直角邊等于斜邊的一半（邊角關(guān)系）

4、。熟悉以下圖形;例1. 如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊向內(nèi)做等邊三角形ABD，連接DC,以DC為邊做等邊三角形DCE，B,E在CD的同側(cè)，若AB=，則BE=多少？例2. 如圖，是2002年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積為13，小正方形的面積是1，直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，則的值等于 若改成較短的為a，較長的為b，則的值是多少？13例3.如圖，AD是三角形ABC的中線，ADC=45，把三角形ACD沿AD對折，點C落在點C的位置， 則BC和BC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？例4.如

5、圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形：1.要是三角形的三邊長分別為；使三角形為鈍角三角形且面積為4例5如圖，在三角形ABC中，AB=AC， A=120MN垂直平分AB，求證CM=2BM二全等三角形利用全等三角形證明問題，關(guān)鍵是在從復(fù)雜的圖形中找到一對基礎(chǔ)的三角形，這對基礎(chǔ)的三角形從復(fù)雜的圖形中找到一對基礎(chǔ)的三角形，也可由幾對三角形組成，其間的關(guān)系相互傳遞，應(yīng)熟悉涉及有公共邊，公共角的以下兩類基本圖形：性質(zhì)：若兩個三角形全等，則對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等,周長相等，面積相等 判定定理：SSS,SAS,AAS,ASA,HL(直角三角形)

6、備注：1.AAA,SSA為什么不能作為三角形全等判定定理，舉出反例。 2.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這兩邊的距離相等。 逆定理：到一個角兩邊距離相等的點，在叫平分線上。例1如圖，有兩個三角錐ABCD、EFGH，其中甲、乙、丙、丁分別表示rABC、rACD、 rEFG、rEGH。若ACB=CAD=EFG=EGH=70，BAC=ACD=EGF=EHG =50，則下列敘述何者正確？ ( ) G50ABCDEF70507050705070H甲乙丙丁 (A)甲、乙全等，丙、丁全等 (B) 甲、乙全等，丙、丁不全等 (C) 甲、乙不全等，丙、丁全等 (D) 甲、乙不全等，丙、丁不全等例2.如圖E

7、F90，BCAEAF，給出下列結(jié)論：12；BECF；ACNABM；CDDN。其中正確的結(jié)論是 （注：將你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上）（總結(jié)：對于一個復(fù)雜的圖形，先找出比較明顯的一對全等三角形，并發(fā)現(xiàn)有用的條件，進(jìn)而判斷出其他三角形全等。）例3.在三角形ABC中，AC=5，中線AD=4，則邊AB得取值范圍是多少？（有時圖中并沒有直接的全等三角形，需要通過作輔助線構(gòu)造全等三角形，完成恰當(dāng)添輔助線的任務(wù)，我們思維要經(jīng)過一個觀察，聯(lián)想，構(gòu)造的過程）例4.兩個全等的30，60的直角三角板如圖放置，那么判斷邊EB,EC的關(guān)系。例5.如圖1，的邊在直線上，且；的邊也在直線上，邊與邊重合，且（1）在圖1中，請你通過

8、觀察、測量，猜想并寫出與所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將沿直線向左平移到圖2的位置時，交于點，連結(jié)，猜想并寫出與所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；（3）將沿直線向左平移到圖3的位置時，的延長線交的延長線于點，連結(jié)，你認(rèn)為（2）中所猜想的與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由A（E）BC（F）PlllAABBQPEFFCQ圖1圖2圖3EPC（總結(jié)：判斷兩邊的關(guān)系是要從量的關(guān)系（相等，成倍數(shù)等）和位置關(guān)系（平行，垂直等）兩個方面考慮。）三等腰三角形性質(zhì)：等腰三角形是一特殊三角形，兩腰相等，它的底角相等，是軸對稱圖形，三線重合（底邊上的高，中線，頂角的角

9、平分線）。特別的等邊三角形，三個角相等都為60） 解等腰三角形相關(guān)的問題，全等三角形依然是重要工具，但更多的是思考運用等腰三角形的特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)為角度的計算，線段相等的證明，直線位置關(guān)系的證明提供了新的理論依據(jù)。例1.如圖，三角形ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一個條件是：例2.如圖，AOB是一鋼架，且 AOB=10，為使鋼架更加堅固，需在其內(nèi)添加一些鋼管EF.FG.GH,.添加鋼管的長度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管多少根？例3如圖，在 ABC中，已知AD=AE，需要添加的一個條件是：例4.在三角形ABC中，已知AB=AC，且過 ABC某一頂點的直線可將 ABC

10、分成兩個等腰，試求 ABC各內(nèi)角的度數(shù)。例5，已知 ABC為為等邊三角形，D,E,F分別在各邊上，且 DEF是等邊三角形，圖中除已知相等的邊外，請你猜想還有哪些相等的線段？并證明你的猜想是正確的。判定:判定一個三角形為等腰三角形的基本方法是從定義入手，證明一個三角形的兩條邊相等；從角入手，證明一個三角形的兩個角相等。實際解題中的一個常用技巧是構(gòu)造等腰三角形，從而用到等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù)，常用的構(gòu)造方法有：1. 角平分線加平行線2. 角平分線加垂線3. 用垂直平分線構(gòu)造等腰三角形4. 用三角形中角的2倍關(guān)系構(gòu)造等腰三角形例1.如圖， ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB與D點，交AC邊與E點， BCE的周長為18cm，則AC的長為多少？例2.在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知A（1,1），在x軸上確定點p，使 AOP為等腰三角形，則有符合條件的點P的個數(shù)共有幾個？例3.如圖， ABC中，AB=AC過點A作GE/BC，角平分線BD,CF相交與點H，它們的延長線分別交GE與點E,G。試在圖中找出三對全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明。例4.已知，如圖，延長的各邊，使得，順次連接，得到為等邊三角形求證：（1）；（2）為等邊三角形例5.如圖甲，點C為線段AB上的一點， ACM和