用勾股定理求幾何體中的最短路線

1、“執(zhí)竿入城執(zhí)竿入城”問題問題 魯迅先生在魯迅先生在古小說釣沉古小說釣沉輯本中有一則輯本中有一則執(zhí)竿入執(zhí)竿入城城的寓言：的寓言： “ “魯有執(zhí)長竿入城門者，初豎執(zhí)之，不可入；橫執(zhí)魯有執(zhí)長竿入城門者，初豎執(zhí)之，不可入；橫執(zhí)之，亦不可入，計無所出，俄有老父至，曰：吾非圣人，但之，亦不可入，計無所出，俄有老父至，曰：吾非圣人，但見事多矣，何不以鋸中截而入，遂依而入見事多矣，何不以鋸中截而入，遂依而入” 我國當(dāng)代數(shù)學(xué)家許淳舫教授將這則寓言編成一道趣我國當(dāng)代數(shù)學(xué)家許淳舫教授將這則寓言編成一道趣味數(shù)學(xué)題，收入味數(shù)學(xué)題，收入古算趣味古算趣味中：中： 笨人持竿要進(jìn)屋，無奈門框攔住竹；笨人持竿要進(jìn)屋，無奈門框攔住

2、竹； 橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭；橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭； 有個自作聰明者，教他斜竹對兩角；有個自作聰明者，教他斜竹對兩角； 笨伯依言試一試，不多不少剛抵足；笨伯依言試一試，不多不少剛抵足； 借問竿長多少數(shù)，誰人算得我佩服借問竿長多少數(shù)，誰人算得我佩服 勾股定理應(yīng)用盤點(diǎn)之 最短路線 吉化九中例例1、如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和、如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于高分別等于5cm，3cm和和1cm，A和和B是這個臺階的兩個是這個臺階的兩個相對的端點(diǎn)，相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的點(diǎn)去吃可口的食物食物.請你想一想，這

3、只螞蟻從請你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺階面點(diǎn)出發(fā)，沿著臺階面爬到爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？點(diǎn)，最短線路是多少？BAABC531512一、臺階中的最值問題一、臺階中的最值問題 AB2=AC2+BC2=169, AB=13.二、正方體中的最值問題二、正方體中的最值問題例2、如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是（ ）. （A）3 （B） 5 （C）2 （D）1AB分析： 由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如圖）.CABC21B例3（浙江中考題）如圖3，正四棱柱的底面邊長為1.5cm，側(cè)棱長為4cm，求一只螞蟻從正四

4、棱柱底面上的點(diǎn)A沿著棱柱表面爬到C1處的最短路程的長。 三、長方體中的最值問題三、長方體中的最值問題例4、如圖，一只螞蟻從實(shí)心長方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點(diǎn)C1處（三條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？ABA1B1DCD1C1214分析: 根據(jù)題意分析螞蟻爬行的路線有三種情況(如圖 ),由勾股定理可求得圖1中AC1爬行的路線最短.ABDCD1C1421 AC1 =42+32 =5 ;ABB1CA1C1412 AC1 =62+12 =37 ;AB1D1DA1C1412 AC1 =52+22 =29 . 練習(xí)1（恩施自治州）如圖，長方體的長為15，寬為10，高為2

5、0，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（ ） A.5 B.25 C.10 +5 D.35B圖25201510CAB圖1v練習(xí)2（2011湖北荊州）如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm，高為5cm若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長為_cm. 13四、圓柱四、圓柱(錐錐)中的最值問題中的最值問題例5、 有一圓形油罐底面圓的周長為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對角B處吃食物，它爬行的最短路線長為多少？AB分析：由于老鼠是沿著圓柱的表面爬行的，故需把圓柱展開成平面圖形.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段

6、最短，可以發(fā)現(xiàn)A、B分別在圓柱側(cè)面展開圖的寬1m處和長24m的中點(diǎn)處，即AB長為最短路線.(如圖)解：AC = 6 1 = 5 ，BC = 24 = 12， 由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169,AB=13(m) .21BAC 練習(xí)1：如圖，是一個圓柱形容器，高18，底面周長為60，在外側(cè)距下底1的點(diǎn)S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的容器的上口外側(cè)距開口處1的點(diǎn)F出有一蒼蠅，急于 捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛，所走的最短路線的長度是多少？ 練習(xí)2：如圖所示，有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米，在圓柱下底面的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對的B點(diǎn)處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短

7、路程是多少？（的值取3） 圖2 C B A B C A探究一：探究一：假想一下，若本題中的圓柱是一個典型的矮胖型圓柱，我們不妨計算一下,假設(shè)這個圓柱的高度為1厘米,其它條件不變，那么螞蟻沿圓柱表面爬條路線最短呢？分析：AB2=AC2+BC2=12+92=82，而沿第二條路線，即(ACB)2=(1+6)2 =4982，所以這時螞蟻沿由（ACB）的第二條路線最短探究二：探究二：既然瘦長型的圓柱沿曲面爬最短，矮胖型的圓柱沿第二條路線爬最短，那么我們再深入探索一下，原題中圓柱的高度變?yōu)槎嗌倮迕讜r(其它條件不變)，螞蟻爬這兩條路線的路程相等?解析：設(shè)圓柱的高度變?yōu)閤cm,根據(jù)題意得 展開圖中：AB 2

8、=x 2 +9 2 由(ACB) 2 =(x+6) 2 x 2 +9 2 =(x+6) 2 x 2 +81=x 2 +12x+36 45=12x x=3.75 所以，當(dāng)圓柱的高為3.75cm時，螞蟻?zhàn)哌@兩條路線的路程相等 探究三：探究三：當(dāng)圓柱的底面半徑r與圓柱的高度h滿足怎樣的關(guān)系時，（1）螞蟻爬這兩條路線一樣長？（2）螞蟻爬第一條路線最短？（3）螞蟻爬第二條路線最短？解析：展開圖中：AB 2 = AC 2 +BC 2 =h 2 +(3r) 2 = h 2 +9r 2 ； 由(ACB) 2 =(h+2r) 2 （2）當(dāng)半徑r h時，（瘦長型圓柱）螞蟻爬第一條路線最短.（3）當(dāng)半徑r h時，（

9、矮胖型圓柱）螞蟻爬第二條路線最短. (1)由兩條路線一樣長得h 2 +9r 2 =(h+2r) 2 h 2 +9r 2 =h 2 +4hr+4r 2 5r 2 =4hr r = h 所以當(dāng)半徑r = h時，螞蟻爬這兩條路線一樣長拓展1（2011四川涼山州）如圖，圓柱底面半徑為2cm，高為9 cm，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B，則棉線最短為_cm. 9 cm BA 思考2（2009青島市）如圖，長方體的底面邊長分別為1cm 和3cm，高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要cm； 如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要cm.BA6cm3cm1cm 下節(jié)課提示： 新課程要求通過學(xué)習(xí)培養(yǎng)同學(xué)們的自主 探究能力。探索性問題，正是新課程理念下培養(yǎng)同學(xué)們的觀