《電磁場(chǎng)理論》教案4

1、電磁場(chǎng)理論（第四章）第四章 時(shí)變電磁場(chǎng) 前面幾章分別研究了電場(chǎng)和磁場(chǎng),它們都是不隨時(shí)間變化的。本章研究電磁場(chǎng)的一般情形。當(dāng)電荷和電流隨時(shí)間變化時(shí)，在周圍空間會(huì)發(fā)現(xiàn)變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，并且電場(chǎng)和磁場(chǎng)間存在著不可分割的聯(lián)系，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)。 1831年,法拉第首先發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)現(xiàn)象.當(dāng)一個(gè)導(dǎo)體回路中的電流變化時(shí),在附近的另一個(gè)導(dǎo)體回路中將出現(xiàn)感應(yīng)電流.把一個(gè)磁鐵在一個(gè)閉合導(dǎo)體回路附近移動(dòng)時(shí),回路中也將出現(xiàn)感應(yīng)電流。4-1電磁感應(yīng)定律和全電流定律4.1.1 法拉第電磁感應(yīng)定律兩種情形表示一個(gè)相同的現(xiàn)象，即穿過(guò)一個(gè)回路的磁通發(fā)生變化時(shí)，在這個(gè)回路中將有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)出現(xiàn),并且在回路中產(chǎn)生電流。 按照法拉第電

2、磁感應(yīng)定律，設(shè)有導(dǎo)線構(gòu)成的閉合回路l，當(dāng)穿過(guò)以這個(gè)回路為周界的曲面S的磁通發(fā)生變化時(shí)，在回路中將引起感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。SdBdtddtdSm這里規(guī)定，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和磁通的參考方向成右螺旋關(guān)系。式中的“-”號(hào)，由“棱次定律”所決定：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)及其所產(chǎn)生的電流的方向總是企圖阻止與回路交鏈的磁通的變化。 磁通變動(dòng)的三種情況是： 1.時(shí)變場(chǎng)中的靜止回路時(shí)變場(chǎng)中的靜止回路 隨時(shí)間而變化的磁場(chǎng)在靜止的回路中引起感生電動(dòng)勢(shì)（也叫變壓器電動(dòng)勢(shì)）。這時(shí)，磁通的變化可用對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)表示，即：SSSdtBSdBt 2.靜磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體靜磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體 當(dāng)導(dǎo)電回路或部分導(dǎo)電回路相對(duì)于恒定磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，即通常所說(shuō)的導(dǎo)線切割

3、磁力線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)（工程上稱為發(fā)電機(jī)電勢(shì)）。設(shè)組成導(dǎo)電回路的元線段dl對(duì)磁場(chǎng)的相對(duì)速度為v，則其中的自由電荷dq所受的磁場(chǎng)力為df=dq(vB)，因此，感應(yīng)電場(chǎng)ldBvl)( 3.時(shí)變場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)回路時(shí)變場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)回路 這是上述兩種情況的復(fù)合，這時(shí)回路中感應(yīng)電勢(shì)應(yīng)表示成兩部分的總和。ldBvSdtBlS)( 上面假設(shè)變化的磁場(chǎng)引起感應(yīng)電場(chǎng)是發(fā)生在導(dǎo)體構(gòu)成的回路中。實(shí)驗(yàn)表明，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小與回路l的導(dǎo)電性能無(wú)關(guān)，不管回路是由低電阻導(dǎo)線還是高電阻導(dǎo)線構(gòu)成的，得到的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是相同的，只不過(guò)感應(yīng)電流的大小不同而已?？梢?，出現(xiàn)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是時(shí)變場(chǎng)本身的一種表現(xiàn)。因此，Maxwell將電磁感應(yīng)定律

4、推廣到任意媒質(zhì)（包括真空）中所取的回路上。4.1.2 感應(yīng)電場(chǎng)(渦旋電場(chǎng)) 在回路中出現(xiàn)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是在回路中出現(xiàn)感應(yīng)電場(chǎng)的結(jié)果。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于感應(yīng)電場(chǎng)沿回路的線積分。因而法拉第電磁感應(yīng)定律可寫成SdBdtdldESlildElildBvSdtBlS)(對(duì)上式應(yīng)用斯托克斯定理，可得相應(yīng)的微分形式)(BvtBEi說(shuō)明時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度不符合守恒性。因?yàn)槌穗姾梢鸬碾妶?chǎng)外，還有電磁感應(yīng)引起的電場(chǎng)，而后者是不符合守恒性的。可見，時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)是和其磁場(chǎng)的變化密切相聯(lián)系的。tBEi 在靜止媒質(zhì)中，電磁感應(yīng)定律的微分形式為4.1.3 全電流定律 現(xiàn)在來(lái)研究恒定磁場(chǎng)中安培環(huán)路定律的表達(dá)式按照這個(gè)式子，

5、沿任一閉合回路l的磁場(chǎng)強(qiáng)度的積分，等于穿過(guò)以l為周界的曲面的電流。但是,當(dāng)我們把它應(yīng)用到圖4-1所示的電容器電路時(shí)，便發(fā)生了困難，如果我們?nèi)2面作為以l為周界的曲面，則因穿過(guò)S2面的電流為i，故有IldHl圖5-1S1S2liildHl如果我們?nèi)1面作為以l為周界的曲面，則因無(wú)電流穿過(guò)S1面，故有0ldHl兩種情況所的結(jié)果不同，這就產(chǎn)生了矛盾，顯然，矛盾的由來(lái)在于電流（嚴(yán)格說(shuō)是傳導(dǎo)電流）的不連續(xù)。事實(shí)上，在時(shí)變場(chǎng)情況下的電流連續(xù)性原理，要由更為普遍的規(guī)律電荷守恒定律導(dǎo)出。2-3中已經(jīng)講過(guò)，電荷守恒定律的積分表達(dá)式是tqSdJS書p.74式（2-16）根據(jù)高斯定理，上式右方：SdDttqS圖

6、4-1S1S2liSdDtSdJSS則有即0)(SSdtDJtDJJJd 這是電流連續(xù)性原理的推廣形式。式中 一項(xiàng)具有電流密度的量綱，并和J處于相同的地位，稱為位移電流密度。以Jd表示之，tD稱為全電流密度。這樣，由任意閉合曲面流出的全電流恒等于零，也叫全電流連續(xù)性原理。全電流連續(xù)性原理 以上分析說(shuō)明，安培環(huán)路定律要求電流是連續(xù)的才能成立，但在時(shí)變場(chǎng)的情況下，傳導(dǎo)電流不一定連續(xù)。只有把位移電流考慮在內(nèi)的全電流才總是連續(xù)的。因此，我們要把安培環(huán)路定律中的電流換成全電流SdDtSdJldHSSl所以稱它為全電流定律?？梢姇r(shí)變電磁場(chǎng)的磁場(chǎng)是與電場(chǎng)的變化密切相聯(lián)系的。而恒定磁場(chǎng)中的安培環(huán)路定律，是時(shí)變

7、場(chǎng)中的全電流定律的特殊形式 應(yīng)用斯托克斯定理lSSdHldH可得全電流定律的微分形式tDJH4.1.4 電磁場(chǎng) 1862年麥克斯韋在論物理的力線一文中，引進(jìn)“位移電流”概念。這在當(dāng)時(shí)還是一種假設(shè)，但這一假設(shè)具有深遠(yuǎn)的意義,也是電磁學(xué)上重大的突破。在此基礎(chǔ)上，麥克斯韋以他的高度的抽象力和卓越的數(shù)學(xué)才華，于1864年導(dǎo)出了麥克斯韋方程組。1865年，他又在電磁場(chǎng)動(dòng)力學(xué)一文中，用拉格朗日和哈密頓所創(chuàng)立的數(shù)學(xué)方法，從這組方程直接導(dǎo)出電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程，推算出電磁波傳播速度恰好等于光速，即從理論上預(yù)言了電磁波的存在。麥克斯韋還推斷，光也是一種電磁波。后來(lái)（1887年）赫茲用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了電磁波確實(shí)存在，188

8、8年赫茲測(cè)定了電磁波的波速，其數(shù)值與麥克斯韋預(yù)料的完全相同。并用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了電磁波具有光波的一切性質(zhì)，能產(chǎn)生反射、折射、衍射、干涉等現(xiàn)象。此后大量的實(shí)踐都證明麥克斯韋方程組是正確的。它同電荷守恒定律、洛倫茲力公式合在一起，構(gòu)成了宏觀電動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)。)(BvEf4-2 電磁場(chǎng)的基本方程組 分界面上的銜接條件 Maxwell方程是電磁場(chǎng)的基本方程，是賣克斯韋在他提出位移電流的假設(shè)下，全面總結(jié)電生磁和磁生電現(xiàn)象后提出來(lái)的。歸納前面的內(nèi)容，便可得到在靜止媒質(zhì)中其積分形式如下：SdtDSdJldHSSlSdtBldESl0SdBSqSdDS（1）（2）（3）（4）4.2.1 電磁場(chǎng)基本方程組將上面各式分別

9、化為對(duì)應(yīng)的微分形式，并加上考慮媒質(zhì)電磁性能的輔助方程，便得tDJHtBE0 B DEJHBED（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11） 其中(1)、(5)是全電流定律,它表明傳導(dǎo)電流和位移電流即變化的電場(chǎng)都能產(chǎn)生磁場(chǎng)；這里應(yīng)注意到,在積分形式中,在一定的區(qū)域內(nèi)可以同時(shí)存在傳導(dǎo)電流和運(yùn)流電流,但在相應(yīng)的微分形式中,由于它所表征的是每一點(diǎn)上的電磁量之間的關(guān)系，因此,傳導(dǎo)電流密度和運(yùn)流電流密度不可能同時(shí)存在。 (2)、(6)式是電磁感應(yīng)定律,它表明變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)。 (3)、(7)式是磁通連續(xù)性原理,它表明不存在自由電荷。 (4)、(8)式是高斯定理,它表明電荷引起電場(chǎng)。 (9)、(10)、

10、(11)式是表明物質(zhì)極化、磁化和導(dǎo)電性能的方程,也稱為介質(zhì)的特性方程。當(dāng)導(dǎo)電媒質(zhì)中有局外場(chǎng)強(qiáng)Ee時(shí),(11)式改寫成J=(E+Ee)。 全電流連續(xù)性沒有單獨(dú)用方程表示,因?yàn)樗堑谝环匠痰慕Y(jié)果。 麥克斯韋方程是宏觀電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律，電磁場(chǎng)的計(jì)算都可歸結(jié)為求麥克斯韋方程的解，靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)的方程都可以由麥克斯韋方程導(dǎo)出，它們不過(guò)是 的特殊情形下的麥克斯韋方程。0t 例例4-1 在無(wú)源的自由空間中,已知磁場(chǎng)強(qiáng)度mAeztHy/)10103cos(1063. 295求位移電流密度Jd。 解解：由于J=0，麥克斯韋第一方程成為tDH所以，得)/()10103sin(1063. 200294

11、mAeztzHeHeeeHtDJxyxyzyxzyxd 例例4-2 在無(wú)源區(qū)域中，已知調(diào)頻廣播電臺(tái)輻射的電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度)/()9 .201028. 6sin(1092mVeztEy求空間任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 解解：由麥克斯韋第二方程，有將上式對(duì)時(shí)間t積分，若不考慮靜態(tài)場(chǎng)，則有xxyezteZEEtB)9 .201028. 6cos(109 .2092)()9 .201028. 6sin(1033. 3911TeztdteZEBxxy 在不同媒質(zhì)的分界面處，由于媒質(zhì)參數(shù)、或的突變，麥克斯韋方程的微分形式失去意義，代替它的是以積分形式的場(chǎng)方程導(dǎo)出的分界面處電磁場(chǎng)各分量的連續(xù)條件，即銜接條件。

12、在兩種媒質(zhì)分界面上一個(gè)小區(qū)域內(nèi)，運(yùn)用Maxwell方程組的積分形式，可推導(dǎo)出這些銜接條件，這與靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)中所采用的方法相類似。通常在邊界上取一個(gè)長(zhǎng)邊分別位于兩種相鄰媒質(zhì)中的扁平的矩形閉合路徑，對(duì)其利用旋度方程的積分形式（環(huán)路積分）可獲得切向分量的銜接條件；而在分界面上取一個(gè)底面分別位于兩種相鄰媒質(zhì)中的扁平圓柱體，對(duì)其利用散度方程的積分形式（閉合面積分）可獲得法向分量的銜接條件。它們分別是：4.2.2 分界面上的銜接條件 E1t=E2t H1t-H2t=K B1n=B2n D1n-D2n= 以上是任意媒質(zhì)分界面上的邊界條件。現(xiàn)在我們討論兩種無(wú)損耗線性媒質(zhì)之間的分界面 無(wú)損耗線性媒質(zhì)可以用介電

13、常數(shù)和磁導(dǎo)率來(lái)描述，其電導(dǎo)率=0。在兩種無(wú)損耗媒質(zhì)之間的分界面上，一般不存在自由電荷和面電流。于是相應(yīng)的邊界條件可表示成：式中K為分界面相應(yīng)點(diǎn)上的面電流密度，為自由電荷面密度。 E1t=E2t E1sin1=E2sin2 D1n=D2n 1E1cos1=2E2cos2 H1t=H2t H1sin1=H2sin2 B1n=B2n 1H1cos1=2H2cos2式中1、2分別為E1、E2與分界面法線間的夾角；1、2分別為H1、H2與分界面法線間的夾角。從上列各式可得到：以上兩式就是電磁場(chǎng)的折射定律。21212121tgtgtgtgE1E212H1H221圖4-2 對(duì)于理想導(dǎo)體（或完純導(dǎo)體），其電導(dǎo)

14、率。因J=E，而J不可能為無(wú)限大，故E必定為零。又因?yàn)?在時(shí)變電磁場(chǎng)中，電場(chǎng)和磁場(chǎng)總是相互聯(lián)系的,因此在理想導(dǎo)體中也就沒有磁場(chǎng)。否則這個(gè)變化的磁場(chǎng)必將引起電場(chǎng)。根據(jù)這些討論可得，在理想導(dǎo)體（設(shè)為媒質(zhì)1）與電介質(zhì)（設(shè)為媒質(zhì)2）的分界面上,銜接條件為4.2.3理想導(dǎo)體表面上的邊界條件H2t=KB2n= B1n=0E2t= E1t=0D2n=這里必須注意到磁場(chǎng)強(qiáng)度H和面電流K之間的右螺旋關(guān)系，上述邊界條件中磁場(chǎng)強(qiáng)度H2t和面電流密度K之間的關(guān)系可表示成在電介質(zhì)（媒質(zhì)2）與理想導(dǎo)體（媒質(zhì)1）之間的分界面上有KHetn2ne表示導(dǎo)體表面的外法線方向的單位矢量。 例例4-3 比較導(dǎo)體中的傳導(dǎo)電流和位移電流

15、的大小。設(shè)導(dǎo)體中存在電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為Emsint，導(dǎo)體的電導(dǎo)率=10-7 S/m，介電常數(shù)=0。 解解：根據(jù)歐姆定律的微分形式，導(dǎo)體中的傳導(dǎo)電流密度為J=E= Emsint導(dǎo)體中的位移電流密度為fJJd7010tEtEtJmmdcos)sin(00其中=2f。當(dāng)頻率低于光波頻率f=1013Hz時(shí)，在良導(dǎo)體中，位移電流與傳導(dǎo)電流相比，是微不足道的。 例例4-4 已知媒質(zhì)1中的磁場(chǎng)強(qiáng)度為 H1=ex+2ey+3ez A/m分界面上有以線電流密度K=2ex A/m分布的面電流（圖4-3），試求媒質(zhì)2中的磁場(chǎng)強(qiáng)度H2。xyzoK12圖4-3 解解：媒質(zhì)1中H1在分界面上的切向分量為xyzoK12圖4-

16、3H1t=H1tet=H1xex+H1zez=ex+3ez其中，與面電流K相交鏈的磁場(chǎng)切向分量為H1z，根據(jù)公式H2z-H1z=K，有 H2z-H1z= H2z-3=2得 H2z=5由于H1x與面電流K平行，所以有H2x=H1x=1 又根據(jù)公式B2n=B1n，有B2y=B1y=1H1y=21所以有2122221yyBH最后得）（mAeeeeHeHeHHzyxzzyyxx/52212222 根據(jù)電磁場(chǎng)的完整方程組，可以分析一般電磁場(chǎng)問(wèn)題。但是為了簡(jiǎn)化分析起見，也可以象恒定場(chǎng)中那樣，引入某些位函數(shù),通過(guò)它們來(lái)研究電磁場(chǎng)問(wèn)題。當(dāng)我們要研究電磁場(chǎng)與場(chǎng)源(電荷、電流)的關(guān)系時(shí)，引入位函數(shù)尤為必要。這些位

17、函數(shù)要根據(jù)電磁場(chǎng)的性質(zhì)引入,并可將場(chǎng)的方程轉(zhuǎn)化為位的微分方程。在時(shí)變場(chǎng)條件下,這些位函數(shù)也是時(shí)間的函數(shù),故稱為動(dòng)態(tài)位。4-3動(dòng)態(tài)位及其積分解4.3.1 動(dòng)態(tài)位 在時(shí)變電磁場(chǎng)中，空間各點(diǎn)的場(chǎng)量應(yīng)滿足電磁場(chǎng)的基本方程組。為了方便起見，將電磁場(chǎng)方程組重寫于下tDJH0 B D（1）（2）（3）（4） 根據(jù)上面的第（3）式，因旋度的散度恒為零，可引入動(dòng)態(tài)矢量磁位AAB（5） 將（5）式代入（2）式，得到)()(tAAtEtBE0)(tAE即： 因梯度的旋度恒為零，故可引入動(dòng)態(tài)標(biāo)量電位：tAE或：（6） 至此，我們已根據(jù)（2）式和（3）式引入了動(dòng)態(tài)矢量位A和標(biāo)量位。只要求得A和，就可由（5）、（6）兩式

18、求得B和E。tAE4.3.2 達(dá)朗貝爾方程 下面我們來(lái)討論A和的方程： 將（5）式和（6）式代入（1）式，便得)(1tAtJA22)(tAtJA 根據(jù)矢量恒等式，將上式改寫2222)()()(tAtJAAAAAtAJtAA)(222或（7）將（6）式代入（4）式，便得)(tAD)(2At即：（8） 由（7）式和（8）式確定了A和，就可由（5）、（6）式確定B和E。但是給定的B和E并不對(duì)應(yīng)于唯一的A和。tAA，AAA)(tAAtttA)()(則有：例如設(shè)：可見，A和與A和對(duì)應(yīng)于同樣的B和E。要單值的確定動(dòng)態(tài)位，除了規(guī)定A的旋度外，還應(yīng)規(guī)定A的散度。為了方便起見，可令tA0tA上式稱為洛侖茲條件。

19、則（7）和（8）式便化為非齊次波動(dòng)方程或達(dá)朗貝爾方程：ctAA222222t在場(chǎng)量不隨時(shí)間變化時(shí)，上面兩式便退化為泊松方程。（9）即：（10）（11）4.3.3 達(dá)朗貝爾方程的解 在線性、均勻、各向同性的媒質(zhì)中，達(dá)朗貝爾方程是線性微分方程，如果場(chǎng)源分布在有限空間，可以把它分解成無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)源。解出存在點(diǎn)源的達(dá)朗貝爾方程以后，任何分布場(chǎng)源的解將是各點(diǎn)源單獨(dú)作用的解的迭加。圖4-4orP(x,y,z)q(t) 我們先研究空間某一點(diǎn)有一個(gè)隨時(shí)間變化的點(diǎn)電荷q(t)所產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)標(biāo)量位。（如圖4-4所示） 依題意，除了r=0的點(diǎn)之外，空間任意點(diǎn)的標(biāo)量位滿足齊次的達(dá)朗貝爾方程0222t（12）由于點(diǎn)電荷在它

20、周圍空間產(chǎn)生的場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性，即在球坐標(biāo)系中=(r,t)，上式簡(jiǎn)化為只與r有關(guān)的形式11)(112222222vtvrrrrrrr22222)(1)(trvrr（13）或：這是一個(gè)一維波動(dòng)方程，在數(shù)學(xué)中稱為弦振動(dòng)方程。它的通解是)()(21vrvrtftfr（14）式中f1、f2是存在二階偏導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)任意函數(shù)，其具體形式可根據(jù)定解條件來(lái)確定。 上面推出的（14）式右端有兩項(xiàng)，從數(shù)學(xué)上看，都是達(dá)朗貝爾方程的解，然而，物理意義卻不同。 先看第一項(xiàng)，因當(dāng)t增加t，r增加r=vt時(shí)vrvtvrttt)(不變，故f1(t-r/v）不變。也就是說(shuō)，在r處，t時(shí)刻的F1值，在時(shí)間增加t時(shí)，將出現(xiàn)在r+r=r

21、+vt處。故f1(t-r/v)代表沿r方向離開場(chǎng)源以速度v推進(jìn)的波，稱為入射波。同理可知，f2(t-r/v)代表沿著(-r)方向以速度v推進(jìn)的波，稱為反射波 對(duì)于入射波，空間任意點(diǎn)（x,y,z)在t時(shí)刻的值，并不決定于此時(shí)刻體積 V內(nèi)場(chǎng)源的分布，而是決定于此時(shí)可之前即(t-r/v)時(shí)刻場(chǎng)源的分布，相差r/v秒，這正好是源的擾動(dòng)以速度傳播r的距離到達(dá)場(chǎng)點(diǎn)P所需的時(shí)間，因此又稱動(dòng)態(tài)位為推遲位。1v對(duì)于反射波，從形式上看具有超前的意義。但反射波是由于入射波在前進(jìn)過(guò)程中遇上媒質(zhì)不均勻處發(fā)生反射而形成的，它沿（-r）方向前進(jìn)，它的推遲時(shí)間是從激勵(lì)源經(jīng)過(guò)反射到達(dá)空間某一點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間，所以推遲得更多。 我

22、們知道，靜電場(chǎng)是時(shí)變場(chǎng)的一個(gè)特例，這時(shí)達(dá)朗貝爾方程就蛻變成泊松方程。因?yàn)辄c(diǎn)電荷的泊松方程的解為rqr4)(（15）點(diǎn)電荷的達(dá)朗貝爾方程可根據(jù)上式通過(guò)類比的方法得到。即rtqrtqvrvr4)(4)(（16）P(x,y,z)dVVRP(x,y,z)圖4-5、 如果時(shí)變電荷以密度分布在體積V內(nèi)，如圖4-5所示，可把分布電荷分解為許多點(diǎn)源，每個(gè)點(diǎn)源上的電量是dV,它在空間任意點(diǎn)所產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)標(biāo)量位是4), , , (4), , , (),(dVRtzyxdVRtzyxtzyxdvrvr式中, 整個(gè)分布電荷在場(chǎng)點(diǎn)P(x,y,z)所產(chǎn)生的標(biāo)量位是上式在電荷分布區(qū)域V內(nèi)的積分，即 rrR4141), , ,

23、 (), , , (),(VvrVvrdVRtzyxdVRtzyxtzyx 在體積V內(nèi)分布有時(shí)變電流源時(shí)，同理得出動(dòng)態(tài)矢量位A的解是44), , , (), , , (),(VvrVvrdVrtzyxJdVrtzyxJtzyxA（17）（18） 在無(wú)限大均勻媒質(zhì)中，不存在反射波，所以41), , , (),(VvrdVRtzyxtzyx4), , , (),(VvrdVRtzyxJtzyxA 電磁場(chǎng)的波動(dòng)性說(shuō)明，任何電磁擾動(dòng)在介質(zhì)中都以一個(gè)有限的速度傳播，這個(gè)速度稱為波速，它由媒質(zhì)的特性決定。rrrrcv0011smc/1031800其中 是電磁波在自由空間傳播的速度，即光速。BHDEme21

24、21 在研究靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)時(shí)，我們已經(jīng)知道，電能儲(chǔ)存在電場(chǎng)中，電場(chǎng)能量的分布密度為 ；磁能儲(chǔ)存在磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)能量的分布密度為 。 BHm21DEe21 在時(shí)變電磁場(chǎng)中，既有電場(chǎng)，又有磁場(chǎng)。因此，電磁場(chǎng)中總的電磁能量的分布密度為4-4電磁功率流和坡印亭矢量 由麥克斯韋方程連同電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量的表示式可以推導(dǎo)出反映電磁場(chǎng)中能量守恒及轉(zhuǎn)換關(guān)系的坡印亭定理。如果閉合面S包圍的區(qū)域V中介質(zhì)均勻且各向同性時(shí)，由矢量恒等式在上式右邊代入Maxwell第一方程和第二方程)()()(HEEHHEtBEtDJH，tDEJEtBHHE)(代入，得到P.334倒1行當(dāng)和是常數(shù)（不隨時(shí)間而變化）時(shí)類似地HBttHH

25、tHHtBH21)(21)(EDttDE21于是我們得到JEEDHBtHE2121)(將上式兩邊對(duì)體積V積分，再應(yīng)用高斯散度定理，即可得到VVAdVJEdVEDHBtAdHE2121)(式中A為限定體積V的閉合面。VVdVHBEDdVW2121)(eEEJeEJE即： 如果以和代入上式，則有dVJEdVJtWAdHEVeVA2)( 上式是在時(shí)變電磁場(chǎng)情況下，能量守恒定律的表達(dá)式，稱為電磁能流定理或坡印亭定理（ Poyntings Theorem ）。各項(xiàng)的意義可敘述如下：等號(hào)右邊第一項(xiàng)表示體積V內(nèi)電磁場(chǎng)能量的增加率；第二項(xiàng)為體積V內(nèi)由于傳導(dǎo)電流而損耗的熱功率；第三項(xiàng)為體積V中由外源（局外場(chǎng)Ee

26、）提供的電功率。第一項(xiàng)外源提供的功率減去后面三部分后，剩下的功率通過(guò)包圍體積V的閉合面S向外輸送，這就是等號(hào)左邊一項(xiàng)的意義。HES 引入矢量稱為坡印亭矢量（Poyntings Vector）。它表示在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)與能流方向相垂直的單位面積的電磁能量。在國(guó)際單位制中，它的單位是每平方米瓦特（W/m2）。由它的積分可以計(jì)算通過(guò)某一面積的電磁能量。 在靜態(tài)情況時(shí)，坡印亭定理表達(dá)式中，電磁場(chǎng)儲(chǔ)能對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為零；且不存在局外場(chǎng)Ee。則流入閉合面的總功率等于耗散在封閉體積內(nèi)的歐姆功率，即dVJAdHEVA2)(若在所考慮的場(chǎng)域內(nèi)也不存在傳導(dǎo)電流，則上式變?yōu)?)(AdHEA表明對(duì)于一個(gè)閉合面，它的部分表

27、面上有功率流入而在其余部分有功率流出，兩者量值相等，因而整個(gè)閉合面積分為零。圖4-6IUabARR1R2R 例例4-5 用坡印亭矢量研究直流能量沿同軸電纜傳輸?shù)那闆r。設(shè)電纜導(dǎo)體本身的電阻可略去不計(jì)。解解：考慮任一截面ab，通過(guò)ab面作一包含負(fù)載的大閉合面A如圖4-6所示。計(jì)算這個(gè)面上坡印亭矢量的積分值，便是電源送到負(fù)載去的功率。 對(duì)本題而言，在電纜外部空間沒有電、磁場(chǎng)，在導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零，從而坡印亭矢量為零故只要計(jì)算內(nèi)導(dǎo)體合外導(dǎo)體之間的環(huán)形截面上坡印亭矢量的積分就可以了。 考慮到同軸電纜為完純導(dǎo)體（），其內(nèi)外導(dǎo)體表面無(wú)電場(chǎng)的切向分量，故只有電場(chǎng)的徑向分量。因已知U、I，可求得半徑為R處的電、磁

28、場(chǎng)為eRRUE12lneIH2zeRRUIeeRRUIHES122122ln2ln2所以通過(guò)ab面?zhèn)鬏斀o負(fù)載的功率為UIdRRUIAdSAdSPRRabA212ln2122由此可見，能量是在兩導(dǎo)體之間的空間沿軸線方向傳輸?shù)摹Ｔ趯?dǎo)體內(nèi)部，由于E=0，故S=0，因而沒有能量流。導(dǎo)體只起引導(dǎo)能量流的作用。 例例4-6 上題，設(shè)導(dǎo)體的電阻不為零，研究能量的傳輸情況。 解解:當(dāng)導(dǎo)體的電阻不為零時(shí)，將有沿電流方向的切向電場(chǎng)分量JEz磁場(chǎng)的分布狀況仍和例4-5相同,只有e 方向的分量，此時(shí)電、磁場(chǎng)的分布狀況如圖4-7所示。E圖4-7HEEzSzSSzI 在導(dǎo)體內(nèi)部，電場(chǎng)只有z方向的分量，沒有方向上的分量，所

29、以坡印亭矢量只有S分量而無(wú)Sz分量。這就是說(shuō)，在導(dǎo)體內(nèi)部沒有沿z方向傳輸能量，所以能量仍在導(dǎo)體之間的空間傳輸。 在內(nèi)外導(dǎo)體之間，由于導(dǎo)體電阻不為零，因而有 Ez分量存在，這樣S就有兩個(gè)分量Sz和S。 沿z方向傳輸?shù)墓β剩捎门c上例類似方法進(jìn)行計(jì)算：zzeHEHES通過(guò)A面輸入的功率為IzUsdSPSzz)(（“-”號(hào)表示輸入）因?yàn)檠貙?dǎo)線有電壓降，所以兩導(dǎo)線間的電壓是z的函數(shù)。 再來(lái)討論S的含義。截取單位長(zhǎng)度的內(nèi)導(dǎo)體，把它的表面作為A面，根據(jù)坡印亭定理可知，由S面進(jìn)入的坡印亭矢量的通量，應(yīng)等于這段導(dǎo)體電阻上的消耗功率Pr，下面我們就來(lái)進(jìn)行計(jì)算： 因在A面上（兩端面除外，因S與端面平行，沒有通過(guò)端

30、面的坡印亭矢量的通量，所以我們不去考慮）12121RIHIRRIJEz，)(2)(12eRRIeHEHESzzRIdzRRRIP21101222“”號(hào)表示穿入A面 由這個(gè)例子的結(jié)果可見，對(duì)有損耗的傳輸線，能量仍在兩導(dǎo)體間傳輸。只是在傳輸過(guò)程中有部分能量為導(dǎo)體所吸收，變?yōu)閷?dǎo)體電阻上的能量損耗罷了。如果僅憑直覺，往往會(huì)認(rèn)為能量是通過(guò)電流在導(dǎo)體中傳輸?shù)摹５墙?jīng)過(guò)分析，說(shuō)明實(shí)際情況不是這樣。大量科學(xué)實(shí)踐的事例，說(shuō)明電磁能量是在空間傳輸?shù)摹＠缭谝惶幇l(fā)射電磁波，中間隔了廣大的空間，而另一處都能接收到電磁波，就是一個(gè)例子。 這個(gè)結(jié)果正是我們熟知的電阻消耗功率的公式。同樣，通過(guò)計(jì)算外導(dǎo)體表面的坡印亭矢量通量

31、,可得到單位長(zhǎng)度外導(dǎo)體上電阻消耗的功率為I2R”。4-5 正弦電磁場(chǎng) 在時(shí)變電磁場(chǎng)中有一類最常見的情況就是隨時(shí)間作正弦變化的電磁場(chǎng)，由電路理論可知，對(duì)任意正弦量，可以應(yīng)用相量來(lái)簡(jiǎn)化分析。 4.5.1正弦電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示法 例如有場(chǎng)量F=Fmcos(t+)或F=Fmsin(t+)，可引入相量 來(lái)表示正弦量的有效值和初相， ，它和場(chǎng)量的關(guān)系為： FjmeFF22)(tjmeFItF22)(tjetjetteFjReFRtF2)(tjeeFRtF把這些關(guān)系代入Maxwells Equations中，就可得到Maxwells Equations的相量形式(即復(fù)數(shù)形式)為EJHBEDDBBjEDjJH0 在時(shí)變場(chǎng)的情形下，用復(fù)數(shù)可以導(dǎo)出功率流的更有用的表示式，并且可以把研究的范圍擴(kuò)大到有損耗介質(zhì)。 用 分別表示 的共軛復(fù)數(shù)，并設(shè)介質(zhì)的及都是復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)，由恒等式HE 和HE和HEEHHEEEjHHjEHE及在上式中代入 的旋度：4.5.2坡印亭定理的復(fù)數(shù)形式EEHHEEjHEEEEEjHHjHE)(得：上式左邊表示進(jìn)入單位體積的復(fù)功率。將上式對(duì)體積V積分并應(yīng)用散度定理將左邊