分離變量法-2

1、數(shù)學物理方法數(shù)學物理方法 第二章 分離變量法 ( Meshod of Separate Variable )思路思路分離變量法提要n有界弦的自由振動有界弦的自由振動n有限長桿上的熱傳導有限長桿上的熱傳導n圓域內的二維拉普拉斯方程的定解問題圓域內的二維拉普拉斯方程的定解問題n非齊次方程的解法非齊次方程的解法n非齊次邊界條件的處理非齊次邊界條件的處理n關于二階常微分方程本征值問題的一些結論關于二階常微分方程本征值問題的一些結論 物理學、工程技術領域的許多問題物理學、工程技術領域的許多問題 ，都可以歸結為偏微分方程的，都可以歸結為偏微分方程的 定解問題。定解問題。偏微分方程偏微分方程定解條件定解條件

2、求滿足它們的解（定解問題）求滿足它們的解（定解問題）在微積分學中在微積分學中:多元函數(shù)的多元函數(shù)的微分微分積分積分(轉化為轉化為)一元函數(shù)的一元函數(shù)的微分微分積分積分分離變量法分離變量法:偏微分方程偏微分方程(定解問題定解問題)(轉化為轉化為)常微分方程的求解常微分方程的求解2.1 2.1 有界弦的自由振動有界弦的自由振動什么是分離變量法什么是分離變量法?運用分離變量法所應該具備的條件運用分離變量法所應該具備的條件?如何應用分離變量法解定解問題如何應用分離變量法解定解問題?以弦振動為例以弦振動為例 . (兩端固定兩端固定) .0, )(;)(|0,0|,0|0,0,00022222lxxtux

3、utuutlxxuatuttlxx 泛定方程泛定方程邊界條件邊界條件初始條件初始條件定解問題為定解問題為:主導思想：主導思想：在討論常系數(shù)、線性、齊次常微分方程的初值問題時，在討論常系數(shù)、線性、齊次常微分方程的初值問題時，求出足夠多的特解求出足夠多的特解線性迭加這些足夠多的特解線性迭加這些足夠多的特解使之滿足初始條件使之滿足初始條件常微分方程常微分方程不但含有未知函數(shù)，而且不但含有未知函數(shù)，而且還含有未知函數(shù)的導數(shù)，且自變量只有一還含有未知函數(shù)的導數(shù)，且自變量只有一個，稱之為常微分方程。個，稱之為常微分方程。線性線性未知函數(shù)，以及未知函數(shù)的導數(shù)未知函數(shù)，以及未知函數(shù)的導數(shù)都是一次冪，稱之為線性

4、。都是一次冪，稱之為線性。通解通解一般地講，一階常微分方程含有一般地講，一階常微分方程含有一個任意常數(shù)的解，稱之為通解。一個任意常數(shù)的解，稱之為通解。特解特解確定了任意常數(shù)的解，稱之為特確定了任意常數(shù)的解，稱之為特解。一般來說，當初始條件給定之后，滿解。一般來說，當初始條件給定之后，滿足初始條件的特解只有一個。足初始條件的特解只有一個。啟發(fā)：啟發(fā)：求出足夠多的求出足夠多的, 滿足邊界條件的滿足邊界條件的,具有變量分離形式的特解具有變量分離形式的特解.線性組合這些足夠多的特解線性組合這些足夠多的特解使之滿足初始條件使之滿足初始條件 從物理學知從物理學知,樂器發(fā)出的聲音樂器發(fā)出的聲音,可以分解為各

5、種不同頻率的單音可以分解為各種不同頻率的單音,每種單音每種單音振動時所形成的正弦曲線振動時所形成的正弦曲線,其振幅依賴于時間其振幅依賴于時間 t .為此為此,特解可表示為特解可表示為xtAtxu sin)(),( 的形式的形式.特點特點: 中的變量中的變量utx,被形式上分離為被形式上分離為振幅振幅-關于時間關于時間t位相位相-關于坐標關于坐標x一、對此，試探性提出方程組一、對此，試探性提出方程組 中第一個方程的分離變量中第一個方程的分離變量 形式的非零解（特解）形式的非零解（特解） .0, )(;)(|0,0|,0|0,0,00022222lxxtuxutuutlxxuatuttlxx )(

6、)(),(tTxXtxu 上式分別對上式分別對 x 、 t 求偏導求偏導)()(;)()(2222tTxXtutTxXxu 上面的結果，反回去代入原方程，得上面的結果，反回去代入原方程，得)()()()(2tTxXatTxX 或或)()(xXxX )()(2tTatT 若要兩邊恒等，只有都等若要兩邊恒等，只有都等于一個常數(shù)。于一個常數(shù)。 這樣，變量被分離了，這樣，變量被分離了，同時得到兩個常微分方程！同時得到兩個常微分方程！0)()(2 tTatT 0)()( xXxX 二、捆綁邊界條件二、捆綁邊界條件 .0, )(;)(|0,0|,0|0,0,00022222lxxtuxutuutlxxua

7、tuttlxx 由于由于將其與方程組中的邊界條件將其與方程組中的邊界條件捆綁捆綁)()(),(tTxXtxu 由由0)()0(00 tTXux由由0)()(0 tTlXulx其中，其中， 。蓋由于。蓋由于 ，則，則 所涉及的解，顯然所涉及的解，顯然不是我們所需要的（零解?。?。不是我們所需要的（零解?。?。0)( tT0)( tT,0),( txu 由此可見，只有由此可見，只有 。將此結果與所得到的常微分方程。將此結果與所得到的常微分方程中的第二個方程（關于中的第二個方程（關于X ）聯(lián)立）聯(lián)立0)()0( lXX0)()( xXxX 0)()0( lXX0)()(2 tTatT 0)()( xXx

8、X 0)()( xXxX 0)()0( lXX三、在右列方程組中，解出非零的三、在右列方程組中，解出非零的 。)(xX以下的任務：以下的任務：確定確定 取何值時取何值時 ，方程，方程 有滿足條件有滿足條件0)()( xXxX 0)()0( lXX的非零解；的非零解；求出這個非零解求出這個非零解 。)(xX本征值本征值本征值本征值問題問題本征函數(shù)本征函數(shù)以下，針對以下，針對 ，分三種情況來討論：，分三種情況來討論：（1）. 設設 0 . 0 . 0 . 并令并令=2 2 (為非零實數(shù)為非零實數(shù)),),此時方程此時方程 的通解為的通解為0)()( xXxX xBxAxX sincos)( 由邊界條

9、件由邊界條件 得得0)()0( lXX 0sin0lBA 由于由于不能為零不能為零( (否則否則 ), ),所以只有所以只有 , ,即即0)( xX0sin x )3 , 2 , 1( nln 從而有從而有:222ln . 由此由此,求出了關于求出了關于 的本征值問題的本征值問題.)(xX222lnn )3 , 2 , 1(.sin)( nxlnBxXnn 四、回過頭來求函數(shù)四、回過頭來求函數(shù))(tT0)()(2 tTatT 0)()( xXxX 以本征值以本征值 代入右邊第一式代入右邊第一式, 得得222lnn 0)()(2222 tTlnatTnn 顯然顯然,其通解為其通解為)3 , 2

10、, 1(,sincos)( ntlnaDtlnaCtTnnn 將將 和和 一并代入一并代入 , 經(jīng)整理后得經(jīng)整理后得)(xXn)(tTn)()(),(tTxXtxu )3 , 2 , 1(sinsincos),( nxlntlnaDtlnaCtxunnn 其中其中, 為任意常數(shù)為任意常數(shù).nnnnnnDBDCBC ,五、求滿足五、求滿足(捆綁捆綁)初始條件的解初始條件的解為求原定解問題的解為求原定解問題的解,將前面所得到的包含任意常數(shù)的解迭加起來將前面所得到的包含任意常數(shù)的解迭加起來)3 , 2 , 1(sinsincos),( nxlntlnaDtlnaCtxunnn )3 , 2 , 1(

11、sinsincos),(),(11 nxlntlnaDtlnaCtxutxunnnnn 右端分析右端分析: 由迭加原理知由迭加原理知,無窮級數(shù)是收斂的無窮級數(shù)是收斂的; 都可以對都可以對 x , t 逐項微分逐項微分 2 次次; 也滿足原偏微分方程和邊界條件也滿足原偏微分方程和邊界條件.任務任務: 選擇適當?shù)倪x擇適當?shù)?使使 滿足滿足 初始條件初始條件 . 為此為此, 必須有必須有），（，、txuDCnn)(sin)0,(),(10 xxlnCxutxunnt )(sin10 xxlnlnaDtunnt .0, )(;)(|0,0|,0|0,0,00022222lxxtuxutuutlxxua

12、tuttlxx 反過來反過來,回頭看回頭看,這正是一種展這正是一種展開式開式!原來原來, , 分別是分別是 , 在在 區(qū)間上區(qū)間上, 按照按照完備的三角函數(shù)系完備的三角函數(shù)系 展開的傅立葉級數(shù)的展開系數(shù)展開的傅立葉級數(shù)的展開系數(shù) . 也就是也就是nnDlnaC ,)(, )(xx l ,0 xln sin lnlnxdxlnxnaDxdxlnxlC00sin)(2sin)(2 關于解的存在性關于解的存在性:)3 , 2 , 1(sinsincos),(),(11 nxlntlnaDtlnaCtxutxunnnnn .0, )(;)(|0,0|,0|0,0,00022222lxxtuxutuut

13、lxxuatuttlxx 由上式所確定的由上式所確定的 , 確實是確實是),(txu的解的解. 其中的系數(shù)其中的系數(shù) 由由nnDC , lnlnxdxlnxnaDxdxlnxlC00sin)(2sin)(2 確定之外確定之外,還要求還要求(應該滿足應該滿足): 所得到的級數(shù)收斂所得到的級數(shù)收斂; 且能對且能對 逐項微分兩次逐項微分兩次.tx ,有鑒于此有鑒于此 , 只需要對只需要對 , 附加一些條件限制附加一些條件限制,一般情況下都一般情況下都能滿足能滿足. 即如果即如果 (1). 三次連續(xù)可微三次連續(xù)可微, 兩次連續(xù)可微兩次連續(xù)可微. (2). 且且)(x )(x )(x )(x 0)()0

14、()()0()()0( lll 關于原定解問題的形式解關于原定解問題的形式解:)(, )(xx 倘若倘若 不滿足上述條件不滿足上述條件, 由邊界條件和初始條件所確定的由邊界條件和初始條件所確定的 不具備古典解的要求不具備古典解的要求 ,那么它只能是原定解問題的一個形那么它只能是原定解問題的一個形 式解式解. 依據(jù)實變函數(shù)理論依據(jù)實變函數(shù)理論, 只要只要 在在 上是上是 可積的可積的, 函數(shù)列函數(shù)列(展開式展開式)nnDCxu, )()(, )(xx l ,02lxlkCnkkn sin1 xlklkaDxnkkn sin)(1 分別收斂于分別收斂于 ,則其中則其中 仍然有前面展開系數(shù)公式確定仍

15、然有前面展開系數(shù)公式確定.)(, )(xx ,kCkDxlkCnkkn sin1 xlklkaDxnkkn sin)(1 分別收斂于分別收斂于 ,則其中則其中 仍然有前面展開系數(shù)公式確定仍然有前面展開系數(shù)公式確定.)(, )(xx ,kCkD如果將原方程中的初始條件如果將原方程中的初始條件 .0, )(;)(|0,0|,0|0,0,00022222lxxtuxutuutlxxuatuttlxx )(0 xtunt )(),(0 xtxunt 代之以代之以 和和 ,則相應的定解問題的解為則相應的定解問題的解為)3 , 2 , 1(sinsincos),(1 kxlktlkaDtlkaCtxSkk

16、nkn 所以所以,當當 n 很大時很大時, 作為近似解作為近似解 ,它平均收斂的極限是它平均收斂的極限是 ,這這也是很有實際意義的也是很有實際意義的.),(txSn),(txu關于綜合工作關于綜合工作:變量被分離之后變量被分離之后捆綁邊界條件捆綁邊界條件捆綁初始條件捆綁初始條件得到的解得到的解稱為稱為形式解形式解 這種形式上推導這種形式上推導解的過程，被稱為解的過程，被稱為分分析過程。析過程。 要證明它滿足方程和定要證明它滿足方程和定解條件，還必須進行驗算。解條件，還必須進行驗算。 從偏微分方程的方法論考慮：大多從偏微分方程的方法論考慮：大多數(shù)情況下，先求形式解；數(shù)情況下，先求形式解； 再驗證

17、它就再驗證它就是古典解。驗證的過程，被稱為是古典解。驗證的過程，被稱為綜合過綜合過程程。本書僅限于求形式解，認定定解問。本書僅限于求形式解，認定定解問題已經(jīng)解決。題已經(jīng)解決。分離變量流程圖xxtuau2 0|0 Lxxuu)()(|00 xtuxutt )()(xXtTu TaTXX20 XX 02 TaT xlnaDtlnaCTnnn sincos 222,sinlnxlnBXnnn )()(tTxXunnn ),(1txuunn 舉例舉例:例例1. 設一根長為設一根長為10個單位的細弦個單位的細弦,兩端固定兩端固定,初速為零初速為零,初位移初位移 與材料有關的量與材料有關的量 ,求弦作微小

18、橫振動時的位移求弦作微小橫振動時的位移 .,1000)10()(xxx 10002 Ta),(txu解解: 其定解問題為其定解問題為 .100,0;1000)10(|0,0|,0|0,100,0010022222xtuxxutuutxxuatuttxx顯然顯然,這個問題的傅立葉級數(shù)形式解可由這個問題的傅立葉級數(shù)形式解可由)3 , 2 , 1(sinsincos),(),(11 nxlntlnaDtlnaCtxutxunnnnn 給出給出, 其中其中)3 , 2 , 1(sinsincos),(),(11 nxlntlnaDtlnaCtxutxunnnnn 給出給出, 其中其中 33333310

19、00)12(54540)cos1(5210sin1000)10(102sin)(2 nnnnxdxnxxxdxlnxlClnxdxlnxanDln 0sin)(2 0 00 ttun 為偶數(shù)為偶數(shù) n 為奇數(shù)為奇數(shù) 因此因此,所求的解為所求的解為xlntlnantxun )12(sin)12(cos)12(54),(330 )3 , 2 , 1(sinsincos),(),(11 nxlntlnaDtlnaCtxutxunnnnn xntnnn10)12(sin)12(10cos)12(154033 100,100002 aEa xntnnn10)12(sin10)12(100cos)12(5

20、4330 .0;2|0;0|0,0,020022222ttlxxtuxlxuxuutlxxuatu例例 2. 解下列定解問題解下列定解問題 .100,0;1000)10(|0,0|,0|0,100,0010022222xtuxxutuutxxuatuttxx例例 1. 定解問題定解問題分析分析: 對比上面兩個定解問題對比上面兩個定解問題,與例與例 1 所不同的是所不同的是, 這一端的邊界條這一端的邊界條件件 已經(jīng)不是第一類齊次邊界條件已經(jīng)不是第一類齊次邊界條件 , 而是第二類齊次邊界條件而是第二類齊次邊界條件 .lx 0 lxu0 lxxu第二類齊次邊界條件第二類齊次邊界條件第一類齊次邊界條件

21、第一類齊次邊界條件一、對此，試探性提出方程組一、對此，試探性提出方程組 中第一個方程的分離變量中第一個方程的分離變量 形式的非零解（特解）形式的非零解（特解） .0;2|0;0|0,0,020022222ttlxxtuxlxuxuutlxxuatu)()(),(tTxXtxu 上式分別對上式分別對 x 、 t 求偏導求偏導)()(;)()(2222tTxXtutTxXxu 上面的結果，反回去代入原方程，得上面的結果，反回去代入原方程，得)()()()(2tTxXatTxX 或或)()(xXxX )()(2tTatT 若要兩邊恒等，只有都等若要兩邊恒等，只有都等于一個常數(shù)。于一個常數(shù)。 這樣，變

22、量被分離了，這樣，變量被分離了，同時得到兩個常微分方程！同時得到兩個常微分方程！0)()(2 tTatT 0)()( xXxX 二、捆綁邊界條件二、捆綁邊界條件 .0;2|0;0|0,0,020022222ttlxxtuxlxuxuutlxxuatu由于由于將其與方程組中的邊界條件將其與方程組中的邊界條件捆綁捆綁)()(),(tTxXtxu 由由0)()0(00 tTXux由由0)()(0 tTlXxulx其中，其中， 。因為如果。因為如果 ，則，則 所涉及的解，顯所涉及的解，顯然不是我們所需要的（零解?。?。然不是我們所需要的（零解?。?。0)( tT0)( tT,0),( txu 由此可見，只

23、有由此可見，只有 。將此結果與所得到的常微分方程。將此結果與所得到的常微分方程中的第二個方程（關于中的第二個方程（關于X ）聯(lián)立）聯(lián)立0)()0( lXX0)()( xXxX 0)()0( lXX0)()(2 tTatT 0)()( xXxX 組成了關于組成了關于的的本征值問題本征值問題)(xX0)()( xXxX 0)()0( lXX三、在右列方程組中，解出非零的三、在右列方程組中，解出非零的 。)(xX0)()( xXxX 重復前面的討論重復前面的討論,只有當只有當 時時, 本征值本征值問題才有非零解問題才有非零解, 此時此時 的通解仍為的通解仍為02 xBxAxX sincos)( 0)

24、()0( lXX 代入邊界條件代入邊界條件: , 得得 0cos0lBA 由于由于 , 故故 , 即即0 B0cos l ), 2 , 1 , 0(212 nln 從而求得了一系列本征值與本征函數(shù)從而求得了一系列本征值與本征函數(shù),4)12(222lnn ), 2 , 1(2)12(sin)( nxlnBxXnn 本征值本征值本征函數(shù)本征函數(shù)四、回過頭來求函數(shù)四、回過頭來求函數(shù))(tT0)()(2 tTatT 0)()( xXxX ,4)12(222lnn ), 2 , 1(2)12(sin)( nxlnBxXnn 將這些本征值將這些本征值, 回過頭代入右上角黃色背景的方程中回過頭代入右上角黃色

25、背景的方程中, 其通解為其通解為)3 , 2 , 1(,2)12(sin2)12(cos)( ntlanDtlanCtTnnn 將將 和和 一并代入一并代入 , 經(jīng)整理后得到了既滿經(jīng)整理后得到了既滿足泛定方程足泛定方程,又滿足邊界條件的一組分離變量形式的特解又滿足邊界條件的一組分離變量形式的特解)(xXn)(tTn)()(),(tTxXtxu xlntlanDtlanCtxunnnn2)12(sin2)12(sin2)12(cos),(0 )2 , 1 , 0( n關于關于 t 的的關于關于 x 的的xlntlanDtlanCtxunnnn2)12(sin2)12(sin2)12(cos),(

26、0 五、求滿足五、求滿足(捆綁捆綁)初始條件的解初始條件的解 .0;2|0;0|0,0,020022222ttlxxtuxlxuxuutlxxuatu利用初始條件利用初始條件, 確定上面方程中的任意常數(shù)確定上面方程中的任意常數(shù)02)12(sin)(20 xdxlnxanDln xdxlnxlCln 02)12(sin)(2 xdxlnxlxll 2)12(sin)2(202 33)12(32 nlxlnlannltxunn2)12(sin2)12(cos)12(132),(033 0 nD nC33)12(32 nl故故, 所求之解為所求之解為xlntlanDtlanCtxunnnn2)12(

27、sin2)12(sin2)12(cos),(0 2.2 2.2 有限長桿上的熱傳導有限長桿上的熱傳導設有一均勻細桿設有一均勻細桿, 長為長為 ,ll兩端點的坐標為兩端點的坐標為 和和 , 0 xlx 0l桿的側面桿的側面是絕熱的是絕熱的, 且在左端點且在左端點 處處,溫度為零攝氏度溫度為零攝氏度, 而在另一端而在另一端 處處,0 xlx 桿的熱量自由發(fā)散到周圍溫度為零的介質中去桿的熱量自由發(fā)散到周圍溫度為零的介質中去, (參考第一章第一節(jié)中的第三參考第一章第一節(jié)中的第三類邊界條件類邊界條件,并注意在桿的右端截面外法向與并注意在桿的右端截面外法向與 軸正方向重合軸正方向重合).xx左端點處溫度左

28、端點處溫度為零為零右端面外法向與右端面外法向與 x 軸正向重合軸正向重合熱量流動的方向熱量流動的方向(高溫高溫 低溫低溫)周圍溫度為零周圍溫度為零已知已知:初始溫度分布為初始溫度分布為求求:桿上的溫度變化規(guī)律桿上的溫度變化規(guī)律?, )(x l0lx左端點處溫度左端點處溫度為零為零右端面外法向與右端面外法向與 x 軸正向重合軸正向重合熱量流動的方向熱量流動的方向(高溫高溫 低溫低溫)周圍溫度為零周圍溫度為零解解: 這是一個定解問題這是一個定解問題, 其一維熱傳導方程為其一維熱傳導方程為 ,0,0,222 tlxxuatu其中其中 cka 2邊界條件為邊界條件為00 xu,0),(),( tluh

29、xtlu;其中其中kkh1 介質的介質的熱傳導熱傳導系數(shù)系數(shù)桿的熱桿的熱傳導系傳導系數(shù)數(shù)左端溫度為零左端溫度為零?,0),(),( tluhxtlul0lxk1k當桿與外界有熱交換時當桿與外界有熱交換時, 熱量由桿內熱量由桿內(高溫高溫)向桿外向桿外(低溫低溫)流動流動, 而溫度梯而溫度梯度的方向度的方向,則是指向溫度升高的方向則是指向溫度升高的方向. 因此因此,由傅立葉熱學實驗知由傅立葉熱學實驗知ssuuknuk)(11 ssuukknu)(11 ssuuhnu)(1 ssuhuhnu1)( lluhuhxu1)( 周圍介質的溫度為零周圍介質的溫度為零初始條件為初始條件為)()0 ,(xxu

30、 于是于是, 定解問題為定解問題為,00 xu0,0),(),( ttluhxtlulxxxu 0, )()0 ,( ,0,0,222 tlxxuatu一、對此，試探性提出方程組中第一個方程的分離變量形式的非零解（特解）一、對此，試探性提出方程組中第一個方程的分離變量形式的非零解（特解）)()(),(tTxXtxu 上式分別對上式分別對 x 、 t 求偏導求偏導)()(;)()(22tTxXtutTxXxu 上面的結果，反回去代入原方程，得上面的結果，反回去代入原方程，得)()()()(2tTxXatTxX 或或)()(xXxX )()(2tTatT 2 若要兩邊恒等，只有都等若要兩邊恒等，只

31、有都等于一個常數(shù)。于一個常數(shù)。 這樣，變量被分離了，這樣，變量被分離了，同時得到兩個常微分方程！同時得到兩個常微分方程！0)()(22 tTatT 0)()(2 xXxX 二、捆綁邊界條件二、捆綁邊界條件,解出解出)(xX 方程的非零解為方程的非零解為)(xXxBxAxX sincos)( 依據(jù)邊界條件依據(jù)邊界條件 , 由由00)0( AX0sincos0)()( lhllXhlX 以下的任務以下的任務, 就是要求出就是要求出0sincos lhl 為求為求 , 令令 即即 ,1,lhl lhlhlhtg上面方程的根上面方程的根, 可視為曲線可視為曲線 21ytgy交點的橫坐標交點的橫坐標.y

32、 tgy 1 2y2 1 1 2 取正根（負根僅差一符號）無窮多取正根（負根僅差一符號）無窮多,321n 因此，求得了關于因此，求得了關于 方程的方程的)( xX本征值：本征值：,2222222222121lllnn 本征函數(shù)：本征函數(shù)：.sin)(xBxXnnn 三、在右列方程組中，解出非零的三、在右列方程組中，解出非零的 。)(tT0)()(22 tTatT 0)()(2 xXxX tannneAtT22)( 因此，因此，)()(),(tTxXtxunnn xeBAntannn sin22 ), 3 , 2 , 1(sin22 nxeCntann 四、寫出疊加形式的解，并捆綁初始條件，確定

33、任意常數(shù)。四、寫出疊加形式的解，并捆綁初始條件，確定任意常數(shù)。00 xu,0),(),( tluhxtlu;)()0 ,(xxu ,0,0,222 tlxxuatu由于泛定方程和邊界條件都由于泛定方程和邊界條件都是齊次的是齊次的, 所以所以xeCtxutxuntannnnn sin),(),(2211 問題問題: 能否展成能否展成 級數(shù)形式級數(shù)形式?)(x xeCntannn sin221 如何確定如何確定?nC只要求只要求 在在 上滿足上滿足 Dirichlet)(x l , 0(狄利克雷狄利克雷)條件條件:(1) 在在 有定義有定義,且單值且單值;)(x ll, (2) 為周期函數(shù)為周期函

34、數(shù),且周期為且周期為 ;)(x l2(3) 與與 在在 內分段連續(xù)內分段連續(xù);)(x )(x ll, (1)、(2)、（、（3）是充分的！但不是）是充分的！但不是必要的！而在實際中，這些條件通常必要的！而在實際中，這些條件通常是滿足的。是滿足的。 目前為止，尚不清楚傅立葉級數(shù)目前為止，尚不清楚傅立葉級數(shù)充分且必要的條件到底是什么！充分且必要的條件到底是什么！用展開的級數(shù)，去逼近一個函數(shù)，用展開的級數(shù)，去逼近一個函數(shù)，這是有限與無限之間的辨證關系。這是有限與無限之間的辨證關系。 回憶傅氏級數(shù)展開系數(shù)公式回憶傅氏級數(shù)展開系數(shù)公式的由來，是依據(jù)函數(shù)的正交性。的由來，是依據(jù)函數(shù)的正交性?？疾旌瘮?shù)系考察

35、函數(shù)系 ，在，在 上上正交且完備，那么正交且完備，那么 xn sin l , 0 nmlnmxdxxlnm,0sinsin0 由初始條件由初始條件xCxunnn 1sin)0 ,( )(x 于是，在于是，在 的兩端，乘以的兩端，乘以xCxnnn 1sin)( ，然后在，然后在 上積分，上積分，xk sin lo,于是，在于是，在 的兩端，乘以的兩端，乘以xCxnnn 1sin)( ，然后在，然后在 上積分，上積分，xk sin lo,xdxxCxdxxklnnnlk sinsinsin)(010 xdxxCklnk sinsin0 kkLC 這里，令：這里，令：xdxxLklkk sinsin

36、0 xdxkl 02sin于是有于是有xdxxLClkkk 0sin)(1 xeCtxutxuntannnnn sin),(),(2211 即為最終結果。即為最終結果。將上述將上述 ，代入，代入nkCC 2.3 2.3 圓形域內的二維圓形域內的二維 Laplace 方程的定解問題方程的定解問題 一個半徑為一個半徑為 的薄圓盤的薄圓盤 ,0 0 上下兩面絕熱上下兩面絕熱,圓周邊緣溫度分布為圓周邊緣溫度分布為 ,)( f 求達到穩(wěn)恒求達到穩(wěn)恒狀態(tài)時圓盤內的溫度分布狀態(tài)時圓盤內的溫度分布 .),( u定解問題定解問題: 由第一章知道由第一章知道, 熱傳導問題達到穩(wěn)恒狀態(tài)時溫度分布與時間無關熱傳導問題

37、達到穩(wěn)恒狀態(tài)時溫度分布與時間無關0 tu即即 , 應滿足拉普拉斯方程應滿足拉普拉斯方程 .02 u因此因此,寫成極坐標形式的定解問題寫成極坐標形式的定解問題 20,01)(102222 uuu 20, )(),(0 fu泛定方程泛定方程邊界條件邊界條件邊緣溫度邊緣溫度同時，考慮到自變量變化的特點，有同時，考慮到自變量變化的特點，有 0,0 2,0和和即即中心點的溫度有限（有界）中心點的溫度有限（有界）坐標系中指同一點溫度不變坐標系中指同一點溫度不變 ),0( u)2,(),( uu以下，求滿足一個方程和三個邊界條件所構成的定解問題的解。以下，求滿足一個方程和三個邊界條件所構成的定解問題的解。0

38、1)(12222 uuu)(),(0 fu ),0( u)2,(),( uu 20,0 20, 01)(12222 uuu)(),(0 fu ),0( u)2,(),( uu 一、對此，試探性提出方程組中泛定方程的分離變量形式的非零解（特解）一、對此，試探性提出方程組中泛定方程的分離變量形式的非零解（特解）令令:)()(),( Ru代入泛定方程代入泛定方程, 得得0112 RRR 分離變量后分離變量后, 得得 RRR 2 惟有等于常數(shù)惟有等于常數(shù)從而得到兩個常微分方程從而得到兩個常微分方程0 02 RRR 改寫上述邊界條件改寫上述邊界條件 ),0( u)2,(),( uu )0(R)()2(

39、由此由此, 組成了兩套常微分方程的定解問題組成了兩套常微分方程的定解問題 0 )()2( 02 RRR )0(R和和二、解方程（定解）二、解方程（定解）在分析上述兩組方程時在分析上述兩組方程時, 可以看出第一組方程中有可以看出第一組方程中有 滿足滿足可加性（即疊加起來仍然是本身的解）。為此，先從第一組方程下手?？杉有裕疮B加起來仍然是本身的解）。為此，先從第一組方程下手。 )()2( 這正是這正是Euler方程方程（1）. 求本征值求本征值如法炮制，當：如法炮制，當： 時，不符合非零解的要求，時，不符合非零解的要求， 舍去舍去!0 0 時，解為時，解為 （常數(shù)），亦舍去?。ǔ?shù)），亦舍去！00

40、)(a 時，取時，取 ，這時方程，這時方程 的解為的解為 0 0 2 sincos)(ba sincos)(ba 0 )()2( 聯(lián)合邊界條件，考慮到聯(lián)合邊界條件，考慮到 以以 為周期，為周期， 必須為整數(shù)（只取正整數(shù)）必須為整數(shù)（只取正整數(shù)）)( 2 取取, 3 , 2 , 1 n解的表示為解的表示為 nbnannnsincos)( nn 本征值本征值本征函數(shù)本征函數(shù)（2）. 求另組一方程的本征函數(shù)求另組一方程的本征函數(shù) 02 RRR )0(REuler 方程方程 的通解為的通解為02 RRR 0,ln000 dcR), 3 , 2 , 1 , 0(,2 nndcRnnnnn 為了保證為了保

41、證 ，那么只有，那么只有 ，即，即 )0(R), 2 , 1(0 ndn), 3 , 2 , 1 , 0(, ncRnnn 本征函數(shù)本征函數(shù)因此，方程因此，方程 滿足邊界條件滿足邊界條件01)(12222 uuu)(),(0 fu )2,(),( uu的解，可以表示為級數(shù)的解，可以表示為級數(shù))sincos(2),(10 nbnaaunnnn nbnannnsincos)( nnncR )(式中式中0002caa nnncaa nnncbb （3）. 利用疊加原理，寫出解。利用疊加原理，寫出解。合并系數(shù)合并系數(shù)（4）. 確定系數(shù)確定系數(shù) 定解。定解。 ,0nnbaa利用邊界條件利用邊界條件 得得

42、,20, )(),(0 fu)sincos(2),(10 nbnaaunnnn ,20, )(),(0 fu)sincos(2)(100 nbnaafnnnn 顯然，這里的顯然，這里的 ，正是，正是 展開為傅立葉級數(shù)時的系數(shù)，展開為傅立葉級數(shù)時的系數(shù)，即即nnnnbaa000, )( f 200)(1dfa 200cos)(1dnfann 200sin)(1dnfbnn 將這些系數(shù)代入將這些系數(shù)代入 ，即得到，即得到所求的解。所求的解。)sincos(2),(10 nbnaaunnnn 為了理論上討論方便計，我們已經(jīng)固定的把傅立葉展開系數(shù)為了理論上討論方便計，我們已經(jīng)固定的把傅立葉展開系數(shù) 2

43、00)(1dfa 200cos)(1dnfann 200sin)(1dnfbnn)sincos(210 nbnaannnn ),( u代入到代入到之中，并經(jīng)過簡化后得到之中，并經(jīng)過簡化后得到tdtntfunn 1020)(cos)(21)(1),( 并利用已知的恒等式（證明詳見教科書并利用已知的恒等式（證明詳見教科書 P35 ）)1(,)(cos21121)(cos21221 kktkktnknn tdtntfunn 1020)(cos)(21)(1),( )1(,)(cos21121)(cos21221 kktkktnknn tdttfu)(cos2)(21),(022022020 ),20

44、(0 這個解，稱為圓域內的泊松這個解，稱為圓域內的泊松（poisson）公式，它的理論意義是把解寫成了積分的形式。公式，它的理論意義是把解寫成了積分的形式。Poisson 積分公式積分公式Laplace 方程，在圓域內的第一類邊界條件的解。方程，在圓域內的第一類邊界條件的解。 （ 事實上，由解析函數(shù)的事實上，由解析函數(shù)的 Cauchy 積分公式，也積分公式，也 可以推出這個結果。）可以推出這個結果。）2.4 2.4 非齊次方程的解法非齊次方程的解法 之前，我們所討論的偏微分方程都限于齊次的，以下將要討論非齊之前，我們所討論的偏微分方程都限于齊次的，以下將要討論非齊次方程的解法。不失為普遍性，現(xiàn)

45、以弦的受迫振動為例，所用的方法對次方程的解法。不失為普遍性，現(xiàn)以弦的受迫振動為例，所用的方法對其它同類型的方程解法，可以起到拋磚引玉的作用。其它同類型的方程解法，可以起到拋磚引玉的作用。問題：問題：一根細弦，兩端固定，在受到強迫力一根細弦，兩端固定，在受到強迫力 作用下振動，作用下振動，),(txf受迫振動定解問題受迫振動定解問題: 22222xuatu 0,0, ),( tlxtxf0,00 tuulxxlxxtuxutt 0, )(, )(00 受迫振動物理狀態(tài)分析受迫振動物理狀態(tài)分析:弦的振動弦的振動初始狀態(tài)的自由振動初始狀態(tài)的自由振動由強迫力引起的振動由強迫力引起的振動視為兩種振動的合

46、成視為兩種振動的合成 (運動之疊加運動之疊加)弦的振動弦的振動初始狀態(tài)的自由振動初始狀態(tài)的自由振動視為兩種振動的合成視為兩種振動的合成 (運動之疊加運動之疊加)由強迫力引起的振動由強迫力引起的振動由此得到啟發(fā)，我們可以假設其解為由此得到啟發(fā)，我們可以假設其解為),(),(),(txWtxVtxU 22222xVatV 0,0, ),( tlxtxf0,00 tVVlxxlxtVVtt 0,000其中其中 表示僅由強迫力引起弦振動的位移，它滿足表示僅由強迫力引起弦振動的位移，它滿足),(txV 22222xWatW 0,0, tlx0,00 tWWlxxlxxtWxWtt 0, )(, )(00

47、 而而 表示僅由初始狀態(tài)引起弦振動的位移，它滿足表示僅由初始狀態(tài)引起弦振動的位移，它滿足),(txW 從物理學的從物理學的觀點來看，叫運觀點來看，叫運動的疊加動的疊加 從軍事學的從軍事學的觀點來看，叫各觀點來看，叫各個擊破，分而食個擊破，分而食之。之。 22222xuatu 0,0, ),( tlxtxf0,00 tuulxxlxxtuxutt 0, )(, )(00 22222xVatV 0,0, ),( tlxtxf0,00 tVVlxxlxtVVtt 0,000 22222xWatW 0,0, tlx0,00 tWWlxxlxxtWxWtt 0, )(, )(00 原非齊次方程定解問題原

48、非齊次方程定解問題泛定方程為非齊次，但邊泛定方程為非齊次，但邊界條件和初始條件，變得界條件和初始條件，變得較為簡單的定解問題。較為簡單的定解問題。泛定方程變?yōu)辇R次，但邊泛定方程變?yōu)辇R次，但邊界條件和初始條件，未發(fā)界條件和初始條件，未發(fā)生變化的定解問題。并且生變化的定解問題。并且這樣的問題，前面已經(jīng)解這樣的問題，前面已經(jīng)解決決齊次問題，用分離齊次問題，用分離變量法解決。變量法解決。 22222xVatV 0,0, ),( tlxtxf0,00 tVVlxxlxtVVtt 0,000 通過前面的分析，我們已經(jīng)認識到：對于齊次問題，可以用分離變量法通過前面的分析，我們已經(jīng)認識到：對于齊次問題，可以用

49、分離變量法求解；而對于下面已經(jīng)簡化了的非其次問題，通常采用的求解；而對于下面已經(jīng)簡化了的非其次問題，通常采用的參數(shù)變易法求參數(shù)變易法求解。解。參數(shù)變易法的主導思想：參數(shù)變易法的主導思想：非齊次定解非齊次定解問題的解問題的解分解為無窮多分解為無窮多個駐波的疊加個駐波的疊加其駐波的波形，由齊次方程其駐波的波形，由齊次方程經(jīng)分離變量后，所得到之本經(jīng)分離變量后，所得到之本征值與本征函數(shù)確定。征值與本征函數(shù)確定。1. 設（試探性）上述非齊次定解問題的解，具有如下形式設（試探性）上述非齊次定解問題的解，具有如下形式xlntvtxVnn sin)(),(1 其中其中 ，為待定函數(shù)！，為待定函數(shù)！)(tvn

50、22222xVatV 0,0,),( tlxtxf0,00 tVVlxxlxtVVtt 0,0002. 確定確定),(txV 將強迫項將強迫項 也按照也按照本征函數(shù)展開本征函數(shù)展開),(txfxlntftxfnn sin)(),(1 其中，展開系數(shù)為其中，展開系數(shù)為xlntxfltfln 0sin),(2)( xlntvtxVnn sin)(),(1 將上面兩個黃色背景的假設和結果代入泛定方程中，得到將上面兩個黃色背景的假設和結果代入泛定方程中，得到0sin)()()(12222 xlntftvlnatvnnnn 由此得到由此得到)()()(2222tftvlnatvnnn 相應的初始條件變化

51、為相應的初始條件變化為lxtVVtt 0,0000)0()0( nnvv)()()(2222tftvlnatvnnn 0)0()0( nnvv 0, t), 2 , 1(, n這樣一來，確定函數(shù)這樣一來，確定函數(shù) ，只需要解下面的定解問題，只需要解下面的定解問題)(tvn關注：關注：Vvv在上面的泛定方程兩端，取關于在上面的泛定方程兩端，取關于 的的 Laplace 變換，得變換，得 t)()(;)()(pFtfpUtvnnnn)()()(22222pFpUlnapUpnnn 解出：解出：)(1)(22222pFlnappUnn 由于由于 的逆的逆 Laplace 變換為變換為 ，利用，利用L

52、aplace變變222221lnap tlnana sin1換的卷積定理，即得到換的卷積定理，即得到)(tvn dltnafnaltvlnn)(sin)()(0 xlntvtxVnn sin)(),(1 將上面的結果，代入最初假設將上面的結果，代入最初假設 ，于是得到，于是得到 dltnafnaltxVlnn)(sin)(),(01 xln sin 22222xWatW 0,0, tlx0,00 tWWlxxlxxtWxWtt 0, )(, )(00 將這個解，與下面齊次方程所解出的將這個解，與下面齊次方程所解出的),(txW),(),(),(txWtxVtxU 按照按照 相疊加，就得到原定解

53、問題的解。相疊加，就得到原定解問題的解?；仡櫍夯仡櫍簩τ诜驱R次偏微分方程對于非齊次偏微分方程 22222xVatV 0,0,),( tlxtxf0,00 tVVlxxlxtVVtt 0,000對于非齊次項對于非齊次項),(txVxlntvnn sin)(1 按照本征函數(shù)系展開按照本征函數(shù)系展開xlntvnn sin)(1 )(tvn再按照本征函數(shù)系展開再按照本征函數(shù)系展開聯(lián)合（捆綁）邊界條件聯(lián)合（捆綁）邊界條件 dltnafnalln)(sin)(0 盡管方程與邊界條件千變萬化，但總是把非齊次方程的解，按照相應的盡管方程與邊界條件千變萬化，但總是把非齊次方程的解，按照相應的本征函數(shù)展開。所以這

54、種方法也稱為本征函數(shù)展開。所以這種方法也稱為本征函數(shù)法。本征函數(shù)法。例例 在圓環(huán)域在圓環(huán)域 內，求下面定解問題：內，求下面定解問題：)0(22babyxa byxayxyuxu 22222222, )(120,02222 byxayxnuu解解 因為求解區(qū)域為圓環(huán)，選用平面極坐標較為方便。利用關系因為求解區(qū)域為圓環(huán)，選用平面極坐標較為方便。利用關系 sincosyx可將上述定解問題用極坐標的變量可將上述定解問題用極坐標的變量 表示。表示。 , 20,2cos121)(12222 bauu0,0 banuu 非齊次方程非齊次方程齊次邊界條件齊次邊界條件 20,2cos121)(12222 bau

55、u0,0 banuu 運用本征函數(shù)法運用本征函數(shù)法這是一個非齊次方程，附加有齊次邊界條件的定解問題。這是一個非齊次方程，附加有齊次邊界條件的定解問題。 參考圓域內參考圓域內 Laplace 方程所對應的本征函數(shù)方程所對應的本征函數(shù))sincos(2),(10 nbnaaunnnn （教科書（教科書 P34. 2.32式）式）令上面定解問題具有分離變量形式的解（試探）令上面定解問題具有分離變量形式的解（試探） 0sin)(cos)(),(nnnnBnAu 將這個形式解，代入泛定方程，并經(jīng)整理后得將這個形式解，代入泛定方程，并經(jīng)整理后得 0n nAnAAnnncos)()(1)(22 2cos12

56、sin)()(1)(2222 nBnBBnnn 0n nAnAAnnncos)()(1)(22 2cos12sin)()(1)(2222 nBnBBnnn 比較上式兩端關于比較上式兩端關于 的系數(shù)，得的系數(shù)，得 nnsin,cos22222212)(2)(1)( AAA)2( n0)()(1)(22 nnnAnAA)2( n0)()(1)(22 nnnBnBB再由邊界條件（捆綁）再由邊界條件（捆綁） ， 得得0,0 banuu ,0 bnu ,0 au 0)()( bAaAnn0)()( bBaBnn0)()(1)(22 nnnAnAA0)()(1)(22 nnnBnBB上面兩個方程，都是齊次

57、上面兩個方程，都是齊次 Euler 方程，它們的通解分別為方程，它們的通解分別為nnnnndcA )(nnnnndcB )(其中，其中， ，都是任意常數(shù)，考慮到之前捆綁邊界條件的結果，都是任意常數(shù)，考慮到之前捆綁邊界條件的結果nnnndcdc ,0)()( bAaAnn0)()( bBaBnn0)( nnnnndcA 0)( nnnnndcB )2( n以下，確定以下，確定)(2 A)2( n22222212)(2)(1)( AAA)2( n顯然，這是一個非齊次的顯然，這是一個非齊次的 Euler 方程，利用待定系數(shù)法，可以求得它的一個特解方程，利用待定系數(shù)法，可以求得它的一個特解222222

58、12)(2)(1)( AAA)2( n顯然，這是一個非齊次的顯然，這是一個非齊次的 Euler 方程，利用待定系數(shù)法，可以求得它的一個特解方程，利用待定系數(shù)法，可以求得它的一個特解42)( A（特解，且有特別的系數(shù)）（特解，且有特別的系數(shù)）因此，它的通解為因此，它的通解為422212)( CCA再由邊界條件（捆綁），所得的結果，確定上式的再由邊界條件（捆綁），所得的結果，確定上式的21,CC,0)(2 aA ,0)(2 bA 446612babaC 44224422(bababaC 因此因此 )(2 A244662 baba 424422442( bababa故原定解問題的解為故原定解問題的解

59、為 2cos)(),(2 Au（原求和符號自動消失。）（原求和符號自動消失。）2.5 2.5 非齊次邊界條件的處理非齊次邊界條件的處理非齊次邊界條件的齊次化非齊次邊界條件的齊次化回顧以前：回顧以前：無論泛定方程是無論泛定方程是齊次齊次非齊次非齊次對應的邊界條件對應的邊界條件 都是齊次的都是齊次的倘若邊界條件倘若邊界條件 是非齊次的是非齊次的新問題？新問題？將其轉化為齊次將其轉化為齊次以適當?shù)奈粗瘮?shù)代換以適當?shù)奈粗瘮?shù)代換設定解問題設定解問題: 22222xuatu 0,0, ),( tlxtxf0, )(; )(210 ttuutuulxxlxxtuxutt 0, )(;)(00 為了將邊界

60、條件轉成齊次，為此令：為了將邊界條件轉成齊次，為此令：),(),(),(txWtxVtxu ),(txV使使 的邊界為齊次的邊界為齊次000 lxxVV)()(210tuWtuWlxx ),(txW適當選取適當選取 這一部分解的結構簡單，這一部分解的結構簡單，但邊界條件為非齊次。但邊界條件為非齊次。 這一部分解的結構復雜，這一部分解的結構復雜，但邊界條件為齊次。但邊界條件為齊次。如何選取齊次化函如何選取齊次化函數(shù)數(shù)W（x，t）？因為僅要求因為僅要求 滿足右列邊界條件，所以有相當大的選擇余地。如果把滿足右列邊界條件，所以有相當大的選擇余地。如果把 看成看成是參數(shù)，這就只要求在是參數(shù)，這就只要求在