-群的定義(離散數(shù)學(xué))

1、l 6.2.1 半群半群l 6.2.2 群群l 6.2.3 群的性質(zhì)群的性質(zhì) 設(shè)設(shè)G是一個(gè)非空集合，若是一個(gè)非空集合，若 為為G上的上的 二元代數(shù)運(yùn)算，且滿足二元代數(shù)運(yùn)算，且滿足結(jié)合律結(jié)合律，則，則 稱該代數(shù)系統(tǒng)（稱該代數(shù)系統(tǒng)（G， ）為半群。）為半群。 例例. 設(shè)設(shè)S是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合，（S）是）是S的冪集，的冪集，和和是是（S）上的交運(yùn)）上的交運(yùn)算和并運(yùn)算，則（算和并運(yùn)算，則（S），），），），（S），），）都為半群。）都為半群。例例. 設(shè)設(shè)Z為整數(shù)集，為整數(shù)集，+、-、 是數(shù)的是數(shù)的加法、減法和乘法，則（加法、減法和乘法，則（Z， +）、）、（Z， ）都是半群；（）都是半群；

2、（Z， -）不是）不是半群。半群。 例例. 設(shè)設(shè)N為自然數(shù)集，規(guī)定為自然數(shù)集，規(guī)定N 上的運(yùn)算上的運(yùn)算“ ”如下：如下：a b = a + b + ab，顯然，顯然， 為為N上的二元代數(shù)運(yùn)算。對(duì)上的二元代數(shù)運(yùn)算。對(duì)N中任意中任意三個(gè)元素三個(gè)元素a，b，c，有：，有：（a b） c = （ a + b + ab） c = （a + b + ab）+c+（a + b + ab）c =a + b + c + ab + bc + ac + abc，a （b c）= a （b + c + bc）=a+（b+c+ bc）+a（b+c+ bc）= a + b + c + ab + bc + ac + abc

3、，故，（故，（ab）c = a（bc）. .因此，（因此，（N， ）為半群。）為半群。 設(shè)（設(shè)（G， ）為）為半群半群，如果滿足下面條件：，如果滿足下面條件：(1) 有壹（單位元）有壹（單位元）：G中有一個(gè)元素中有一個(gè)元素1，適合，適合對(duì)于對(duì)于G中任意元素中任意元素a，都有，都有1a = a1 = a;(2) 有逆有逆：對(duì)于：對(duì)于G中任意中任意a，都可找到，都可找到G中一個(gè)中一個(gè)元素元素a-1，滿足，滿足aa-1 = a-1a = 1，則稱（則稱（G， ）為群。）為群。 如果群如果群G包含的元素個(gè)數(shù)有限，則稱包含的元素個(gè)數(shù)有限，則稱G為為有有限群限群，否則稱，否則稱G為為無限群無限群。 設(shè)設(shè)Z

4、為整數(shù)集，為整數(shù)集，+、是數(shù)的加法和乘法，則是數(shù)的加法和乘法，則半群（半群（Z， +）是群，稱為整數(shù)加法群。因?yàn)椋┦侨?，稱為整數(shù)加法群。因?yàn)榇嬖谠卮嬖谠?，適合對(duì)于，適合對(duì)于Z中任意元素中任意元素a，都有，都有0 + a = a + 0= a；且對(duì)于；且對(duì)于Z中任意中任意a，都可找到，都可找到Z中中一個(gè)元素一個(gè)元素-a，滿足，滿足a + （-a）=（-a）+ a = 0。半群（半群（Z， ）不是群。因?yàn)殡m然存在單位元）不是群。因?yàn)殡m然存在單位元素素1，適合對(duì)于，適合對(duì)于Z中任意元素中任意元素a，都有，都有1a = a1 = a，但除了，但除了1和和-1外，其它元素均無逆元素。外，其它元素均

5、無逆元素。 設(shè)設(shè)Q Q為所有有理數(shù)組成的集合，為所有有理數(shù)組成的集合，R R為所有實(shí)數(shù)為所有實(shí)數(shù)組成的集合，組成的集合，C C為所有復(fù)數(shù)組成的集合，為所有復(fù)數(shù)組成的集合，Q Q* *為所有非零有理數(shù)組成的集合，為所有非零有理數(shù)組成的集合，R R* *為所有非為所有非零實(shí)數(shù)組成的集合，零實(shí)數(shù)組成的集合，C C* *為所有非零復(fù)數(shù)組成為所有非零復(fù)數(shù)組成的集合，的集合，+ +、是數(shù)的加法和乘法，則是數(shù)的加法和乘法，則（Q Q，+ +）、（）、（R R，+ +）、（）、（C C，+ +）都是群；）都是群；（Q Q， ）、（）、（R R， ）、（）、（C C，）都不是群；）都不是群；（Q Q* *， ）

6、、（）、（R R* *， ）、（）、（C C* *，）都是群。）都是群。 設(shè)設(shè)S是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合，（S） 是是S的冪集，的冪集，和和是是（S）上的交運(yùn)算和并運(yùn)算，則）上的交運(yùn)算和并運(yùn)算，則 半群（半群（S），），）不是群，單位元素）不是群，單位元素:S，但除了但除了S，其它元素都不存在逆元素；，其它元素都不存在逆元素； 半群（半群（S），），）也不是群，單位元素：）也不是群，單位元素： ，但除了，但除了 ，其它元素都不存在逆元素。，其它元素都不存在逆元素。 設(shè)設(shè)N為自然數(shù)集，規(guī)定為自然數(shù)集，規(guī)定N 上的運(yùn)算上的運(yùn)算“ ”如如下：下：a b = a + b + ab。 已證：（已證

7、：（N， ）為半群。）為半群。 但但（N， ）不是群。）不是群。反證：若不然，反證：若不然， （N， ）是群，則一定有）是群，則一定有單位元素，單位元素，設(shè)為設(shè)為e e，則對(duì)，則對(duì)N N中任意元素中任意元素a a，都有，都有 e e a = a a = a，即，即e + a + ee + a + ea = aa = a，因此，因此，e=0e=0，但，但0 0 N N，矛盾，矛盾。因此，。因此，（N， ）無單位元素，故不是群。無單位元素，故不是群。例例. 設(shè)設(shè)A是實(shí)數(shù)域上所有是實(shí)數(shù)域上所有n階非奇異矩陣的階非奇異矩陣的集合，集合，*為矩陣的乘法，則（為矩陣的乘法，則（A，*） 是群。是群。例例.

8、設(shè)設(shè)S=0，1，2，m-1，規(guī)定，規(guī)定S上的上的運(yùn)算運(yùn)算 如下：如下： a b= 其中其中a，b是是S中任意元素，中任意元素，+、-為數(shù)的加與為數(shù)的加與減。減。 則（則（S， ）是群，稱為模）是群，稱為模m的整數(shù)加法群。的整數(shù)加法群。 mbambambaba當(dāng)當(dāng),設(shè)設(shè)S=a,b，使用乘法表定義，使用乘法表定義S上的運(yùn)上的運(yùn)算算 如下：如下： a b a a b b b a問（問（S, ）是否為群。）是否為群。薅羊毛http:/ 0 仐摋塋 證明：證明：設(shè)設(shè)(G, *)是群，其單位元是是群，其單位元是1，顯然，顯然，1是等冪元。設(shè)是等冪元。設(shè)x是是G中的等冪元，即中的等冪元，即x*x= x， 則

9、：則：x=1*x =（x-1*x）*x = x-1*（x*x） x-1*x=1 （ 或由或由x*x= x，得，得 x-1* x*x= x-1* x ，即，即x=1）證明：設(shè)證明：設(shè)(G, *)是群，其單位元是是群，其單位元是1， 當(dāng)當(dāng)G=1，它的唯一元素視為單位元。，它的唯一元素視為單位元。 當(dāng)當(dāng) G 1，用反證法。假設(shè)（，用反證法。假設(shè)（G，*）有零）有零元元 ，則對(duì)，則對(duì) x G，都有，都有x* = *x= 1，即，即 不存在不存在x G，使得，使得x* = *x=1， 亦即，亦即， 無逆元，這與無逆元，這與G是群矛盾。是群矛盾。證明：設(shè)證明：設(shè)(G, *)是群，其單位元是是群，其單位元是

10、1， 對(duì)于對(duì)于G中任意三個(gè)元素中任意三個(gè)元素a，b，c，（1）若）若 a * b = a * c，則，則 a-1 * (a * b) = a-1 *( a * c)，即，即(a-1 * a) * b =(a-1 * a) * c，亦即，亦即1 * b =1 * c， 故故b = c。（2）同理可證：若）同理可證：若 b * a = c * a，則，則b = c例例. 元數(shù)為元數(shù)為1的群僅有的群僅有1個(gè)個(gè) 元數(shù)為元數(shù)為2的群僅有的群僅有1個(gè)個(gè) *eee*eaeeaaae定理定理6.2.1 群的單位元素是唯一的群的單位元素是唯一的, ,任意元任意元素的逆也是唯一的。素的逆也是唯一的。即即, ,設(shè)（

11、設(shè)（G， ）是一個(gè)群，）是一個(gè)群，則則G中恰有一個(gè)元素中恰有一個(gè)元素1適合適合1a = a1 = a,而且對(duì)而且對(duì)于任意于任意a恰有一個(gè)元素恰有一個(gè)元素 a-1適合適合 aa-1 =a-1a=1。證明：證明：若若1和和1都是單位元素，則都是單位元素，則1=11=1， 故故1=1。 若若b和和c都有都有a-1的性質(zhì)，則的性質(zhì)，則b=b1=b(ac)=(ba)c=1c =c，故，故b=c。 v（a-1）-1=a 因?yàn)橐驗(yàn)?a a-1 = a-1 a=1v (a b) -1= b-1 a-1 因?yàn)橐驗(yàn)閍 b b-1 a-1 =1 b-1 a-1 a b =1v 1-1= 1 因?yàn)橐驗(yàn)? 1=1定理定

12、理6.2.2 群定義中的條件（群定義中的條件（1）和（）和（2）可）可 以減弱如下：以減弱如下： (1) 有左壹：有左壹： G中有一個(gè)元素中有一個(gè)元素1，適合，適合 對(duì)于對(duì)于G中任意元素中任意元素a，都有，都有 1a=a; (2) 有左逆：有左逆：對(duì)于對(duì)于G中任意中任意a，都可找到，都可找到G中一中一 個(gè)元素個(gè)元素a-1，滿足，滿足 a-1a = 1。證明：證明：只需證明只需證明a1 = a和和aa-1 = 1。證法一證法一先證先證aa-1 = 1。因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋╝-1a）a-1=1a-1= a-1，故，故 （a-1a）a-1= a-1。由由( (2) )， a-1也應(yīng)該有一個(gè)左逆適合也應(yīng)該有一

13、個(gè)左逆適合ba-1=1。于是，一方面有：于是，一方面有： b（a-1a）a-1）) = ba-1 = l，另一方面有：另一方面有：b（a-1a）a-1）= （ba-1）（aa-1） = 1（aa-1）= aa-1，因此，因此，aa-1=1。 再證再證a1=a。 a1 = a（a-1a）= （aa-1）a = 1a = a。 證畢。證畢。把（把（1 1），（，（2 2） 中對(duì)于左邊的要求一中對(duì)于左邊的要求一律改成對(duì)于右邊的要求也是一樣。律改成對(duì)于右邊的要求也是一樣。 但是只但是只滿足左壹、右逆未必成群，只滿足右壹、左滿足左壹、右逆未必成群，只滿足右壹、左逆也未必成群。逆也未必成群。證法二證法二

14、往證往證a 1=a.由（由（1） 知有知有 1 1=1，由（由（2） 知知 a-1a=1，用其部分代替上式中的用其部分代替上式中的1，得到，得到（a-1a） 1= a-1a，由（由（2） 知知a-1有左逆有左逆,令其為令其為b，并用，并用b 左乘上式左乘上式兩端得到兩端得到 b （a-1a） 1= b (a-1a), 即即（b a-1 ） （a 1）=（ b a-1 ）a，亦即，亦即1 （a 1）=1 a由（由（1） a 1=a。往證往證a a -1=1. 同證法一。同證法一。證法三證法三 往證往證a 1=a. 同證法二。同證法二。往證往證a a -1=1. 由（由（2） 知知a-1有左逆，令

15、其為有左逆，令其為b，于是，于是b a-1=1，用用a右乘等式兩端得到右乘等式兩端得到(b a-1 ） a =1 a， 即即b （a-1 a） =1 a，亦即，亦即b=a，故故a a -1=1。 證畢證畢定理定理6.2.3 群定義中的條件（群定義中的條件（1）和（）和（2）等）等于下列可除條件：對(duì)于任意于下列可除條件：對(duì)于任意a，b，有，有使使 a=b，又有，又有y 使使ay=b。證明：首先證明在任一群中可除條件成立證明：首先證明在任一群中可除條件成立。因?yàn)?，取因?yàn)?，?ba-1，y=a-1b，即得，即得a=b，ay=b，故，由（，故，由（1）和（）和（2）可以推出可除條）可以推出可除條件成立

16、。件成立。 再證明由可除條件也可以推再證明由可除條件也可以推( (1) ),(,(2) )，因而可以推出（因而可以推出（1），（），（2）。）。 取任意取任意cG，命，命1為適合為適合c=c的的，則則1c=c。今對(duì)于任意。今對(duì)于任意a，有，有y使使cy=a，故，故1a=1（cy）=（1c）y=cy=a，即即( (1) )成立。成立。令令a-1為適合為適合a=1的的，則，則a-1a=1， 故故( (2) ) 成立成立。 定理定理6.2.4 設(shè)設(shè)G G是一個(gè)群，在一個(gè)乘積是一個(gè)群，在一個(gè)乘積a a1 1a an n中中可以任意加括號(hào)而求其值?？梢匀我饧永ㄌ?hào)而求其值。證明：證明： 要證定理，只要證明

17、任意加括號(hào)而得的要證定理，只要證明任意加括號(hào)而得的積等于按次序由左而右加括號(hào)所得的積積等于按次序由左而右加括號(hào)所得的積（a a1 1a a2 2）a a3 3）a an-1n-1）a an n （1 1） 用數(shù)學(xué)歸納法證明。用數(shù)學(xué)歸納法證明。n=1n=1，2 2，3 3，命題顯然。，命題顯然。假定對(duì)少于假定對(duì)少于n n個(gè)因子的乘積（個(gè)因子的乘積（1 1）式成立，以下）式成立，以下證對(duì)證對(duì)n n個(gè)因子的乘積（個(gè)因子的乘積（1 1）式也成立。）式也成立。 設(shè)設(shè)A A為為由由a a1 1a an n任意加括號(hào)而得到的乘積，往任意加括號(hào)而得到的乘積，往證證A A等于（等于（1 1）式。）式。 設(shè)在設(shè)在

18、A A中最后一次計(jì)算是前后兩部分中最后一次計(jì)算是前后兩部分B B與與C C相乘：相乘： A = A = （B B）（C C） 由歸納假設(shè)，由歸納假設(shè)，C C等于按次序自左而右加括號(hào)等于按次序自左而右加括號(hào)所得的乘積（所得的乘積（D D）a an n。由結(jié)合律，。由結(jié)合律， A=A=(B B)(C C)= =(B B)(D D)a an n) = (B B)(D D)a an n。 （B）（D）的因子個(gè)數(shù)小于）的因子個(gè)數(shù)小于n，再由歸納假再由歸納假設(shè)，設(shè)，(B B)(D D)等于按次序由左而右加括號(hào)所得的乘等于按次序由左而右加括號(hào)所得的乘積積： (B B)(D D)= =(a a1 1a a2

19、2)a a3 3)a an-2n-2)a an-1n-1因而因而A =A =(B B)(D D)a an n= =(a a1 1a a2 2 ) a a3 3)a an-2 n-2 ) a an-1 n-1 ) a an n即即A A等于（等于（1 1）式。）式。 n個(gè)個(gè)a連乘所得的積稱為連乘所得的積稱為a的的n次方，記為次方，記為an。規(guī)定規(guī)定: a0=1， a-n=（an）-1。對(duì)于任意整數(shù)對(duì)于任意整數(shù)m，n，下面定律成立，下面定律成立l第一指數(shù)律：第一指數(shù)律：aman=am+n，l第二指數(shù)律：（第二指數(shù)律：（am）n=amn但一般群中第三指數(shù)律但一般群中第三指數(shù)律 (ab)b)n=an

20、b bn不成立。不成立。Abel群群 若群（若群（G，）的運(yùn)算）的運(yùn)算 適合交換律，則稱適合交換律，則稱（G，）為）為Abel群或交換群。群或交換群。 例例. 。例例. (Q Q* *， ),(R),(R* *， ),(C),(C* *，) )。 例例. 實(shí)數(shù)域上所有實(shí)數(shù)域上所有n階非奇異矩陣的集合階非奇異矩陣的集合在在矩矩 陣的乘法下不是陣的乘法下不是Abel群。群。 例例. 元數(shù)為元數(shù)為1、元數(shù)為、元數(shù)為2的群都是有限的群都是有限Abel群。群。例例. 設(shè)設(shè)(G, )是一個(gè)群，則是一個(gè)群，則(G, )是是Abel群的充要群的充要條件是對(duì)條件是對(duì) a,b G,有有(a b)2=a2 b2證明：必要性。證明：必要性。若若(G，)是是Abel群，即對(duì)群，即對(duì) a，b G， b=b a。故，。故， (ab)2=(ab)(ab) =a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)=a2b2充分性。充分性。對(duì)對(duì) a,b G,由由 (a b)2=a2 b2 ，得，得a-1 (ab)(ab) b-1=a-1 (a a) (b b) b-1故，故，ba=ab，因此，因此，(G，)是是Abel群。群。定理定理6.2.5 在一個(gè)在一個(gè)Abel群（群（G，）中，一個(gè)乘積）中，一個(gè)乘積可以任意顛倒因子的次序而求其值?？梢匀我忸嵉?/p>