-全微分及其應(yīng)用

1、),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏增增量量由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得一、全微分的定義一、全微分的定義 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)有定義，并設(shè)),(yyxxP 為這鄰域內(nèi)的為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差任意一點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差 ),(),(yxfyyxxf 為函數(shù)在點(diǎn)為函數(shù)在點(diǎn) P對應(yīng)于自變量增量對應(yīng)于自變量增量yx ,的全增

2、的全增量，記為量，記為z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz ，其中，其中BA,不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關(guān)，有關(guān)，22)()(yx ，則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx可微分，可微分，yBxA 稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的的全微分全微分，記為，記為dz，即，即 dz= =yBxA . .全微分的定義全微分的定義 函函數(shù)數(shù)若若在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點(diǎn)點(diǎn)處處處

3、處可可微微分分，則則稱稱這這函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)可可微微分分. 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx可微分可微分, 則則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).事實(shí)上事實(shí)上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處連連續(xù)續(xù).二、可微的條件二、可微的條件 定定理理 1 1（必必要要條條件件）如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx可可微微分分，則則該該函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xz 、yz 必必存存在在，且且函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(

4、yx的的全全微微分分為為 yyzxxzdz 證證如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域)( oyBxAz 總成立總成立,當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)，上式仍成立，時(shí)，上式仍成立，此時(shí)此時(shí)| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(處有處有0)

5、0 , 0()0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點(diǎn)點(diǎn)),(yxP 沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(，則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn))0 , 0(處不可微處不可微.說明說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在，微分存在，定理定理（充分條件）如果函數(shù)（充分條件）如果函數(shù)),(yxfz 的偏的偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)x

6、z 、yz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx連續(xù)，則該函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在點(diǎn)),(yx可微分可微分證證),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一個(gè)方括號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理在第一個(gè)方括號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）且且當(dāng)當(dāng)0, 0 yx時(shí)時(shí)，01 .其中其中1 為為yx ,的函數(shù)的函數(shù),xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故函數(shù)故函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx處可微處可

7、微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)，時(shí)，02 ,習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況例例 1 1 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)xyez 在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 2(處的全微分處的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,

8、2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù))2cos(yxyz ，當(dāng)，當(dāng)4 x， y，4 dx， dy時(shí)的全微分時(shí)的全微分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 例例 3 3 計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù)yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 例例 4 4 試證函數(shù)試證函數(shù) )0 , 0(),(,

9、0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn))0 , 0(不連續(xù)，而不連續(xù)，而f在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(可微可微.思路：按有關(guān)定義討論；對于偏導(dǎo)數(shù)需分思路：按有關(guān)定義討論；對于偏導(dǎo)數(shù)需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx討論討論.證證令令,cos x,sin y則則22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故函數(shù)在點(diǎn)故函數(shù)在點(diǎn))0 , 0(連續(xù)連續(xù), )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0

10、, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf當(dāng)當(dāng))0 , 0(),( yx時(shí)，時(shí)， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)),(yxP沿沿直直線線xy 趨趨于于)0 , 0(時(shí)時(shí),),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.所以所以),(yxfx在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù).同理可證同理可證),(yxfy在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù).)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(可微可微. 0)

11、0,0( df多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用都較小時(shí)，有近似等式都較小時(shí)，有近似等式連續(xù)，且連續(xù)，且個(gè)偏導(dǎo)數(shù)個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的兩的兩在點(diǎn)在點(diǎn)當(dāng)二元函數(shù)當(dāng)二元函數(shù)yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可寫成也可寫成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 例例 5 5 計(jì)算計(jì)算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).02. 0,04

12、. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 、多元函數(shù)全微分的概念；、多元函數(shù)全微分的概念；、多元函數(shù)全微分的求法；、多元函數(shù)全微分的求法；、多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系、多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）三、小結(jié)三、小結(jié) 函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處可微的充分條件是處可微的充分條件是:（1）),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(0

13、0yx處連續(xù)；處連續(xù)；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的的 某鄰域存在；某鄰域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 當(dāng)當(dāng)0)()(22 yx時(shí)是無窮小量；時(shí)是無窮小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 當(dāng)當(dāng)0)()(22 yx時(shí)是無窮小量時(shí)是無窮小量.思考題思考題一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)設(shè)xyez , ,則則 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,則則 du_._.3 3、 若函數(shù)若函數(shù)xyz , ,當(dāng)當(dāng)1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx時(shí)時(shí), ,函數(shù)的

14、全增量函數(shù)的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 數(shù)若 函 數(shù)yxxyz , , 則則xz對對的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 求函數(shù)求函數(shù))1ln(22yxz 當(dāng)當(dāng), 1 x 2 y時(shí)的全微分時(shí)的全微分. .三、三、 計(jì)算計(jì)算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 設(shè)有一無蓋園柱形容器設(shè)有一無蓋園柱形容器, ,容器的壁與底的厚度均為容器的壁與底的厚度均為cm1 . 0，內(nèi)高為，內(nèi)高為cm20, ,內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為cm4, ,求容器外殼體求容器外殼體積的近似值積的近似值. .五、五

15、、 測得一塊三角形土地的兩邊邊長分別為測得一塊三角形土地的兩邊邊長分別為m1 . 063 和和m1 . 078 , ,這兩邊的夾角為這兩邊的夾角為0160 . .試求三角形面積試求三角形面積的近似值的近似值, ,并求其絕對誤差和相對誤差并求其絕對誤差和相對誤差. .六六、利利用用全全微微分分證證明明: :乘乘積積的的相相對對誤誤差差等等于于各各因因子子的的相相對對誤誤差差之之和和; ;商商的的相相對對誤誤差差等等于于被被除除數(shù)數(shù)及及除除數(shù)數(shù)的的相相對對誤誤差差之之和和. .七、求函數(shù)七、求函數(shù) ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), ,并研究在點(diǎn)并研究在點(diǎn))0 , 0(處偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及處偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及 函數(shù)函數(shù)),(yxf的可微性的可微性. .一、一、1 1、)(1,1,2dydxxyexexe