第六章維度性

1、第六章第六章 維度性維度性2007.5.31實際的物理系統(tǒng)都以空間三維立體結(jié)構(gòu)實際的物理系統(tǒng)都以空間三維立體結(jié)構(gòu)的方式存在的方式存在如果一個方向上的粒子耦合比其它兩個如果一個方向上的粒子耦合比其它兩個方向上的粒子耦合弱很多方向上的粒子耦合弱很多二維面系統(tǒng)二維面系統(tǒng)或準(zhǔn)二維薄板系統(tǒng)或準(zhǔn)二維薄板系統(tǒng)( (實際上此時體系的的許多性質(zhì)將表現(xiàn)為實際上此時體系的的許多性質(zhì)將表現(xiàn)為二維性，如電子態(tài)此時主要在平面內(nèi)展二維性，如電子態(tài)此時主要在平面內(nèi)展開，而在垂直面的方向分布較少。開，而在垂直面的方向分布較少。) )如果二個方向上的粒子耦合比其它一個方如果二個方向上的粒子耦合比其它一個方向上的粒子耦合弱很多向上

2、的粒子耦合弱很多一維線或準(zhǔn)一維一維線或準(zhǔn)一維棒系統(tǒng)棒系統(tǒng) .由于其特殊不對稱的晶體結(jié)構(gòu)由于其特殊不對稱的晶體結(jié)構(gòu),因而許多種因而許多種此類材料會隨溫度的變化展現(xiàn)出各式各樣此類材料會隨溫度的變化展現(xiàn)出各式各樣有趣的相變有趣的相變(phase transition)現(xiàn)象現(xiàn)象.如如:CDW(charge-density wave);SDW(spin-density wave);Spin-Peierls phase transition;Order-disorder;magnetic transition; superconducting transitions; etc.當(dāng)此類材料發(fā)生相變后當(dāng)此類材

3、料發(fā)生相變后,材料的物理性質(zhì)材料的物理性質(zhì)會發(fā)生巨大的改變會發(fā)生巨大的改變,故人們可以利用材料故人們可以利用材料的物性的改變的物性的改變,設(shè)計出各種功能的元件應(yīng)設(shè)計出各種功能的元件應(yīng)用于不同的裝置中用于不同的裝置中.如如:superconducting transition 可用于電可用于電力載送力載送,magenetic transition 可用于資料可用于資料存儲存儲.三個方向同時退化三個方向同時退化00D D或準(zhǔn)或準(zhǔn)0 0D D團簇系統(tǒng)團簇系統(tǒng)低維系統(tǒng)低維系統(tǒng): :空間維數(shù)低于空間維數(shù)低于3 3的整數(shù)系統(tǒng)的整數(shù)系統(tǒng), ,即即2 2D,1D,0DD,1D,0D系統(tǒng)系統(tǒng). . C60566

4、66655555666666666655555666665Carbon Nanotube納米齒輪納米軸承M. Ratner, Nature 397, 480 (1999)Hypothesis (1960s): DNA supports charge transport (due to the p-orbitals )?recent experimental boosts : photoexcited LRET measurement 1D模型（模型（SSH）：）：latelHHHsnsnsnsnnnnNsnsnccccuutn, 1, 1,10,NnnnnuMuuK2/2/221C. Dekk

5、er et al, PRB(2002)Sketch of DNA structure)2/(sin4022020Ral)(cos1 (10001,nnnnrrlRd GraphiteDiamond低維電子系統(tǒng)低維電子系統(tǒng), ,德布羅意波長德布羅意波長, ,Em*222為一特征長度為一特征長度, ,微觀描述中微觀描述中, ,該尺度下該尺度下, ,量量子尺寸效應(yīng)將顯露出來子尺寸效應(yīng)將顯露出來nmeVmmeVE10010:,1 . 0,100*介觀的界定介觀的界定在空間尺寸上介于宏觀和微觀之間在空間尺寸上介于宏觀和微觀之間( (這種這種說法有點籠統(tǒng)說法有點籠統(tǒng)) ). .介觀系統(tǒng)介觀系統(tǒng): :電子行

6、為的主要特征是電子通電子行為的主要特征是電子通過樣品之后仍能保持自身波函數(shù)的相位過樣品之后仍能保持自身波函數(shù)的相位相干性相干性. .微觀尺寸范圍的系統(tǒng)里微觀尺寸范圍的系統(tǒng)里, ,如如0.1nm左右尺左右尺度的一個原子或一個小分子度的一個原子或一個小分子, ,所有的能級所有的能級都是分立的都是分立的, , 因而系統(tǒng)的物理性質(zhì)主要因而系統(tǒng)的物理性質(zhì)主要由量子行為控制由量子行為控制. .宏觀尺度宏觀尺度(1nm),),通常經(jīng)典的或半經(jīng)典通常經(jīng)典的或半經(jīng)典的處理方法是適用的的處理方法是適用的. .介觀體系的物理行為介于熟悉的宏觀半介觀體系的物理行為介于熟悉的宏觀半經(jīng)典圖象和原子或分子的描述方法之間經(jīng)典

7、圖象和原子或分子的描述方法之間. .0.1100nm量級的小系統(tǒng)泛稱為量級的小系統(tǒng)泛稱為納米系統(tǒng)納米系統(tǒng)，當(dāng)然三維的任何一個或幾個維度尺寸縮小當(dāng)然三維的任何一個或幾個維度尺寸縮小到該區(qū)域都應(yīng)稱為納米系統(tǒng)。納米系統(tǒng)的到該區(qū)域都應(yīng)稱為納米系統(tǒng)。納米系統(tǒng)的重要性在于，與同組分的宏觀或通常凝聚重要性在于，與同組分的宏觀或通常凝聚態(tài)材料相比，其物理和化學(xué)性質(zhì)發(fā)生了突態(tài)材料相比，其物理和化學(xué)性質(zhì)發(fā)生了突變。例如系統(tǒng)的電子在三個方向均受到約變。例如系統(tǒng)的電子在三個方向均受到約束，但不同于固體中的定域態(tài)。束，但不同于固體中的定域態(tài)。 量子尺寸效應(yīng)量子尺寸效應(yīng) 準(zhǔn)連續(xù)能帶消失，分離能級出現(xiàn)準(zhǔn)連續(xù)能帶消失，分離能

8、級出現(xiàn) 在量子點或量子阱系統(tǒng)中，當(dāng)它們的寬在量子點或量子阱系統(tǒng)中，當(dāng)它們的寬度小到一定程度時，它們的量子性，即度小到一定程度時，它們的量子性，即系統(tǒng)中的能級是離散的、分立的，才能系統(tǒng)中的能級是離散的、分立的，才能在實際上明顯地反映出來。當(dāng)它們的尺在實際上明顯地反映出來。當(dāng)它們的尺度與激子玻爾半徑相近時（度與激子玻爾半徑相近時（1.6aB, aB: 塊狀材料中激子玻爾半徑），系統(tǒng)塊狀材料中激子玻爾半徑），系統(tǒng)形成一系列離散量子能級，電子在其中形成一系列離散量子能級，電子在其中的運動受到約束的運動受到約束 量子尺寸效應(yīng)量子尺寸效應(yīng)通過控制材料的各個維數(shù)上的限制，從通過控制材料的各個維數(shù)上的限制，從

9、而可達到調(diào)節(jié)半導(dǎo)體的發(fā)光質(zhì)量是量子而可達到調(diào)節(jié)半導(dǎo)體的發(fā)光質(zhì)量是量子尺寸效應(yīng)應(yīng)用的一個典型的例子。尺寸效應(yīng)應(yīng)用的一個典型的例子。 如：在量子阱結(jié)構(gòu)中，被激發(fā)的電子空如：在量子阱結(jié)構(gòu)中，被激發(fā)的電子空穴對的自由度被限制在穴對的自由度被限制在2D尺度。而在量尺度。而在量子線和量子點中，分別被限制在子線和量子點中，分別被限制在1D和和0D尺度。尺度。介觀物理介觀物理(Mesoscopic Physics)在物理上把原子尺度的客體叫做微觀系統(tǒng)在物理上把原子尺度的客體叫做微觀系統(tǒng). 相對于宏觀相對于宏觀系統(tǒng)系統(tǒng), 宏觀尺度比微觀尺度大了七、八個數(shù)量級，按體宏觀尺度比微觀尺度大了七、八個數(shù)量級，按體積論，

10、則大二十四個數(shù)量級，或者說，宏觀系統(tǒng)中包含積論，則大二十四個數(shù)量級，或者說，宏觀系統(tǒng)中包含這么多個微觀客體（原子、分子），這正是阿伏伽德羅這么多個微觀客體（原子、分子），這正是阿伏伽德羅數(shù)的數(shù)量級。數(shù)的數(shù)量級。微觀系統(tǒng)與宏觀系統(tǒng)最重要的區(qū)別是它們微觀系統(tǒng)與宏觀系統(tǒng)最重要的區(qū)別是它們服從的物理規(guī)律不同。服從的物理規(guī)律不同。在微觀系統(tǒng)中宏觀的規(guī)律（如牛在微觀系統(tǒng)中宏觀的規(guī)律（如牛頓定律）不再適用，那里的問題需要用量子力學(xué)去處理。頓定律）不再適用，那里的問題需要用量子力學(xué)去處理。近年來由于微結(jié)構(gòu)技術(shù)的發(fā)展，制作長度為微米、線寬近年來由于微結(jié)構(gòu)技術(shù)的發(fā)展，制作長度為微米、線寬度為幾十個納米的樣品已不太

11、困難。在這種尺度的樣品度為幾十個納米的樣品已不太困難。在這種尺度的樣品中包含原子數(shù)目的數(shù)量級為中包含原子數(shù)目的數(shù)量級為810，它們基本上應(yīng)屬于，它們基本上應(yīng)屬于宏觀范圍。然而，一些線狀或環(huán)狀小尺寸樣品在低溫下宏觀范圍。然而，一些線狀或環(huán)狀小尺寸樣品在低溫下的實驗結(jié)果，卻表現(xiàn)出的實驗結(jié)果，卻表現(xiàn)出電子波的量子干涉效應(yīng)電子波的量子干涉效應(yīng)。這種呈這種呈現(xiàn)出現(xiàn)出微觀特征的宏觀系統(tǒng)微觀特征的宏觀系統(tǒng)，叫做，叫做介觀系統(tǒng)介觀系統(tǒng)。研究介觀系。研究介觀系統(tǒng)行為的學(xué)科，叫介觀物理統(tǒng)行為的學(xué)科，叫介觀物理 .5.1 5.1 低維凝聚態(tài)體系低維凝聚態(tài)體系 當(dāng)三個方向尺寸均進入納米區(qū)域時，系統(tǒng)呈現(xiàn)出零維度特當(dāng)三個

12、方向尺寸均進入納米區(qū)域時，系統(tǒng)呈現(xiàn)出零維度特征。征。C60及其它團簇體系、半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)中受外場約束后及其它團簇體系、半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)中受外場約束后的電子系統(tǒng)等都可以看作是零維體系。在這里，傳統(tǒng)固體的電子系統(tǒng)等都可以看作是零維體系。在這里，傳統(tǒng)固體物理中的對稱性、物理中的對稱性、Bloch定理、能帶論等基本概念需要重定理、能帶論等基本概念需要重新審視。團簇結(jié)構(gòu)具有五度轉(zhuǎn)動新審視。團簇結(jié)構(gòu)具有五度轉(zhuǎn)動I5 對稱性，這在固體中是對稱性，這在固體中是不存在的。不存在的。Rb3C60具有超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度具有超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度Tc=28K,用還原劑用還原劑TDAE(tetrakisdimethul,amino-ethy

13、lene)作用于作用于C60固體固體,可可以形成以形成C60(TDAE)0.86,其鐵磁臨界溫度為其鐵磁臨界溫度為16.1K，這在分子這在分子固體中算是很高的。另外，固體中算是很高的。另外，C60固體的三階非線性光學(xué)系固體的三階非線性光學(xué)系數(shù)可高達數(shù)可高達 。216104 . 8VM5.1.2一維體系一維體系導(dǎo)電高分子聚合物、金屬鹵化物、導(dǎo)電高分子聚合物、金屬鹵化物、KCP、過渡金屬的過渡金屬的三硫化合物三硫化合物MX3(MNb,Ta,Mo，X=S,Se)和電荷轉(zhuǎn)移和電荷轉(zhuǎn)移有機復(fù)合物有機復(fù)合物TTF-TCNQ等是準(zhǔn)一維導(dǎo)體。導(dǎo)電聚合物等是準(zhǔn)一維導(dǎo)體。導(dǎo)電聚合物和金屬鹵化物后面還會詳細(xì)討論。和

14、金屬鹵化物后面還會詳細(xì)討論。KCP的分子式為的分子式為K2Pt(CN)4Br0.3 3H2O，其中的其中的Pt原子形成鏈狀結(jié)構(gòu)。原子形成鏈狀結(jié)構(gòu)。MX3中的過渡金屬原子也形成鏈狀結(jié)構(gòu)。沿鏈方向金中的過渡金屬原子也形成鏈狀結(jié)構(gòu)。沿鏈方向金屬原子的距離比較短，不同鏈之間金屬原子的距離比屬原子的距離比較短，不同鏈之間金屬原子的距離比較大。在較大。在KCP中，沿鏈方向中，沿鏈方向dPt-Pt=0.288nm，而最近鏈而最近鏈間距間距0.987nm。這種準(zhǔn)一維結(jié)構(gòu)導(dǎo)致平行于鏈方向的這種準(zhǔn)一維結(jié)構(gòu)導(dǎo)致平行于鏈方向的電導(dǎo)率比垂直于鏈方向的電導(dǎo)率大電導(dǎo)率比垂直于鏈方向的電導(dǎo)率大4個數(shù)量級。同樣，個數(shù)量級。同樣

15、，在在TaS3，NbSe3，TTF-TCNQ中，電導(dǎo)率的各向異性中，電導(dǎo)率的各向異性都很大。都很大。 聚硫氮聚硫氮(SN)x的分子結(jié)構(gòu)的分子結(jié)構(gòu) 當(dāng)溫度降低時，這些一維導(dǎo)體會發(fā)生相當(dāng)溫度降低時，這些一維導(dǎo)體會發(fā)生相變，出現(xiàn)超晶格和電荷密度波變，出現(xiàn)超晶格和電荷密度波(CDW)或或自旋密度波自旋密度波(SDW)，很多材料在相變后很多材料在相變后成為導(dǎo)體成為導(dǎo)體(Peierls相變相變)。它們的分子式、。它們的分子式、相變溫度相變溫度Tc、超晶格的晶格常數(shù)即超晶格的晶格常數(shù)即CDW波長波長 、電導(dǎo)率等見表、電導(dǎo)率等見表5.1.1（P116）。）。聚合物通常由碳鏈組成，電子沿鏈方向的耦合比垂直于鏈聚

16、合物通常由碳鏈組成，電子沿鏈方向的耦合比垂直于鏈方向的耦合強得多，成為準(zhǔn)一維體系，代表材料有聚乙炔、方向的耦合強得多，成為準(zhǔn)一維體系，代表材料有聚乙炔、聚噻吩、聚苯胺等。常溫下，它們呈現(xiàn)二聚化結(jié)構(gòu)，絕緣聚噻吩、聚苯胺等。常溫下，它們呈現(xiàn)二聚化結(jié)構(gòu)，絕緣基態(tài)，但在高溫下，二聚化消失，發(fā)生基態(tài)，但在高溫下，二聚化消失，發(fā)生Peierls相變。常溫相變。常溫下的聚合物通過摻雜電導(dǎo)率可增加幾個甚至十幾個數(shù)量級，下的聚合物通過摻雜電導(dǎo)率可增加幾個甚至十幾個數(shù)量級，高達高達105( cm)-1，成為有機導(dǎo)體。高分子聚合物還具有重成為有機導(dǎo)體。高分子聚合物還具有重要的電致發(fā)光性能和潛在的鐵磁性能。以聚對苯乙

17、炔作為要的電致發(fā)光性能和潛在的鐵磁性能。以聚對苯乙炔作為發(fā)光材料研制的有機發(fā)光器件，其量子發(fā)光效率可達發(fā)光材料研制的有機發(fā)光器件，其量子發(fā)光效率可達4%，亮度可與通常的液晶顯示相比。目前已發(fā)現(xiàn)近百種有機高亮度可與通常的液晶顯示相比。目前已發(fā)現(xiàn)近百種有機高分子材料具有電致發(fā)光特性，發(fā)光顏色已覆蓋整個可見光分子材料具有電致發(fā)光特性，發(fā)光顏色已覆蓋整個可見光譜區(qū)。聚合物譜區(qū)。聚合物m-PDPC(m-polydiphenylcarbene)可具有潛可具有潛在鐵磁特性，來源于每個基團內(nèi)的局域自旋與在鐵磁特性，來源于每個基團內(nèi)的局域自旋與 電子的自電子的自旋耦合，這類材料還有旋耦合，這類材料還有poly-

18、BIPO,pyro-PAN等。由于不等。由于不含任何無機金屬離子，其磁性機理及材料合成中均出現(xiàn)很含任何無機金屬離子，其磁性機理及材料合成中均出現(xiàn)很多新概念和新方法。多新概念和新方法。nnnnSnpolyacetyleneCis-polyacetylenepoly(para-phenylene) poly(para-phenylenevinylene) polythiopheneCCCCCCCCCCHHHHHHHHHH(a )CCCCCCCCCCHHHHHHHHHH(d)Carbon Nanotube(CNT can be metallic or semiconducting and offer

19、s amazing possibilities to create future nanoelectronics devices, circuits, and computers. )5.1.3二維體系二維體系 石墨是一種層狀結(jié)構(gòu)，每一層中的碳原子排成六角石墨是一種層狀結(jié)構(gòu)，每一層中的碳原子排成六角型平面晶格，層與層間的范德瓦爾斯耦合很弱，可型平面晶格，層與層間的范德瓦爾斯耦合很弱，可被其它元素或化合物插入，形成石墨夾層化合物，被其它元素或化合物插入，形成石墨夾層化合物，每一夾層可看作是一個準(zhǔn)二維體系。每一夾層可看作是一個準(zhǔn)二維體系。AsF5的石墨夾的石墨夾層化合物的電導(dǎo)率室溫下可達到層化合物

20、的電導(dǎo)率室溫下可達到6.2 105( cm)-1，超超過了銅。載流子從遷移率很低的夾層化合物中轉(zhuǎn)移過了銅。載流子從遷移率很低的夾層化合物中轉(zhuǎn)移到遷移率很高的鄰近石墨層中，對電導(dǎo)起主要作用到遷移率很高的鄰近石墨層中，對電導(dǎo)起主要作用的是鄰近于夾層化合物的石墨層。的是鄰近于夾層化合物的石墨層。TaSe2,Nb(鈮鈮)Se2,TaS2等等MX2化合物也是一種層化合物也是一種層狀結(jié)構(gòu)，兩層硫族原子中間夾一層過渡金屬原狀結(jié)構(gòu)，兩層硫族原子中間夾一層過渡金屬原子，每一層中原子排成六角型晶格，形成夾心子，每一層中原子排成六角型晶格，形成夾心層層XMX。同一夾心層中原子間是共價鍵，相鄰?fù)粖A心層中原子間是共價

21、鍵，相鄰夾心層之間的耦合很弱，主要是硫族原子之間夾心層之間的耦合很弱，主要是硫族原子之間的范德瓦爾斯力，因此每一夾心層是一個準(zhǔn)二的范德瓦爾斯力，因此每一夾心層是一個準(zhǔn)二維系統(tǒng)。這類層狀化合物的重要特性是當(dāng)溫度維系統(tǒng)。這類層狀化合物的重要特性是當(dāng)溫度降低到某個數(shù)值降低到某個數(shù)值T0后，晶體中會出現(xiàn)電荷密度后，晶體中會出現(xiàn)電荷密度波。電子的密度出現(xiàn)了新的周期性分布，同時波。電子的密度出現(xiàn)了新的周期性分布，同時晶格原子也發(fā)生微小的畸變而形成超晶格。晶格原子也發(fā)生微小的畸變而形成超晶格。 4He和和3He原子量很輕，吸附后有很大的零點原子量很輕，吸附后有很大的零點運動，除了具有一般的氣、液、固相外，吸

22、附運動，除了具有一般的氣、液、固相外，吸附層薄膜還可以有超流性。當(dāng)通常薄膜系統(tǒng)的厚層薄膜還可以有超流性。當(dāng)通常薄膜系統(tǒng)的厚度與電子的德布羅意波長可比較時，會出現(xiàn)量度與電子的德布羅意波長可比較時，會出現(xiàn)量子尺寸效應(yīng)，在垂直于薄膜方向，電子運動受子尺寸效應(yīng)，在垂直于薄膜方向，電子運動受到約束，具有量子化分立能級；在外磁場中，到約束，具有量子化分立能級；在外磁場中，如果薄膜厚度可與朗道軌道的半徑比較時，會如果薄膜厚度可與朗道軌道的半徑比較時，會出現(xiàn)出現(xiàn)“磁量子化磁量子化”，這些量子尺寸效應(yīng)已在，這些量子尺寸效應(yīng)已在InSb（銻）和銻）和PbTe（鍗鍗）的光學(xué)性質(zhì)，）的光學(xué)性質(zhì)，Bi（鉍）鉍）的隧道光

23、譜中觀察到。的隧道光譜中觀察到。 5.25.2維度的一般特征維度的一般特征 5.2.15.2.1布里淵區(qū)和費米面布里淵區(qū)和費米面 反映固體中格點和電子的行為有兩個重要的反映固體中格點和電子的行為有兩個重要的物理量：物理量：布里淵區(qū)和費米面布里淵區(qū)和費米面。在倒格矢空間。在倒格矢空間（或動量空間）中取一個格點作原點，向其它（或動量空間）中取一個格點作原點，向其它格點連線，作這些連線的垂直平分面，這些平格點連線，作這些連線的垂直平分面，這些平面就是布里淵區(qū)的邊界面，由這些邊界面構(gòu)成面就是布里淵區(qū)的邊界面，由這些邊界面構(gòu)成的最小的多面體便是的最小的多面體便是第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)。電子在晶。電子在

24、晶格周期性勢場中運動時，能量是動量的函數(shù)，格周期性勢場中運動時，能量是動量的函數(shù)，在動量空間（倒格矢空間）中，電子將從能量在動量空間（倒格矢空間）中，電子將從能量低的狀態(tài)向高的狀態(tài)逐一填充，其最大的電子低的狀態(tài)向高的狀態(tài)逐一填充，其最大的電子能量便是能量便是費米能費米能EF.二維方格子二維方格子(2(2D)D)布里淵區(qū)布里淵區(qū)Fermi surface(2D)面心立方格子（面心立方格子（3 3D D）第一第一布里淵區(qū)布里淵區(qū)Al(FCC)的費米面的費米面Fermi surface of C60 BuckyballT=42K T=23K于是動量空間中費米面滿足的方程是，于是動量空間中費米面滿足的

25、方程是，F(xiàn)zyxEkkkE),(將布里淵區(qū)的邊界與費米面的邊界比較一下，將布里淵區(qū)的邊界與費米面的邊界比較一下，見下表見下表, , 可以看出，可以看出，對于二維和三維，平直對于二維和三維，平直的布里淵區(qū)邊界和彎曲的費米面只能相交或的布里淵區(qū)邊界和彎曲的費米面只能相交或相切，不能相互重合，但一維時兩者有可能相切，不能相互重合，但一維時兩者有可能完全重合，這個差別使得一維體系會發(fā)生晶完全重合，這個差別使得一維體系會發(fā)生晶格扭曲，二、三維則沒有。格扭曲，二、三維則沒有。 不同維度下的布里淵區(qū)和費米面不同維度下的布里淵區(qū)和費米面一維一維二維二維三維三維布里淵區(qū)布里淵區(qū)線段線段多邊形多邊形多面體多面體費

26、費 米米 面面線段線段曲邊形曲邊形曲面體曲面體5.2.2狀態(tài)密度狀態(tài)密度(Density of States, DOS) 溫度不為絕對零度時，熱運動使體溫度不為絕對零度時，熱運動使體系以一定的幾率處于激發(fā)態(tài)，其中起主系以一定的幾率處于激發(fā)態(tài)，其中起主要作用的是低能激發(fā)態(tài)，因為它們最容要作用的是低能激發(fā)態(tài)，因為它們最容易被激發(fā)。在這些熱激發(fā)的干擾下，體易被激發(fā)。在這些熱激發(fā)的干擾下，體系的有序化程度就要降低。因此，體系系的有序化程度就要降低。因此，體系能否保持有序?qū)⒃诤艽蟪潭壬蠜Q定于低能否保持有序?qū)⒃诤艽蟪潭壬蠜Q定于低能激發(fā)態(tài)的狀態(tài)密度能激發(fā)態(tài)的狀態(tài)密度 。_ _ 單位能量間隔中的狀態(tài)數(shù)目單位能

27、量間隔中的狀態(tài)數(shù)目)(E dEdnE/低激發(fā)態(tài)密度愈大低激發(fā)態(tài)密度愈大, ,則熱起則熱起伏的干擾愈強伏的干擾愈強! !*各種維度下的態(tài)密度各種維度下的態(tài)密度設(shè)體系的邊長為設(shè)體系的邊長為L L，邊界限制條件要求邊界限制條件要求動量動量ELmkzyx/,(m=0, 1, 2, 3, ) 相鄰兩個動量之間的間隔為相鄰兩個動量之間的間隔為1/1/L L, ,于是在于是在 動量空間中，夾在動量殼層動量空間中，夾在動量殼層 中的狀中的狀 狀態(tài)數(shù)目是狀態(tài)數(shù)目是 kdkkdkkLLdkkkdkLLkdkLdkLdkdn2332224)1/(42)1/(2)1/(1D2D3D以自由粒子為例討論態(tài)密度與維度的關(guān)系

28、以自由粒子為例討論態(tài)密度與維度的關(guān)系。例例: :設(shè)體系的激發(fā)能譜設(shè)體系的激發(fā)能譜 則則2)(akkEEconstEdkdEdkdndEdnE.11)(1D2D3D特別地，對自由粒子：特別地，對自由粒子：mkkE2)(22 EEmLconstmLEEmLdkdEdkdndEdnE)(24.21121)(2323221D2D3D自由粒子在不同維度下的態(tài)密度自由粒子在不同維度下的態(tài)密度對于三維對于三維(3(3D)D)體系，低能激發(fā)態(tài)的體系，低能激發(fā)態(tài)的狀態(tài)密度趨向于零，狀態(tài)密度趨向于零， ，因此在低溫下狀態(tài)數(shù)很少，熱起伏因此在低溫下狀態(tài)數(shù)很少，熱起伏很小，可保持有序結(jié)構(gòu)，只有當(dāng)溫很小，可保持有序結(jié)構(gòu)

29、，只有當(dāng)溫度足夠高時，熱起伏才能破壞有序，度足夠高時，熱起伏才能破壞有序，于是發(fā)生相變。于是發(fā)生相變。0)0(E 對于一維體系，低能激發(fā)態(tài)的狀態(tài)對于一維體系，低能激發(fā)態(tài)的狀態(tài)密度趨向無限，密度趨向無限， ，無論，無論溫度如何低（只要不是絕對零度），溫度如何低（只要不是絕對零度），熱激發(fā)所引起的起伏都很強烈。于熱激發(fā)所引起的起伏都很強烈。于是在非絕對零度下，一維體系不能是在非絕對零度下，一維體系不能保持有序，因此也沒有相變。保持有序，因此也沒有相變。 )0(E 對于二維體系，其情況介于一維和對于二維體系，其情況介于一維和三維之間，狀態(tài)密度三維之間，狀態(tài)密度 保持常數(shù)，保持常數(shù)，總存在著一定的熱起

30、伏，在熱力學(xué)總存在著一定的熱起伏，在熱力學(xué)極限（體積極限（體積L L2 2）下，有序化將被破下，有序化將被破壞，于是二維體系（如果能譜無能壞，于是二維體系（如果能譜無能隙）不能在大范圍內(nèi)保持有序，只隙）不能在大范圍內(nèi)保持有序，只能在一定的小范圍內(nèi)有序，或者說能在一定的小范圍內(nèi)有序，或者說無長程序，只有短程序。這使得二無長程序，只有短程序。這使得二維體系出現(xiàn)了新的序和相變特征。維體系出現(xiàn)了新的序和相變特征。)(E 5.3 屏蔽勢屏蔽勢等離子體：等離子體：由所有相同帶電的離子組成的由所有相同帶電的離子組成的氣體。氣體。 電離可形成等離子體電離可形成等離子體。 一般地，在等離子體中引進外加正電一般地

31、，在等離子體中引進外加正電荷時，等離子體中的負(fù)電荷被它吸引，荷時，等離子體中的負(fù)電荷被它吸引，正電荷被它排斥。于是，該外加正電荷正電荷被它排斥。于是，該外加正電荷在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電場將受到屏蔽。在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電場將受到屏蔽。例：濺射，充上氬氣，氬氣的電子被正極例：濺射，充上氬氣，氬氣的電子被正極吸引，氬氣帶正點形成等離子體。正離吸引，氬氣帶正點形成等離子體。正離子起輝（為保持等離子體狀態(tài)，必須源子起輝（為保持等離子體狀態(tài)，必須源源不斷地充進氬氣）。源不斷地充進氬氣）。 離子源向真空中排放的也是等離子體離子源向真空中排放的也是等離子體。 對于三維等離子體，外加的點電荷將形成球?qū)τ谌S等離子體，外加的

32、點電荷將形成球?qū)ΨQ的屏蔽電荷，這時，所有的電多極矩均為零，稱的屏蔽電荷，這時，所有的電多極矩均為零，遠(yuǎn)處的屏蔽勢為遠(yuǎn)處的屏蔽勢為 其中其中 是是Thomas-Fermi半徑，故三維等離子體半徑，故三維等離子體中的屏蔽勢是短程的。中的屏蔽勢是短程的。 對于二維等離子體，正負(fù)電荷分布于一個平面對于二維等離子體，正負(fù)電荷分布于一個平面內(nèi)，外加的正電荷所引起的屏蔽電荷在平面上內(nèi)，外加的正電荷所引起的屏蔽電荷在平面上呈環(huán)狀分布，此種分布的電四極矩不為零，在呈環(huán)狀分布，此種分布的電四極矩不為零，在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的屏蔽勢將是四極矩電勢，遠(yuǎn)處產(chǎn)生的屏蔽勢將是四極矩電勢， (5.2.8) 它是準(zhǔn)長程的。它是準(zhǔn)長程的。

33、 /1)(rerrV31)(rrV等離子體的振蕩頻率等離子體的振蕩頻率 三維等離子體中，在電荷密度起伏的平面波中，三維等離子體中，在電荷密度起伏的平面波中，其波前是個平面，它在平面外所產(chǎn)生的電場強其波前是個平面，它在平面外所產(chǎn)生的電場強度是一常數(shù)，不隨距離的增加而減弱。對于長度是一常數(shù)，不隨距離的增加而減弱。對于長波等離子體振蕩，由于上述性質(zhì)，即使波長波等離子體振蕩，由于上述性質(zhì)，即使波長 ( (即動量即動量 ) )，相鄰波峰間的相互作用仍不，相鄰波峰間的相互作用仍不能消失，因而三維等離子體中，波長能消失，因而三維等離子體中，波長 的等離子體振蕩頻率的等離子體振蕩頻率 并不等于零，于是三并不等

34、于零，于是三維等離子體的能譜維等離子體的能譜 在動量在動量k k=0=0點有一能點有一能隙隙 . . 0 0k 0 )(k 二維等離子體的情況就完全不同，電荷二維等離子體的情況就完全不同，電荷密度起伏的波前是一條線，線電荷在遠(yuǎn)密度起伏的波前是一條線，線電荷在遠(yuǎn)處的電場強度處的電場強度1/r，它隨距離的增加而趨它隨距離的增加而趨于零。對于波長于零。對于波長 的等離子體振蕩，的等離子體振蕩，相鄰波峰間的相互作用將趨于零，因而相鄰波峰間的相互作用將趨于零，因而其振蕩頻率其振蕩頻率 也等于零，能譜無能隙。也等于零，能譜無能隙。定量的計算表明，二維等離子體的色散定量的計算表明，二維等離子體的色散關(guān)系為關(guān)

35、系為kk )( 0 關(guān)于序的定義關(guān)于序的定義 凝聚態(tài)體系的某種規(guī)律稱之為序凝聚態(tài)體系的某種規(guī)律稱之為序。一個系統(tǒng)有。一個系統(tǒng)有n個性質(zhì)或力學(xué)量，其序性質(zhì)可為個性質(zhì)或力學(xué)量，其序性質(zhì)可為m個。個。nm例：分子，在位置和化學(xué)性質(zhì)上可能有序，但如例：分子，在位置和化學(xué)性質(zhì)上可能有序，但如無定向外場，分子在取向上則無規(guī)律性無定向外場，分子在取向上則無規(guī)律性分分子取向是無序的。子取向是無序的。 晶格點陣，如有兩種原子任意占據(jù)格點位置，晶格點陣，如有兩種原子任意占據(jù)格點位置，則原子位置仍是有序的，但原子種類排列是無則原子位置仍是有序的，但原子種類排列是無序的。序的。有序無序類比類比有理數(shù)無理數(shù)序結(jié)構(gòu)的破壞

36、則意味著相變序結(jié)構(gòu)的破壞則意味著相變物理上通過引入序參量來描述系統(tǒng)的物理上通過引入序參量來描述系統(tǒng)的序行為序行為*幾種模型簡介幾種模型簡介 考慮一個理想的磁性系統(tǒng)，磁性考慮一個理想的磁性系統(tǒng)，磁性原子位于某個基本周期性格點上，原子位于某個基本周期性格點上，每個磁性原子都具有一個大小固定每個磁性原子都具有一個大小固定的基本磁矩或自旋，它們是先天地的基本磁矩或自旋，它們是先天地指向空間方向中的一個方向。指向空間方向中的一個方向。Ising模型模型 假設(shè)原子磁矩可能有假設(shè)原子磁矩可能有2 2個指向，不是平行個指向，不是平行于某一固定軸（取它為于某一固定軸（取它為Z Z軸），就是反平軸），就是反平行于

37、此軸。于是，這個模型的微觀態(tài)可行于此軸。于是，這個模型的微觀態(tài)可以通過說明每個原子沿以通過說明每個原子沿Z Z軸的磁矩是正還軸的磁矩是正還是負(fù)來確定。是負(fù)來確定。海森伯（海森伯（Heisenberg）模型模型 假定原子磁矩可以指定空間的任何假定原子磁矩可以指定空間的任何方向，而且假定近鄰自旋之間的取向力方向，而且假定近鄰自旋之間的取向力可由某個能量導(dǎo)出：該能量只取決于二可由某個能量導(dǎo)出：該能量只取決于二個自旋間的夾角，而與磁矩相對空間任個自旋間的夾角，而與磁矩相對空間任一固定軸的取向無關(guān)。如果我們把該系一固定軸的取向無關(guān)。如果我們把該系統(tǒng)中的每個自旋都繞某個任意方向轉(zhuǎn)動統(tǒng)中的每個自旋都繞某個任

38、意方向轉(zhuǎn)動相同的角度，該模型的能量保持不變，相同的角度，該模型的能量保持不變，我們稱這一模型在自旋任意轉(zhuǎn)動下是對我們稱這一模型在自旋任意轉(zhuǎn)動下是對稱的。稱的。XY模型模型 一種介于一種介于Heisenberg模型與模型與Ising模型之間的模型。其中磁矩方向僅模型之間的模型。其中磁矩方向僅局限于一個平面（如局限于一個平面（如XY平面）內(nèi)，平面）內(nèi)，而且若所有自旋在該平面內(nèi)轉(zhuǎn)動相而且若所有自旋在該平面內(nèi)轉(zhuǎn)動相同的角度時，則所取的能量保持不同的角度時，則所取的能量保持不變。變。 Ising、 XY、 Heisenberg模模型具有序參量，這些序參量分別型具有序參量，這些序參量分別為為1D矢量、矢量

39、、2D矢量和矢量和3D矢量矢量。鐵磁體鐵磁體XY模型的序模型的序 磁性系統(tǒng)中，局域自旋之間的相互作用由海森磁性系統(tǒng)中，局域自旋之間的相互作用由海森堡模型來描述，磁性系統(tǒng)中，局域自旋之間的堡模型來描述，磁性系統(tǒng)中，局域自旋之間的相互作用由海森堡模型來描述，相互作用由海森堡模型來描述， 其中是格點其中是格點i上的局域自旋算符，上的局域自旋算符，( (i,j) )為對最近為對最近鄰格點求和。對于二電子體系，考慮到波函數(shù)鄰格點求和。對于二電子體系，考慮到波函數(shù)的交換反對稱性，可以推出海森堡模型，并發(fā)的交換反對稱性，可以推出海森堡模型，并發(fā)現(xiàn)交換積分現(xiàn)交換積分 ( (正方格子中可取為常數(shù)正方格子中可取為

40、常數(shù)) )依賴依賴于電子于電子- -電子相互作用強度及電子軌道的重疊。電子相互作用強度及電子軌道的重疊。子軌軌道的重疊電子相互作用強度及電依賴賴于電正方格子中可取為方格型，并發(fā)，并發(fā)現(xiàn)交性，可以推出海森堡模到波函數(shù)的交換波函數(shù)對于二電子體系，考慮為對最近鄰格點求和。上的局域自旋算符，是格點其中堡模型來描述，之間間的相互作用由海磁性系統(tǒng)性系統(tǒng)中，局-)( j)(i,i (5.3.1) ),(jijiijSSJHijJ如果將自旋算符如果將自旋算符 看作看作XY平面上的平面上的二維經(jīng)典矢量二維經(jīng)典矢量則得到則得到XY模型；如進一步簡化，假模型；如進一步簡化，假定將自旋算符定將自旋算符 看作經(jīng)典量，且

41、只看作經(jīng)典量，且只取兩個值取兩個值 1 ，則得到著名的，則得到著名的Ising模型模型。iS)1( ,22 yxyxiSSjSiSSiS對于對于XY模型，設(shè)模型，設(shè) 與與x軸的夾角軸的夾角為為 ，則有，則有基態(tài)基態(tài) ， ，其，其中中Z為配位數(shù)。為配位數(shù)。iSi)cos(),(jijiJHji2/1),(0JNZJHji 設(shè)基態(tài)自旋都指向設(shè)基態(tài)自旋都指向x軸正方向，則該鐵磁體軸正方向，則該鐵磁體系的序參量就是沿系的序參量就是沿x軸的磁化強度軸的磁化強度M, 低溫下，體系偏離基態(tài)，但高激發(fā)態(tài)也難低溫下，體系偏離基態(tài)，但高激發(fā)態(tài)也難于實現(xiàn)，于實現(xiàn)， 此時此時 一般是小量，一般是小量， 可以展成泰勒級

42、數(shù)，保留到二階項得，可以展成泰勒級數(shù)，保留到二階項得，xSM )cos(ji)(ji 2),()(22jijiJNZJH對于均勻體系，各個自旋的偏離角度的平方平均對于均勻體系，各個自旋的偏離角度的平方平均應(yīng)是相同的，因此應(yīng)是相同的，因此222)(11kNNkiii )(2)(21kEkdTkNLkETkNBdBk經(jīng)過一系列的推導(dǎo)，對于正方晶格，有經(jīng)過一系列的推導(dǎo)，對于正方晶格，有22/1/12224kkdNJaTkLaLBdi(3D) (2D) (1D) JTkaLJTkaLJTkBBB22ln222晶格的序晶格的序 對于對于N個原子組成的晶格系統(tǒng)，原子之個原子組成的晶格系統(tǒng)，原子之間的相互作

43、用勢能為間的相互作用勢能為 ，哈密頓，哈密頓量為，量為， 如果該體系能排列成有序的點陣，下面如果該體系能排列成有序的點陣，下面我們討論一下描述該晶格點陣的序參量我們討論一下描述該晶格點陣的序參量應(yīng)是什么。應(yīng)是什么。)(jiRRv)(2jijiiiRRvMPH 設(shè)設(shè)N個原子某時刻位置是（個原子某時刻位置是（i=1,2,N）,則原子分布的密度為，則原子分布的密度為， 作傅立葉展開得，作傅立葉展開得， )()(iiRRRRk ikekR)()(00iRk iiRk ieVRdeRVk1)(1)(且且)()(*kk（1）如對所有）如對所有 ，有，有 ，則，則即各處密度相同，原子分布沒有周期性，相應(yīng)于均

44、勻液即各處密度相同，原子分布沒有周期性，相應(yīng)于均勻液體或完全無序狀態(tài)。體或完全無序狀態(tài)。 （2） 如對于某一個如對于某一個 , 有有 而對于其它而對于其它 ，仍有，仍有 則則 0k0)(k0)(RK0)(KK0)(KRk ikeKkkR)()()(0RKiRKieKeK)()(0RKiRKieKeK)()(*0令令 ，則，則 ，因此因此 KiKeK)(KiKeK)(*)(*)(0)(KKRKiKRKiKeeR)cos(20KKRK此時原子分布出現(xiàn)了倒格矢為此時原子分布出現(xiàn)了倒格矢為 的晶格排列。的晶格排列。對應(yīng)晶格排列周期對應(yīng)晶格排列周期 。因此，。因此， 就是就是倒格矢為倒格矢為 的晶格排列

45、序參量。的晶格排列序參量。 KKa 2 )(k K 為簡單計，將原子看成是經(jīng)典粒子，哈為簡單計，將原子看成是經(jīng)典粒子，哈密頓相應(yīng)為經(jīng)典體系。在絕對零度下，密頓相應(yīng)為經(jīng)典體系。在絕對零度下，原子將是靜止的，由于原子之間存在相原子將是靜止的，由于原子之間存在相互作用互作用 ，為了使體系的能量達，為了使體系的能量達到最小，原子將按一定的規(guī)則排列，形到最小，原子將按一定的規(guī)則排列，形成晶格，這是體系的基態(tài)。設(shè)晶格排列成晶格，這是體系的基態(tài)。設(shè)晶格排列中每個原子的平衡位置為中每個原子的平衡位置為 ，當(dāng)溫度不，當(dāng)溫度不為零時，熱運動使原子在平衡位置附近為零時，熱運動使原子在平衡位置附近作振動，此時原子的瞬

46、時位置為，作振動，此時原子的瞬時位置為，熱起伏的影響熱起伏的影響)(jiRRv 0iRiiiuRR0 是原子偏離平衡位置的位移矢量，當(dāng)是原子偏離平衡位置的位移矢量，當(dāng)溫度不夠高時，應(yīng)為小量，溫度不夠高時，應(yīng)為小量， ，因，因此此 其中其中 是原子處于平衡位置時的相互作是原子處于平衡位置時的相互作用能，各向同性體系中，彈性系數(shù)用能，各向同性體系中，彈性系數(shù)K為常為常數(shù)數(shù)。因此有因此有iuaui20)(21)(jijiuuKvRRv022)(212jijiiiuuKMPH 為了使哈密頓量對角化，對為了使哈密頓量對角化，對 和和 進行進行傅立葉變換等，得到位置序參量傅立葉變換等，得到位置序參量 iu

47、iP22/1/122)2(23kkdKNaTLkuaLddBi(3D) 43(2D) ln43(1D) 2432KTkaLKTkaLKTkBBB 結(jié)論：結(jié)論：三維系統(tǒng)的低溫?zé)崞鸱苄?，體三維系統(tǒng)的低溫?zé)崞鸱苄。w系可以保持一定的序結(jié)構(gòu)。對于一維系系可以保持一定的序結(jié)構(gòu)。對于一維系統(tǒng)，由于尺寸統(tǒng)，由于尺寸L很大，只要不是絕對零度，很大，只要不是絕對零度，熱起伏都將很大，這意味者一維系統(tǒng)的熱起伏都將很大，這意味者一維系統(tǒng)的自旋在任何有限溫度下都可以任意取向自旋在任何有限溫度下都可以任意取向或原子都可離開格點位置任意運動，序或原子都可離開格點位置任意運動，序參量不再保持有限值。二維系統(tǒng)的行為參量不

48、再保持有限值。二維系統(tǒng)的行為介于三維和一維之間，小范圍內(nèi)，低溫介于三維和一維之間，小范圍內(nèi)，低溫下，熱起伏仍可保持有限值，但在熱力下，熱起伏仍可保持有限值，但在熱力學(xué)極限下，任何有限溫度下的熱起伏都學(xué)極限下，任何有限溫度下的熱起伏都將趨于無窮大?？偨Y(jié)以上分析可以得到：將趨于無窮大?？偨Y(jié)以上分析可以得到：在熱力學(xué)極限下，一維和二維物理系統(tǒng)在熱力學(xué)極限下，一維和二維物理系統(tǒng)在非零溫度下是不可能保持有序結(jié)構(gòu)的。在非零溫度下是不可能保持有序結(jié)構(gòu)的。相應(yīng)地，自旋序參量相應(yīng)地，自旋序參量 JTkaLJTkaLJTkBBBi 2ln22221D2D3D結(jié)論：結(jié)論：3D系統(tǒng)的低溫?zé)崞鸱苄。w系可系統(tǒng)的低溫?zé)崞鸱苄?，體系可以保持一定的序結(jié)構(gòu)。而對于以保持一定的序結(jié)構(gòu)。而對于1D系統(tǒng)，由系統(tǒng)，由于尺寸于尺寸L很大，只要不是絕對零度，熱起很大，只要不是絕對零度，熱起伏都將很大，這意味著伏都將很大，這意味著1D系統(tǒng)的自旋在系統(tǒng)的自旋在 任何有限溫度下都可以任意取向，或原任何有限溫度下都可以任意取向，或原子都可以離開格點位移任意運動，序參子都可以離開格點位移任意運動，序參量不再保持有限值。量不再保持有限值。2D系統(tǒng)的行為介于系統(tǒng)的行為介于3D和和1D之間，小范圍內(nèi)，低溫下熱起伏之間，小范圍內(nèi)，低溫下熱起伏仍可保持有限值。但在熱