概率論與數(shù)理統(tǒng)計_第1章3節(jié)

1、 前面講到：前面講到：事件就是某些樣本點組成的集合，事件事件就是某些樣本點組成的集合，事件之間的運算也就是集合運算之間的運算也就是集合運算. 前蘇聯(lián)學(xué)者柯爾莫哥洛夫于前蘇聯(lián)學(xué)者柯爾莫哥洛夫于1933年在年在概率論基概率論基礎(chǔ)概念礎(chǔ)概念一書中，用一書中，用公理化的方法與集合論的觀點公理化的方法與集合論的觀點成功地解決了這一問題，提出了成功地解決了這一問題，提出了概率空間概率空間的概念的概念. 但是，并沒有對但是，并沒有對事件的集合事件的集合進(jìn)行限制進(jìn)行限制. 對于事件，對于事件，一個很明顯的要求就是一個很明顯的要求就是所有事件組成的集合對于并、所有事件組成的集合對于并、交、余這三種運算封閉交、余

2、這三種運算封閉.第一章 隨機事件和概率一、概率空間及其三要素一、概率空間及其三要素1、樣本空間、樣本空間2、 與可測空間與可測空間F3、概率、概率P與概率空間與概率空間二、概率的可列可加性與連續(xù)性二、概率的可列可加性與連續(xù)性三、概率空間的實際例子三、概率空間的實際例子1.3 概率的公理化定義 概率空間第一章 隨機事件和概率一、概率空間及其三要素一、概率空間及其三要素1、樣本空間、樣本空間 是一非空集合，稱為樣本空間；其中的元素稱是一非空集合，稱為樣本空間；其中的元素稱為為樣本點樣本點，相應(yīng)于隨機試驗的結(jié)果，相應(yīng)于隨機試驗的結(jié)果.2、 與可測空間與可測空間F 我們把我們把事件事件A定義為定義為

3、的一個子集，它包含若干的一個子集，它包含若干樣本點，事件樣本點，事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A 所包含的樣本點中有所包含的樣本點中有一個發(fā)生一個發(fā)生. 一般并不把一般并不把 的一切子集都作為事件，因為這將的一切子集都作為事件，因為這將對給定概率帶來困難對給定概率帶來困難.同時，又必須把問題中感興趣同時，又必須把問題中感興趣的事件都包括進(jìn)來，因為事件的交、余、并等也應(yīng)該的事件都包括進(jìn)來，因為事件的交、余、并等也應(yīng)該為事件，也應(yīng)該有相應(yīng)的概率為事件，也應(yīng)該有相應(yīng)的概率. 中的元素稱為中的元素稱為事件事件，也，也稱稱 為為事件域事件域. . 稱為稱為必必然事件然事件， 稱為稱為不可能事件不可能事件

4、.FF 于是，我們把于是，我們把事件的全體記為事件的全體記為 ，它是由，它是由 的的某些子集構(gòu)成的集合族某些子集構(gòu)成的集合族，并且還應(yīng)滿足下面的，并且還應(yīng)滿足下面的條件條件：(i);F(ii);AAFF ;如果 ，那么 稱滿足上述條件的集合族為稱滿足上述條件的集合族為 域域，也稱，也稱 -代數(shù)代數(shù).1(iii)1,2,;iiiAA如果 ，i那么 FF ; 很顯然，根據(jù)定義，必然事件和不可能事件都在很顯然，根據(jù)定義，必然事件和不可能事件都在事件域中，事件的事件域中，事件的有限及可列交、并以及差有限及可列交、并以及差也都在事也都在事件域中件域中.F例例1 , F為一為一 -代數(shù)代數(shù).例例2 ,A

5、A F為一為一 -代數(shù)代數(shù).例例31,n F是由是由 的一切子集構(gòu)成的一切子集構(gòu)成.這時，這時， 是一個有限的集合，共有元素是一個有限的集合，共有元素2n 個個.F為一為一 -代數(shù)代數(shù).F例例4F為一為一 -代數(shù)代數(shù).可以驗證可以驗證對于一般的對于一般的 ，若，若 由由 的一切子集構(gòu)成，的一切子集構(gòu)成， F注注事件域可以很簡單，也可以十分復(fù)雜，要根事件域可以很簡單，也可以十分復(fù)雜，要根據(jù)據(jù)問題的不同要求問題的不同要求來選擇適當(dāng)?shù)氖录騺磉x擇適當(dāng)?shù)氖录?把任一樣本空間 ，以及由 的子集所組成的一個-代數(shù) 寫在一起，記為F x，F(xiàn)結(jié)構(gòu)的樣本空間，簡稱為可測空間-，稱為具有代數(shù)3、概率、概率P與概

6、率空間與概率空間（i）,( )0;AP A 非負(fù)性：有F 概率概率P 為定義在事件域為定義在事件域 上的函數(shù)上的函數(shù)，即它是一個從，即它是一個從 到到 的映射：的映射： ，且它滿足，且它滿足FF0,1:0,1PF（ii）( )1;P 規(guī)范性： 性質(zhì)（性質(zhì)（iii）也稱為）也稱為可列可加性可列可加性.11()()iiiiPAP A（iii）完全可加性：）完全可加性： 1,2,iijAiA Aij對于有F 稱這樣的稱這樣的P為可測空間為可測空間 上的一個概率測度上的一個概率測度 ，簡稱為簡稱為概率概率， 稱為概率空間稱為概率空間. ( ,) F( , )P F 數(shù)學(xué)上所說的“公理”，就是一些不加證

7、明而承認(rèn)的前提，這些前提規(guī)定了所討論的對象的一些基本關(guān)系和所滿足的條件，然后以之為基礎(chǔ)，推演出所討論的對象的進(jìn)一步的內(nèi)容.幾何學(xué)就是一個典型例子.成功地將概率論實現(xiàn)公理化的是現(xiàn)代蘇聯(lián)大數(shù)學(xué)家柯莫哥洛夫.值得贊賞的不止在于他實現(xiàn)了概率論的公理化，還在于他提出的公理為數(shù)很少且極為簡單，而在這么一個基礎(chǔ)上建立起了概率論的宏偉大廈. 概率概率測度測度P P的性質(zhì)與推廣的性質(zhì)與推廣:1( )0;P 性質(zhì)反之不然！12,2nAAA性質(zhì)是兩兩互不相容事件 則（有限可加性）若)()()()(2121APAPAPAAAPnn3()()()()()ABP BAP BP AP BP A性質(zhì)（減法公式）若，則有， 且

8、第一章 隨機事件和概率1)(4AP性質(zhì); )(1)(5APAP性質(zhì)6()( )( )()P A BP AP BP AB性質(zhì)（一般加法公式）第一章 隨機事件和概率重重 要要 推推 廣廣)()()()()()()()() 1ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP)()()()2ABPBPABP加法公式的推廣（多除少補原理）加法公式的推廣（多除少補原理）nnnkjikjinjijiniiniinAAAPAAAPAAPAPAPAAAn2111111211,有個事件對任意第一章 隨機事件和概率提示：可用歸納法證明提示：可用歸納法證明推論推論 （次可加性）（次可加性）1211,nnniiiinAA

9、APAP A對任意 個事件有 利用多除少補原理來作概率的計算，常能使解題思路利用多除少補原理來作概率的計算，常能使解題思路清晰，計算便捷清晰，計算便捷.例例5（匹配問題）匹配問題） 某人寫好某人寫好 n 封信，又寫好封信，又寫好 n 只信封，只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，試求至少然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，試求至少有一封信放對的概率有一封信放對的概率.（1708年為年為Montmort所解決，后所解決，后由由Laplace等人推廣）等人推廣）解解若以若以 Ai 記第記第i 封信與信封符合，則所求的事件為封信與信封符合，則所求的事件為12nAAA不難求得不難求得(1)!()

10、,!inP An(2)!(),!ijnP A An(3)!(),!ijknP A A An121, ()!nP A AAn12122 !1()!nnnnP AAACCnn因此因此313 !1( 1)!nnnCnn 11111( 1)2!3!nn 二、概率的可列可加性與連續(xù)性二、概率的可列可加性與連續(xù)性定義定義1若若 且且 ，則，則 是是 中的一個中的一個單調(diào)不減的集序列單調(diào)不減的集序列.,1,2,nAnF1nnAAnAF若若 且且 ，則，則 是是 中的一個中的一個單調(diào)不增的集序列單調(diào)不增的集序列.,1,2,nAnF1nnAAnAFlim()(lim)nnnnP APA定義定義2F對于對于 上的

11、集合函數(shù)上的集合函數(shù) ，若它對，若它對 中任何一中任何一個單調(diào)不減的集序列個單調(diào)不減的集序列 均有：均有：FnA( )P 成立，則我們稱成立，則我們稱它是它是下連續(xù)的下連續(xù)的.（1） 若若（1）式對式對 中任何一個單調(diào)不增的集序中任何一個單調(diào)不增的集序列列 均成立，則我們稱均成立，則我們稱它是它是上連續(xù)上連續(xù)的的.FnA定理定理若若 為為 上滿足上滿足 的的非負(fù)集合函數(shù)非負(fù)集合函數(shù)，則，則它具有可列可加性的它具有可列可加性的充要條件充要條件為：為：PF( )1P （ii）它是下連續(xù)的它是下連續(xù)的.（i） 它是有限可加的；它是有限可加的；分析分析即要證明即要證明 1111()()1()()(li

12、m)lim()2nniiiinnnnnnnnPAP APAP APSP S .nS 提示提示()101,nniiiSSSS其中-=-= U因為因為,nS 故故且且()111limnniinniSSSS-=-UU其中其中 互不相容，互不相容， 為單調(diào)不減的集序列，即為單調(diào)不減的集序列，即 nSiA證明證明（1）已證明，下面證明（）已證明，下面證明（2）.1limniniPSPS 1111()()1()()(lim)lim()2nniiiinnnnnnnnPAP APAP APSP S ( )11()iiiP SS11()()iiiP SP S11lim()()niiniP SP Slim().n

13、nP S11()iiiPSS0S = （2）得證）得證.nS 其中其中 互不相容，互不相容， 為單調(diào)不減的集序列，即為單調(diào)不減的集序列，即 nSiA 1111()()1()()(lim)lim()2nniiiinnnnnnnnPAP APAP APSP S 11limniiniiPAPA(2)1limniniPA.nS 其中其中 互不相容，互不相容， 為單調(diào)不減的集序列，即為單調(diào)不減的集序列，即 nSiA(1)1limniniP A1.iiP A這樣，我們便證得這樣，我們便證得 式式.( )*11.niinP A因?qū)?，有推論推? 概率是下連續(xù)的概率是下連續(xù)的.推論推論2 概率是上連續(xù)的概率是

14、上連續(xù)的.證明證明11 lim()1niniP APA lim()(lim)nnnnP APA因而因而設(shè)設(shè)nA ，則則nA ，這樣，由推論這樣，由推論1可知：可知：1()iiPA1iiPA即即1lim()niniP APAlim.nnPA三、概率空間的實際例子三、概率空間的實際例子( , )P F 在柯爾莫戈羅夫得的概率論公理化結(jié)構(gòu)中，稱三元在柯爾莫戈羅夫得的概率論公理化結(jié)構(gòu)中，稱三元總體總體 為概率空間，其中為概率空間，其中 為樣本空間，為樣本空間， 為為事件域，事件域， 為概率，為概率，它們都認(rèn)為是給定的，并以此為它們都認(rèn)為是給定的，并以此為出發(fā)點討論種種問題出發(fā)點討論種種問題.至于實際問

15、題中，如何選定至于實際問題中，如何選定 ，怎樣構(gòu)造怎樣構(gòu)造 ，怎樣給定，怎樣給定 ，要視具體情況而定，要視具體情況而定.FPFP例例6 Bernoulli概率空間概率空間 ,A A F取取 ，其中，其中 為為 的非空真子集的非空真子集.任取任取兩個正數(shù)兩個正數(shù) p 與與 q ( p+q=1 )，令，令 A()0, ( ), ( ), ( )1PP Ap P Aq P 易證此易證此P是一個概率測度，從而是一個概率測度，從而 是一個概是一個概率空間率空間.它是描述它是描述Bernoulli試驗的概率空間試驗的概率空間.( , )P F例例7 有限概率空間有限概率空間1,n 樣本空間為樣本空間為有限

16、集有限集的的一切子集（共一切子集（共2n 個）組成的集類個）組成的集類.F 事件域事件域 取為取為取取n個非負(fù)實數(shù)個非負(fù)實數(shù)12,np pp使121.nppp最后，對最后，對 的每一個子集的每一個子集 ，令，令A(yù)( )iiAP Ap 易證此易證此P是一個概率測度，從而是一個概率測度，從而 是一個是一個 概率空間概率空間.( , )P F特別取特別取 ，就是，就是古典概型空間古典概型空間.1,1,2,ipinn（4）例例8 離散概率空間離散概率空間12, 樣本空間為樣本空間為可列集可列集取非負(fù)實數(shù)列取非負(fù)實數(shù)列np使使11.nnp再按（再按（4）式定義概率）式定義概率 ，則，則 是一概率空間是一

17、概率空間,稱為離散概率空間稱為離散概率空間. ( )P A( , )P F例例9 一維幾何概率空間一維幾何概率空間對每個事件對每個事件 ，取，取 ，則它為一概率，則它為一概率.A( )( )()m AP Am( , , )PF于是得到于是得到幾何概型的概率空間幾何概型的概率空間 .的的一切子集組成的集類一切子集組成的集類. 事件域事件域 仍取為仍取為F(,) 樣本空間樣本空間 為為 中的博雷爾點集，具有正的有限中的博雷爾點集，具有正的有限的的勒貝格測度勒貝格測度 .事件域事件域 取作取作 中的博雷爾集類中的博雷爾集類 . F( )m 從上面的例子可以看到下面兩點：從上面的例子可以看到下面兩點：

18、（1）選定了選定了 之后，對于事件概率的給定還有之后，對于事件概率的給定還有相當(dāng)大的靈活性相當(dāng)大的靈活性.因為只有這樣，才能用概率空間來因為只有這樣，才能用概率空間來描述不同的隨機現(xiàn)象描述不同的隨機現(xiàn)象.( ,) FA（2）事件事件 的概率不能任意給定的概率不能任意給定，即在事件域中，即在事件域中,各事件的概率有一定的關(guān)系，給定概率必須滿足這各事件的概率有一定的關(guān)系，給定概率必須滿足這些關(guān)系些關(guān)系.例例10 已知已知,5 . 0)()(BPAP證明證明)(BAP)(BAP)(1BAP)()()(1ABPBPAP)(ABP)()(BAPABP證明例例11,3 . 0)(, 6 . 0)(BPBAP已知()P AB求解解)()()(ABAPBAPBAP)()(ABPAP()( )( )()P ABP AP BP AB由于 ( )()0.60.30.3P AP AB所以()0.3P AB 選例選例例例12 已知已知,25. 0)()()(CPBPAP125. 0)(ACP,0)()(BCPABP求求 A,B,C 中至少有一個發(fā)生中至少有一個發(fā)生解解)(CBAP)()()(CPBPAP)()()(BCPACPABP)(ABCPABCAB由于()()=0P A