數(shù)值計算第5章N-C公式

1、第5章 數(shù)值積分與數(shù)值微分Newton-CotesNewton-Cotes公式公式nkknknxfCabI0)()()(120001)2)12(2)1(21)(kjkkabjafabkTkT微積分學(xué)微積分學(xué)- “- “人類精神的卓越勝利人類精神的卓越勝利”微積分就是微分運算和積分運算這兩種互逆運算方法微積分就是微分運算和積分運算這兩種互逆運算方法的合稱，就像加法與減法，乘法與除法是互逆運算一的合稱，就像加法與減法，乘法與除法是互逆運算一樣，但微積分的運算法則要比加減乘除，乘方，開方樣，但微積分的運算法則要比加減乘除，乘方，開方等運算復(fù)雜得多，現(xiàn)在已成為高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。等運算復(fù)雜得多，現(xiàn)在已

2、成為高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。 為什么要數(shù)值積分？為什么要數(shù)值積分？在微積分里，按在微積分里，按Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式求定積分公式求定積分( )( )( )( )baI ff x dxF bF aWhy do we do numerical integral? f(x)沒有解析表達(dá)式，只有數(shù)表形式?jīng)]有解析表達(dá)式，只有數(shù)表形式x12345f(x)44.5688.5 f(x)有表達(dá)式，但原函數(shù)不是初等函數(shù)有表達(dá)式，但原函數(shù)不是初等函數(shù)210 xedx10(arctan)x x dx它們的原函它們的原函數(shù)都不是初數(shù)都不是初等函數(shù)等函數(shù). . f(x)原函數(shù)表達(dá)式很復(fù)雜

3、，計算量很大原函數(shù)表達(dá)式很復(fù)雜，計算量很大討論數(shù)值積討論數(shù)值積分的必要性分的必要性更一般地，我們可以在區(qū)間更一般地，我們可以在區(qū)間a,ba,b上選取某些節(jié)點上選取某些節(jié)點4.-(1.3)P98-99)()()(2221bfafdxxfAAabbaab 考察其代數(shù)精度?？疾炱浯鷶?shù)精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式梯形公式/* trapezoidal rule*/解：解：逐次檢查公式是否精確成立逐次檢查公式是否精確成立代入代入 P0 = 1： baabdx111 2 ab=代入代入 P1 = x ：=代入代入 P2 = x2 ： 222abbadxx 2baab 3233abbadxx 2

4、22baab 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 1( )1( )1baf xI fdxba時，3( )(14 1)()6baIfba22( )( )2baf xxI f時，223( )(22)62babaIfaabb332( )( )3baf xxI f時，332223( )()63babaIfaabb443( )( )4baf xxI f時，344333()( )()624baabbaIfab554( )( )5baf xxI f時，4443()( )()( )64baabIfabI f試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高.220)()0()()0(2)(IhffahhffhdxxfIhhdx

5、xI00222hI 202232hahhI0)(xxf對于hI 2hhdxxI011)(xxf對于22hhdxxI022)(xxf對于33h3)221(ha2II 令121a3022242hahhIhdxxI033)(xxf對于44h44h4023252hahhIhdxxI044)(xxf對于55h65h3 ,2 , 1 , 0)()(2jxIxIjj)()(424xIxI,)(baCxf設(shè)函數(shù)等份分割為將積分區(qū)間nba,nkkhaxk, 1 ,0,為步長其中nabh各節(jié)點為Cotes系數(shù)系數(shù))(niC 注：注：Cotes 系數(shù)僅取決于系數(shù)僅取決于 n 和和 i，可查表得到。與可查表得到。與

6、f (x) 及區(qū)及區(qū)間間a, b均無關(guān)。均無關(guān)。)()(2bfafab)(1fI10)1()()(kkkxfCab)()(210 xfxfab)(1fI即132321883838( )()( )()()( )baa babf x dxb af afff b 3n 時，時，3/8公式公式例例 用用n=6的牛頓柯特斯公式計算定積分值的牛頓柯特斯公式計算定積分值101.dxIx 解：解：將積分區(qū)間將積分區(qū)間0,1劃分為劃分為n份，得到節(jié)點列為份，得到節(jié)點列為100 1 266, , ,ixii在這些節(jié)點處的函數(shù)值為在這些節(jié)點處的函數(shù)值為160 1 2616(), , ,iif xixi 則則n=6的

7、牛頓柯特斯公式為的牛頓柯特斯公式為01230124199341 084035280105419984035280() ()( )()()()( )()If xf xf xf xf xf xf x 41 69 69634 64169696840 6 35 7 280 8 105 9 840 10 35 11 280 12 0 6931. (1) ( ) 0 bnnaf xn(x) I(f) (x)dx , nfP當(dāng)為次多項式時從而至少有次代數(shù)精確度。2,2,2210abhbxabxaxn則取Cotes系數(shù)為系數(shù)為dtttC20)2(0)2)(1(4161dtttC20)2(1)2(2164dtt

8、tC20)2(2)1(4161求積公式為求積公式為2I20)2()()(kkkxfCab)(61)(64)(61)(210 xfxfxfab)()2(4)(6bfbafafab)(2fI上式稱為Simpson求積公式，也稱三點公式或拋物線公式記為)(2fIS Simpson公式的余項為公式的余項為)()(2IRSRbadxxR)(2)()2(180)4(4fababSimpson公式具有公式具有3次代數(shù)精度次代數(shù)精度4,4 , 1 , 0, 4abhkkhaxnk則取dtttttC)4)(3( )2)(1(! 44140)4(0907dtttttC)4)(3( )2(! 34140)4(190

9、32dtttttC)4)(3( )1(! 2! 24140)4(29012dtttttC)4)(2( )1(! 34140)4(39032dtttttC)3)(2( )1(! 44140)4(4907)(4fI40)4()()(kkkxfCab)(907)(9032)(9012)(9032)(907)(43210 xfxfxfxfxfab)(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfab上式稱為上式稱為Cotes求積公式，也稱也稱五點公式記為)(4fIC )()(4IRCRbadxxR)(4)()4(945)(2)6(6fabab使用使用n次次Lagrange插值多項

10、式的插值多項式的Newton-Cotes公式至少具有公式至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度,并且并且n為偶數(shù)時至為偶數(shù)時至少具有少具有n+1次代數(shù)精度次代數(shù)精度.dtjtknknCnkjnjknnk 00)()()!( !)1(無關(guān)與函數(shù)的劃分有關(guān)的節(jié)點只與積分區(qū)間)(,xfxbaj因此用因此用Newton-CotesNewton-Cotes公式計算積分的舍入誤差主要由公式計算積分的舍入誤差主要由的計算引起函數(shù)值)(kxf其值可以精確給定其值可以精確給定響的舍入誤差對公式的影只需討論)(kxf)()()(,)(計算值的近似值作為而以為精確值假設(shè)kkkxfxfxf為誤差)()(kkkxfxfnInk

11、knkxfCab0)()()(記)(計算值的近似值為nI而理論值為nInkknkxfCab0)()()(的誤差為與nnIInnIInkkknkxfxfCab0)()()()(nnIInkkknkxfxfCab0)()()()(nkknkCab0)()(nkkCab0)()()(kkkxfxfkmax設(shè)10nkkC, 1, 0, 70nkkkCCn)(ab的增大而增大且隨有正有負(fù)nCCnnkkk, 1, 80定義定義2 2 在機械求積公式中，若在機械求積公式中，若00lim()( )nbkkankhA f xf x dx其中其中11max()iii nhxx 則稱機械求積公式是則稱機械求積公式是

12、的。的。使用機械求積公式計算使用機械求積公式計算()kf x得到的近似值記為得到的近似值記為kf記記kkkfxf)(為誤差為誤差0( )()nnkkkIfA f x0( )nnkkkIfA f舍入誤差舍入誤差nkkknkkkknnAfxfAfIfI00)()()(這表明求積公式計算是穩(wěn)定的。這表明求積公式計算是穩(wěn)定的。定義定義3 3 對任給對任給只要只要成立，就稱機械求積公式是成立，就稱機械求積公式是的。的。0若若0kkfxf)(就有就有nkkknkkkknnAfxfAfIfI00)()()(),1 , 0(0nkAk知，由穩(wěn)定性定義的條件取ab, 0kkfxf)(nkkknkkkknnAfx

13、fAfIfI00)()()()(0abAnkk固定時而節(jié)點個數(shù)的長度較大當(dāng)積分區(qū)間1,nba直接使用直接使用Newton-CotesNewton-Cotes公式的余項將會較大公式的余項將會較大增加時即而如果增加節(jié)點個數(shù)1,n公式的舍入誤差又很難得到控制公式的舍入誤差又很難得到控制為了提高公式的精度為了提高公式的精度, ,又又使算法簡單易行使算法簡單易行, ,往往使用往往使用復(fù)化方法復(fù)化方法分成若干個子區(qū)間即將積分區(qū)間,ba然后然后在每個小區(qū)間上使用低階在每個小區(qū)間上使用低階Newton-CotesNewton-Cotes公式公式最后將每個小區(qū)間上的積分的近似值最后將每個小區(qū)間上的積分的近似值相

14、加相加 復(fù)化復(fù)化 Simpson 公式：公式：),., 0(,nkhkaxnabhk )()(4)(6)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx )()(2)(4)(6)(1010121 nknkkkbabfxfxfafhdxxf= Sn注：注：為方便編程，可采用另一記法：令為方便編程，可采用另一記法：令 n = 2n 為偶數(shù)，為偶數(shù)， 這時這時 ，有，有hkaxhnabhk ,2 )()(2)(4)(3 koddkevenkknbfxfxfafhS復(fù)化求積公式的余項和收斂的階復(fù)化求積公式的余項和收斂的階我們知道,三個求積公式的余項分別為)(TR)(12)(3fa

15、b )(SR)()2(180)4(4fabab)(CR)()4(945)(2)6(6fabab單純的求積公式單純的求積公式復(fù)化求積公式的每個小區(qū)間)(122kfhh )(2180)4(4kfhh)(49452)6(6kfhh )(12103 nkkfh,)(. 12baCxf設(shè)被積函數(shù)則復(fù)合梯形公式的余項為nTI 103)(12nkkfh)(max)()(min10 xfnfxfbxankkbxa 由于使得由介值定理,ba)()(10fnfnkk 即有即有)(12)(2fhab nTI 103)(12nkknfnh)(123fnh 10)4(45)(2180nkkfh,)(. 24baCxf若

16、被積函數(shù)nSI 公式的余項為復(fù)合足夠大時則Simpsonn,)(2180)4(4fhabnTI nSI 階無窮小量，的分別是42h)(2ho)(4ho)(12)(2fhab )(2180)4(4fhab例例 用復(fù)化用復(fù)化Simpson公式計算積分公式計算積分 的近似值，的近似值，并估計誤差。（取并估計誤差。（取n=5）101dxIx 解：解：n=5，h=(1-0)/n=0.2，節(jié)點列為，節(jié)點列為0 10 110., ,ixii 則復(fù)化則復(fù)化Simpson公式為公式為11111121 0 1 11 02 1 04 1 06 1 080264444441 01 1 03 1 05 1 07 1 0

17、9.I 截斷誤差估計：截斷誤差估計：44450 145454242412100 1241 3 10180180( )( ) , ( ),max( )()()( / )().xfxmfxxba hmR 1 052 083333 071429 062500 055560033334 090909 076923 066667 058824 052632(. )( .).( .) 0 03333 20 79450 69315. 理查德森理查德森外推法外推法 /* Richardsons extrapolation */利用利用低低階公式產(chǎn)生階公式產(chǎn)生高高精度的結(jié)果。精度的結(jié)果。設(shè)對于某一設(shè)對于某一 h 0，有公式，有公式 T0(h) 近似計算某一未知值近似計算某一未知值 I。由。由Taylor展開得到：展開得到： T0(h) I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + i 與與 h 無關(guān)無關(guān)現(xiàn)將現(xiàn)將 h 對分，得：對分，得：( () )( () )( () ).)(3232222