第六章 頻響函數(shù)脈沖響應函數(shù)

1、 第六章 線性系統(tǒng)的動特性分析第六章 線性系統(tǒng)的動特性分析6-1 頻率響應函數(shù) 6-2 單位脈沖響應函數(shù) 6-3 單位脈沖響應函數(shù)與頻率響應函數(shù)的關系 6-4 卷積定理 本章將討論振動系統(tǒng)的激勵與響應關系，且僅限于討論穩(wěn)定的常參數(shù)線性振動系統(tǒng)。 常參數(shù)系統(tǒng)（非時變系統(tǒng)）：振動系統(tǒng)的參數(shù)（如質量、剛度和阻尼等）不隨時間而變化。 線性系統(tǒng):是指適用疊加原理的系統(tǒng)。 若系統(tǒng)在激勵x1作用下,其響應為y1； 在激勵x2作用下，其響應為y2； 則系統(tǒng)在激勵ax1與bx2的聯(lián)合作用下， 其響應為ay1+by2。 系統(tǒng)的線性假設可以使問題的分析大為簡化，當系統(tǒng)受到聯(lián)合激勵時，可以分別確定各個激勵單獨作用時引

2、起的響應，然后把它們疊加起來，便得到系統(tǒng)的總響應。 常參數(shù)線性振動系統(tǒng)的運動可用常系數(shù)線性微分方程來描述。 單自由度系統(tǒng)可用一個二階常微分方程來描述； 多自由度系統(tǒng)則需用多個互相耦合的二階常微分方程來描述，其方程個數(shù)與自由度數(shù)相同。如圖所示的單輸入和單輸出的常參數(shù)系統(tǒng)，其響應y(t)與激勵x(t)之間的關系，可用如下一般形式的線性微分方程來描述：常參數(shù)線性振動系統(tǒng)常參數(shù)線性振動系統(tǒng)y(t)輸出（響應）輸出（響應）x(t)輸入（激勵）輸入（激勵）xbdtdxbdtxdbdtxdbyadtdyadtydadtydammmmmmnnnnnn0111101111激勵x(t)可能是力、位移、速度或加速度

3、等；響應y(t)可能是力、位移、速度、加速度或應力等。6-16-1 頻率響應函數(shù) 頻率響應法是描述線性系統(tǒng)動態(tài)特性的一種常用方法。 對于常參數(shù)線性系統(tǒng)，當激勵是穩(wěn)態(tài)簡諧輸入時，其穩(wěn)態(tài)響應也一定是具有相同頻率的簡諧輸出，但其幅值和相位有所改變： 對常參數(shù)線性振動系統(tǒng)，采用頻率響應法或脈沖響應法來確定響應與激勵之間的關系非常方便，上述兩種方法中的頻率響應函數(shù)與脈沖響應函數(shù)互為傅里葉變換的關系。0( )sinx txt0( )sin()y tyt將輸入簡諧函數(shù)表示為復指數(shù)穩(wěn)態(tài)輸出則可表示為復數(shù)H()與輸入x0ejt的乘積0( )j tx tx e0( )( )j ty tHx e0( )sinx t

4、xt0( )sin()y tyt( )( )jHHeH()又可寫成復指數(shù)形式tjjtjjtjexexyeeyeyty0000)(0)(|H()|表示復數(shù)H()的模，表示其幅角。于是: 復數(shù)H()描述了線性系統(tǒng)在頻率域上的動態(tài)特性，稱為頻率響應函數(shù)，簡稱頻響函數(shù)。頻率響應函數(shù)是線性動力系統(tǒng)的本身特性，與外加激勵(輸入)無關。用復數(shù)H()表示輸出與輸入的振幅比y0/x0和相位，其模代表了振幅比，幅角即為輸出與輸入之間的相位差，前面的負號表示輸出比輸入滯后。頻率響應函數(shù)是系統(tǒng)對單位簡諧輸入的響應。0( )( )j ty tHx etjjtjjtjexexyeeyeyty00000)(若已知系統(tǒng)的運動

5、微分方程，則將x(t)與y(t)代入運動微分方程并消去ejt項，可得到H()的代數(shù)方程。求解此代數(shù)方程，便可得到復數(shù)頻率響應函數(shù)H()。解：對于剛度為k的線性彈簧和阻尼系數(shù)為c的線性阻尼器，可得系統(tǒng)的運動微分方程例5.1 圖示彈簧阻尼器系統(tǒng)。假設在質量為m的小車上作用激勵力x(t)，小車的位移響應為y(t)。試確定響應對激勵的振幅比和相位角。)(txkyycym 對恒幅的正弦激勵x(t)=x0sint，穩(wěn)態(tài)響應是具有相同 頻 率 的 恒 幅 正 弦 波 ， 但 相 位 滯 后 角 ， 即y(t)=y0sin(t-)0( )j tx tx e設：)(0)(tjeyty帶入方程：)(txkyycy

6、m 2()()()00002()00()()jtjtjtj tjtj tjmy ej cy eky ex ekmjcy ex e()00220020020011( )( )1( )1( )(cossin )( )jtj tjjy ex ekmjcy tx tkmjcy exkmjcy eyy tHjx txxkmjc頻響函數(shù)：)()()()()()(1)(22222222jBAcmkcjcmkmkjcmkH實部A()和虛部B()皆為實函數(shù)，它們與的關系曲線分別稱為頻率響應函數(shù)的實頻特性和虛頻特性。H()的模與相位分別稱為幅頻特性和相頻特性。222)()(1)(cmkH2tanmkc222222

7、22001( )()()()()( )( )(cossin )( )Hkmjckmcjkmckmcyy tHjx tx 除了頻率響應函數(shù)(對單位簡諧輸入的響應)也可以用脈沖響應函數(shù)來描述系統(tǒng)的動態(tài)特性，它定義為系統(tǒng)對單位脈沖（即沖量）輸入的瞬態(tài)響應。0 (0) ( ) (0) ttt6-2 單位脈沖響應函數(shù) 單位脈沖可以用狄拉克函數(shù)表示00( )( )1t dtt dt若系統(tǒng)激勵x(t)的作用時間非常短，可視為理想脈沖)(t量綱:時間1當x(t)代表力時，則表示一次錘擊或一個脈沖沖量，I具有力乘時間的量綱。 ( )( )x t dtIt dtI( )( )x tIt“沖量”一詞原只用于力沖量，

8、在此進行擴展，x(t)可代表任意一種輸入?yún)⒘?，隨x(t)代表的物理量不同，I的量綱也不同。如當x(t) 代表加速度時， I的量綱為加速度時間自讀此頁系統(tǒng)對在 t=0 時作用的單位脈沖所產生的響應h(t)，稱為單位脈沖響應函數(shù)。如圖所示，由于系統(tǒng)在沖量作用之前是靜止的，故當t0 時上式變?yōu)?mycyky這是彈簧質量系統(tǒng)的有阻尼自由振動微分方程。表示衰減振動，在小阻尼情況下，其通解為( )sin()pty tAeqt0mycykymkp pq21mkpmc22kmc2兩種初始條件分別為： (1)當t0時，系統(tǒng)是靜止的(0 )(0 )0yy (2) 在t=0的鄰域內，單位脈沖力(t)引起位移與速度:

9、(0 )0y1(0 )ym( )sin()pty tAeqt(0 )0y1(0 )ym( )sin()pty tAeqt1sin (0)( )0 (0)pteqttmqh tt將上述初始位移與初始速度帶入方程：0mqA1求得：故在單位脈沖力作用下，圖示系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)為0(0)sin( *0)sinpyAeqA(0)(sin()ptyAeqt頻率響應函數(shù)H()描述了系統(tǒng)對單位簡諧輸入的響應脈沖響應函數(shù)h(t)描述了系統(tǒng)對單位脈沖輸入的響應兩者分別在頻域和時域描述了系統(tǒng)的動態(tài)特性。6-36-3單位脈沖響應函數(shù)與頻率響應函數(shù)的關系單位脈沖響應函數(shù)與頻率響應函數(shù)的關系 1sin (0)( )0 (

10、0)pteqttmqh tt21( )Hkmjc兩者都取決于系統(tǒng)參數(shù)，之間有何內在聯(lián)系假定系統(tǒng)穩(wěn)定，即受激勵前是靜止的，且在脈沖作用之后，其運動又逐漸衰減，則系統(tǒng)對單位脈沖輸入的響應函數(shù)h(t)是絕對可積的，即滿足收斂條件：( )0h t dt 單位脈沖輸入 脈沖響應函數(shù)分別作傅里葉變換( )( )( )1j tj tXx t edtt edt( )( )( )j tj tYy t edth t edt)()(ttx)()(thty對于非周期輸入信號x(t)，可將其利用傅立葉變換展成一系列諧和分量之和。分別考慮各個諧和分量對系統(tǒng)的作用結果，然后把它們疊加起來，就得到系統(tǒng)的總響應。對于任意輸入信

11、號x(t)，其頻譜X()連續(xù)變化，取其由到d頻帶內的頻率分量X() d討論，與之對應的在同一頻帶內的輸出y(t)的頻率分量為Y() d對應簡諧分量輸入的時域波形1( )( )2j tx tXd e與此簡諧輸入相對應的簡諧輸出的時域波形1( )( )2j ty tYd e對于簡諧輸入x(t)=x0ejt來說，與其相應的輸出為則輸出簡諧分量y(t)又可表示為1( )( )( )2j ty tHXd e1( )( )2j tx tXd e1( )( )2j ty tYd e所以X()、Y()和H()三者之間的重要關系式為( )( )( )YHX( )( )( )YHXor( )( ) ( )y tH

12、x t( )( )( )YHX此式對任一頻率分量都成立，則對于任意非周期輸入來說，頻率響應函數(shù)等于輸出的傅里葉變換與輸入的傅里葉變換之比。根據(jù)單位脈沖輸入和脈沖響應函數(shù)的傅里葉變換：( )1( )( )j tXYh t edt將它們代入到X()、Y()和H()三者的關系式( )( )j tHh t edt)()(HY( )( )j tHh t edt說明頻率響應函數(shù)是脈沖響應函數(shù)的傅里葉變換。而脈沖響應函數(shù)是頻率響應函數(shù)的傅里葉逆變換1( )( )2j th tHed1sin (0)( )0 (0)pteqttmqh ttcmkH21)(可證明上述兩式分別為傅立葉變換對可證明上述兩式分別為傅立

13、葉變換對6-4 卷積定理 本章12節(jié)討論了系統(tǒng)對單位簡諧激勵和單位脈沖激勵的響應。以此為基礎應用頻率響應法或脈沖響應法分析線性系統(tǒng)對任意輸入的響應。( )x t dt 若激勵x(t)是任意已知的非周期函數(shù)，則在采用頻率響應法時，不能將其展開成傅立葉級數(shù)，而要采用積分形式，對x(t)作傅里葉變換。只要輸入x(t)絕對可積，即則其傅里葉變換存在X()的物理意義是非周期函數(shù)激勵x(t)的各個簡諧分量的幅值密度。對于每個頻率的簡諧分量，將分別存在下式：( )( )j tXx t edt( )( )( )YHXY()是響應y(t)的傅里葉變換，取其逆傅里葉變換：11( )( )=( )( )22j tj

14、 tj ty tYedHx t edt ed對于任意激勵x(t)，只要知道系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)H()，即可得到相應的響應y(t)，但一般按上式對積分是很困難的，于是在確定系統(tǒng)對任意輸入的響應時，一般不采用頻率響應法。 應用脈沖響應法計算任意激勵下的響應。對于圖示任意輸入x(t)，可以把它分解成一系列的強度為 x()d 脈沖單元。將系統(tǒng)對各個脈沖單元的響應疊加起來，便得到對x(t)的總響應y(t)。 11( )( )=( )( )22j tj tj ty tYedHx t edt edt=0時刻，單位脈沖輸入的響應為h(t)。t=時刻，單位脈沖輸入的響應則為h(t-)，對于強度為x()d的脈沖輸入

15、，其響應為單位脈沖輸入響應h(t-)的x()d倍 ( ) ()xdh t應用疊加原理，把對t以前的每個脈沖單元輸入的響應加起來，便得到t時刻的總響應。如果脈沖單元分得很細，則極限情況下求和便變成積分。( )( )()ty txh td該形式的積分稱為卷積積分或杜哈美(Duhamel)積分對于線性系統(tǒng)來說，該定理為最重要的輸入輸出關系式之一。這是卷積積分的第一種形式。卷積積分的第二種形式 在卷積積分式中，積分下限，表示包含t時刻以前的所有脈沖單元，積分上限實際可以擴展到 ，因為t以后的輸入對時刻t處的響應不產生影響dthxty)()()(0)()(dthxtt0)(th1sin (0)( )0

16、(0)pteqttmqh tt()1sin () (0)()0 (0)p teq ttmqh tt卷積積分的第三種形式0( )() ( )y tx thd t令： 表示脈沖作用時間與計算系統(tǒng)響應時刻t之間的時間推移。對第一種形式進行變量置換( )( )()ty txh td第一種形式)( )()()(0dhtxty去掉負號調換積分限第三種形式卷積積分的第四種形式( )() ( )y tx thd0( )() ( )y tx thd第三種形式 t0t當相當于意味著脈沖輸入在計算響應的時刻之后0)(h把第三種形式的下限擴展到卷積積分的四種形式相互等價采用分析方法計算卷積積分一般都比較繁瑣。對于某些

17、簡單函數(shù)，用圖解法計算卷積積分卻很方便，并可便于理解卷積積分的真實意義。(此部分閱讀)( )( ) ()( )( )y txh tdx th t卷積積分的圖解算法設有兩個時間函數(shù)x(t)和h(t)，其數(shù)學表達式分別為1 (0) ( )0 (0 ) tTx ttor tT (0) ( )0 (0) ateth tt它們的圖形如圖所示，在圖中將變量 t 換成變量。1 (0) ( )0 (0 ) tTx ttor tT (0) ( )0 (0) ateth tt圖解計算的步驟如下:第一步：折轉。即把h()圖形繞縱軸翻轉180o，這樣就得到了h(-)的圖形。第二步：平移。即把所得的圖形往右移一個t 的距離，則得h(t-)的圖形。第三步：相乘。即把x()和h(t-)兩個圖形中對應的時刻的函數(shù)值相乘。第四步：積分。即求出h(t-)和x()乘積曲線下的面積，為t時刻的卷積值。則可畫出響應y(t)的曲線。時域卷積定理（理解）