黑龍江省大慶市喇中材料——三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用練習(xí)

1、 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用練習(xí)1、現(xiàn)有一個(gè)以O(shè)A、OB為半徑的扇形池塘，在OA、OB上分別取點(diǎn)C、D，作DEOA、CFOB交弧AB于點(diǎn)E、F，且BD = AC，現(xiàn)用漁網(wǎng)沿著DE、EO、OF、FC將池塘分成如圖所示的三種的養(yǎng)殖區(qū)域若OA=1km，（1）求區(qū)域的總面積；（2）若養(yǎng)殖區(qū)域、的每平方千米的年收入分別是15萬元、20萬元、10萬元，記年總收入為y萬元 試問當(dāng)為多少時(shí)，年總收入最大？2、如圖,在直角三角形中， ,點(diǎn)在線段上。（1）若,求的長；（2）若點(diǎn)在線段上，且，求的面積最小值，并求的面積最小時(shí)的長。3、如圖，某大風(fēng)車的半徑為2 ，每6 s旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)離地面 m

2、風(fēng)車圓周上一點(diǎn)從最低點(diǎn)開始，運(yùn)動(dòng)（s）后與地面的距離為(m)，則函數(shù)的關(guān)系式（     ）21*cnjy*comA          B C          D 4、如圖，我市有一個(gè)健身公園，由一個(gè)直徑為2km的半圓和一個(gè)以PQ為斜邊的等腰直角三角形PRQ構(gòu)成，其中O為PQ的中點(diǎn)現(xiàn)準(zhǔn)備在公園里建設(shè)一條四邊形健康跑道ABCD，按實(shí)際需要，四邊形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)C、D分別在線段QR、PR上，另外兩

3、個(gè)頂點(diǎn)A、B在半圓上，ABCDPQ，且AB、CD間的距離為1km設(shè)四邊形ABCD的周長為ckm【版權(quán)所有：21教育】（1）若C、D分別為QR、PR的中點(diǎn)，求AB長；（2）求周長c的最大值5、如圖，我市有一個(gè)健身公園，由一個(gè)直徑為2km的半圓和一個(gè)以PQ為斜邊的等腰直角三角形PRQ構(gòu)成，其中O為PQ的中點(diǎn)現(xiàn)準(zhǔn)備在公園里建設(shè)一條四邊形健康跑道ABCD，按實(shí)際需要，四邊形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)C、D分別在線段QR、PR上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)A、B在半圓上，ABCDPQ，且AB、CD間的距離為1km設(shè)四邊形ABCD的周長為ckm21教育名師原創(chuàng)作品（1）若C、D分別為QR、PR的中點(diǎn)，求AB長；（2）求周長c的

4、最大值6、鄭州市某棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示，經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似的為圓面，該圓面的內(nèi)接四邊形ABCD是原棚戶區(qū)建筑用地，測量可知邊界AB=AD=4萬米，BC=6萬米，CD=2萬米。（1）請(qǐng)計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及線段AC的長；（2）因地理?xiàng)l件的限制，邊界AD,DC不能變更，而邊界AB,BC可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率，請(qǐng)?jiān)诨∩显O(shè)計(jì)一點(diǎn)P，使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值。7、如圖，A、B是單位圓O上的點(diǎn)，C、D分別是圓O與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，ABO為正三角形（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求cosBOC的值；（2）若AOC=

5、x（0x），四邊形CABD的周長為y，試將y表示成x的函數(shù)，并求出y的最大值8、如圖，正三角形的邊長為，分別在三邊，和上，且為的中點(diǎn)，（1）當(dāng)時(shí)，求的大小；（2）求的面積的最小值及使得取最小值時(shí)的值。9、如圖，摩天輪上一點(diǎn)在時(shí)刻距離地面高度滿足，已知某摩天輪的半徑為米，點(diǎn)距地面的高度為米，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，點(diǎn)的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)處（1）根據(jù)條件寫出（米）關(guān)于（分鐘）的解析式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間點(diǎn)距離地面超過米?10、某休閑農(nóng)莊有一塊長方形魚塘ABCD，AB=50米，BC=米，為了便于游客休閑散步，該農(nóng)莊決定在魚塘內(nèi)建3條如圖所示的觀光走廊OE、EF和OF

6、，考慮到整體規(guī)劃，要求O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD上，且EOF=90°(1)設(shè)BOE=，試將的周長表示成的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；(2)經(jīng)核算，三條走廊每米建設(shè)費(fèi)用均為4000元，試問如何設(shè)計(jì)才能使建設(shè)總費(fèi)用最低并求出最低總費(fèi)用11、在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由4個(gè)相同的直角三角形與         中間的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中較小的銳角為，大正  方形的面積是，小正方形的面積是的值等于（    ）21*cnjy*

7、comA1      B       C    D12、某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測部門統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購價(jià)格每四個(gè)月會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，但生豬養(yǎng)殖成本逐月遞增下表是今年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況：月份1月份2月份3月份4月份收購價(jià)格（元/斤）6765養(yǎng)殖成本（元/斤）34465現(xiàn)打算從以下兩個(gè)函數(shù)模型：，中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別來擬合今年生豬收購價(jià)格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系、養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系21·cn·jy·com

8、（1）請(qǐng)你選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別求出這兩個(gè)函數(shù)解析式；（2）按照你選定的函數(shù)模型，幫助該部門分析一下，今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在接下來的月份里有沒有可能虧損?2-1-c-n-j-y13、如圖，某興趣小組測得菱形養(yǎng)殖區(qū)ABCD的固定投食點(diǎn)A到兩條平行河岸線l1、l2的距離分別為4米、8米，河岸線l1與該養(yǎng)殖區(qū)的最近點(diǎn)D的距離為1米，l2與該養(yǎng)殖區(qū)的最近點(diǎn)B的距離為2米 （1）如圖甲，養(yǎng)殖區(qū)在投食點(diǎn)A的右側(cè)，若該小組測得BAD60º，請(qǐng)據(jù)此算出養(yǎng)殖區(qū)的面積S，并求出直線AD與直線l1所成角的正切值； （2）如圖乙，養(yǎng)殖區(qū)在投食點(diǎn)A的兩側(cè)，試求養(yǎng)殖區(qū)面積S的最小值，并求出取得最小值時(shí)BAD的

9、余弦值14、如圖，一條寬為1km的兩平行河岸有三個(gè)工廠、，工廠與、的直線距離都是2km，與河岸垂直，為垂足現(xiàn)要在河岸上修建一個(gè)供電站，并計(jì)劃鋪設(shè)地下電纜和水下電纜，從供電站向三個(gè)工廠供電已知鋪設(shè)地下電纜、水下電纜的費(fèi)用分別為2萬元/km、4萬元/km（）已知工廠與之間原來鋪設(shè)有舊電纜（原線路不變），經(jīng)改造后仍可使用，舊電纜的改造費(fèi)用是0.5萬元/km現(xiàn)決定將供電站建在點(diǎn)處，并通過改造舊電纜修建供電線路，試求該方案總施工費(fèi)用的最小值；（）如圖，已知供電站建在河岸的點(diǎn)處，且決定鋪設(shè)電纜的線路為、，若，試用表示出總施工費(fèi)用（萬元）的解析式,并求總施工費(fèi)用的最小值15、設(shè)是某港口水的深度關(guān)于時(shí)間t(時(shí)

10、)的函數(shù)，其中,下表是該港口某一天從0至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系.t036 912151821 24y111.914.911.98.912.1 經(jīng)長期觀察，函數(shù)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象.根據(jù)上述數(shù)據(jù)，函數(shù)的解析式為（    ）              A          BC  

11、0;       D16、如圖，一個(gè)水輪的半徑為，水輪圓心距離水面，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時(shí)間。（1）將點(diǎn)距離水面的高度表示為時(shí)間的函數(shù)，求其解析式；（2）求點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)所需要的時(shí)間。17、如圖，在海岸線EF一側(cè)有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段FGBC，該曲線段是函數(shù)y=Asin（x+）（A0，0，（0，），x4，0的圖象，圖象的最高點(diǎn)為B（1，2）邊界的中間部分為長1千米的直線段CD，且CDEF游樂場的后一部分邊界是以O(shè)為圓心的一段圓?。?）求曲線段FGBC的函數(shù)表達(dá)式

12、；（2）曲線段FGBC上的入口G距海岸線EF最近距離為1千米，現(xiàn)準(zhǔn)備從入口G修一條筆直的景觀路到O，求景觀路GO長；www-2-1-cnjy-com（3）如圖，在扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)平行四邊形休閑區(qū)OMPQ，平行四邊形的一邊在海岸線EF上，一邊在半徑OD上，另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧上，且POE=，求平行四邊形休閑區(qū)OMPQ面積的最大值及此時(shí)的值18、某風(fēng)景區(qū)在一個(gè)直徑AB為100米的半圓形花園中設(shè)計(jì)一條觀光線路（如圖所示）.在點(diǎn)A與圓弧上的一點(diǎn)C之間設(shè)計(jì)為直線段小路，在路的兩側(cè)邊緣種植綠化帶；從點(diǎn)C到點(diǎn)B設(shè)計(jì)為沿弧BC的弧形小路，在路的一側(cè)邊緣種植綠化帶.（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計(jì)）【出處

13、：21教育名師】（I）設(shè)（弧度），將綠化帶總長度表示為的函數(shù)；（II）試確定的值，使得綠化帶總長度最大.19、某大型企業(yè)一天中不同時(shí)刻的用電量（單位：萬千瓦時(shí)）關(guān)于時(shí)間（，單位：小時(shí)）的函數(shù)近似地滿足，下圖是該企業(yè)一天中在0點(diǎn)至12點(diǎn)時(shí)間段用電量與時(shí)間的大致圖象（）根據(jù)圖象，求，的值；（）若某日的供電量（萬千瓦時(shí)）與時(shí)間（小時(shí)）近似滿足函數(shù)關(guān)系式（）當(dāng)該日內(nèi)供電量小于該企業(yè)的用電量時(shí)，企業(yè)就必須停產(chǎn)請(qǐng)用二分法計(jì)算該企業(yè)當(dāng)日停產(chǎn)的大致時(shí)刻（精確度0.1）.參考數(shù)據(jù):（時(shí)）10111211.511.2511.7511.62511.6875（萬千瓦時(shí)）2252.4332.52.482.4622.49

14、62.4902.493（萬千瓦時(shí)）53.522.753.1252.3752.5632.46920、如圖所示，某小區(qū)為美化環(huán)境，準(zhǔn)備在小區(qū)內(nèi)草坪的一側(cè)修建一條直路OC；另一側(cè)修建一條休閑大道，它的前一段OD是函數(shù)的一部分，后一段DBC是函數(shù)時(shí)的圖象，圖象的最高點(diǎn)為，垂足為Fwww.21-cn-（I）求函數(shù)的解析式；（II）若在草坪內(nèi)修建如圖所示的兒童游樂園PMFE，問點(diǎn)P落在曲線OD上何處時(shí)，兒童樂園的面積最大？【來源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】 答 案1、（1）因?yàn)椋砸驗(yàn)?，DEOA，CFOB，   所以    又因

15、為，所以所以     2分所以  所以，所以，          6分（2）因?yàn)?，所?所以，     10分所以，令，則 12分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，y有最大值答：當(dāng)為時(shí)，年總收入最大          15分2、（1）在中由余弦定理，或 （2）設(shè)，在中由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得：， 當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)為。3、C4、（1）解

16、：連結(jié)RO并延長分別交AB、CD于M、N，連結(jié)OB，C、D分別為QR、PR的中點(diǎn)，PQ=2，PRQ為等腰直角三角形，PQ為斜邊，MN=1，在RtBMO中，BO=1，                        （2）設(shè)BOM=，在RtBMO中，BO=1，BM=sin，OM=cosMN=1，CN=RN=1ON=OM=cos，當(dāng)sin+cos=，即有sin2=，即或時(shí)取

17、等號(hào)當(dāng)或時(shí)，周長c的最大值為km5、（1）解：連結(jié)RO并延長分別交AB、CD于M、N，連結(jié)OB，C、D分別為QR、PR的中點(diǎn)，PQ=2，PRQ為等腰直角三角形，PQ為斜邊，MN=1，在RtBMO中，BO=1，                        （2）設(shè)BOM=，在RtBMO中，BO=1，BM=sin，OM=cosMN=1，CN=RN=1ON=OM=cos，

18、當(dāng)sin+cos=，即有sin2=，即或時(shí)取等號(hào)當(dāng)或時(shí)，周長c的最大值為km6、（1）四邊形ABCD內(nèi)接于圓， -1分連接AC由余弦定理得,又,-3分又，故-4分（萬平方米）.在中，由余弦定理，.-6分(2) ,又-7分設(shè)則.-9分又由余弦定理，-10分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，面積最大為萬平方米。-12分7、解：（1）ABO為正三角形BOA=60°點(diǎn)A的坐標(biāo)為tanAOC=，sinAOC=，cosAOC=cosBOC=cos（AOC+60°）=cosAOCcos60°sinAOCsin60°=； （2）由余弦定理可知AC=2sin，BD=2si

19、n（），AB=OB=1，CD=2，=，0x當(dāng)x=時(shí)，ymax=58、（1）；（2）當(dāng)時(shí)，取最小值分析：在中，由正弦定理得，2分在中，由正弦定理得4分由，得，整理得，5分所以6分（2）10分當(dāng)時(shí)，取最小值12分9、）（1）由題設(shè)可知，                              1分又，所以，&#

20、160;                                         3分21教育網(wǎng)從而，再由題設(shè)知時(shí)，代入，得，從而，     

21、          5分因此，.                                       6分（2）要使點(diǎn)距離地面超過米

22、，則有，          8分即 ，又解得，即                                       &#

23、160;                    10分所以，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，點(diǎn)距離地面超過米的時(shí)間有分鐘.        12分10、(1)在RtBOE中，OB=25, B=90°，BOE=，OE=. 在RtAOF中，OA=25, A=90°，AFO=，OF=. 又EOF=90°，EF=,，即當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)

24、D時(shí)，這時(shí)角最小，求得此時(shí)=；當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)時(shí)，這時(shí)角最大，求得此時(shí)=故此函數(shù)的定義域?yàn)? (2)由題意知，要求建設(shè)總費(fèi)用最低，只要求的周長的最小值即可.由（1）得，設(shè)，則， 由，得，從而，當(dāng)，即BE=25時(shí)，,所以當(dāng)BE=AF=25米時(shí)，鋪路總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用為元. 11、B12、（1）選擇函數(shù)模型擬合收購價(jià)格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系，1分21·世紀(jì)*教育網(wǎng)由題：，3分由題圖象：圖象過點(diǎn)，一解為，   5分選擇函數(shù)模型擬合養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系6分由題：圖象過點(diǎn)， 8分解得：，     &#

25、160;     10分（2）由（1）：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這說明第8、9、11、12這四個(gè)月收購價(jià)格低于養(yǎng)殖成本，生豬養(yǎng)殖戶出現(xiàn)虧損。14分答：今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在接下來的月份里有可能虧損。 15分13、（1）設(shè)與所成夾角為，則與所成夾角為，對(duì)菱形的邊長“算兩次”得， 解得，所以，養(yǎng)殖區(qū)的面積；（5分）（2）設(shè)與所成夾角為，則與所成夾角為            ，對(duì)菱形的邊長“算兩次”得，解得，所以，養(yǎng)殖區(qū)的面積，

26、由得， 【要修改為：列表求最值】經(jīng)檢驗(yàn)得，當(dāng)時(shí)，養(yǎng)殖區(qū)的面積 答：（1）養(yǎng)殖區(qū)的面積為；（2）養(yǎng)殖區(qū)的最小面積為（15分）14、（1）（1）過作于，地下電纜的最短線路為   該方案總費(fèi)用為（萬元）（2），則    設(shè)  則    由得   列表   , 則     此時(shí)因此施工總費(fèi)用的最小值為萬元，其中15、A16、（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)角是以為始邊，為終邊的角，每分鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為  ，（3分）得，

27、（5分）當(dāng)時(shí)，,得，即，（8分）故所求的函數(shù)關(guān)系式為（9分）（2）令，得，（11分） 取，得，故點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要秒           17、（1）由題意可得A=2，T=12，代入點(diǎn)求，從而求解析式；（2）令求解x，從而求景觀路GO的長；（3）作圖求平行四邊形的面積SOMPQ=OMPP1=（2cossin）2sin=sin（2+），（0，）；從而求最值21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有解答：              解：（1）由已知條件，得A=2，又，又當(dāng)x=1時(shí)，有，曲線段FBC的解析式為（2）由得，x=6k+（1）k4（kZ），又x4，0，k=0，x=3，G（3，1），；景觀路GO長為千米（