基于遞歸算法的建筑外表面光伏電池布局優(yōu)化分析與設(shè)計

1、2012高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，

2、在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。（隱去論文作者相關(guān)信息等）賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2012高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）：基于遞歸算法的建筑外表面光伏電池布局優(yōu)化分析與設(shè)計摘要本文主要研究的是設(shè)計太陽能小屋時，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，一方面選擇光伏電池和逆變器、確定光伏電池組件分組陣列、另一方面選擇最優(yōu)傾斜角，確定最佳朝向，從而最大化發(fā)電總量，同時最小化單位發(fā)電量費(fèi)用的問題

3、。針對問題一：首先確定最優(yōu)化目標(biāo)為總利潤。通過運(yùn)用直散分離原理和Hay模型，得到小屋各個表面實際接收的光照強(qiáng)度；將各表面隔離分析，由題目所給數(shù)據(jù)可得北墻和東墻利潤為負(fù)，故予以排除；在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對電池板作優(yōu)先級排序，然后將原問題歸納為無約束二維剪切排樣問題，構(gòu)造基于貪心原則的遞歸算法，運(yùn)用C程序編程解決問題，得到電池板的原始鋪設(shè)方案。而針對存在障礙物（如窗戶、門）的表面，分別采用分割子區(qū)間和扣除重補(bǔ)的方法，得到最佳方案，計算得35年總發(fā)電量為46.3萬千瓦時，每單位發(fā)電量成本為0.405元/千瓦時，投資將在27.5年時回收。針對問題二：利用上文提到的Hay模型，得到以傾斜角s為自變量的斜面

4、實際輻射強(qiáng)度的函數(shù)表達(dá)式，通過建立無約束最優(yōu)化問題的模型，用Matlab解出最優(yōu)傾斜角為31.6°，即為使斜面受到最大光照輻射的傾斜角度。通過對各時刻年均水平面總輻射強(qiáng)度進(jìn)行三次樣條插值處理，找出大同市一天中輻射最強(qiáng)的峰值時刻，利用最佳朝向經(jīng)驗公式，解出最佳朝向為正南偏西4°48。然后，根據(jù)問題一的相關(guān)結(jié)論，得出最佳鋪排方案，求得總發(fā)電量為54.2萬千瓦時，每單位發(fā)電量成本為0.381元/千瓦時，投資回收年限為25.6年。針對問題三：根據(jù)附件7給出的建筑要求，并考慮前兩問的結(jié)論，設(shè)計出一個新的小屋，運(yùn)用AutoCAD和SketchUp繪制出四立面圖和透視圖。采用問題一的程序

5、鋪設(shè)電池板，得出最佳方案,其中總發(fā)電量為71.3萬千瓦時，每單位發(fā)電量成本為0.392元/千瓦時，回收期限為26.5年。關(guān)鍵詞： 光伏組件 Hay模型 無約束二維剪切排樣 遞歸算法 無約束最優(yōu)化 三次樣條插值1.問題的重述與分析1.1問題的重述隨著人類科技和社會的逐漸發(fā)展，越來越多的人開始意識到清潔能源和可持續(xù)發(fā)展的重要性，因此，采用太陽能電池板自供電的小屋應(yīng)運(yùn)而生。這種太陽小屋不僅將太陽能轉(zhuǎn)化成電能供給家用電器，還能將多余的部分輸入電網(wǎng)；不僅具有一定的經(jīng)濟(jì)意義，還能很大程度上解決電力資源稀缺的問題。在搭建這類小屋時，研究光伏電池在小屋外表面的優(yōu)化鋪設(shè)是很重要的問題，這也是問題一、二中的主要難

6、點(diǎn)。因為每種型號的電池各自參數(shù)不同，而且，還需要逆變器將直流電轉(zhuǎn)換成220V的交流電才能供家庭使用。所以在實際中，我們需要考慮光伏電池搭配和逆變器選擇方案，使小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，單位發(fā)電量的費(fèi)用盡可能小，并計算出小屋光伏電池35年壽命期內(nèi)的發(fā)電總量、經(jīng)濟(jì)效益和投資的回收年限。而在問題三中，還要根據(jù)附件7給出的小屋建筑要求，為大同市重新設(shè)計一個小屋，畫出小屋的外形圖，并為之優(yōu)化鋪設(shè)光伏電池，給出鋪設(shè)及分組連接方式，選配逆變器，計算相應(yīng)結(jié)果。1.2問題的分析總的來說，光伏電池的優(yōu)化鋪設(shè)問題，就是考慮如何最大化總發(fā)電量，同時最小化每單位發(fā)電量的成本的二維矩形下料布局問題。針對問題一

7、：在光能的利用方面，需要考慮諸多因素的影響，如太陽輻射強(qiáng)度、光線入射角、環(huán)境、建筑物所處的地理緯度、地區(qū)的氣候與氣象條件、安裝部位及方式（貼附或架空）等。另外家庭用電量的多少，逆變器是否裝在室外也是需要考慮的問題。而要解決這一問題，我們的思路是：1) 提取相關(guān)氣象數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化為光伏電池表面實際接收到的光能。2) 確定目標(biāo)變量。3) 將小屋這個主體拆分成5個對象進(jìn)行隔離篩選。4) 根據(jù)各型號電池板的相關(guān)參數(shù)，進(jìn)行優(yōu)先級排序。5) 編寫C程序，采用遞歸算法求解電池板型號和數(shù)目。6) 鋪設(shè)電池板，選擇逆變器，優(yōu)化結(jié)果針對問題二：需要考慮架空的含義；考慮東西南北四面墻上的電池板是否也要架空處理；以及屋頂

8、上的電池板之間的距離、朝向。而且在這一題中，最佳朝向和最優(yōu)傾角是兩個必須首先解決的問題，只有清楚了這兩個關(guān)鍵，我們才能設(shè)計出架空處理情況下的最優(yōu)鋪設(shè)。我們的相應(yīng)思路是：1) 基于問題1的相關(guān)結(jié)果求出最優(yōu)傾角。2) 根據(jù)相關(guān)資料，求出最佳朝向。3) 分析架空含義，給出有效的鋪設(shè)結(jié)構(gòu)4) 運(yùn)用問題1的相關(guān)結(jié)論，解出最優(yōu)鋪設(shè)方案。針對問題三：需要考慮附件7中的相關(guān)參數(shù)要求；需要考慮如何設(shè)計可以最有利與鋪設(shè)電池板；需要參考問題1和問題2中已有結(jié)論。問題3本質(zhì)上來說是問題1和問題2結(jié)論結(jié)果的再利用、再檢驗。我們的思路如下：1) 參考問題1、問題2中結(jié)論，根據(jù)附件7設(shè)計小屋結(jié)構(gòu)。2) 根據(jù)小屋結(jié)構(gòu)，運(yùn)用結(jié)

9、論，最優(yōu)化鋪設(shè)。2.假設(shè)與符號說明2.1假設(shè)假設(shè)1：未來的35年間山西省大同市太陽輻射強(qiáng)度與附件4所給典型氣象年的逐時參數(shù)及個方向輻射強(qiáng)度情況相同。假設(shè)2：太陽小屋的周圍環(huán)境因素（如溫度、天氣）對光伏電池板的效率無影響。假設(shè)3：光伏電池自帶蓄電池，即輸入功率大于額定功率時，可將多余的太陽能儲存，在太陽輻射較小時放出，無能量浪費(fèi)。假設(shè)4：逆變器安裝在室內(nèi)，不占用外墻面積。而且不同表面的電池不能共用一臺逆變器。假設(shè)5：考量投資年限時，不考慮折現(xiàn)率。假設(shè)6：家庭用電很小可忽略不計，將所有太陽能發(fā)電量均視作流入電網(wǎng)。假設(shè)7：為了簡化起見，小屋東西南北四面外墻實際接收的太陽輻射均直接采用附件4中相應(yīng)數(shù)據(jù)

10、。假設(shè)8：在架空處理中，可以用支撐桿將光伏電池的四個角都架起來，即電池板的四個頂點(diǎn)可以不接觸小屋表面。2.2符號說明太陽赤緯角時角太陽高度角山西省大同市地理緯度太陽水平面總輻射強(qiáng)度太陽直射輻射強(qiáng)度太陽法向直射輻射強(qiáng)度太陽水平面散射輻射強(qiáng)度傾斜面上總輻射強(qiáng)度傾斜面上地面反射輻射強(qiáng)度傾斜面上散射輻射強(qiáng)度傾斜面上太陽直射輻射強(qiáng)度傾斜面上太陽直射輻射強(qiáng)度與法向直射輻射強(qiáng)度之比光伏電池板傾角地物表面反射率，取值8%太陽常數(shù)修正系數(shù)一年中的天數(shù)，從1月1日開始記序太陽常數(shù)，取值1367W/3.模型與求解3.1問題一根據(jù)問題分析中所述思路，展開問題一的建模與求解。3.1.1獲得有效光強(qiáng)數(shù)據(jù)光伏電池是將光能轉(zhuǎn)

11、化為電能的元件，因此要計算最大發(fā)電量，必須先獲得小屋各個表面收到光照的強(qiáng)度數(shù)據(jù)。根據(jù)假設(shè)7，小屋的東西南北墻的光照強(qiáng)度直接采用附件4中相應(yīng)的東南西北向總輻射強(qiáng)度數(shù)據(jù)。而屋頂作為一個斜面，附件中并沒有給出相應(yīng)數(shù)據(jù)，因此需要我們自己進(jìn)行一些處理。李榮玲在個性化的平面太陽能接收器件最優(yōu)安裝角度研究【1】中提到了一些有效地將水平面輻射強(qiáng)度轉(zhuǎn)化為傾斜面輻射強(qiáng)度的模型和公式，在下面的轉(zhuǎn)化工作中我們將多次引用。首先，根據(jù)附件6，我們可以得到一系列非常有用的變量，如太陽赤緯角、太陽高度角和時角。其次在水平面上，根據(jù)直散分離原理，總輻射等于直接輻射和散射輻射之和，并沒有地面反射輻射。而直接輻射等于法向直接輻射與

12、該時刻的太陽高度角的正弦值之積。具體如下式：， （1）式中為太陽水平面總輻射強(qiáng)度，為太陽直射輻射強(qiáng)度，為法向直射輻射強(qiáng)度，為太陽高度角，為太陽水平面散射輻射強(qiáng)度。然而，到了傾斜面場合中，太陽輻射總量等于地面反射輻射強(qiáng)度、散射輻射強(qiáng)度和太陽直射輻射強(qiáng)度之和。因為此時地面的反射可以到達(dá)斜面上。 （2）式中為太陽直射輻射強(qiáng)度為傾斜面上總輻射強(qiáng)度，為傾斜面上太陽直射輻射強(qiáng)度，為傾斜面上散射輻射強(qiáng)度，為傾斜面上地面反射輻射強(qiáng)度。下面是式中各部分的計算：1） 傾斜面上太陽直射輻射強(qiáng)度引入?yún)?shù)，其所代表的意義為傾斜面上太陽直射輻射強(qiáng)度與水平面上直射輻射強(qiáng)度之比 （3） （4）其中，s為屋頂?shù)膬A角，為太陽緯度

13、角，為傾斜面上的日落時角，為水平面上的日落時角，為大同市的緯度。而傾斜面上的日落時角可用如下公式進(jìn)行計算： （5）因此，由和水平面上直射輻射強(qiáng)度作積，即可得到傾斜面上太陽直射輻射強(qiáng)度。2） 傾斜面上地面反射輻射強(qiáng)度其計算表達(dá)式為： （6）其中，為水平面上總輻射量， 為地物表面反射率，這里我們?nèi)》瓷渎蕿?%。3）傾斜面上散射輻射強(qiáng)度對于傾斜面上的直射強(qiáng)度和地面反射強(qiáng)度，大多數(shù)的模型的算法都是相同的，唯一不同的就在于散射輻射強(qiáng)度的計算。一般來說，有五種采用各向異性觀點(diǎn)的模型Tamps-Coulson,Perez，Hay，Klucker和Bugler都能很好地解決這一問題.而Hay模型更適用于南面朝

14、向的屋頂。因此我們使用的也是Hay模型來求解傾斜面上散射輻射強(qiáng)度。Hay模型認(rèn)為傾斜面上散射輻射強(qiáng)度由太陽光盤的輻射量和天空中均勻分布的散射輻射量兩部分組成，具體公式如下： （7）其中為太陽直射輻射強(qiáng)度，為太陽水平面散射輻射強(qiáng)度，為大氣層外水平面上的輻射總量。 （8）其中是太陽常數(shù)【2】，這里取值1367W/， 為太陽常數(shù)修正系數(shù)。n為一年中天數(shù)、綜上所述，求傾斜面上的太陽輻射總量公式綜合為： （9）運(yùn)用公式9，整理附件4中的第2至第4列數(shù)據(jù)，代入計算可得山西省大同市一年365天，每天24時刻的傾斜角為0.185 rad的斜面的太陽輻射總量。全部結(jié)果請見【附件包】。這里僅摘取1月3日的作為例子

15、呈現(xiàn)：表1：傾斜面太陽輻射總量處理結(jié)果舉例時刻（度）（W/）（W/）0-22.84-0.9311.4553740.720.0001-22.84-0.8611.4553740.720.0002-22.84-0.7491.4553740.720.0003-22.84-0.6031.4553740.720.0004-22.84-0.4321.4553740.720.0005-22.84-0.2501.4553740.720.0006-22.84-0.0681.4553740.720.0007-22.840.1021.4553740.720.0008-22.840.2481.4553740.728.2

16、649-22.840.3601.4553740.72187.64310-22.840.4311.4553740.72405.92111-22.840.4551.4553740.72471.02612-22.840.4311.4553740.72361.16613-22.840.3601.4553740.72389.94914-22.840.2481.4553740.72233.49415-22.840.1021.4553740.72170.45316-22.84-0.0681.4553740.72-41.84517-22.84-0.2501.4553740.720.01718-22.84-0.

17、4321.4553740.720.00019-22.84-0.6031.4553740.720.00020-22.84-0.7491.4553740.720.00021-22.84-0.8611.4553740.720.00022-22.84-0.9311.4553740.720.00023-22.84-0.9551.4553740.720.000（資料來源：附件4）正如上表所示，1月3日16時的值為負(fù)。這是因為在附件4所給數(shù)據(jù)中，水平面總輻射量中沒有給出天空散射的部分，因此在太陽低于地表面時，總輻射量為正，但法向直射輻射與散射輻射均為0.3.1.2確定最優(yōu)化目標(biāo)求最大化總發(fā)電量，同時最小化每

18、單位發(fā)電量的成本的多目標(biāo)規(guī)劃問題，有多種解決思路。我們這里采用將多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃的方法。即分析兩者關(guān)系，得出一個同時關(guān)系著兩者的新的目標(biāo)變量。于是根據(jù)總發(fā)電量和每單位發(fā)電量的費(fèi)用，我們可以得到銷售電力的總收入以及總成本。具體過程見下式：，其中Y為總收入，TC為總成本，Q為總發(fā)電量，p為電價，AC為每單位發(fā)電量的費(fèi)用。由此可得，總利潤R為：所以如果要同時最大化總發(fā)電量和最小化每單位的發(fā)電成本，則總利潤也將最大化。反過來說雖然不成立，但是總利潤最大化，也可以視作題目要求的“全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，而單位發(fā)電量的費(fèi)用盡可能小”得到了滿足。因此我們可以選擇總利潤作為我們最終優(yōu)化的目標(biāo)

19、變量。3.1.3隔離篩選由于在小屋的不同表面上，所有型號的電池都不能進(jìn)行串、并聯(lián)連接，即各表面的鋪設(shè)互相沒有影響；而且，我們的最終優(yōu)化目標(biāo)是總利潤。顯然各表面之間的利潤無聯(lián)系。因此我們可以把小屋的5個表面分離開來進(jìn)行單個分析。這樣一來，問題也將變得相對簡單。利用隔離分析法，我們可以首先排除安裝在北面墻壁的情況。因為，正如上文所說，要使得總利潤最大，那么必須滿足在每面墻上安裝的光伏電池都能至少盈利。而北向作為光照強(qiáng)度最小的一個面，所有型號的光伏電池如果在上面安裝的話，即使是未來35年的總發(fā)電收入都將小于它目前的成本價格。通過Excel計算相關(guān)數(shù)據(jù)得到下表:：表2：北面墻安裝各型號電池的利潤表型號

20、價格（元）面積(m2)單位價格（元/）北面單位收益（元/）北面單位利潤（元/）A13203.501.282509.32350.11-2159.22A24842.501.942498.20345.95-2152.25A32980.001.282334.25388.77-1945.48A44023.001.642456.36343.04-2113.32A53650.501.642232.52311.44-1921.08A64395.501.942267.60314.14-1953.46B13312.501.642025.81337.01-1688.80B24000.001.942063.56340

21、.75-1722.81B32625.001.471785.54332.23-1453.31B43000.001.631844.02307.69-1536.33B53500.001.941803.80332.23-1471.57B63687.501.941900.43316.01-1584.42B73125.001.671873.50311.64-1561.86C1480.001.43335.66267.72-67.94C2278.400.94296.41236.32-60.10C3480.001.58304.72243.21-61.51C4432.001.54280.52223.68-56.8

22、4C5480.001.54311.69248.57-63.11C619.200.11174.47139.03-35.43C719.200.11173.44139.03-34.41C838.400.22175.88140.18-35.70C957.600.33176.36140.18-36.18C1057.600.29198.35158.18-40.17C11240.001.17204.91163.55-41.37（資料來源：附件三）雖然上表中只考慮了光伏電池本身的成本（一塊電池板的價格為每峰瓦價格與組件功率之積），并未考慮逆變器的成本。而且未考慮附件3中提及的弱光照強(qiáng)度下，光伏電池效率的降低。

23、不過盡管在成本已經(jīng)縮小、收入已經(jīng)擴(kuò)大的情況下，各型號電池在北向的收入仍遠(yuǎn)小于成本。由此說明北面光照強(qiáng)度太小，不適合安裝光伏電池。而東墻、西墻、南墻和屋頂均存在有利潤為正的電池型號。因此接下來只需考慮東墻、西墻、南墻和屋頂?shù)碾姵劁佋O(shè)布局。而進(jìn)一步考慮了逆變器的成本以后，我們發(fā)現(xiàn)，東墻的成本也將超過收入。經(jīng)計算，東墻的有效使用面積為24.23（包括上方三角形區(qū)域，去除下方門形區(qū)域），而在東墻擁有最大單位面積利潤的是C1型號電池板，為301.41元/。這樣一來，兩者之積即為東墻的最大可能利潤，約為7303元。由此，只能選擇型號為SN1、SN2、SN3、SN4、SN11、SN12的逆變器，才能保證東墻

24、的總利潤為正。然后我們可以根據(jù)這六種逆變器的每單位功率的費(fèi)用，與之前保持利潤為正的型號電池的每單位功率利潤相比較，若前者大于后者，即可判定東墻虧損。結(jié)果如下表所示：表3：各型號電池每單位功率利潤與逆變器每單位功率的費(fèi)用比較電池型號每單位功率利潤（元/W）逆變器單位功率費(fèi)用（元/W）SN1SN2SN3SN4SN11SN12C14.3107.2505.6255.6254.3135.6254.313C24.306C34.316C44.308C54.309C64.302C74.356C84.303C94.279C104.309C114.316（資料來源：附件三、附件五）由上表可得，SN1、SN2、SN

25、3與SN11的單位功率費(fèi)用遠(yuǎn)超過電池的利潤，因此可以排除。而雖然C3、C7和C11還可以負(fù)擔(dān)SN4與SN12的費(fèi)用，但是由于這里假設(shè)的是逆變器一直滿負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)，所以實際情況的費(fèi)用還將更高一些，因此也可以予以排除。綜上所述，由于成本大于收入，在之后的優(yōu)化布局的過程中，我們可以不予考慮東墻和北墻。3.1.4優(yōu)先級排序為了下一步編程的方便性與有效性，為了在設(shè)計鋪設(shè)的時候能夠確定優(yōu)先使用何種類型的電池板，我們在這一階段做了篩選排序的工作。因為優(yōu)化的最終目標(biāo)是小屋的總利潤最大，而面積相對一定時，越大的單位面積利潤就可以導(dǎo)致更大的利潤。因此我們的排序依據(jù)就是每種類型的光伏電池的單位面積利潤。下表列出東面、西

26、面、南面與屋頂?shù)呐判蚪Y(jié)果。各型號的具體單位面積利潤詳見【附錄】。表4：東面、西面、南面與屋頂?shù)呐判蚪Y(jié)果優(yōu)先級序號南面東面西面屋頂1C1C1C1A32C5C5C5B33B3C3C3B54C3C2C2B25B5C4C4B16C2C11C11B67C4C10C10B78A3C8C8B49B1C7C9A110B2C9C7A411B6C6C6A212B7B3B3C113B4B5B5C514C11B4B4A515C10B7B7A616C8B6B6C317C9B1B1C218C7B2A3C419C6A3B2C1120A1A5A5C1021A4A6A6C822A5A4A4C923A2A1A1C724A6A2A

27、2C6（資料來源：附錄）有了這樣一個優(yōu)先級順序，我們算法的目標(biāo)、步驟和標(biāo)準(zhǔn)就有了依據(jù)，編程的思路就更加清晰。這樣一來可以利用遞歸算法編寫C程序，利用計算機(jī)的力量解決這一問題。3.1.5算法與編程如果不考慮門窗等障礙物，就可以將光伏電池布局問題歸結(jié)為經(jīng)典的矩形毛料無約束二維剪切排樣問題【3】：將L×W切成m種毛料，第i種毛料尺寸為li×wi，價值為fi，1im。排樣目標(biāo)為板材所含毛料總價值最大，其中每種毛料在板材中出現(xiàn)的次數(shù)無約束，并且所有剪切均與矩形的長或?qū)捚叫小Ｅ艠訂栴}屬于一類組合優(yōu)化問題，由于備選排樣方式所形成的集合很大，具有極高的計算復(fù)雜度，精確搜索通常只適用于小規(guī)模

28、排樣問題。因此采用基于貪心原則的遞歸算法求解該問題。設(shè)電池板方向固定，建立遞歸式。設(shè)Lmin=電池板的最小邊長，并以各自的長與寬x×y重新命名每種型號的電池板。記F(x,y)為給定墻面上x×y大小區(qū)域的的利潤。將電池板li×wi放在板塊的左下角，然后用一條剪切線沿其上邊界或右邊界，將板塊中的剩余區(qū)域分成2個小版塊。其中對電池板li×wi的枚舉順序基于貪心原則，即單位面積的利潤越大，越優(yōu)先枚舉，優(yōu)先排樣。并且對于每塊電池板li×wi，存在水平放置和豎直放置兩種狀態(tài)，同樣納入考慮。設(shè)兩種分割方式所得排樣方式的總利潤分別為FWi和FLi，則，因此有遞

29、歸式：算法偽代碼如下：設(shè)遞歸函數(shù)RectFun(x,y)返回值為給定墻面上x×y大小區(qū)域的的利潤。Step1：令F(x,y)=0，若x<Lmin或y<Lmin，則轉(zhuǎn)Step6。Step2：若所有電池板嘗試已完成，則轉(zhuǎn)Step6。Step3：若x<正在枚舉的電池板的長或y<正在枚舉的電池板的寬，則轉(zhuǎn)Step5。Step4：令，并且比較兩種切割方法，得，并轉(zhuǎn)Step6。Step5：基于貪心原則嘗試下一塊電池板，其中包括水平放置和豎直放置兩種形態(tài)，轉(zhuǎn)Step2。Step6：返回F(x,y)。詳細(xì)C語言代碼見【附錄】運(yùn)行C程序，容易得出了西墻和屋頂?shù)碾姵匕逶嫉匿佋O(shè)方

30、案。然而，南墻上有一扇門與兩扇窗戶，而且其中一扇窗戶是呈圓形，直接鋪設(shè)勢必得不到可行解。因此我們需要采取分割子區(qū)域的方法，針對障礙物，對南墻進(jìn)行分區(qū)，分成三塊子區(qū)域（含圓形窗戶的灰色矩形區(qū)、門上的綠色矩形區(qū)和含方形窗戶的藍(lán)色矩形區(qū)），再分別運(yùn)用上述算法：圖1：南墻分區(qū)示意圖運(yùn)行上述程序。最后得到包含型號與相對應(yīng)的數(shù)量兩方面的結(jié)果。詳見下表：表5：屋頂、西墻和南墻原始方案表屋頂西墻南墻型號A3C8C10C1C2C6C8C10C1C2C6C7C10數(shù)量489288413283261（資料來源：附件包）3.1.6優(yōu)化、選擇與結(jié)果呈現(xiàn)由于西墻上無障礙物，因此原始方案即為最佳方案。，根據(jù)電池型號和數(shù)量，

31、不難得出西墻上光伏電池的鋪設(shè)方案，如下圖所示：而針對南墻考慮，原始方案只是得出沒有考慮逆變器時的最優(yōu)電池板安排。而考慮了逆變器以后，單位面積上的成本就會增加，而且某些型號由于功率過小，會導(dǎo)致逆變器的功率浪費(fèi)，從而間接地增加成本，例如C6。因此，我們?nèi)斯さ胤殖鰧π吞柵c數(shù)量進(jìn)行了相對的調(diào)整，得出了相對最優(yōu)的最終方案：表6：南墻最終方案表南墻型號C1C2C10數(shù)量2810最后對于屋頂，采用扣除重補(bǔ)的方法，在原始方案的基礎(chǔ)上，除去覆蓋到天窗的那些電池板，然后再按優(yōu)先級使用面積小的電池板，充填剩余的空白區(qū)域，得到最優(yōu)解：表7：屋頂最終方案表屋頂型號A3C10數(shù)量438綜上所述，問題一中的電池板鋪設(shè)與逆變

32、器選擇問題就得到了解決。然后就可以得出總發(fā)電量、每單位發(fā)電量費(fèi)用、總成本和回收年限等經(jīng)濟(jì)效應(yīng)數(shù)據(jù)。其中，由于前10年、第11至25年、26至35年的轉(zhuǎn)化效率不一，因此在求回收年限時需分段判斷。本方案的相關(guān)數(shù)據(jù)見下表：表8：問題一最終經(jīng)濟(jì)效益表平面器件型號數(shù)量成本（元）年收益（元）南立面C123763.2384.2C28C1010SN1114500西立面C186355.2550.12C28C64C81C103SN1216900SN112900屋頂A343128600.86410.6C108SN6230000SN314500總成本（元）187519.2總年收益（元）7344.9235年總收益（元）

33、23136535年總利潤(元)43845.78總發(fā)電量（千瓦時）462729.96每單位發(fā)電量成本（元/千瓦時）0.405回收年限（年）27.532問題二問題2考慮的是在架空處理下的最優(yōu)化鋪設(shè)問題，此時我們需要先考慮最優(yōu)傾角和最佳朝向。然后根據(jù)這兩者來確定架空的模式與結(jié)構(gòu)，最后得出最優(yōu)鋪設(shè)方案。3.2.1最優(yōu)傾角傾斜角的大小直接關(guān)系到光伏電池接收到的實際輻射強(qiáng)度的大小。而最優(yōu)傾角的定義，就是能使電池板接收到最大光照強(qiáng)度的角度。因此，我們的目標(biāo)就是以傾斜角s作為自變量，最大化傾斜面總輻射強(qiáng)度，然后求出使之達(dá)到最大值時的s的值。首先，s與的關(guān)系可以用公式9來描述：即可以表示為關(guān)于s的一元簡單函數(shù)。

34、那么接下來所處理的就是一個無約束最優(yōu)化問題，即求一元簡單函數(shù)最大值的問題，我們將利用Matlab中的fminbnd函數(shù)處理【4】。它的數(shù)學(xué)原理就是采用一維搜索的方法，解單變量的無約束最優(yōu)化問題。雖然這個函數(shù)是求最小值的，但是我們可以先將的表達(dá)式兩邊取負(fù)，則此時它的最小值就是的最大值。另外，在使用附件4的數(shù)據(jù)時，還要考慮附件3和附件1中提到的A、C組的太陽光輻照閥值的特殊情況。我們以最低輻射強(qiáng)度200 W/為例。首先在matlab中創(chuàng)立一個M文件，將方程9輸入進(jìn)去，具體代碼詳見【附件包】中“CUMCM_Q2_bestangle.m”。然后調(diào)用fminbnd函數(shù)：x = fminbnd(CUMCM

35、_Q2_bestangle,0,90)然后得到問題的解：x = 31.6076最后即可得到三種情況的計算結(jié)果。如下表所示，在山西省大同市的最優(yōu)傾斜角為31.63°0.02°，大于太陽小屋自身屋頂?shù)膬A斜角度。表9：三種約束情況下的最佳傾角PV電池類型最低輻射強(qiáng)度限值（W/）最佳傾角（°）A單晶硅電池20031.6076B多晶硅電池8031.6522C薄膜電池3031.6536注：A單晶硅的最低輻射量限制綜合參考了附件1和附件3；B多晶硅電池、C薄膜電池的最低輻射量限制參考了附件1。（資料來源：附件四）3.2.2最佳朝向光伏電池方陣的朝向用方位角來描述，即方陣的垂直面

36、與正南方向的夾角（偏東設(shè)定為負(fù)角度，偏西設(shè)定為正角度）。一般而言，朝向正南（即方陣垂直與正南的夾角為0°）時，光伏電池方陣發(fā)電量最大。然而，在晴朗的夏天，太陽輻射能量的最大時刻在中午稍后，因此光伏電池方陣的方位稍微向西偏一些時，在午后時刻可以獲得最大發(fā)電功率。影響朝向設(shè)置的制約因素很多，于此，我們希望通過已有數(shù)據(jù)，獲得最大發(fā)電功率時的朝向。道客巴巴在線文檔分享平臺的一份文檔提到【5】，若將方位角調(diào)整到一天中負(fù)荷的峰值時刻和發(fā)電峰值時刻一致時，可達(dá)到最大發(fā)電功率的目標(biāo)，并可參考下述最佳朝向經(jīng)驗公式，方位角=（一天中負(fù)荷的峰值時刻（24小時制）-12）×15°+（當(dāng)?shù)?/p>

37、經(jīng)度-116°）。就一年而言，每天負(fù)荷的峰值時刻不盡相同，因此由附件4統(tǒng)計t時刻年均水平面總輻射強(qiáng)度，統(tǒng)計結(jié)果如下表：表10：t時刻年均水平面總輻射強(qiáng)度表時刻t012 3 45t時刻年均水平面總輻射強(qiáng)度（W/）000000.24時刻t67891011t時刻年均水平面總輻射強(qiáng)度（W/）16.5269.97171.24300.75424.14504.76時刻t121314151617t時刻年均水平面總輻射強(qiáng)度（W/）544.96546.88493.02404.69293.68164.21時刻t181920212223t時刻年均水平面總輻射強(qiáng)度（W/）67.1114.840.167000注

38、意到部分時刻年均水平面總輻射強(qiáng)度為0，選取時刻5到時刻20的數(shù)據(jù)導(dǎo)入TableCurve2D自動曲線擬合與方程式估計系統(tǒng)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行三次樣條插值【6】，即對于一系列形值點(diǎn)，通過求解三彎矩方程組得出曲線函數(shù)組，從而形成一條光滑曲線。具體插值結(jié)果如下圖：由插值后結(jié)果，將一天中負(fù)荷的峰值時刻=12.5代入上述公式，并結(jié)合附件6關(guān)于大同經(jīng)度的數(shù)據(jù)，(12.5-12)×15°+(113°18-116°)=4°48，因此得到最佳朝向為正南偏西4°48。3.2.3架空處理得到最優(yōu)傾斜角與最佳朝向之后，將其運(yùn)用到最優(yōu)化鋪設(shè)中，因此需要對電池板進(jìn)行架空

39、處理。而屋頂?shù)募芸仗幚硪话惴譃閮煞N，一種是對單塊電池板進(jìn)行架空，要求每塊電池板至少有一個頂點(diǎn)接觸房屋表面；第二種是對多塊電池板一起架空，如下圖所示，即對每塊電池板四個角進(jìn)行支撐，允許電池板四個頂點(diǎn)均脫離表面。考慮第一種架空方式，雖然可以使每塊電池板的傾斜角和朝向均達(dá)到最優(yōu)，但是隨著太陽從峰值位置逐漸下落，會產(chǎn)生電池板之間的相互遮擋問題，降低光能轉(zhuǎn)化效率。但是第二種方式就可以避免這種問題，所有的電池板可以鋪成一個平面，則在一天中的任何時候都不會有陰影產(chǎn)生，同時，這種架空方式也可以保證每塊板達(dá)到最優(yōu)傾角和最佳朝向，而且受光照面積也較大。最后，由于假設(shè)7，這里不考慮東西南北四面墻的架空處理。3.2.

40、3結(jié)果呈現(xiàn)由上文得，問題二中東西南北四面墻的鋪設(shè)方案與問題一相同。由于最佳朝向為正南偏西4°48，所以電池板陣列東面的支撐桿要稍長于西面的支撐桿，但是由于偏離的角度很小，因此屋頂仍可以看做是一個矩形，按問題一中的遞歸算法進(jìn)行求解。得到以下結(jié)果：表11：問題二最終經(jīng)濟(jì)效益表平面器件型號數(shù)量成本（元）年收益（元）南立面C123763.2384.2C28C1010SN1114500西立面C186355.2550.12C28C64C81C103SN1216900SN112900屋頂B335140309.47672A315C16C21C1010SN314500SN8115300SN151220

41、00總成本（元）206527.8總年收益（元）8606.3235年總收益（元）271099.135年總利潤(元)64571.28總發(fā)電量（千瓦時）542198.2每單位發(fā)電量成本（元/千瓦時）0.381回收年限（年）25.633問題三問題三要解決的是設(shè)計一個新的小屋，并為這個小屋鋪設(shè)最優(yōu)的光伏電池的問題。因此我們首先要構(gòu)建一個滿足建筑要求的小屋。3.3.1構(gòu)建小屋小屋的設(shè)計有兩個關(guān)鍵因素，一是附件7中的建筑要求，二是上文中得出的結(jié)論。如何既滿足設(shè)計要求，又能有利于電池板最優(yōu)鋪設(shè)問題的求解，是十分值得考慮的問題。針對每面墻的各型號電池板優(yōu)先級列表，我們將小屋的每面墻設(shè)計成恰好能鋪設(shè)整數(shù)塊最優(yōu)電池

42、板的大小。而屋頂?shù)膬A角也十分接近問題2中得出的最優(yōu)傾角。另外我們選擇全部采用貼附安裝的方式，使得電池板的傾斜角即為最優(yōu)傾角。具體信息如下：建筑屋頂最高點(diǎn)距地面高度為5.4m，滿足小于5.4m的建筑要求，而其傾斜角為30.6°；室內(nèi)使用空間最低凈空高度距地面高度為2.976m，滿足大于2.8m的建筑要求；建筑總投影面積包括（挑檐、挑雨棚的投影面積）為14.6×4.1+2.6×1.2=62.98，滿足小于74的建筑要求；建筑平面體型長邊為14.6米，滿足小于15m，最短邊4.1m，滿足大于3m；窗地比和窗墻比數(shù)據(jù)如下表，滿足建筑要求：表12：小屋建筑信息表面積計算步驟

43、開窗面積（）墻寬（m）墻高（m）窗墻比東立面1.9×1.4262.7094.12.9760.222南立面1.5×0.992×22.97614.62.9760.068西立面1.9×1.4262.7094.12.9760.222北立面3×0.9922.97614.62.9760.068屋頂1.65×1.62.640總開窗面積(）14.011房屋地板面積(）59.86窗地比0.234綜上所述，小屋的全部參數(shù)滿足附件7所給的全部要求。而下面分別是用AutoCAD制作的小屋的四立面圖和由SketchUp生成的小屋立體透視圖：圖2：小屋立體透視圖

44、圖3：小屋的四立面圖3.3.2最優(yōu)化鋪設(shè)構(gòu)建了新的小屋之后，運(yùn)用問題一的相關(guān)結(jié)論，可以很方便地得出以下結(jié)果：表13：問題三最終經(jīng)濟(jì)效益表平面器件型號數(shù)量成本（元）年收益（元）南立面B32258306.82447.87C22SN15122000西立面C162880241.6SN1114500屋頂A3521549608623.17SN6115000SN15122000總成本（元）279646.8總年收益（元）11312.6435年總收益（元）356348.235年總利潤(元)76701.36總發(fā)電量（千瓦時）712696.3每單位發(fā)電量成本（元/千瓦時）0.392回收年限（年）26.5而具體的光伏

45、電池組件陣列圖和連接方式限于篇幅，不在此呈現(xiàn)，詳細(xì)請見【附錄】。4.模型優(yōu)化與改進(jìn)4.1算法改進(jìn)基于貪心原則的遞歸算法得到的都是局部最優(yōu)解，并非全局最優(yōu)解，但是時間開銷較小，在數(shù)據(jù)規(guī)模不太大的情況下是較為有效的方法。對于一般的矩形毛料無約束二維剪切排樣問題，若毛料的長寬存在適當(dāng)?shù)墓s數(shù)，可以作為邊長對矩形板材進(jìn)行網(wǎng)格化處理，從而減小數(shù)據(jù)規(guī)模。當(dāng)問題數(shù)據(jù)規(guī)模較小時，可以考慮精確搜索各種組合優(yōu)化的情況，從而得到最優(yōu)解；當(dāng)問題數(shù)據(jù)規(guī)模較大時，由于這是一個NP-hard問題，精確搜索的運(yùn)算量過于大，多采用基于某種原則的近似算法，比如我們采用的基于貪心原則的遞歸算法，也可采用最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法，

46、模擬退火、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及遺傳算法【7】進(jìn)行改進(jìn)，從而有效降低運(yùn)算量。然而實際生活中，理想的矩形毛料無約束二維剪切排樣問題較少，經(jīng)常出現(xiàn)一些障礙物。本篇對障礙物多采用人工分區(qū)局部優(yōu)化的辦法，因為在遞歸算法中，障礙物相對板材的位置隨著不斷的切割，一直在發(fā)生變化，甚至可能出現(xiàn)障礙物被切分的情況，因此難于有效滿足障礙物的約束。因此，可引進(jìn)人工智能的思想，使計算機(jī)程序可根據(jù)板材上障礙物的性質(zhì)模擬人工分區(qū)實時更新策略，盡可能滿足障礙物的約束。4.1投資折現(xiàn)率在考慮上文中的投資回報期限時，我們假設(shè)折現(xiàn)率為零，因此未來每年的現(xiàn)金流入的價值就等于其現(xiàn)值。但是在實際生活中，由于銀行利息以及通貨膨脹等因素的影響，要求投資者考慮對其未來的收入進(jìn)行一個折現(xiàn)，這樣才能真正體現(xiàn)其未來收入的現(xiàn)時價值。因此，我們在模型的改進(jìn)中進(jìn)入內(nèi)部收益率概念，以此來衡量該投資決策的匯報速度。內(nèi)部收益率指的是使未來的現(xiàn)金流入的現(xiàn)值等于目前現(xiàn)金流出的折現(xiàn)率，若內(nèi)部收益率大于現(xiàn)行銀行存款利率，則說明該投資的回收期限較短，反之，則說明該投資回收較慢，收益率甚至不如銀行存款。為了求出內(nèi)部收益率r，我們根據(jù)年金公式列出方程，如下：其中，調(diào)用Matlab中主要用于求解代數(shù)方程的solve函數(shù)求解，具體調(diào)用格式如下：solve('7344.9/x*(1-1/(1+x)10)+6610.4/x*(1/(1+x)10)-(1/(1+x)2