第三章線性系統(tǒng)的時域分析法(1)

1、第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 3.1 系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)系統(tǒng)的時域性能指標(biāo) 3.2 一階系統(tǒng)的時域分析一階系統(tǒng)的時域分析 3.3 二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析 3.4 高階系統(tǒng)的時域分析高階系統(tǒng)的時域分析 3.5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 3.6 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算 3.7 控制系統(tǒng)時域分析的控制系統(tǒng)時域分析的MATLAB方法方法第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 自動控制原理課程的任務(wù)與體系結(jié)構(gòu)自動控制原理課程的任務(wù)與體系結(jié)構(gòu)第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 時域分析法時域分析法: : 直接求出系統(tǒng)輸出隨時間變化的規(guī)律，并

2、以此評價系直接求出系統(tǒng)輸出隨時間變化的規(guī)律，并以此評價系統(tǒng)的性能。統(tǒng)的性能。 時域分析的主要手段：時域分析的主要手段： 系統(tǒng)輸出的時間函數(shù)借助拉氏變換或者數(shù)值計算求得系統(tǒng)輸出的時間函數(shù)借助拉氏變換或者數(shù)值計算求得 時域分析的特點：時域分析的特點： 直觀，物理概念比較清晰，準(zhǔn)確程度高。但是，在分直觀，物理概念比較清晰，準(zhǔn)確程度高。但是，在分析系統(tǒng)性能變化趨勢方面不如圖解法。析系統(tǒng)性能變化趨勢方面不如圖解法。第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 3.1 系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)系統(tǒng)的時域性能指標(biāo) 一般以典型輸入信號作為系統(tǒng)的輸入信號進(jìn)行時域分析一般以典型輸入信號作為系統(tǒng)的輸入信號進(jìn)行時域分析 1、 典型輸入信號

3、典型輸入信號 1） 階躍函數(shù)階躍函數(shù) 階躍函數(shù)的時域表達(dá)式為階躍函數(shù)的時域表達(dá)式為 000)( 1)(tttRtr式中式中, R為常數(shù)為常數(shù), 當(dāng)當(dāng)R1時時, 稱稱r(t)=1(t)為單位階躍函數(shù)。為單位階躍函數(shù)。 tr (t)01輸入量輸入量r(t)=1(t)時，系統(tǒng)輸出特性稱為單位階躍響應(yīng)。用時，系統(tǒng)輸出特性稱為單位階躍響應(yīng)。用h(t)表示表示 MATLAB指令：指令：step(Gs)第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 2） 斜坡函數(shù)斜坡函數(shù)(速度函數(shù)速度函數(shù))斜坡函數(shù)斜坡函數(shù), 也稱速度函數(shù)也稱速度函數(shù)(見圖見圖3-1(b)，其時域表達(dá)式為，其時域表達(dá)式為 000)(ttRttr式中式中, R

4、為常數(shù)。當(dāng)為常數(shù)。當(dāng)R1時時, 稱稱r(t)=t為為單位斜坡函數(shù)。因為單位斜坡函數(shù)。因為dr(t)/dt=R, 所以斜所以斜坡函數(shù)代表勻速變化的信號。坡函數(shù)代表勻速變化的信號。 tr (t)0MATLAB沒有專用的斜坡響應(yīng)指令，用任意輸入的響應(yīng)指令：沒有專用的斜坡響應(yīng)指令，用任意輸入的響應(yīng)指令：n=1;t=0:0.1:9;u=t.n; %n=0、1、2分別為階躍、斜坡加速度函分別為階躍、斜坡加速度函數(shù)數(shù)lsim(Gs,u,t)第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 3）加速度函數(shù)）加速度函數(shù)加速度函數(shù)加速度函數(shù)(見圖見圖3-1(c)的時域表達(dá)式為的時域表達(dá)式為 0002)(2ttRttr式中，式中，R為

5、常數(shù)。當(dāng)為常數(shù)。當(dāng)R1時時, 稱稱r(t)=t2/2為單位加速度函數(shù)。因為單位加速度函數(shù)。因為為d2r(t)/dt2=R, 所以加速度函數(shù)代表勻加速變化的信號。所以加速度函數(shù)代表勻加速變化的信號。 tr (t)0第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 4）脈沖函數(shù)）脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)的時域表達(dá)式為脈沖函數(shù)的時域表達(dá)式為 0001)(thhthtr式中式中,h稱為脈沖寬度稱為脈沖寬度, 脈沖的面積為脈沖的面積為1。若對脈沖的寬度取趨于零的極限若對脈沖的寬度取趨于零的極限, 則有則有 000)()(tttrt稱此函數(shù)為理想脈沖函數(shù)稱此函數(shù)為理想脈沖函數(shù), 又稱又稱函數(shù)函數(shù)。tr (t)0h1h(t)第三章 線

6、性系統(tǒng)的時域分析法 因因函數(shù)的面積為函數(shù)的面積為1，即，即5）正弦函數(shù)）正弦函數(shù)正弦函數(shù)的時域表達(dá)式為正弦函數(shù)的時域表達(dá)式為 tAtrsin)(式中式中, A為振幅為振幅, 為角頻率。為角頻率。 1)(dtt所以，所以， 函數(shù)的拉氏變換為：函數(shù)的拉氏變換為：L(t)=1另外，另外，dttdt)( 1)(tr (t)0AMATLAB的單位脈沖響應(yīng)專用指令為：的單位脈沖響應(yīng)專用指令為：impulse(Gs)輸入量輸入量r(t)= (t)時，系統(tǒng)輸出函數(shù)稱為單位脈沖響應(yīng)。用時，系統(tǒng)輸出函數(shù)稱為單位脈沖響應(yīng)。用g(t)表示表示 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 2 、動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程、動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程

7、 1） 動態(tài)過程動態(tài)過程 動態(tài)過程又稱過渡過程或瞬動態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程態(tài)過程, 指系統(tǒng)在典型輸入信號指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下作用下, 系統(tǒng)輸出量從開始狀態(tài)系統(tǒng)輸出量從開始狀態(tài)到最終穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程。到最終穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程。 系統(tǒng)的模態(tài)（響應(yīng)形式）由閉環(huán)極點確定，閉環(huán)零點只影響系統(tǒng)的模態(tài)（響應(yīng)形式）由閉環(huán)極點確定，閉環(huán)零點只影響響應(yīng)的幅值。閉環(huán)極點的不同取值，動態(tài)過程有單調(diào)上升，衰減響應(yīng)的幅值。閉環(huán)極點的不同取值，動態(tài)過程有單調(diào)上升，衰減振蕩、發(fā)散振蕩和等幅振蕩四種形式。振蕩、發(fā)散振蕩和等幅振蕩四種形式。 動態(tài)過程包含了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性、動態(tài)過程包含了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性、

8、平穩(wěn)性等信息。平穩(wěn)性等信息。第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 2） 穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程 穩(wěn)態(tài)過程是指時間穩(wěn)態(tài)過程是指時間 t 趨近于無窮大時趨近于無窮大時, 系統(tǒng)輸出狀態(tài)的表系統(tǒng)輸出狀態(tài)的表現(xiàn)形式。它表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度?，F(xiàn)形式。它表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。 穩(wěn)態(tài)過程包含系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差等信息。穩(wěn)態(tài)過程包含系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差等信息。 3 動態(tài)性能指標(biāo)動態(tài)性能指標(biāo) 系統(tǒng)性能指標(biāo)的計算只有系統(tǒng)是穩(wěn)定的情況下才有意義，系統(tǒng)性能指標(biāo)的計算只有系統(tǒng)是穩(wěn)定的情況下才有意義，特別是穩(wěn)態(tài)誤差的計算，應(yīng)檢驗系統(tǒng)的穩(wěn)定性。特別是穩(wěn)態(tài)誤差的計算，應(yīng)檢驗系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 動態(tài)性能指標(biāo)通常根據(jù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲

9、線定義。動態(tài)性能指標(biāo)通常根據(jù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線定義。第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 1. 延遲時間延遲時間td：響應(yīng)：響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其終值曲線第一次達(dá)到其終值一半所需時間。一半所需時間。2. 上升時間上升時間tr：響應(yīng)：響應(yīng)從終值從終值10%上升到終值上升到終值90%所需時間；對有振蕩系統(tǒng)亦可定義為響應(yīng)從零第一次上升所需時間；對有振蕩系統(tǒng)亦可定義為響應(yīng)從零第一次上升到終值所需時間。上升時間是響應(yīng)速度的度量。到終值所需時間。上升時間是響應(yīng)速度的度量。 p tr0.5 c(t)td tp01 tst穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 3. 峰值時間峰值時間tp：響應(yīng)超過其：響應(yīng)超過其終

10、值到達(dá)第一個峰值所需時間。終值到達(dá)第一個峰值所需時間。 4. 調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間ts：響應(yīng)到達(dá)并：響應(yīng)到達(dá)并保持在終值保持在終值內(nèi)所需時間。內(nèi)所需時間。 5. 超調(diào)量超調(diào)量 %：響應(yīng)的最大：響應(yīng)的最大輸出量輸出量c(tp)與終值與終值c()之差的百分比，即之差的百分比，即 p tr0.5 c(t)td tp01 tst穩(wěn) 態(tài) 誤穩(wěn) 態(tài) 誤差差%100)()()(%cctcp第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 6. 振蕩次數(shù)振蕩次數(shù)N: 在在0tts內(nèi)內(nèi), 階躍響應(yīng)曲線穿越穩(wěn)態(tài)值階躍響應(yīng)曲線穿越穩(wěn)態(tài)值c()次數(shù)的一半稱為振蕩次數(shù)。次數(shù)的一半稱為振蕩次數(shù)。 p tr0.5 y(t)td tp01 tst穩(wěn)

11、態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差 上述動態(tài)性能指標(biāo)中上述動態(tài)性能指標(biāo)中, 常用的指標(biāo)有常用的指標(biāo)有tr、ts和和。上升時間上升時間tr評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度; %評價系統(tǒng)的運行平穩(wěn)性或阻尼程度評價系統(tǒng)的運行平穩(wěn)性或阻尼程度; ts是同時反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。是同時反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。 應(yīng)當(dāng)指出應(yīng)當(dāng)指出, 除簡單的一、二階系統(tǒng)外除簡單的一、二階系統(tǒng)外, 要精確給出這些指標(biāo)的要精確給出這些指標(biāo)的解析表達(dá)式是很困難的。解析表達(dá)式是很困難的。 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 4. 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)誤差：穩(wěn)態(tài)誤差：時間趨于無窮時時間趨于無窮時, 系統(tǒng)輸出與輸入量或輸

12、入函數(shù)系統(tǒng)輸出與輸入量或輸入函數(shù)確定的量之間的差值確定的量之間的差值, 稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 穩(wěn)態(tài)誤差通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)或加速度函數(shù)作用下穩(wěn)態(tài)誤差通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)或加速度函數(shù)作用下進(jìn)行測定或計算。進(jìn)行測定或計算。 穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 3.2 一階系統(tǒng)的時域分析一階系統(tǒng)的時域分析 11)()()()()()(TssRsCsRCTtrtcdttdcT微分方程：微分方程：閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式3.2.1 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一階

13、系統(tǒng)：以一階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)。一階系統(tǒng)：以一階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)。 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 3.2.1 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 對于單位階躍輸入對于單位階躍輸入 ssRttr1)(),( 1)(有有 11) 1(1111)()()(TsTsTsssTssRssC由拉氏反變換可以得到一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由拉氏反變換可以得到一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)c(t)為為 )0(1)()()(/tetctctcTtts第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 j 0P = - -1/TS平面平面(a) 零極點分布零極點分布 h(t)0.6320.8650.950.98

14、2初始斜率為初始斜率為1/T h(t)=1-e-t/T0 tT2T3T4T1(b) 單位階躍響應(yīng)曲線單位階躍響應(yīng)曲線 cs(t)=1是穩(wěn)態(tài)分量是穩(wěn)態(tài)分量, 由輸入信號決定。由輸入信號決定。 ct(t)=-e-t/T是瞬態(tài)分量是瞬態(tài)分量(暫態(tài)分量暫態(tài)分量), 它的變化規(guī)律由閉環(huán)傳遞它的變化規(guī)律由閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點函數(shù)的極點 P = - -1/T 決定。當(dāng)決定。當(dāng)t時時, 瞬態(tài)分量按指數(shù)規(guī)律衰減瞬態(tài)分量按指數(shù)規(guī)律衰減到零。到零。T越小，響應(yīng)曲線上升速度越快。越小，響應(yīng)曲線上升速度越快。)0(1)()()(/tetctctcTtts第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特點：一階系統(tǒng)

15、的單位階躍響應(yīng)的特點： 1）時間常數(shù)）時間常數(shù)T反映系統(tǒng)的快速性；反映系統(tǒng)的快速性； 2）初始斜率為）初始斜率為1/T； 3）無超調(diào)。穩(wěn)態(tài)輸出為）無超調(diào)。穩(wěn)態(tài)輸出為1。穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差ess=0 。 4) 若閉環(huán)傳函的分子為若閉環(huán)傳函的分子為K，則穩(wěn)態(tài)輸出為，則穩(wěn)態(tài)輸出為K，響應(yīng)速度不變，響應(yīng)速度不變 h(t)0.6320.8650.950.982初始斜率為初始斜率為1/T h(t)=1-e-t/T0 tT2T3T4T1第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 根據(jù)動態(tài)性能指標(biāo)定義，求一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)根據(jù)動態(tài)性能指標(biāo)定義，求一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)a.求延遲時間求延遲時間td：因為因為h()=1，由

16、，由td的定義，當(dāng)?shù)亩x，當(dāng)t=td時，時，h(td)=0.5 代入一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)表達(dá)式，代入一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)表達(dá)式，；則則2ln2 ,15 . 0 TteedTtTtddTtTtdd69. 0, 2ln 所以：所以：b.求上升時間求上升時間tr由上升時間的定義，分別求出由上升時間的定義，分別求出h(t1)=0.1；h(t2)=0.9得：得：t1=0.1T；t2=2.3T所以：所以：tr=t2t1=2.2Tc.同理可求出同理可求出ts=3T (=5%) 或或 ts=4T (=2%) d.一階系統(tǒng)沒有超調(diào)，所以不需要求一階系統(tǒng)沒有超調(diào)，所以不需要求tP和和%。第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 解解

17、: (1) 與標(biāo)準(zhǔn)形式對比得：與標(biāo)準(zhǔn)形式對比得：T=0.1s，ts （5） =3T=0.3s 例例3.1 某一階系統(tǒng)如圖。某一階系統(tǒng)如圖。（1）求調(diào)節(jié)時間）求調(diào)節(jié)時間ts（5）（）（2）若要求）若要求 ts=0.1s,求反饋系數(shù)求反饋系數(shù) Kh .11 . 0101 . 0)/100(1/100)()(1)()(ssssHsGsGs(2) 要求要求ts=0.1s，即即3T=0.1s, 即即 , 得得 11001/1/1001/100)(sKKsKsshhh31 . 01001hK3 . 0hK0.1C(s)R(s)E(s)100/s(- -) 解題關(guān)鍵：解題關(guān)鍵：化閉環(huán)傳遞函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式?；]

18、環(huán)傳遞函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式。Kh第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 11)()()(TsSRSsC輸出為傳遞函數(shù)的原函數(shù)輸出為傳遞函數(shù)的原函數(shù)c(t)= g(t)=L-1G(s)。一階系統(tǒng)的單。一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為位脈沖響應(yīng)為 )0(1/1/1)(/1teTTsTLtgTt 輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)傳遞函數(shù)相同傳遞函數(shù)相同, 即即 3.2.2 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 單位脈沖函數(shù)輸入：單位脈沖函數(shù)輸入： r(t)=(t), R(s)=1t0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率為初始斜率為0.368/T0.05/T0t/TeT1g(t) T1g(t)

19、 impulse(1,1 1)2T1 單位脈沖響應(yīng)可由單位階躍響應(yīng)求導(dǎo)得到單位脈沖響應(yīng)可由單位階躍響應(yīng)求導(dǎo)得到: g(t)=d h(t)/dt第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 備注：備注：在初始條件為零的情況下，一階系統(tǒng)的單位脈在初始條件為零的情況下，一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)與系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)包含了相同的動態(tài)信息。沖響應(yīng)與系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)包含了相同的動態(tài)信息。這一特點同樣適用于其他各階線性定常系統(tǒng)。這一特點同樣適用于其他各階線性定常系統(tǒng)。 因此，工程上常用因此，工程上常用測量系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，來測量系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，來求出被測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。求出被測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 工程上無法得到理想單位脈沖函

20、數(shù)，一般用具有工程上無法得到理想單位脈沖函數(shù)，一般用具有一定脈寬一定脈寬b和有限幅度的矩形脈動函數(shù)來代替。一般和有限幅度的矩形脈動函數(shù)來代替。一般要求要求b0.1T。第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 3.2.3 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 對于單位斜坡函數(shù)對于單位斜坡函數(shù) 21)(,)(ssRttr可求得系統(tǒng)輸出信號的拉氏變換為可求得系統(tǒng)輸出信號的拉氏變換為 11111)(222TsTsTssTssC取拉氏反變換可得系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為取拉氏反變換可得系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為 TttsTeTttctctc/)()()()( (t0) c(t)r(t)c(t)TTTt0MATLAB指令

21、：指令：t =0:0.1:9; u= t ; lsim (1,1 1,u,t)第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 零初始條件下，單位斜坡響應(yīng)可由單位階躍響應(yīng)積分得到。零初始條件下，單位斜坡響應(yīng)可由單位階躍響應(yīng)積分得到。 系統(tǒng)的誤差信號系統(tǒng)的誤差信號e(t)為為 )1 ()()()(/TteTtctrte當(dāng)當(dāng)t時時, 。即一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)的。即一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)的誤差誤差為誤差誤差為T。 Tteet)(lim)( MATLAB指令：指令：t =0:0.1:9; r= t.2/2 ; lsim (1,1 1,r,t) 跟蹤誤差：跟蹤誤差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T

22、) 隨時間推移而增長，直隨時間推移而增長，直至無窮。因此一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度函數(shù)。至無窮。因此一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度函數(shù)。221)(ttr 輸入輸入)1(21)(/22TteTTtttc 輸出輸出3.2.4 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 結(jié)論：結(jié)論： 一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)與時間常數(shù)一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)與時間常數(shù)T密切相關(guān)。密切相關(guān)。時間常數(shù)越小時間常數(shù)越小, 響應(yīng)越快響應(yīng)越快, 跟蹤誤差越小跟蹤誤差越小, 輸出信號的滯后時間也越短，輸出信號的滯后時間也越短， 一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度函數(shù)。一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度函數(shù)。 線性定常系統(tǒng)的等價關(guān)系：線性定常

23、系統(tǒng)的等價關(guān)系：對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng), 等于對等于對輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù); 對輸入信號積分的響應(yīng)對輸入信號積分的響應(yīng), 等于輸入信號響等于輸入信號響應(yīng)的積分應(yīng)的積分, 積分常數(shù)由零初始條件確定。積分常數(shù)由零初始條件確定。 因此因此, 研究線性定常系統(tǒng)的時間響應(yīng)研究線性定常系統(tǒng)的時間響應(yīng), 不必對每種輸入信號不必對每種輸入信號進(jìn)行測定和計算進(jìn)行測定和計算, 往往往往以一種典型輸入進(jìn)行研究。以一種典型輸入進(jìn)行研究。 )()()()( 1)( 1)(2222tcdtdthdtdtgttdtdtdtdt第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)：以：以二階微分方

24、程二階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)。作為運動方程的控制系統(tǒng)。 從物理上講，二階系統(tǒng)包含有二個獨立的儲能元件從物理上講，二階系統(tǒng)包含有二個獨立的儲能元件。二階系統(tǒng)的二階系統(tǒng)的研究意義研究意義 現(xiàn)實中存在大量的系統(tǒng)，它們本身就屬于二階系統(tǒng)。現(xiàn)實中存在大量的系統(tǒng)，它們本身就屬于二階系統(tǒng)。 大量的高階、復(fù)雜系統(tǒng)可以在一定的近似范圍內(nèi)簡化大量的高階、復(fù)雜系統(tǒng)可以在一定的近似范圍內(nèi)簡化 為二階系統(tǒng)，以便于系統(tǒng)的分析與設(shè)計。為二階系統(tǒng)，以便于系統(tǒng)的分析與設(shè)計。 在校正系統(tǒng)時，往往把系統(tǒng)設(shè)計成一個二階系統(tǒng)。在校正系統(tǒng)時，往往把系統(tǒng)設(shè)計成一個二階系統(tǒng)。 分析和理解高階系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的基礎(chǔ)。分析和理解高階系統(tǒng)動態(tài)

25、響應(yīng)的基礎(chǔ)。單自由度機(jī)械振動系統(tǒng)單自由度機(jī)械振動系統(tǒng)電樞控制直流電動機(jī)系統(tǒng)電樞控制直流電動機(jī)系統(tǒng)3.3 二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 3.3.1 二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式 控制系統(tǒng)的運動方程為二階微控制系統(tǒng)的運動方程為二階微分方程，稱為二階系統(tǒng)。分方程，稱為二階系統(tǒng)。KsTsKsRsC2)()(令令2n=K/T, 1/T=2n, 則可將二階系統(tǒng)化為分析暫態(tài)性能的則可將二階系統(tǒng)化為分析暫態(tài)性能的標(biāo)準(zhǔn)形式：標(biāo)準(zhǔn)形式：222 2)()(nnnsssRsCR(s)C(s)(- -) 2(2nnss標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式R(s)C(s)(- -) 1(T ss

26、K閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：其中：其中： 自然振蕩頻率；自然振蕩頻率； 阻尼比。阻尼比。標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 標(biāo)準(zhǔn)形式的二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式的二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)2()(2nnsssG系統(tǒng)的系統(tǒng)的特征方程及特征根（即系統(tǒng)的閉環(huán)極點）可求得特征方程及特征根（即系統(tǒng)的閉環(huán)極點）可求得二階系統(tǒng)的特征方程二階系統(tǒng)的特征方程0222nnss二階系統(tǒng)的特征根二階系統(tǒng)的特征根122, 1nns0, ,兩個正實部的特征根兩個正實部的特征根，系統(tǒng)發(fā)散，系統(tǒng)發(fā)散10 , ,閉環(huán)極點為一對共軛復(fù)根，位于左半閉環(huán)極點為一對共軛復(fù)根，位于左半s平面平面1, ,兩個相等的負(fù)實根

27、兩個相等的負(fù)實根1, ,兩個不相等的負(fù)實根兩個不相等的負(fù)實根0, ,虛軸上，一對純虛根虛軸上，一對純虛根 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 0 222nnss單位階躍輸入單位階躍輸入r(t)=1(t)時，時，其二階的輸出的拉氏變換為其二階的輸出的拉氏變換為)(12)()()(212222sssssssssRssCnnnn 3.3.2 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)1 22, 1snn顯然，顯然，隨著阻尼比隨著阻尼比的不同的不同, 二階系統(tǒng)特征根二階系統(tǒng)特征根(極點極點)也不相同，也不相同，系統(tǒng)的響應(yīng)形式也不同系統(tǒng)的響應(yīng)形式也不同 。 二階系統(tǒng)的特征方程及二階系統(tǒng)的特征方程及系統(tǒng)的兩個特征根系

28、統(tǒng)的兩個特征根(極點極點)為為 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 (a) 閉環(huán)極點分布閉環(huán)極點分布 j 11223345 05二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)性能仿真定性分析二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)性能仿真定性分析66n 一定，一定， 與系統(tǒng)性能的關(guān)系：與系統(tǒng)性能的關(guān)系： a . 0 1過阻尼，單調(diào)上升過阻尼，單調(diào)上升 d . =0無阻尼，等幅振蕩無阻尼，等幅振蕩 取不同值的取不同值的MATLAB程序：程序：G1=tf(4,1 2*0 *2 4) G2=tf(4,1 2*0.4*2 4)G3=tf(4,1 2*0.8*2 4)G4=tf(4,1 2* 1 *2 4)G5=tf(4,1 2* 2 *2 4)step(G

29、1,G2,G3,G4,G5);axis(0,8,0,2)第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 0123456789101112 nt c(t)0.81.01.82.0 =02.0結(jié)論：結(jié)論： 越大，平穩(wěn)性越好，但是，上升速度越慢，快速性越差。越大，平穩(wěn)性越好，但是，上升速度越慢，快速性越差。 0.4 0.8，快速性和平穩(wěn)性均較好。，快速性和平穩(wěn)性均較好。第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 一定時，一定時，n 與系統(tǒng)性能的關(guān)系：與系統(tǒng)性能的關(guān)系： MATLAB程序：程序： G1=tf(16,1 2*0.3*4 16) G

30、2=tf(4,1 2*0.3*2 4) step(G1,G2)結(jié)論：結(jié)論： n越大，上升速度越大，上升速度和調(diào)節(jié)速度越快，且和調(diào)節(jié)速度越快，且n 的變化不改變系統(tǒng)的平的變化不改變系統(tǒng)的平穩(wěn)性。穩(wěn)性。1n4n2第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 1. 欠阻尼情況欠阻尼情況(01)在這種情況下在這種情況下,系統(tǒng)有一對共軛復(fù)極點：系統(tǒng)有一對共軛復(fù)極點：2222222) ( ) (112 )(dnddndnnnnnssssssssC式中式中, 稱為稱為阻尼自振角頻率阻尼自振角頻率。輸出的時間函數(shù)為。輸出的時間函數(shù)為 ：2 1 ndC (s)可以展成如下部分分式形式可以展成如下部分分式形式: =cos 0 s

31、1 n- n s2 j j d 22, 1 1 jsnndj=二階系統(tǒng)的解析定量分析二階系統(tǒng)的解析定量分析第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 上式還可以改寫為上式還可以改寫為 )0()sin( 11sin cos 111)(2 22 ttettetcdtddtnn式中式中, )/ 1arctan(2)0(sin 1 cos1sin cos1)()(2 1tttetetesCLtcddtdtdndtnnn =cos 0 s1 n- n s2 j j d 阻尼角阻尼角第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階響應(yīng)由欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階響應(yīng)由和和兩部分組成：兩部分組成： a. 瞬態(tài)部分瞬態(tài)部分

32、是衰減的正弦振蕩曲線，衰減速度取決于特征根是衰減的正弦振蕩曲線，衰減速度取決于特征根實部的絕對值實部的絕對值 n ( 即即，特征根實部），特征根實部）的大小的大小, b. 振蕩角頻率為阻尼振蕩角頻率振蕩角頻率為阻尼振蕩角頻率 d（特征根虛部），其值（特征根虛部），其值由阻尼比由阻尼比和自然振蕩角頻率和自然振蕩角頻率 n 決定。決定。 c. 振蕩周期：振蕩周期： d. 穩(wěn)態(tài)部分等于穩(wěn)態(tài)部分等于1，表明不存在穩(wěn)態(tài)誤差；，表明不存在穩(wěn)態(tài)誤差；2 122Tndd21 nd)0()sin( 11)(2 ttetcdtn第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 2. 無阻尼情況無阻尼情況(=0)=0時，時，系統(tǒng)有兩個

33、純虛根：系統(tǒng)有兩個純虛根： s1、s2 =j n 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 ttcncos1)(二階系統(tǒng)在無阻尼情況下的階躍響應(yīng)是等幅正二階系統(tǒng)在無阻尼情況下的階躍響應(yīng)是等幅正(余余)弦振蕩曲線，弦振蕩曲線，振蕩角頻率是振蕩角頻率是n。 2222211)(nnnssssssC-j j n0 s1 s2 j j n 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 3. 臨界阻尼情況臨界阻尼情況(=1)當(dāng)當(dāng)=1時時,系統(tǒng)有兩個相等的負(fù)實數(shù)極點：系統(tǒng)有兩個相等的負(fù)實數(shù)極點： s1、s2 = - - n nnnnnssssssC1)(1)()(222對上式進(jìn)行拉氏反變換得對上式進(jìn)行拉氏反變換得 )0()

34、 1(1)(tettctnn二階系統(tǒng)臨界阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)是一條無超調(diào)的單調(diào)二階系統(tǒng)臨界阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)是一條無超調(diào)的單調(diào)上升曲線。是振蕩與不振蕩的臨界點。上升曲線。是振蕩與不振蕩的臨界點。調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間ts4.7/ n 0 s1- - n s2 j 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 4. 過阻尼情況過阻尼情況(1)這種情況下這種情況下, 系統(tǒng)存在兩個不等的實根系統(tǒng)存在兩個不等的實根, 即即 nnss)1 (,)1 (2221系統(tǒng)輸出的拉氏變換系統(tǒng)輸出的拉氏變換C(s)為為 )1 ()1 (1)()(23221212sCsCsCssssssCnnn0 s1 s2 j 第三章 線性系

35、統(tǒng)的時域分析法 式中式中, )1(121,)1(121, 12232221ccc取拉氏反變換可得過阻尼情況下二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為取拉氏反變換可得過阻尼情況下二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 ttnneetc)1(22)1(2222)1(121)1(1211)(t0) 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 a. 過阻尼二階系統(tǒng)無超調(diào)，系統(tǒng)很平穩(wěn)。過阻尼二階系統(tǒng)無超調(diào)，系統(tǒng)很平穩(wěn)。nst)1(432 b. 當(dāng)當(dāng)2時時, 二階系統(tǒng)可近似為一個以靠近虛軸的極點二階系統(tǒng)可近似為一個以靠近虛軸的極點s1所所表示的一階系統(tǒng)。表示的一階系統(tǒng)。 過阻尼二階系統(tǒng)的特點：過阻尼二階系統(tǒng)的特點：)1 (1 11)(2TTssGn

36、，c. 過阻尼二階系統(tǒng)的響應(yīng)速度很慢。過阻尼二階系統(tǒng)的響應(yīng)速度很慢。調(diào)節(jié)時間近似值為調(diào)節(jié)時間近似值為 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 )0()sin(11)(2 ttetcdtn 21 ndrt階躍響應(yīng)從零第一次升到穩(wěn)態(tài)所需的的時間。階躍響應(yīng)從零第一次升到穩(wěn)態(tài)所需的的時間。1. 動態(tài)性能指標(biāo)計算動態(tài)性能指標(biāo)計算 上升時間上升時間 tr單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng) 0)sin(12 rdttern 即即 得得 此時此時1)( rtc3.3.3 欠阻尼二階系統(tǒng)的欠阻尼二階系統(tǒng)的21arctan第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 單位單位階躍響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個峰值所需要的時間。階躍響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個

37、峰值所需要的時間。 21 ndpt 峰值時間峰值時間 tp0)( pttdttdc 由由 得得單位單位階躍響應(yīng)中最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。階躍響應(yīng)中最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。 %100)()()(% cctcp 超調(diào)量超調(diào)量 %100)sin(12 pdttepn 由由)0()sin(11)(2 ttetcdtn %100%21 e第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 單位單位階躍響應(yīng)進(jìn)入階躍響應(yīng)進(jìn)入 誤差帶的最小時間。誤差帶的最小時間。 調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間 ts 欠阻尼二階系統(tǒng)的一對包絡(luò)線如圖欠阻尼二階系統(tǒng)的一對包絡(luò)線如圖 c(t)t0121e1nt-21e1n t-包絡(luò)線包絡(luò)線nst5 . 3（ =5%

38、時）時） 工程上通常用工程上通常用包絡(luò)線代替實際曲線來估算。包絡(luò)線代替實際曲線來估算。 2 1 etn解得 2111111nntnsnst4 . 4或（ =2%時）時）第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 振蕩次數(shù)振蕩次數(shù)N 根據(jù)振蕩次數(shù)的定義, 有 2. 結(jié)構(gòu)參數(shù)結(jié)構(gòu)參數(shù)對單位階躍響應(yīng)性能的影響對單位階躍響應(yīng)性能的影響 阻尼比阻尼比越小，超調(diào)量越大，平穩(wěn)性越差，調(diào)節(jié)時間越小，超調(diào)量越大，平穩(wěn)性越差，調(diào)節(jié)時間t ts s長；長； 過大時，系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，調(diào)節(jié)時間過大時，系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，調(diào)節(jié)時間t ts s也長，快速性差；也長，快速性差； =0.707=0.707，調(diào)節(jié)時間最短，快速性最好，而超調(diào)量，調(diào)節(jié)時

39、間最短，快速性最好，而超調(diào)量 %5%02) 赫爾維茨行列式全部為正，即赫爾維茨行列式全部為正，即1. 勞斯勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)設(shè)特征方程為設(shè)特征方程為主對角線元素為主對角線元素為naaaa221 、每列從主對角線元素開始，上到每列從主對角線元素開始，上到an，下到，下到a0，其余填，其余填0。第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 q 當(dāng)系統(tǒng)特征方程的次數(shù)較高時，應(yīng)用赫爾維茨穩(wěn)定判當(dāng)系統(tǒng)特征方程的次數(shù)較高時，應(yīng)用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)的計算工作量較大。據(jù)的計算工作量較大。q 已經(jīng)證明，在特征方程各項系數(shù)大于零時，赫爾維茨已經(jīng)證明，在特征方程各項系數(shù)大于零時，赫爾維茨奇次行列式全為正，則赫爾維

40、茨偶次行列式必全為正奇次行列式全為正，則赫爾維茨偶次行列式必全為正；反之亦然（李納德；反之亦然（李納德-戚帕特穩(wěn)定判據(jù)）。戚帕特穩(wěn)定判據(jù)）。第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為 0)(1110nnnnasasasasD 必要條件必要條件: 控制系統(tǒng)特征方程式的所有系數(shù)控制系統(tǒng)特征方程式的所有系數(shù)ai(i=0, 1, 2, , n)均大于零，小于零或者等于零均大于零，小于零或者等于零 （缺項）系統(tǒng)必不穩(wěn)定。（缺項）系統(tǒng)必不穩(wěn)定。 充分條件充分條件:勞斯表中第一列的元素均勞斯表中第一列的元素均大于零大于零時，系統(tǒng)時，系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定；反之，如果第一列出現(xiàn)反之，

41、如果第一列出現(xiàn)小于零小于零的元素時，系統(tǒng)就的元素時，系統(tǒng)就不穩(wěn)定不穩(wěn)定。第一。第一列元素符號的改變列元素符號的改變次數(shù)次數(shù)，代表特征方程的正實部根的，代表特征方程的正實部根的個數(shù)個數(shù)。第第一列出現(xiàn)一列出現(xiàn)0元素，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定元素，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 2. 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 勞斯表制作方法勞斯表制作方法設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：a0sn+a1sn-1+.+an-1s+an=0 根據(jù)特征方程的各項系數(shù)排列成下列勞斯表根據(jù)特征方程的各項系數(shù)排列成下列勞斯表:131201a|aaaa|b151402a|aaaa|b121311b|bbaa|c131511b|bba

42、a|c121211c|ccbb|d131312c|ccbb|d10112123214n3213n3212n5311n420ngsfseesdddscccsbbbsaaasaaas 前兩行第一列元素與前兩行后一列元素構(gòu)成的行列式前兩行第一列元素與前兩行后一列元素構(gòu)成的行列式 上一行第一列元素上一行第一列元素用一個正整數(shù)去除或乘某一行用一個正整數(shù)去除或乘某一行, 不改變穩(wěn)定性結(jié)論。不改變穩(wěn)定性結(jié)論。第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 當(dāng)勞斯表中第一列的所有數(shù)都當(dāng)勞斯表中第一列的所有數(shù)都大于零大于零時，系統(tǒng)時，系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定；反之，；反之，如果第一列出現(xiàn)如果第一列出現(xiàn)小于零小于零的數(shù)時，系統(tǒng)就的數(shù)時，系統(tǒng)就

43、不穩(wěn)定不穩(wěn)定。第一列各系數(shù)符。第一列各系數(shù)符號的改變號的改變次數(shù)次數(shù)，代表特征方程的正實部根的，代表特征方程的正實部根的個數(shù)個數(shù)。 勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)u 第一列符號改變次數(shù)第一列符號改變次數(shù)= =系統(tǒng)特征方程含有正實部根的個數(shù)系統(tǒng)特征方程含有正實部根的個數(shù)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：勞斯陣列第一列元素不改變符號。勞斯陣列第一列元素不改變符號。注：通常注：通常a0 0，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡述為：因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡述為： 勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零，大于零，系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定。第一列元素若變號系統(tǒng)不穩(wěn)定第一列元素若變號系統(tǒng)不

44、穩(wěn)定!第一列元素變號的第一列元素變號的次數(shù)次數(shù)為特征根在為特征根在s右半平面的右半平面的個數(shù)個數(shù)!第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 第一列元素的符號變化了兩次第一列元素的符號變化了兩次, 因此該方程中有兩個根在復(fù)因此該方程中有兩個根在復(fù)平面的右半平面平面的右半平面, 故系統(tǒng)不穩(wěn)定。故系統(tǒng)不穩(wěn)定。impulse (1 2,1 2 3 4 5) 例例3.4 設(shè)系統(tǒng)特征方程為設(shè)系統(tǒng)特征方程為s4+2s3+3s2+4s+5=0; 試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解：解：列出勞斯表列出勞斯表4s3s2s1 124*135 520*151234501s0s5 560*156

45、615*240第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 例例 3-4 設(shè)有一個三階系統(tǒng)的特征方程設(shè)有一個三階系統(tǒng)的特征方程 0322130asasasa式中所有系數(shù)均為正數(shù)。試證明該系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是式中所有系數(shù)均為正數(shù)。試證明該系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是a1a2a0a3。 證明證明 上式對應(yīng)的勞斯表為上式對應(yīng)的勞斯表為 30130211312203asaaaaasaasaas 根據(jù)勞斯判據(jù)根據(jù)勞斯判據(jù), 系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表第一列的充要條件是勞斯表第一列系數(shù)均大于零。系數(shù)均大于零。 所以有所以有 a1a2a0a3 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 例例 3-5 考慮圖示的系統(tǒng)考慮圖示的系統(tǒng), 確定使系統(tǒng)穩(wěn)

46、定的確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。的取值范圍。 )2)(1(2ssssKR(s)C(s)解解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 KssssKsRsC)2)(1()()(2所以系統(tǒng)的特征方程為所以系統(tǒng)的特征方程為 0233)(234KsssssD由穩(wěn)定的必要條件可知由穩(wěn)定的必要條件可知, K0。第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 KsKsKssKs012347923702331列勞斯表如下列勞斯表如下:根據(jù)勞斯判據(jù)根據(jù)勞斯判據(jù), 系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足：系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足： 0792 , 0KK因此因此, 使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K的取值范圍為的取值范圍為 9140 K當(dāng)當(dāng)K=14/9時時,

47、系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 impulse (14/9,1 3 3 2 14/9) 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 例例 3-6 對例對例3-5，要求所有閉環(huán)極點距虛軸有，要求所有閉環(huán)極點距虛軸有0.1個單位的個單位的穩(wěn)定裕量，穩(wěn)定裕量， 確定確定K的取值范圍。的取值范圍。解解 將將 S=W- -0.1代入特征方程，在代入特征方程，在w域使用域使用勞斯判據(jù)，若穩(wěn)定，則在勞斯判據(jù)，若穩(wěn)定，則在s域至少有一個域至少有一個單位的穩(wěn)定裕量。單位的穩(wěn)定裕量。sw0.10233)(234KsssssD0) 1 . 0(2) 1 . 0(3) 1 . 0(3) 1 . 0(234Kwwwww

48、4 + 2.6 w3 + 2.16 w2 + 1.486 s +K- - 0.1729=0第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 01729. 0059. 1)1729. 0(6 . 2486. 11729. 059. 1)1729. 0(6 . 2486. 11729. 059. 10486. 16 . 21729. 016. 2101234KKKsKsKssKs0.1729K1.08pzmap (1,1 3 3 2 0.1729)pzmap (1,1 3 3 2 1.08)第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 需要指出需要指出, 在運用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時在運用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時, 有

49、時有時會遇到下列兩種特殊情況會遇到下列兩種特殊情況: (1) 在勞斯表的某一行中在勞斯表的某一行中, 出現(xiàn)出現(xiàn)第一個元為零第一個元為零, 而其余各元而其余各元均不為零均不為零, 或部分不為零的情況或部分不為零的情況; (2) 在勞斯表的在勞斯表的某一行均為零某一行均為零。 在這兩種情況下在這兩種情況下, 表明系統(tǒng)在復(fù)平面表明系統(tǒng)在復(fù)平面內(nèi)存在兩個大小相等內(nèi)存在兩個大小相等符號相反的實根或兩個共軛純虛根符號相反的實根或兩個共軛純虛根, 系統(tǒng)處在臨界穩(wěn)定狀態(tài)或系統(tǒng)處在臨界穩(wěn)定狀態(tài)或不穩(wěn)定狀態(tài)。不穩(wěn)定狀態(tài)。 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 例如例如, 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 01632)(2

50、34sssssD勞斯表為勞斯表為 126106213101234sssss因為勞斯表第一列元素因為勞斯表第一列元素的符號改變了兩次的符號改變了兩次, 所所以系統(tǒng)不穩(wěn)定以系統(tǒng)不穩(wěn)定, 且有兩且有兩個正實部的特征根。個正實部的特征根。 roots(1 2 3 6 1)解決方法解決方法：用一個足夠?。河靡粋€足夠小的正數(shù)的正數(shù) 代替為零的代替為零的項，然后繼續(xù)計算勞項，然后繼續(xù)計算勞斯表余下系數(shù)。斯表余下系數(shù)。第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 例如例如, 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 022)(23ssssD勞斯表為勞斯表為 20022110123ssss輔助方程輔助方程2s2+2=0 輔助方程求導(dǎo)后

51、輔助方程求導(dǎo)后4s+0=0 由以上可以看出由以上可以看出, 勞斯表第一列元素符號均大于零勞斯表第一列元素符號均大于零, 故系統(tǒng)不含故系統(tǒng)不含具有正實部的根具有正實部的根, 而含一對純虛根而含一對純虛根, 可由輔助方程可由輔助方程2s2+2=0解出解出s1、2=j。 roots(1 2 1 2) ans = -2, j, - j4第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 例：設(shè)系統(tǒng)特征方程為例：設(shè)系統(tǒng)特征方程為s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞勞 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1= -8-82

52、41 2 第一列出現(xiàn)零元素時，第一列出現(xiàn)零元素時，用正無窮小量用正無窮小量代替。代替。 71 2 7 -87一行可同乘以或同除以某正數(shù)一行可同乘以或同除以某正數(shù)變號系統(tǒng)不變號系統(tǒng)不穩(wěn)定穩(wěn)定28 2+87 028(28)70解：解：第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 06655)(2345ssssssD5432100001561565/262/56ssssss求導(dǎo)求導(dǎo)06s5s24010413ss2js2, 13js4, 3輔助方程輔助方程由輔助方程求得根：由輔助方程求得根：4100可知閉環(huán)系統(tǒng)有位于虛軸上的根?？芍]環(huán)系統(tǒng)有位于虛軸上的根。 所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。但第一列元素未所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。但第一列元素

53、未改變符號，所以系統(tǒng)沒有位于改變符號，所以系統(tǒng)沒有位于S右右半平面的根。半平面的根。解：解：勞勞 斯斯 表表第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 小結(jié)小結(jié) (1) (1) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性是其自身的屬性，與輸入類型、形式無關(guān)。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是其自身的屬性，與輸入類型、形式無關(guān)。 (2) (2) 閉環(huán)穩(wěn)定與否，只取決于閉環(huán)極點，與閉環(huán)零點無關(guān)閉環(huán)穩(wěn)定與否，只取決于閉環(huán)極點，與閉環(huán)零點無關(guān)。nnnmsCsCsCssszszszsKs 22112121)()()()(*)(tntetneCCeCtk 2121)( 閉環(huán)零點影響系數(shù)閉環(huán)零點影響系數(shù)C Ci i ，只會改變動態(tài)性能。，只會改變動態(tài)性能。 閉環(huán)極點決定

54、穩(wěn)定性，也決定模態(tài)，同時影響穩(wěn)定性閉環(huán)極點決定穩(wěn)定性，也決定模態(tài)，同時影響穩(wěn)定性和動態(tài)性能。和動態(tài)性能。 (3) (3) 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定與否無直接關(guān)系。閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定與否無直接關(guān)系。 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 u 穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，是對系統(tǒng)控制精度穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，是對系統(tǒng)控制精度的度量；的度量；u 對穩(wěn)定的系統(tǒng)研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義，所以計算穩(wěn)態(tài)對穩(wěn)定的系統(tǒng)研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義，所以計算穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)以系統(tǒng)穩(wěn)定為前提。誤差應(yīng)以系統(tǒng)穩(wěn)定為前提。 本節(jié)只討論系統(tǒng)由于結(jié)構(gòu)、輸入作用和類型所產(chǎn)生的本節(jié)只討論系統(tǒng)由于結(jié)構(gòu)、輸入作用和類型所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)

55、誤差，即穩(wěn)態(tài)誤差，即原理性誤差原理性誤差，不考慮由于非線性因素引起的，不考慮由于非線性因素引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差（附加穩(wěn)態(tài)誤差或結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差）。（附加穩(wěn)態(tài)誤差或結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差）。 通常把在階躍輸入作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)通常把在階躍輸入作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為稱為無差系統(tǒng)無差系統(tǒng)；而把有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為；而把有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為有差系有差系統(tǒng)統(tǒng)。 3.6 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 3.6.1 誤差與穩(wěn)態(tài)誤差誤差與穩(wěn)態(tài)誤差 系統(tǒng)誤差是系統(tǒng)輸出量的系統(tǒng)誤差是系統(tǒng)輸出量的期望值與實際值之差期望值與實際值之差, 即即 )(

56、)()(1tctctercr(t)是與系統(tǒng)設(shè)定輸入量是與系統(tǒng)設(shè)定輸入量r(t)相應(yīng)的期望輸出量。相應(yīng)的期望輸出量。 這種定義物理意義明確這種定義物理意義明確, 但在實際系統(tǒng)中往往不可測量。但在實際系統(tǒng)中往往不可測量。 E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(- -)E(s)G(s)C(s)R(s)E1(s)(- -)H(s)1/H(s)Cr (s)第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(- -)按輸入端定義的誤差按輸入端定義的誤差 ( )( )( )E sR sB sE(s)誤差（偏差），可以量測。誤差（偏差），可以量測。按輸出端定義的誤差按輸

57、出端定義的誤差 由圖所示，誤差定義有兩種方式：由圖所示，誤差定義有兩種方式： 系統(tǒng)輸出量的希望值與實際值系統(tǒng)輸出量的希望值與實際值之差之差R(s)-C(s)R(s)-C(s)，無法量測，無法量測，只有數(shù)學(xué)意義。只有數(shù)學(xué)意義。單位反饋時兩種定義相同單位反饋時兩種定義相同( )( )( )( )( )( )R sE sE sC sH sH s兩種定義誤差方法，存在內(nèi)在聯(lián)系。兩種定義誤差方法，存在內(nèi)在聯(lián)系。第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差:指一個穩(wěn)定的系統(tǒng)在設(shè)定的輸入或擾動作用下指一個穩(wěn)定的系統(tǒng)在設(shè)定的輸入或擾動作用下, 經(jīng)歷過渡過程進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的誤差經(jīng)歷過渡過程進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的誤差, 即即

58、 )(limteetss3.6.2 穩(wěn)態(tài)誤差計算穩(wěn)態(tài)誤差計算)()(11)()()(sHsGsRsEse )()(1)(lim)()(lim)(lim000sHsGssRsRssssEesessssE(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(- -)若滿足若滿足sE(s)的極點均位于的極點均位于s左半平面。根據(jù)左半平面。根據(jù)終值定理終值定理 當(dāng)當(dāng)sE(s)在坐標(biāo)原點具有極點在坐標(biāo)原點具有極點 時，結(jié)果正巧與實際應(yīng)有的結(jié)果一時，結(jié)果正巧與實際應(yīng)有的結(jié)果一致，公式仍可使用。致，公式仍可使用。誤差傳遞函數(shù)誤差傳遞函數(shù)為：為：第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 使用該公式應(yīng)滿足使用該公式應(yīng)滿足sE(s

59、)在在s右半平面及虛軸上解析的條件，即右半平面及虛軸上解析的條件，即 sE(s)的極點均位于的極點均位于s左半平面。當(dāng)左半平面。當(dāng)sE(s)在坐標(biāo)原點具有極點在坐標(biāo)原點具有極點 時，時，雖不滿足虛軸上解析的條件，但使用后所得無窮大的結(jié)果正巧與雖不滿足虛軸上解析的條件，但使用后所得無窮大的結(jié)果正巧與實際應(yīng)有的結(jié)果一致，因此實際應(yīng)用時實際應(yīng)有的結(jié)果一致，因此實際應(yīng)用時 可用此公式?？捎么斯?。 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差除了與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)外，還與系系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差除了與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)外，還與系統(tǒng)輸入信號的形式和大小有關(guān)。統(tǒng)輸入信號的形式和大小有關(guān)。第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 1） , 符

60、合終值定理應(yīng)用條件。符合終值定理應(yīng)用條件。2） , 符合終值定理應(yīng)用條件。符合終值定理應(yīng)用條件。為為 1）r(t)=t ，2) r(t)=t2/2，3) r(t)=sint，求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。，求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。 解：解：誤差傳遞函數(shù)為誤差傳遞函數(shù)為TsTssHsGsRsEse 1)()(11)()()()1()(,1)(2TssTsEssR TTsTssEessss 1lim)(lim00)1()(,1)(23TssTsEssR )1(1lim)(lim00TssssEessss例例3.7 設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=1/Ts,輸入信號分別輸入信號分別第三章