第6章 機(jī)械振動(dòng)

1、機(jī)械振動(dòng)6.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)6.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成6.3 阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng) 共振6.4 非線性振動(dòng)(不講)作業(yè):174,23,24,29,34,35,36P 一一 掌握掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的各個(gè)物理量（特別是描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的各個(gè)物理量（特別是相位）的物理意義及各量間的關(guān)系相位）的物理意義及各量間的關(guān)系. . 二二 掌握掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法和圖線表描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法和圖線表示法，并會(huì)用于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律的討論和分析示法，并會(huì)用于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律的討論和分析. . 三三 掌握掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特征，能建立一維簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特征，能建立一維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程，能根據(jù)給定的初始條件寫(xiě)出一諧運(yùn)動(dòng)的微分方

2、程，能根據(jù)給定的初始條件寫(xiě)出一維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，并理解其物理意義維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，并理解其物理意義. . 四四 理解理解同方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成規(guī)律，同方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成規(guī)律，了解拍和相互垂直簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的特點(diǎn)了解拍和相互垂直簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的特點(diǎn). . 五五 了解了解阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振的發(fā)生條阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振的發(fā)生條件及規(guī)律件及規(guī)律. .簡(jiǎn)諧振動(dòng)往復(fù)運(yùn)動(dòng)。如聲源的振動(dòng)、鐘擺的擺動(dòng)等。機(jī)械振動(dòng) 物體在它的平衡位置附近所作的物體發(fā)生機(jī)械振動(dòng)的條件：物體受到始終指向平衡位置的回復(fù)力；物體具有慣性。掌握機(jī)械振動(dòng)的基本規(guī)律是研究其它形式振動(dòng)的基礎(chǔ)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)（simple

3、harmonic vibration) 是最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)理想模型。它是研究各種復(fù)雜振動(dòng)的重要基礎(chǔ)。這里主要討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)。動(dòng)力學(xué)特征6.1.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式以物體受力為零的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)水平光滑面，彈簧勁度 質(zhì)量可忽略，物體質(zhì)量物體在任一位置受的彈性力以鉛垂方向 為擺角參考軸線，單擺在任一角位置 所受的重力矩為則取擺幅很?。ˋ）彈簧振子 （B）單 擺X正X向反X向6.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度A簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度A應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，同理也可求得單擺的角振動(dòng)方程X簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程對(duì)于給定的彈簧振子 為常量，其比值亦為常量。令則即得A為微分方程求解時(shí)的積分常量，由系統(tǒng)的初始條件決定。簡(jiǎn)諧振動(dòng)方

4、程A該微分方程的解通常表成余弦函數(shù) 從動(dòng)力學(xué)方面來(lái)看，如果物體受到的合力的大小總是與物體相對(duì)其平衡位置的位移成正比、方向相反(簡(jiǎn)稱(chēng)為正比反向力)，那么，該物體的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。合力與位移正比反向是物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征.形如 的力稱(chēng)為線性回復(fù)力，其中k、b都是常數(shù)，這種力可以通過(guò)坐標(biāo)平移變換 簡(jiǎn)化為正比反向力 ，所以，在新坐標(biāo)系中，物體的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。因此，合力為線性回復(fù)力時(shí)，物體也是在作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 Fkxb xxb k Fkx 續(xù)4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度AA簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度AAA最大最大最大AAA簡(jiǎn)諧振動(dòng)參量6.1.2 描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量XAA振幅 ： 的最大絕對(duì)值A(chǔ)周

5、期：完成一次振動(dòng)需時(shí)頻率：角頻率：彈簧振子單 擺AA相位 ：是界定振子在時(shí)刻 的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量運(yùn)動(dòng)狀態(tài)要由位置 和速度 同時(shí)描述，而 和 的正負(fù)取決于 ，不是指開(kāi)始振動(dòng)，而是指開(kāi)始觀測(cè)和計(jì)時(shí)。所謂時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)AA位置速度初始條件即為初相 ：是時(shí)，振子的相位。續(xù)6由 和 求給定振子的振幅AAAA消去 得初相 由 和 求給定振子的AAA消去 得 但由于但由于 在在 0 20 2p p 范圍內(nèi)，同一正切值對(duì)應(yīng)有兩個(gè)范圍內(nèi)，同一正切值對(duì)應(yīng)有兩個(gè) 值，因值，因此，還必須再根據(jù)此，還必須再根據(jù) 和和 的正負(fù)進(jìn)行判斷。聯(lián)系振子運(yùn)動(dòng)狀的正負(fù)進(jìn)行判斷。聯(lián)系振子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)態(tài)直觀圖不難作出判斷直觀圖不難作出判斷

6、且若則若且則且若則且若則（第一象限）（第二象限）（第三象限）（第四象限）旋轉(zhuǎn)矢量法AAXXOjM ( 0 )Aj初相M ( t )twtwM ( t )twM ( t )twM ( t )M ( t )twM ( t )twM (T )Tw周期 T6.1.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法M ( t )twM ( t )twXOjM ( 0 )j初相M ( t )twA矢量端點(diǎn)在X 軸上的投影對(duì)應(yīng)振子的位置坐標(biāo)t 時(shí)刻的振動(dòng)相位(wwtjj) )旋轉(zhuǎn)矢量A以勻角速逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)循環(huán)往復(fù)x = A cos (wwtjj) )簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程例一0.040.0412簡(jiǎn)諧振動(dòng)的曲線完成下述簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程A = 0.

7、04 (m)T = 2 (s)w w = 2 p/p/T T =pp(rad /s )0.04p pp p2Aw w= pp/ 2 t = 0v0 從 t = 0 作反時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，A矢端的投影從x=0向X軸的負(fù)方運(yùn)動(dòng)，即 ，與 已知 X t 曲線一致。v0SI 試證明，若選取受力平衡點(diǎn)作為位置坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直彈簧振子與水平彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程和振動(dòng)方程相同。平衡點(diǎn)在受力平衡點(diǎn)小球受彈性力大小選取受力平衡點(diǎn)作為位置坐標(biāo)原點(diǎn)小球在位置坐標(biāo) 處所受彈性力合外力振動(dòng)方程A動(dòng)力學(xué)方程微分方程的解：均與水平彈簧振子結(jié)果相同例二例三彈簧振子x0 = 0t = 0 時(shí)v0 = 0.4 ms -1m = 510

8、- -3 kgk = 210 - -4 Nm -1 完成下述簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程v0mk0.2 (rad s 1)x0v02 (m)x0 = 0已知w w相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為20.2(SI)v0例四某物體沿 X 軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)， 振幅 A = 0.12 m，周期周期 T = 2 s，t = 0 時(shí)x0 = 0.06 m處初相 j j t = 0 .5 s 時(shí)的位置 x, 速度 v, 加速度 a物體背離原點(diǎn)移動(dòng)到位置A = 0.12 m，T = 2 s , w w = 2p/p/T = pprad s - -1 , 將jj= p/3p/3rad 及 t = 0 .5 s 代入諧振動(dòng)的 x, v, a 定義式

9、得x A cos (wwtj j ) )0.104 (m)A0.19 ( m s - -1 )A1.03 ( m s - -2 )x = A cos (wwtj j ) )由簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程t = 0 時(shí)0.06 = 0.12 cos j j得jj=p/3p/3再由題意知 t = 0 時(shí)物體正向運(yùn)動(dòng)，即A0且jj= p/3p/3，則jj在第四象限，故取例五周期均為 T = 8.5s 用旋轉(zhuǎn)矢量法兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位差兩質(zhì)點(diǎn)第一次通過(guò)平衡點(diǎn)的時(shí)刻兩質(zhì)點(diǎn) 1、2同在 X 軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)t = 0 時(shí) 在 處 質(zhì)點(diǎn)2 AA向平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)1在 處向平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)振幅 A 相同Acos Acos 或因且在第一象限應(yīng)

10、取Acos Acos 兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位差A(yù)A從旋轉(zhuǎn)矢量圖可以看出：時(shí)，質(zhì)點(diǎn)1第一次通過(guò)平衡點(diǎn)A轉(zhuǎn)過(guò)1.06 (s)A轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)2第一次通過(guò)平衡點(diǎn)2.13(s)1 1 單擺單擺lmoAmglmglMsin22ddmglIt2Imllgt22ddw222ddt)cos(mjwtlg2w令令TFPglT2轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)正向正向sin,5時(shí)時(shí)6.1.4 單擺和復(fù)擺oC*2 2 復(fù)擺復(fù)擺lmglM22ddmglItw222ddt2mglIw令令)cos(mjwt)5(P（ 點(diǎn)為質(zhì)心）點(diǎn)為質(zhì)心）C2ITmgl轉(zhuǎn)動(dòng)正向轉(zhuǎn)動(dòng)正向 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述和特征簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述和特征xa2w4 4）加速度與位移成正比而方向相反加

11、速度與位移成正比而方向相反xtx222ddw2 2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)描述)sin(jwwtAv)cos(jwtAx3 3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述mglIw復(fù)擺復(fù)擺wmk彈簧振子彈簧振子lgw單擺單擺kxF1 1）物體受線性回復(fù)力作用物體受線性回復(fù)力作用 平衡位置平衡位置0 x振動(dòng)能量6.1.5 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量 （以x x= =0 0處為零勢(shì)點(diǎn)）系統(tǒng)的 動(dòng)能A系統(tǒng)的 勢(shì)能A系統(tǒng)的 機(jī)械能AA振子運(yùn)動(dòng)速度AA簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程振動(dòng)系統(tǒng)： 彈簧勁度振子質(zhì)量振動(dòng)角頻率如 水平彈簧振子均隨時(shí)間而變且能量相互轉(zhuǎn)換變到最大時(shí)變?yōu)榱阆到y(tǒng)的機(jī)械能守恒。及A變?yōu)榱阕兊阶畲髸r(shí)時(shí) 間能

12、 量例六動(dòng)能A 勢(shì)能A當(dāng)時(shí)則其中得振動(dòng)相位或一水平彈簧振子彈簧勁度振子質(zhì)量振幅 A沿 X X 軸振動(dòng) 當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)的以平衡點(diǎn)為原點(diǎn)位置坐標(biāo) x 相等時(shí) 動(dòng)能值與勢(shì)能值 振子的A代入中，解得能量位置例七該擺動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒數(shù)學(xué)表達(dá)式該擺的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程及擺動(dòng)周期動(dòng)能 剛體（直棒）轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 勢(shì)能 系統(tǒng)的重力勢(shì)能以垂態(tài)直棒中心點(diǎn) C 為重力零勢(shì)點(diǎn)令機(jī)械能機(jī)械能守恒，即 為恒量，即得 簡(jiǎn)諧角振動(dòng)微分方程該擺的振動(dòng)周期勻質(zhì)細(xì)直懸棒質(zhì)量 m、長(zhǎng) L在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)擺幅很小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量振動(dòng)合成一6.2.1 兩個(gè)且 相同同在 X X 軸合成振動(dòng)用旋轉(zhuǎn)矢量法可求得合成振動(dòng)方程與計(jì)時(shí)起始時(shí)刻有關(guān)合成初相分振動(dòng)初相差與計(jì)

13、時(shí)起始時(shí)刻無(wú)關(guān)，但它對(duì)合成振幅屬相長(zhǎng)還是相消合成起決定作用6.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成續(xù)18合振動(dòng)分振動(dòng)；其中，合振幅若則為合振幅可能達(dá)到的最大值若則若為其它值，則 處于與之間若則為合振幅可能達(dá)到的最小值若則例八0.050.060.07簡(jiǎn)諧振動(dòng)(SI)(SI)(SI)合成的和合成的 最大時(shí)合成的 最小時(shí)8.9210 2 (m)0.92868 12248 12(舍去）時(shí)當(dāng)?shù)煤铣傻?達(dá)到最小當(dāng)時(shí)合成的 達(dá)到最大得振動(dòng)合成二6.2.2 兩個(gè)為了突出重點(diǎn)，設(shè)兩分振動(dòng)的振幅相等且初相均為零。合振動(dòng)此合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，一般比較復(fù)雜，只介紹一種常見(jiàn)現(xiàn)象：頻率為 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率為 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)續(xù)21385 Hz38

14、3 Hz聽(tīng)到的音頻384 Hz強(qiáng)度節(jié)拍性變化2 Hz若與相差不大，可看作呈周期性慢變的振幅合振動(dòng)頻率相對(duì)較高的簡(jiǎn)諧振動(dòng)1 秒秒9 Hz8 Hz合振動(dòng)振幅 （包絡(luò)線） 變化的頻率稱(chēng)為兩分振動(dòng)的頻率1 Hz“ 拍頻 ”合振動(dòng)頻率8.5 Hz例如：6.2.3 諧振分析和頻譜諧振分析和頻譜一一. 一個(gè)周期性振動(dòng)可分解為一系列一個(gè)周期性振動(dòng)可分解為一系列 頻率分立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率分立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)若周期振動(dòng)的頻率為若周期振動(dòng)的頻率為 : 0則各分振動(dòng)的頻率為則各分振動(dòng)的頻率為: 0, 2 0, 3 0, (基頻基頻 , 二次諧頻二次諧頻 , 三次諧頻三次諧頻 , ) xot鋸齒波鋸齒波Aw ww w03w w

15、05w w0鋸齒波頻譜圖鋸齒波頻譜圖方波的分解方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x00tx0二二. .一個(gè)非周期性振動(dòng)可分解為無(wú)限一個(gè)非周期性振動(dòng)可分解為無(wú)限xot阻尼振動(dòng)曲線阻尼振動(dòng)曲線阻尼振動(dòng)頻譜圖阻尼振動(dòng)頻譜圖ow wA多個(gè)頻率連續(xù)變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)多個(gè)頻率連續(xù)變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)合成三6.2.4 兩個(gè)消去 得軌跡方程：該方程為橢圓的普遍方程，若或得直線或得直線若若介紹幾種特殊情況：得正橢圓續(xù)23或用用旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢矢量量描描繪繪振振動(dòng)動(dòng)合合成成圖圖振動(dòng)合成四6.2.5 兩個(gè)其合運(yùn)動(dòng)一般較復(fù)雜，且軌跡不穩(wěn)定。但當(dāng) 為兩個(gè)簡(jiǎn)單的整數(shù)之比時(shí)可以得到穩(wěn)定軌跡圖形，稱(chēng)為李

16、薩如圖形例如阻尼振動(dòng)稱(chēng)為阻尼振動(dòng)或衰減振動(dòng)振幅逐漸衰減的振動(dòng)形成阻尼振動(dòng)的原因：振動(dòng)系統(tǒng)受摩擦、粘滯等阻力作用，造成熱損耗；振動(dòng)能量轉(zhuǎn)變?yōu)椴ǖ哪芰肯蛑車(chē)鷤鞑セ蜉椛?。以第一種原因?yàn)槔?，建立阻尼振?dòng)的力學(xué)模型。6.3 阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng) 共振6.3.1 阻尼振動(dòng) 續(xù)26以液體中的水平彈簧振子為例：摩擦阻力彈性力振動(dòng)速度不太大時(shí)受：阻力系數(shù)摩擦阻力與 反向負(fù)號(hào)：彈性力振子 受合外力即令稱(chēng)為振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率得稱(chēng)為阻尼系數(shù)若阻尼較弱，且時(shí)，上述微分方程的解為續(xù)27和取決于初始狀態(tài)。為振動(dòng)角頻率，為阻尼振動(dòng)的振幅，隨時(shí)間的增大而指數(shù)衰減。本圖設(shè)越大，振幅衰減越快，且振動(dòng)周期 越長(zhǎng)。周期續(xù)28 相對(duì)較大

17、的阻尼振動(dòng)，其振幅衰減較快，但只要滿足，振子仍可出現(xiàn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的特征，仍屬阻尼振動(dòng)。若阻尼過(guò)大，以致，用此條件求解微分方程，其結(jié)果表明（數(shù)學(xué)表達(dá)從略）振子不能作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是從開(kāi)始的最大位置緩慢地回到平衡位置。此情況稱(chēng)為過(guò)阻尼。若，振子從開(kāi)始的最大位置較快地回到平衡位置，并處于往復(fù)運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)。此情況稱(chēng)為臨界阻尼。臨界阻尼過(guò)阻尼阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng) 6.3.2 受迫振動(dòng) 系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下所作的等幅振動(dòng)稱(chēng)為受迫振動(dòng)。幅 值角頻率周期性外力（強(qiáng)迫力）彈性力示意建立動(dòng)力學(xué)方程即表成此微分方程的解為續(xù)30受迫振動(dòng)進(jìn)入穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)后，其振動(dòng)角頻率為強(qiáng)迫力的角頻率 ，其振幅為 受迫振動(dòng)與強(qiáng)迫力有一

18、定的相位差 ，用初相 表示 和都與 阻尼系數(shù)固有角頻率 的大小有關(guān)。強(qiáng)迫力角頻率 相對(duì)于系統(tǒng)的開(kāi)始振動(dòng)比較復(fù)雜經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，受迫振動(dòng)進(jìn)入穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)。續(xù)31討論受迫振動(dòng)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的振幅討論受迫振動(dòng)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的振幅若強(qiáng)迫力的角頻率若強(qiáng)迫力的角頻率 已定，已定， 大則大則 小。小。 系統(tǒng)的固有角頻率時(shí)，系統(tǒng)的固有角頻率時(shí)， 獲得極大值。獲得極大值。若阻尼系數(shù)若阻尼系數(shù) 已定，當(dāng)已定，當(dāng) 等于或接近等于或接近 6.3.3 共振 令求得 極大時(shí)的 為受迫振動(dòng)的振幅出現(xiàn)極大值的受迫振動(dòng)的振幅出現(xiàn)極大值的現(xiàn)象稱(chēng)為現(xiàn)象稱(chēng)為 共振共振。共振時(shí)的振幅值為共振時(shí)的強(qiáng)迫力頻率稱(chēng)為共振頻率較小較大如圖，一倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧，一端固定在墻上，相連,求此系統(tǒng)的振動(dòng)圓頻率。一質(zhì)量為m2的物體跨過(guò)一質(zhì)量為M,半徑為R的定滑輪與m1另一端連接一質(zhì)量為m1的物體,放在光滑的水平面上,將例2m1mMkR解法一：smamTgm 2222軸正向, m1 、m2、M受力如圖所示，顯然有：