抽屜原理例習題

1、8-2抽屜原理教學目標學目標抽屜原理是一種特殊的思維方法，不但可以根據(jù)它來做出許多有趣的推理和判斷，同時能夠幫助同學證明很多看似復雜的問題。本講的主要教學目標是：1理解抽屜原理的基本概念、基本用法；2掌握用抽屜原理解題的基本過程；3. 能夠構造抽屜進行解題；4. 利用最不利原則進行解題；5.利用抽屜原理與最不利原則解釋并證明一些結論及生活中的一些問題。知識點撥一、知識點介紹抽屜原理有時也被稱為鴿籠原理，它由德國數(shù)學家狄利克雷首先明確提出來并用來證明一些數(shù)論中的問題，因此，也被稱為狄利克雷原則抽屜原理是組合數(shù)學中一個重要而又基本的數(shù)學原理，利用它可以解決很多有趣的問題，并且常常能夠起到令人驚奇的

2、作用許多看起來相當復雜，甚至無從下手的問題，在利用抽屜原則后，能很快使問題得到解決二、抽屜原理的定義（1）舉例桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，有的抽屜可以放一個，有的可以放兩個，有的可以放五個，但最終我們會發(fā)現(xiàn)至少我們可以找到一個抽屜里面至少放兩個蘋果。（2）定義一般情況下，把n1或多于n1個蘋果放到n個抽屜里，其中必定至少有一個抽屜里至少有兩個蘋果。我們稱這種現(xiàn)象為抽屜原理。三、抽屜原理的解題方案（一）、利用公式進行解題蘋果抽屜商余數(shù)余數(shù)：（1）余數(shù)1， 結論：至少有（商1）個蘋果在同一個抽屜里 （2）余數(shù)， 結論：至少有（商1）個蘋果在同一個抽屜里 （3）余數(shù)0，

3、 結論：至少有“商”個蘋果在同一個抽屜里（二）、利用最值原理解題將題目中沒有闡明的量進行極限討論，將復雜的題目變得非常簡單，也就是常說的極限思想“任我意”方法、特殊值方法知識精講模塊一、利用抽屜原理公式解題（一）、直接利用公式進行解題（1）求結論【例 1】 只鴿子要飛進個籠子，每個籠子里都必須有只，一定有一個籠子里有只鴿子對嗎？【解析】 只鴿子要飛進個籠子，如果每個籠子裝只，這樣還剩下只鴿子這只鴿子可以任意飛進其中的一個籠子，這樣至少有一個籠子里有只鴿子所以這句話是正確的利用剛剛學習過的抽屜原理來解釋這個問題，把鴿籠看作“抽屜”，把鴿子看作“蘋果”， ，（只）把個蘋果放到個抽屜中，每個抽屜中都

4、要有個蘋果，那么肯定有一個抽屜中有兩個蘋果，也就是一定有一個籠子里有只鴿子【鞏固】 把9條金魚任意放在8個魚缸里面，請你說明至少有一個魚缸放有兩條或兩條以上金魚【解析】 在個魚缸里面，每個魚缸放一條，就是條金魚；還剩下的一條，任意放在這個魚缸其中的任意一個中，這樣至少有一個魚缸里面會放有兩條金魚【鞏固】 教室里有5名學生正在做作業(yè)，現(xiàn)在只有數(shù)學、英語、語文、地理四科作業(yè) 試說明：這5名學生中，至少有兩個人在做同一科作業(yè)【解析】 將5名學生看作5個蘋果 將數(shù)學、英語、語文、地理作業(yè)各看成一個抽屜，共4個抽屜 由抽屜原理，一定存在一個抽屜，在這個抽屜里至少有2個蘋果即至少有兩名學生在做同一科的作業(yè)

5、【鞏固】 年級一班學雷鋒小組有人教數(shù)學的張老師說：“你們這個小組至少有個人在同一月過生日”你知道張老師為什么這樣說嗎？【解析】 先想一想，在這個問題中，把什么當作抽屜，一共有多少個抽屜？從題目可以看出，這道題顯然與月份有關我們知道，一年有個月，把這個月看成個抽屜，這道題就相當于把個蘋果放入個抽屜中根據(jù)抽屜原理，至少有一個抽屜放了兩個蘋果因此至少有兩個同學在同一個月過生日【總結】題目中并沒有說明什么是“抽屜”，什么是“物品”，解題的關鍵是制造“抽屜”，確定假設的“物品”，根據(jù)“抽屜少，物品多”轉化為抽屜原理來解【鞏固】 數(shù)學興趣小組有13個學生，請你說明：在這13個同學中，至少有兩個同學屬相一樣

6、【解析】 屬相共個，把個屬相作為個“抽屜”，個同學按照自己的屬相選擇相應的“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，一定有一個“抽屜”中有兩個或兩個以上同學，也就是說至少有兩個同學屬相一樣【鞏固】 光明小學有名年出生的學生，請問是否有生日相同的學生？【解析】 一年最多有天，把天看作個“抽屜”，將名學生看作個“蘋果”這樣，把 個蘋果放進個抽屜里，至少有一個抽屜里不止放一個蘋果這就說明，至少有名同學的生日相同【鞏固】 用五種顏色給正方體各面涂色(每面只涂一種色)，請你說明：至少會有兩個面涂色相同【解析】 五種顏色最多只能涂個不同顏色的面，因為正方體有個面，還有一個面要選擇這五種顏色中的任意一種來涂，不管這個面涂成哪

7、種顏色，都會和前面有一個面顏色相同，這樣就有兩個面會被涂上相同的顏色 也可以把五種顏色作為個“抽屜”，六個面作為六個物品，當把六個面隨意放入五個抽屜時，根據(jù)抽屜原理，一定有一個抽屜中有兩個或兩個以上的面，也就是至少會有兩個面涂色相同【例 2】 向陽小學有730個學生，問：至少有幾個學生的生日是同一天？【解析】 一年最多有366天，可看做366個抽屜，730個學生看做730個蘋果因為，所以，至少有112（個）學生的生日是同一天【鞏固】 試說明400人中至少有兩個人的生日相同.【解析】 將一年中的366天或天視為366個或個抽屜，400個人看作400個蘋果，從最極端的情況考慮，即每個抽屜都放一個蘋

8、果，還有個或個蘋果必然要放到有一個蘋果的抽屜里，所以至少有一個抽屜有至少兩個蘋果，即至少有兩人的生日相同.【例 3】 三個小朋友在一起玩，其中必有兩個小朋友都是男孩或者都是女孩【解析】 方法一：情況一：這三個小朋友，可能全部是男，那么必有兩個小朋友都是男孩的說法是正確的；情況二：這三個小朋友，可能全部是女，那么必有兩個小朋友都是女孩的說法是正確的；情況三：這三個小朋友，可能其中男女那么必有兩個小朋友都是女孩說法是正確的；情況四：這三個小朋友，可能其中男女，那么必有兩個小朋友都是男孩的說法是正確的所以，三個小朋友在一起玩，其中必有兩個小朋友都是男孩或者都是女孩的說法是正確的；方法二：三個小朋友只

9、有兩種性別，所以至少有兩個人的性別是相同的，所以必有兩個小朋友都是男孩或者都是女孩【例 4】 “六一”兒童節(jié)，很多小朋友到公園游玩，在公園里他們各自遇到了許多熟人試說明：在游園的小朋友中，至少有兩個小朋友遇到的熟人數(shù)目相等【解析】 假設共有個小朋友到公園游玩，我們把他們看作個“蘋果”，再把每個小朋友遇到的熟人數(shù)目看作“抽屜”，那么，個小朋友每人遇到的熟人數(shù)目共有以下種可能：0，1，2，其中0的意思是指這位小朋友沒有遇到熟人；而每位小朋友最多遇見個熟人，所以共有個“抽屜”下面分兩種情況來討論：如果在這個小朋友中，有一些小朋友沒有遇到任何熟人，這時其他小朋友最多只能遇上個熟人，這樣熟人數(shù)目只有種可

10、能：0，1，2，這樣，“蘋果”數(shù)(個小朋友)超過“抽屜”數(shù)(種熟人數(shù)目)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個小朋友，他們遇到的熟人數(shù)目相等如果在這個小朋友中，每位小朋友都至少遇到一個熟人，這樣熟人數(shù)目只有種可能：1，2，3，這時，“蘋果”數(shù)(個小朋友)仍然超過“抽屜”數(shù)(種熟人數(shù)目)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個小朋友，他們遇到的熟人數(shù)目相等總之，不管這個小朋友各遇到多少熟人(包括沒遇到熟人)，必有兩個小朋友遇到的熟人數(shù)目相等【鞏固】 五年級數(shù)學小組共有20名同學，他們在數(shù)學小組中都有一些朋友，請你說明：至少有兩名同學，他們的朋友人數(shù)一樣多【解析】 數(shù)學小組共有20名同學，因此每個同學最多有19個朋友；又由

11、于他們都有朋友，所以每個同學至少有1個朋友因此，這20名同學中，每個同學的朋友數(shù)只有19種可能：1，2，3，19把這20名同學看作20個“蘋果”，又把同學的朋友數(shù)目看作19個“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有2名同學，他們的朋友人數(shù)一樣多【例 5】 在任意的四個自然數(shù)中，是否其中必有兩個數(shù)，它們的差能被整除？【解析】 因為任何整數(shù)除以，其余數(shù)只可能是，三種情形我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個“抽屜”一個整數(shù)除以的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個“抽屜”里將四個自然數(shù)放入三個抽屜，至少有一個抽屜里放了不止一個數(shù)，也就是說至少有兩個數(shù)除以的余數(shù)相同（需要對學生利用余數(shù)性質進行解釋：為什么余數(shù)相同，

12、則差就能被整除）這兩個數(shù)的差必能被整除【鞏固】 四個連續(xù)的自然數(shù)分別被除后，必有兩個余數(shù)相同，請說明理由【解析】 想一想，不同的自然數(shù)被除的余數(shù)有幾類？在這道題中，把什么當作抽屜呢？把這四個連續(xù)的自然數(shù)分別除以，其余數(shù)不外乎是，把這個不同的余數(shù)當作個“抽屜”，把這個連續(xù)的自然數(shù)按照被除的余數(shù)，分別放入對應的個“抽屜”中，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個自然數(shù)在同一個抽屜里，也就是說，至少有兩個自然數(shù)除以的余數(shù)相同【例 6】 證明：任取8個自然數(shù)，必有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)【解析】 在與整除有關的問題中有這樣的性質，如果兩個整數(shù)a、b，它們除以自然數(shù)m的余數(shù)相同，那么它們的差是m的倍數(shù).根據(jù)這個性質，本題

13、只需證明這8個自然數(shù)中有2個自然數(shù)，它們除以7的余數(shù)相同.我們可以把所有自然數(shù)按被7除所得的7種不同的余數(shù)0、1、2、3、4、5、6分成七類.也就是7個抽屜.任取8個自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個數(shù)在同一個抽屜中，也就是它們除以7的余數(shù)相同，因此這兩個數(shù)的差一定是7的倍數(shù)【鞏固】 證明：任取6個自然數(shù)，必有兩個數(shù)的差是5的倍數(shù)?！窘馕觥?把自然數(shù)按照除以5的余數(shù)分成5個剩余類，即5個抽屜.任取6個自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個數(shù)屬于同一剩余類，即這兩個數(shù)除以5的余數(shù)相同，因此它們的差是5的倍數(shù)。【鞏固】 （第八屆小數(shù)報數(shù)學競賽決賽）將全體自然數(shù)按照它們個位數(shù)字可分為10類：個位數(shù)字是1的為第

14、1類，個位數(shù)字是2的為第2類，個位數(shù)字是9的為第9類，個位數(shù)字是0的為第10類（1）任意取出6個互不同類的自然數(shù)，其中一定有2個數(shù)的和是10的倍數(shù)嗎？（2）任意取出7個互不同類的自然數(shù)，其中一定有2個數(shù)的和是10的倍數(shù)嗎？如果一定，請煎藥說明理由；如果不一定，請舉出一個反例【解析】 （1）不一定有例如1、2、3、4、5、10這6個數(shù)中，任意兩個數(shù)的和都不是10的倍數(shù)（2）一定有將第1類與第9類合并，第2類與第8類合并，第3類與第7類合并，第4類與第6類合并，制造出4個抽屜；把第5類、第10類分別看作1個抽屜，共6個抽屜任意7個互不同類的自然數(shù)，放到這6個抽屜中，至少有1個抽屜里放2個數(shù)因為7個

15、數(shù)互不同類，所以后兩個抽屜中每個都不可能放兩個數(shù)當兩個互不同類的數(shù)放到前4個抽屜的任何一個里面時，它們的和一定是10的倍數(shù)【鞏固】 證明：任給12個不同的兩位數(shù)，其中一定存在著這樣的兩個數(shù)，它們的差是個位與十位數(shù)字相同的兩位數(shù) 【解析】 兩位數(shù)除以11的余數(shù)有11種：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，按余數(shù)情況把所有兩位數(shù)分成11種12個不同的兩位數(shù)放入11個抽屜，必定有至少2個數(shù)在同一個抽屜里，這2個數(shù)除以11的余數(shù)相同，兩者的差一定能整除11兩個不同的兩位數(shù)，差能被11整除，這個差也一定是兩位數(shù)（如11，22），并且個位與十位相同 所以，任給12個不同的兩位數(shù)，其中一定存在著這

16、樣的兩個數(shù)，它們的差是個位與十位數(shù)字相同的兩位數(shù)【例 7】 任給11個數(shù)，其中必有6個數(shù)，它們的和是6的倍數(shù)【解析】 設這11個數(shù)為，由5個數(shù)的結論可知，在，中必有3個數(shù)，其和為3的倍數(shù)，不妨設；在，中必有3個數(shù)，其和為3的倍數(shù)，不妨設；在，中必有3個數(shù)，其和為3的倍數(shù)，不妨設又在，中必有兩個數(shù)的奇偶性相同，不妨設，的奇偶性相同，那么是6的倍數(shù)，即，的和是6的倍數(shù)【鞏固】 在任意的五個自然數(shù)中，是否其中必有三個數(shù)的和是的倍數(shù)？【解析】 至多有兩個數(shù)在同一個抽屜里，那么每個抽屜里都有數(shù)，在每個抽屜里各取一個數(shù)，這三個數(shù)被除的余數(shù)分別為，因此這三個數(shù)之和能被整除綜上所述，在任意的五個自然數(shù)中，其中

17、必有三個數(shù)的和是的倍數(shù)【例 8】 任意給定2008個自然數(shù)，證明：其中必有若干個自然數(shù)，和是2008的倍數(shù)(單獨一個數(shù)也當做和)【解析】 把這2008個數(shù)先排成一行：，第1個數(shù)為；前2個數(shù)的和為；前3個數(shù)的和為；前2008個數(shù)的和為如果這2008個和中有一個是2008的倍數(shù)，那么問題已經(jīng)解決；如果這2008個和中沒有2008的倍數(shù)，那么它們除以2008的余數(shù)只能為1，2，2007之一，根據(jù)抽屜原理，必有兩個和除以2008的余數(shù)相同，那么它們的差(仍然是，中若干個數(shù)的和)是2008的倍數(shù)所以結論成立【鞏固】 20道復習題，小明在兩周內做完，每天至少做一道題證明：小明一定在連續(xù)的若干天內恰好做了7

18、道題目【解析】 設小明第1天做了道題，前2天共做了道題，前3天共做了道題，前14天共做了道題顯然，而都小于20考慮，及，這28個數(shù)，它們都不超過27根據(jù)抽屜原理，這28個數(shù)中必有兩個數(shù)相等由于，互不相等，也互不相等，因而這兩個相等的數(shù)只能一個在前一組，另一個在后一組中，即有：，所以這表明從第天到第天，小明恰好做了7道題【例 9】 求證：可以找到一個各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)【解析】 ，下面證明可以找到1個各位數(shù)字都是1的自然數(shù)，它是499的倍數(shù) 取500個數(shù)：1，11，111，1111（500個1）用499去除這500個數(shù)，得到500個余數(shù)，由于余數(shù)只能取0，1，2，498這4

19、99個值，所以根據(jù)抽屜原則，必有2個余數(shù)是相同的，這2個數(shù)的差就是499的倍數(shù)，差的前若干位是1，后若干位是0：111000又499和10是互質的，所以它的前若干位由1組成的自然數(shù)是499的倍數(shù)，將它乘以4，就得到一個各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，這是1996的倍數(shù)【鞏固】 任意給定一個正整數(shù)，一定可以將它乘以適當?shù)恼麛?shù)，使得乘積是完全由0和7組成的數(shù).【解析】 考慮如下個數(shù)：7，77，777，這個數(shù)除以的余數(shù)只能為0，1，2，中之一，共種情況，根據(jù)抽屜原理，其中必有兩個數(shù)除以的余數(shù)相同，不妨設為和()，那么是的倍數(shù)，所以乘以適當?shù)恼麛?shù)，可以得到形式為的數(shù)，即由0和7組成的數(shù)【例 10】 求證：對于

20、任意的8個自然數(shù)，一定能從中找到6個數(shù)a，b，c，d，e，f，使得是105的倍數(shù)【解析】 我們可以寫出下列數(shù)字謎使其結果為105的倍數(shù)，那么我們的思路是使第一個括號里是7的倍數(shù)，第二個括號里是5的倍數(shù)，第三個括號里是3的倍數(shù)，那么對于如果六個數(shù)字里有7的倍數(shù)，那么第一個括號里直接做乘法即可，如果沒有7的倍數(shù)，那么我們做如下抽屜：除以7的余數(shù)是1或者是6除以7的余數(shù)是2或者是5除以7的余數(shù)是3或者是4那么六個數(shù)字肯定有兩個數(shù)字在同一個抽屜里，那么這兩個數(shù)如果余數(shù)相同，做減法就可以得到7的倍數(shù)，如果余數(shù)不同，做加法就可以得到7的倍數(shù)這樣剩下的4個數(shù)中，同理可得后面的括號里也可以組合出5和3的倍數(shù)于

21、是本題可以證明【鞏固】 （年中國臺灣小學數(shù)學競賽決賽（一）在張卡片上不重復地編上，至少要隨意抽出幾張卡片才能保證所抽出的卡片上的數(shù)之乘積可被整除？【解析】 ，因為的倍數(shù)有個，所以不是的倍數(shù)的數(shù)一共有（個），抽取這個數(shù)無法保證乘積是的倍數(shù)，但是如果抽取個數(shù)，則必定存在一個數(shù)是的倍數(shù)，又因為奇數(shù)只有個，所以抽取的偶數(shù)至少有個，可以保證乘積是的倍數(shù)，從而可以保證乘積是的倍數(shù)。于是最少要抽取個數(shù)（即：張卡片）才可以保證結果。【例 11】 把1、2、3、10這十個數(shù)按任意順序排成一圈，求證在這一圈數(shù)中一定有相鄰的三個數(shù)之和不小于17【解析】 (法1)把這一圈從某一個數(shù)開始按順時針方向分別記為、相鄰的三個

22、數(shù)為一組，有、共10組這十組三個數(shù)之和的總和為：，根據(jù)抽屜原理，這十組數(shù)中至少有一組數(shù)的和不小于17(法2)在10個數(shù)中一定有一個數(shù)是1，不妨設，除去之外，把、這9個數(shù)按順序分為三組、因為這三組數(shù)之和的總和為：，根據(jù)抽屜原理，這三組數(shù)中至少有一組數(shù)之和不小于17【鞏固】 圓周上有個點，在其上任意地標上（每一點只標一個數(shù)，不同的點標上不同的數(shù)）證明必然存在一點，與它緊相鄰的兩個點和這點上所標的三個數(shù)之和不小于【解析】 把這一圈從某一個數(shù)開始按順時針方向分別記為、相鄰的三個數(shù)為一組，有、共組這組三個數(shù)之和的總和為：，根據(jù)抽屜原理，這兩千組數(shù)中至少有一組數(shù)的和不小于2999【例 12】 證明：在任意

23、的6個人中必有3個人，他們或者相互認識，或者相互不認識【解析】 把這6個人看作6個點，每兩點之間連一條線段，兩人相互認識的話將線段涂紅色，兩人不認識的話將線段涂上藍色，那么只需證明其中有一個同色三角形即可從這6個點中隨意選取一點，從點引出的5條線段，根據(jù)抽屜原理，必有3條的顏色相同，不妨設有3條線段為紅色，它們另外一個端點分別為、，那么這三點中只要有兩點比如說、之間的線段是紅色，那么、3點組成紅色三角形；如果、三點之間的線段都不是紅色，那么都是藍色，這樣、3點組成藍色三角形，也符合條件所以結論成立【鞏固】 平面上給定6個點，沒有3個點在一條直線上證明：用這些點做頂點所組成的一切三角形中，一定有

24、一個三角形，它的最大邊同時是另外一個三角形的最小邊【解析】 我們先把題目解釋一下一般情況下三角形的三條邊的長度是互不相等的，因此必有最大邊和最小邊在等腰三角形(或等邊三角形中)，會出現(xiàn)兩條邊，甚至三條邊都是最大邊(或最小邊)我們用染色的辦法來解決這個問題分兩步染色：第一步：先將每一個三角形中的最大邊涂上同一種顏色，比如紅色；第二步，將其它的未涂色的線段都涂上另外一種顏色，比如藍色這樣，我們就將所有三角形的邊都用紅、藍兩色涂好根據(jù)上題題的結論可知，這些三角形中至少有一個同色三角形由于這個同色三角形有自己的最大邊，而最大邊涂成紅色，所以這個同色三角形必然是紅色三角形由于這個同色三角形有自己的最小邊

25、，而這條最小邊也是紅色的，說明這條最小邊必定是某個三角形的最大邊結論得證【鞏固】 假設在一個平面上有任意六個點，無三點共線，每兩點用紅色或藍色的線段連起來，都連好后，問你能不能找到一個由這些線構成的三角形，使三角形的三邊同色？【解析】 從這6個點中隨意選取一點，從點引出的5條線段，根據(jù)抽屜原理，必有3條的顏色相同，不妨設有3條線段為紅色，它們另外一個端點分別為、，那么這三點中只要有兩點比如說、之間的線段是紅色，那么、3點組成紅色三角形；如果、三點之間的線段都不是紅色，那么都是藍色，這樣、3點組成藍色三角形，也符合條件所以結論成立(可以拓展玩轉數(shù)學)【鞏固】 平面上有17個點，兩兩連線，每條線段

26、染紅、黃、藍三種顏色中的一種，這些線段能構成若干個三角形證明：一定有一個三角形三邊的顏色相同【解析】 從這17個點鐘任取一個點，把點與其它16個點相連可以得到16條線段，根據(jù)抽屜原理，其中同色的線段至少有6條，不妨設為紅色考慮這6條線段的除點外的6個端點：如果6個點兩兩之間有1條紅色線段，那么就有1個紅色三角形符合條件；如果6個點之間沒有紅色線段，也就是全為黃色和藍色，由上面的2題可知，這6個點中必有3個點，它們之間的線段的顏色相同，那么這樣的三角形就符合條件綜上所述，一定存在一個三角形滿足題目要求【例 13】 上體育課時，21名男、女學生排成3行7列的隊形做操老師是否總能從隊形中劃出一個長方

27、形，使得站在這個長方形4個角上的學生或者都是男生，或者都是女生?如果能，請說明理由；如果不能，請舉出實例【解析】 因為只有男生或女生兩種情況，所以第1行的7個位置中至少有4個位置同性別為了確定起見，不妨設前4個位置同是男生，如果第二行的前4個位置有2名男生，那么4個角同是男生的情況已經(jīng)存在，所以我們假定第二行的前4個位置中至少有3名女生，不妨假定前3個是女生又第三行的前3個位置中至少有2個位置是同性別學生，當是2名男生時與第一行構成一個四角同性別的矩形，當有2名女生時與第二行構成四角同性別的矩形所以，不論如何，總能從隊形中劃出一個長方形，使得站在這個長方形4個角上的學生同性別問題得證【例 14

28、】 8個學生解8道題目(1)若每道題至少被5人解出，請說明可以找到兩個學生，每道題至少被過兩個學生中的一個解出(2)如果每道題只有4個學生解出，那么(1)的結論一般不成立試構造一個例子說明這點.【解析】 （1）先設每道題被一人解出稱為一次，那么8道題目至少共解出58=40次，分到8個學生身上，至少有一個學生解出了5次或5次以上題目，即這個學生至少解出5道題，稱這個學生為A，我們討論以下4種可能：第一種可能：若A只解出5道題，則另3道題應由其他7個人解出，而3道題至少共被解出35=15次，分到7個學生身上，至少有一名同學解出了3次或3次以上的題目(15=27+1，由抽屜原則便知)由于只有3道題，

29、那么這3道題被一名學生全部解出，記這名同學為B那么，每道題至少被A、B兩名同學中某人解出第二種可能：若A解出6道題，則另2道題應由另7人解出，而2道題至少共被解出25=10次，分到7個同學身上，至少有一名同學解出2次或2次以上的題目(10=17+3，由抽屜原則便知)與l第一種可能I同理，這兩道題必被一名學生全部解出，記這名同學為C那么，每道題目至少被A、C學生中一人解出第三種可能：若A解出7道題目，則另一題必由另一人解出，記此人為D那么，每道題目至少被A、D兩名學生中一人解出第四種可能：若A解出8道題目，則隨意找一名學生，記為E，那么，每道題目至少被A、E兩名學生中一人解出，所以問題(1)得證

30、 (2)類似問題(1)中的想法，題目共被解出84=32次，可以使每名學生都解出4次，那么每人解出4道題隨便找一名學生，必有4道未被他解出，這4道題共被7名同學解出44=16次，由于16=27+2，可以使每名同學解出題目不超過3道，這樣就無法找到兩名學生，使每道題目至少被其中一人解出具體構造如下表，其中漢字代表題號，數(shù)字代表學生，打代表該位置對應的題目被該位置對應的學生解出【鞏固】 試卷上共有4道選擇題，每題有3個可供選擇的答案一群學生參加考試，結果是對于其中任何3人，都有一個題目的答案互不相同問參加考試的學生最多有多少人?【解析】 設總人數(shù)為A，再由分析可設第一題篩選取出的人數(shù)為，第二題篩選的

31、人數(shù)為，第三題篩選取的人數(shù)為，第四題篩選的人數(shù)為如果不能滿足題目要求，則：至少是3，即3個人只有兩種答案由于是人做第四題后篩選取出的人數(shù)，則由抽屜原則知，(兩種答案)中至少放有個蘋果(即).=3，則A3至少為4，即4人只有兩種答案由于是人做第三題后篩選的人數(shù)，則由抽屜原則知，將個蘋果放久三個抽屜(三種答案)，那么必然有兩個抽屜(兩種答案)中至少放有個蘋果(即)=4，則至少為5，即5人只有兩種答案同理，有=5則至少為7，即做完第一道題必然有7個人只有兩種答案；則有=7則至少為10，即當有10人參加考試時無法滿足題目的要求考慮9名學生參加考試，令每人答題情況如下表所示(漢字表示題號，數(shù)字表示學生)

32、故參加考試的學生最多有9人（2）求抽屜【例 15】 把十只小兔放進至多幾個籠子里，才能保證至少有一個籠里有兩只或兩只以上的小兔？【解析】 要想保證至少有一個籠里有兩只或兩只以上的小兔，把小兔子當作“物品”，把“籠子”當作“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，要把只小兔放進個籠里，才能保證至少有一個籠里有兩只或兩只以上的小兔【例 16】 把125本書分給五班的學生，如果其中至少有一個人分到至少4本書，那么，這個班最多有多少人？【解析】 本題需要求抽屜的數(shù)量，需要反用抽屜原理和最“壞”情況的結合，最壞的情況是只有1個人分到4本書，而其他同學都只分到3本書，則，因此這個班最多有：(人)(處理余數(shù)很關鍵，如果有42

33、人則不能保證至少有一個人分到4本書)【鞏固】 某次選拔考試，共有1123名同學參加，小明說：“至少有10名同學來自同一個學?！比绻恼f法是正確的，那么最多有多少個學校參加了這次入學考試？【解析】 本題需要求抽屜的數(shù)量，反用抽屜原理和最“壞”情況的結合，最壞的情況是只有10個同學來自同一個學校，而其他學校都只有9名同學參加，則，因此最多有：個學校(處理余數(shù)很關鍵，如果有125個學校則不能保證至少有10名同學來自同一個學校)【鞏固】 100個蘋果最多分給多少個學生，能保證至少有一個學生所擁有的蘋果數(shù)不少于12個.【解析】 從不利的方向考慮：當分蘋果的學生多余某一個數(shù)時，有可能使每個學生分得的學生

34、少于12個，求這個數(shù). 100個按每個學生分蘋果不多于11個（即少于12個）蘋果，最少也要分10人（9人11個蘋果，還有一人一個蘋果），否則911100，所以只要分蘋果的學生不多余9人就能使保證至少有一個學生所擁有的蘋果數(shù)不少于12個（即多于11個）.答案為9.【例 17】 某班有16名學生，每個月教師把學生分成兩個小組問最少要經(jīng)過幾個月，才能使該班的任意兩個學生總有某個月份是分在不同的小組里?【解析】 經(jīng)過第一個月，將16個學生分成兩組，至少有8個學生分在同一組，下面只考慮這8個學生經(jīng)過第二個月，將這8個學生分成兩組，至少有4個學生是分在同一組，下面只考慮這4個學生經(jīng)過第三個月，將這4個學生

35、分成兩組，至少有2個學生仍分在同一組，這說明只經(jīng)過3個月是無法滿足題目要求的如果經(jīng)過四個月，將每個月都一直保持同組的學生一分為二，放人兩個組，那么第一個月保持同組的人數(shù)為162=8人，第二個月保持同組的人數(shù)為82=4人，第三個月保持同組人數(shù)為42=2人，這說明照此分法，不會有2個人一直保持在同一組內，即滿足題目要求，故最少要經(jīng)過4個月（3）求蘋果【例 18】 班上有名小朋友，老師至少拿幾本書，隨意分給小朋友，才能保證至少有一個小朋友能得到不少于兩本書？【解析】 把名小朋友當作個“抽屜”，書作為物品把書放在個抽屜中，要想保證至少有一個抽屜中有兩本書，根據(jù)抽屜原理，書的數(shù)目必須大于，而大于的最小整

36、數(shù)是，所以至少要拿本書【鞏固】 班上有名小朋友，老師至少拿幾本書，隨意分給小朋友，才能保證至少有一個小朋友能得到不少于兩本書？【解析】 老師至少拿本書，隨意分給小朋友，才能保證至少有一個小朋友能得到不少于兩本書【鞏固】 有只鴿籠，為保證至少有只鴿籠中住有只或只以上的鴿子請問：至少需要有幾只鴿子？【解析】 有只鴿籠，每個籠子住只鴿子，一共就是只要保證至少有只鴿籠中住有只或只以上的鴿子那么至少需要只鴿子，這多出的只鴿子會住在這個任意一個籠子里這樣就有個籠子里住著只鴿子所以至少需要只鴿子【鞏固】 三年級二班有名同學，班上的“圖書角”至少要準備多少本課外書，才能保證有的同學可以同時借兩本書？【解析】

37、把名同學看作個抽屜，根據(jù)抽屜原理，要使至少有一個抽屜里有兩個蘋果，那么就要使蘋果的個數(shù)大于抽屜的數(shù)量因此，“圖書角”至少要準備本課外書【例 19】 海天小學五年級學生身高的厘米數(shù)都是整數(shù)，并且在厘米到厘米之間（包括厘米到厘米），那么，至少從多少個學生中保證能找到個人的身高相同？【解析】 陷阱：以前的題基本全是個人的，而這里出現(xiàn)個人，那么，就“從倍數(shù)關系選”。認真思考，此題中應把什么看作抽屜？有幾個抽屜？在厘米至厘米之間（包括厘米到厘米）共有個整厘米數(shù)，把這個整厘米數(shù)看作個抽屜，每個抽屜中放個整厘米數(shù)，就要個整厘米數(shù)，如果再取出一個整厘米數(shù)，放入相應的抽屜中，那么這個抽屜中便有個整厘米數(shù)，也就是

38、至少找出個學生，才能找到個人的身高相同【例 20】 一次數(shù)學競賽出了10道選擇題，評分標準為：基礎分10分，每道題答對得3分，答錯扣 1分，不答不得分。問：要保證至少有4人得分相同，至少需要多少人參加競賽？【解析】 由題目條件這次數(shù)學競賽的得分可以從10-10=0分到10+310=40分，但注意到39、38、35這3個分數(shù)是不可能得到的，要保證至少有4人得分相同，至少需要3（41-3）+1=115人.【鞏固】 （第十屆小數(shù)報數(shù)學競賽決賽）一次測驗共有10道問答題，每題的評分標準是：回答完全正確，得5分；回答不完全正確，得3分，回答完全錯誤或不回答，得0分至少_人參加這次測驗，才能保證至少有3人

39、得得分相同【解析】 根據(jù)評分標準可知，最高得分為50分，最低得分為0分，在050分之間，1分，2分，4分，7分，47分，49分不可能出現(xiàn)共有（種）不同得分根據(jù)抽屜原理，至少有（人）參賽，才能保證至少有3人得分相同（二）、構造抽屜利用公式進行解題【例 21】 在一只口袋中有紅色、黃色、藍色球若干個，小聰明和其他六個小朋友一起做游戲，每人可以從口袋中隨意取出個球，那么不管怎樣挑選，總有兩個小朋友取出的兩個球的顏色完全一樣你能說明這是為什么嗎？【解析】 從三種顏色的球中挑選兩個球，可能情況只有下面種：紅、紅；黃、黃；藍、藍；紅、黃；紅、藍；黃、藍，我們把種搭配方式當作個“抽屜”，把個小朋友當作個“蘋

40、果”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個“蘋果”要放進一個“抽屜”中，也就是說，至少有兩個人挑選的顏色完全一樣【鞏固】 在一只口袋中有紅色與黃色球各4只，現(xiàn)有4個小朋友，每人從口袋中任意取出2個小球，請你證明：必有兩個小朋友，他們取出的兩個球的顏色完全一樣【解析】 小朋友從口袋中取出的兩個球的顏色的組成只有以下3種可能：紅紅、黃黃、紅黃，把這3種情況看作3個“抽屜”，把4位小朋友看作4只“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，必有兩個小朋友取出的兩個球的顏色完全一樣【鞏固】 籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有若干個小朋友，如果每個小朋友都從中任意拿兩個水果，那么至少有多少個小朋友才能保證有兩個小朋友拿的水果是相同的？【解

41、析】 首先應弄清不同的水果搭配有多少種兩個水果是相同的有4種，兩個水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子所以不同的水果搭配共有（種）將這10種搭配作為10個“抽屜”由抽屜原理知至少需個小朋友才能保證有兩個小朋友拿的水果是相同的【鞏固】 學校里買來數(shù)學、英語兩類課外讀物若干本，規(guī)定每位同學可以借閱其中兩本，現(xiàn)有位小朋友前來借閱，每人都借了本請問，你能保證，他們之中至少有兩人借閱的圖書屬于同一種嗎？【解析】 每個小朋友都借本有三種可能：數(shù)數(shù)，英英，數(shù)英第個小朋友無論借什么書，都可能是這三種情況中的一種，這樣就有兩個同學借的是同一類書，所以可以保證，至少有位小朋友

42、，他們所借閱的兩本書屬于同類總結：此題如用簡單乘法原理的話，有難度，因為涉及到簡單加法原理，所以推薦使用列表法。與之前不同的是，本題借閱的書只說了兩本并沒說其他要求，所以可以拿本同樣的書【鞏固】 11名學生到老師家借書，老師的書房中有文學、科技、天文、歷史四類書，每名學生最多可借兩本不同類的書，最少借一本試說明：必有兩個學生所借的書的類型相同【解析】 設不同的類型書為、四種，若學生只借一本書，則不同的類型有、四種；若學生借兩本不同類型的書，則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種共有10種類型，把這10種類型看作10個“抽屜”，把11個學生看作11個“蘋果”如果誰借哪種類型的書，就

43、進入哪個抽屜，由抽屜原理，至少有兩個學生，他們所借的書的類型相同【鞏固】 幼兒園買來許多牛、馬、羊、狗塑料玩具，每個小朋友任意選擇兩件，但不能是同樣的，問：至少有多少個小朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同？【解析】 從四種玩具中挑選不同的兩件，所有的搭配有以下組：牛、馬；牛、羊；牛、狗；馬、羊；馬、狗；羊、狗把每一組搭配看作一個“抽屜”，共個抽屜根據(jù)抽屜原理，至少要有個小朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同【鞏固】 體育用品的倉庫里有許多足球、排球和籃球，有66個同學來倉庫拿球，要求每個人至少拿一個，最多拿兩個球，問至少有多少名同學所拿的球的種類是完全一樣的？【解析】 以拿球配組的方式為抽屜

44、，每人拿一個或兩個球，所以抽屜有：足、排、籃、足足、排排、籃籃、足排、足籃、排籃共9種情況，即有9個抽屜，則：，即至少有8名同學所拿球的種類是一樣的【鞏固】 幼兒園買來很多玩具小汽車、小火車、小飛機，每個小朋友任意選擇兩件不同的，那么至少要有幾個小朋友才能保證有兩人選的玩具是相同的？【解析】 根據(jù)題意列下表：有個小朋友就有三種不同的選擇方法，當?shù)谒膫€小朋友準備拿時，不管他怎么選擇都可以跟前面三個同學其中的一個選法相同所以至少要有個小朋友才能保證有兩人選的玩具是相同的總結： 本題是抽屜原理應用的典型例題，作為重點講解學生們可能會這么認為：鋪墊：件種件，件個人，要保證有相同的所以至少要有人；對于例

45、題中的題目同樣件種件，件個人，要保證有相同的所以至少要有人因為鋪墊是正好配上數(shù)了，而例題中的問題在于種東西任選兩種的選擇有幾種可以簡單跟學生講一下簡單乘法原理的思想，但建議還是運用枚舉法列表進行分析，按順序列表可以做到不遺漏，不重復【鞏固】 籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有若干個小朋友，如果每個小朋友都從中任意拿兩個水果，那么至少有多少個小朋友才能保證有兩個小朋友拿的水果是相同的？【解析】 首先應弄清不同的水果搭配有多少種兩個水果是相同的有4種，兩個水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子所以不同的水果搭配共有（種）將這10種搭配作為10個“抽屜”由抽屜原理知

46、至少需個小朋友才能保證有兩個小朋友拿的水果是相同的【例 22】 紅、藍兩種顏色將一個方格圖中的小方格隨意涂色（見下圖），每個小方格涂一種顏色是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？【解析】 用紅、藍兩種顏色給每列中兩個小方格隨意涂色，只有下面四種情形：將上面的四種情形看成四個“抽屜”，把五列方格看成五個“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，將五個蘋果放入四個抽屜，至少有一個抽屜中有不少于兩個蘋果，也就是至少有一種情形占據(jù)兩列方格，即這兩列的小方格中涂的顏色完全相同【例 23】 將每一個小方格涂上紅色、黃色或藍色（每一列的三小格涂的顏色不相同），不論如何涂色，其中至少有兩列，它們的涂色方式相同，你同意嗎

47、？【解析】 這道題是例題的拓展提高，通過列舉我們發(fā)現(xiàn)給這些方格涂色，要使每列的顏色不同，最多有種不同的涂法，涂到第六列以后，就會跟前面的重復所以不論如何涂色，其中至少有兩列它們的涂色方式相同【例 24】 從、這個偶數(shù)中至少任意取出多少個數(shù)，才能保證有個數(shù)的和是？ 【解析】 構造抽屜：，共種搭配，即個抽屜，所以任意取出個數(shù)，無論怎樣取，有兩個數(shù)必同在一個抽屜里，這兩數(shù)和為，所以應取出個數(shù)或者從小數(shù)入手考慮，、，當再取時，與其中的一個去陪，總能找到一個數(shù)使這兩個數(shù)之和為【鞏固】 證明：在從1開始的前10個奇數(shù)中任取6個，一定有2個數(shù)的和是20.【解析】 將10個奇數(shù)分為五組(1、19)，(3、17

48、)，(5、15)，(7、13)，(9、11)，任取6個必有兩個奇數(shù)在同一組中，這兩個數(shù)的和為20.【鞏固】 從1，4，7，10，37，40這14個數(shù)中任取8個數(shù)，試證：其中至少有2個數(shù)的和是41.【解析】 構造和為的抽屜：，現(xiàn)在取個數(shù)，一定有兩個數(shù)取在同一個抽屜，所以至少有2個數(shù)的和是41.【鞏固】 從，這個數(shù)中任意挑出個數(shù)來，證明在這個數(shù)中，一定有兩個數(shù)的差為?！窘馕觥?將個數(shù)分成組：，將其看作個抽屜，在選出的個數(shù)中，必有兩個屬于一組，這一組的差為這道題也同樣可以從小數(shù)入手考慮【鞏固】 請證明：在1，4，7，10，100中任選20個數(shù)，其中至少有不同的兩組數(shù)其和都等于104.【解析】 1，4

49、，7，10，100共有34個數(shù)，將其分為(4，100)，(7，97)，(49，55)，(1)，(52)，共有18個抽屜從這18個抽屜里面任意抽取20個數(shù)，則至少有18個數(shù)取自前16個抽屜，所以至少有4個數(shù)取自某兩個抽屜中，而屬于同一“抽屜”的兩個數(shù)，其和是104【鞏固】 從1、2、3、4、19、20這20個自然數(shù)中，至少任選幾個數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個數(shù)，它們的差是12【解析】 在這20個自然數(shù)中，差是12的有以下8對：20，8，19，7，18，6，17，5，16，4，15，3，14，2，13，1另外還有4個不能配對的數(shù)9，10，11，12，共制成12個抽屜（每個括號看成一個抽屜）.只要

50、有兩個數(shù)取自同一個抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個數(shù)，即可辦到（取12個數(shù)：從12個抽屜中各取一個數(shù)（例如取1，2，3，12），那么這12個數(shù)中任意兩個數(shù)的差必不等于12）【鞏固】 （小學數(shù)學奧林匹克決賽）從1，2，3，4，1988，1989這些自然數(shù)中，最多可以取_個數(shù)，其中每兩個數(shù)的差不等于4【解析】 將11989排成四個數(shù)列：1，5，9，1985，19892，6，10，19863，7，11，19874，8，12，1988每個數(shù)列相鄰兩項的差是4，因此，要使取出的數(shù)中，每兩個的差不等于4，每個數(shù)列中不能取相鄰的項因此，第一個數(shù)列只能取出一半，因為有項，所以最多取出2

51、49項，例如1，9，17，1985同樣，后三個數(shù)列每個最多可取249項因而最多取出個數(shù)，其中每兩個的差不等于4【鞏固】 從2、4、6、30這15個偶數(shù)中，任取9個數(shù)，證明其中一定有兩個數(shù)之和是34【解析】 我們用題目中的15個偶數(shù)制造8個抽屜，,，,凡是抽屜中的有兩個數(shù)，都具有一個共同的特點：這兩個數(shù)的和是34 現(xiàn)從題目中的15個偶數(shù)中任取9個數(shù)，由抽屜原理（因為抽屜只有8個），必有兩個數(shù)在同一個抽屜中.由制造的抽屜的特點，這兩個數(shù)的和是34【例 25】 （北京市第十一屆“迎春杯”刊賽）從1，2，3，4，1994這些自然數(shù)中，最多可以取 個數(shù)，能使這些數(shù)中任意兩個數(shù)的差都不等于9【解析】 方法

52、一：把1994個數(shù)一次每18個分成一組，最后14個數(shù)也成一組，共分成111組即1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18；19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；1963，1964，1979，1980；1981，1982，1994每一組中取前9個數(shù)，共取出（個）數(shù)，這些數(shù)中任兩個的差都不等于9因此，最多可以取999個數(shù)方法二：構造公差為的個數(shù)列（除以的余數(shù)），共計個數(shù)，共計個數(shù)，共計個數(shù)，共計個數(shù)，共計個數(shù)，共計個數(shù)，共計個數(shù)，共計個數(shù)，共計個數(shù)每個數(shù)列相鄰兩項的差是9，因此，要使

53、取出的數(shù)中，每兩個的差不等于9，每個數(shù)列中不能取相鄰的項因此，前五個數(shù)列只能取出一半，后四個數(shù)列最多能取出一半多一個數(shù)，所以最多取個數(shù)【鞏固】 (南京市首屆“興趣杯”少年數(shù)學邀請賽)從1至36個數(shù)中，最多可以取出_個數(shù)，使得這些數(shù)種沒有兩數(shù)的差是5的倍數(shù)【解析】 構造公差為的數(shù)列，如圖，有五條鏈，看成個抽屜，每條鏈上取1個數(shù)，最多取5個數(shù)161116212631362712172227323813182328334914192429345101520253035【例 26】 （2008年第八屆“春蕾杯”小學數(shù)學邀請賽決賽）從、和中至多選出 個數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍【解

54、析】 把這12個數(shù)分成6個組： 第1組：1，2，4，8 第2組：3，6，12 第3組：5，10 第4組：7 第5組：9 第6組：11 每組中相鄰兩數(shù)都是2倍關系，不同組中沒有2倍關系 選沒有2倍關系的數(shù)，第1組最多2個（1，4或2，8或，），第2組最多2個（3，12），第3組只有1個，第4，5，6組都可以取，一共個 如果任意取9個數(shù)，因為第3，4，5，6組一共5個數(shù)中，最多能取4個數(shù)，剩下個數(shù)在2個組中，根據(jù)抽屜原理，至少有3個數(shù)是同一組的，必有2個數(shù)是同組相鄰的數(shù)，是2倍關系 【鞏固】 從1到20這20個數(shù)中，任取11個不同的數(shù)，必有兩個數(shù)其中一個是另一個數(shù)的倍數(shù)【解析】 把這20個數(shù)分成以

55、下10組，看成10個抽屜：(1，2，4，8，16)，(3，6，12)，(5，10，20)，(7，14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前5個抽屜中，任意兩個數(shù)都有倍數(shù)關系從這10個抽屜中任選11個數(shù)，必有一個抽屜中要取2個數(shù)，它們只能從前5個抽屜中取出，這兩個數(shù)就滿足題目要求【例 27】 從1，3，5，7，97，99中最多可以選出多少個數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)?【解析】 方法一：因為均是奇數(shù)，所以如果存在倍數(shù)關系，那么也一定是3、5、7等奇數(shù)倍.333：99，于是從35開始，199的奇數(shù)中沒有一個是3599的奇數(shù)倍(不包括1倍)，所以選出35，37，39，99這些奇數(shù)即可共可選出33個數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù) 方法二：利用3的若干次冪與質數(shù)的乘積對這50個奇