橢圓的簡單幾何性質(zhì)(一)

1、 2.2.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)(一)復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：1.橢圓的定義:到兩定點到兩定點F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2 |）的）的動點的軌跡叫做橢圓。動點的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:|)|2(2|2121FFaaPFPF當(dāng)焦點在當(dāng)焦點在X軸上時軸上時當(dāng)焦點在當(dāng)焦點在Y軸上時軸上時)0( 12222babyax)0( 12222babxay222cab一、橢圓的范圍一、橢圓的范圍 oxy由由12222byax即即byax和說明：橢圓位于矩形之中。說明：橢圓位于矩形之中。112222byax和即即bybaxa和和橢圓的對稱性橢圓的對

2、稱性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）二、橢圓的對稱性二、橢圓的對稱性 oyB2B1A1A2F1F2cab從圖形上看，從圖形上看，橢圓關(guān)于橢圓關(guān)于x軸、軸、y軸、原點對稱。軸、原點對稱。從方程上看：從方程上看：（1）把）把x換成換成-x方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于y軸對稱；軸對稱；（2）把）把y換成換成-y方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于x軸對稱；軸對稱；（3）把）把x換成換成-x，同時把，同時把y換成換成-y方程不變，圖象關(guān)于原點成中方程不變，圖象關(guān)于原點成中心對稱。心對稱。三、橢圓的頂點三、橢圓的頂點)0(12222babyax在在中，令中，令 x=0，得，得

3、 y=？，說明橢圓與？，說明橢圓與 y軸的交點？軸的交點？令令 y=0，得，得 x=？說明橢圓與？說明橢圓與 x軸的交點？軸的交點？*頂點：橢圓與它的對稱軸頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的的四個交點，叫做橢圓的頂點。頂點。*長軸、短軸：線段長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸分別叫做橢圓的長軸和短軸。和短軸。a、b分別叫做橢圓的長半分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。軸長和短半軸長。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所

4、學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 四、橢圓的離心率四、橢圓的離心率 oxyace 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。叫做橢圓的離心率。1離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：因為因為 a c 0，所以，所以0e 11）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，從而，從而 b就越小，橢圓就就越小，橢圓就越扁越扁.2）e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，從而，從而 b就越大，橢圓就就越大，橢圓就越圓越圓.3）特例：）特例：

5、e =0，則，則 a = b，則，則 c=0，兩個焦點重合，橢，兩個焦點重合，橢圓方程變?yōu)椋?？）圓方程變?yōu)椋?？?離心率對橢圓形狀的影響：離心率對橢圓形狀的影響：22222 1612:9362,yxxyC1問：對于橢圓C與橢圓：更接近于圓的是。2C1 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程)0(12222babyax所表示的橢圓的存在范圍是什么？所表示的橢圓的存在范圍是什么？2 上述方程表示的橢圓有幾個對稱軸？幾個對稱中心？上述方程表示的橢圓有幾個對稱軸？幾個對稱中心？3 橢圓有幾個頂點？頂點是誰與誰的交點？橢圓有幾個頂點？頂點是誰與誰的交點？4 對稱軸與長軸、短軸是什么關(guān)系？對稱軸與長軸、短軸是什么關(guān)系？

6、5 2a 和和 2b是什么量？是什么量？ a和和 b是什么量？是什么量？6 關(guān)于離心率講了幾點？關(guān)于離心率講了幾點？回回 顧顧 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程范圍范圍對稱性對稱性 頂點坐標(biāo)頂點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)半軸長半軸長離心率離心率a a、b b、c c的關(guān)系的關(guān)系22221(0)xyabab|x| a,|y| b關(guān)于關(guān)于x x軸、軸、y y軸成軸對稱；軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱關(guān)于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為長半軸長為a a, ,短短半軸長為半軸長為b. b. ababcea22221

7、(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前222cab(0e1)(e越接近于越接近于1越扁越扁)例例1.1.已知橢圓方程為已知橢圓方程為9x9x2 2+25y+25y2 2=225,=225, 它的長軸長是它的長軸長是： 。短軸長是短軸長是： 。焦距是焦距是： 。 離心率等于離心率等于： 。焦點坐標(biāo)是焦點坐標(biāo)是： 。頂點坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)是： 。 外切矩形的面積等于外切矩形的面積等于： 。 1068( 3,0)(0, 4)60解題的關(guān)鍵：解題的關(guān)鍵：1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為

8、標(biāo)準(zhǔn)方程準(zhǔn)方程 明確明確a、b192522yx2、確定焦點的位置和長軸的位置、確定焦點的位置和長軸的位置54例例2 求橢圓求橢圓 16 x2 + 25y2 =400的長軸和短軸的長、離的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標(biāo)，并作出簡圖。心率、焦點和頂點坐標(biāo)，并作出簡圖。解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程1452222yx這里，這里，31625,4,5cba因此，橢圓的長軸長和短軸長分別是因此，橢圓的長軸長和短軸長分別是82,102ba離心率離心率6.053ace焦點坐標(biāo)分別是焦點坐標(biāo)分別是)0,3(),0,3(21FF四個頂點坐標(biāo)是四個頂點坐標(biāo)是)4,0(),4,0(),0

9、 , 5(),0 , 5(2121BBAA例例2 求橢圓求橢圓 16 x2 + 25y2 =400的長軸和短軸的長、離的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標(biāo)，并作出簡圖。心率、焦點和頂點坐標(biāo)，并作出簡圖。)4,0(),4,0(),0 , 5(),0 , 5(2121BBAAA1A2B2B1xyO例例3求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過點）經(jīng)過點P（- 3，0）、）、Q（0，2）;（2）長軸長等于）長軸長等于20，離心率等于，離心率等于 5 53 322194xy22110064xy22110064yx或或（1）例例4 如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是

10、旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過對稱軸的截口其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點F1上，片門位于另一上，片門位于另一個焦點個焦點F2上上,由橢圓一個焦點由橢圓一個焦點F1出發(fā)的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反出發(fā)的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點射后集中到另一個焦點F2.所在橢圓的方程。求截口已知BACcmFFcmBFFFBC,5 . 4,8 . 2,21121解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓方程為設(shè)所求橢圓方程為. 12222byax22221212215 . 48 . 2FFBFBFFBFRt中，在所以由橢圓的性質(zhì)知，,221aBFBF1 . 4)5 . 48 . 28 . 2(21)(212221BFBFayF2F1xoBC4 . 325. 21 . 42222cab14 . 31 . 42222yx為所以，所求的橢圓方程A的軌跡。，求點的距離的比是常數(shù)的距離和它到直線與定點點例Mx