橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(一)

1、 2.2.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(一)復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：1.橢圓的定義:到兩定點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2 |）的）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:|)|2(2|2121FFaaPFPF當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)軸上時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時(shí)軸上時(shí))0( 12222babyax)0( 12222babxay222cab一、橢圓的范圍一、橢圓的范圍 oxy由由12222byax即即byax和說(shuō)明：橢圓位于矩形之中。說(shuō)明：橢圓位于矩形之中。112222byax和即即bybaxa和和橢圓的對(duì)稱性橢圓的對(duì)

2、稱性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）二、橢圓的對(duì)稱性二、橢圓的對(duì)稱性 oyB2B1A1A2F1F2cab從圖形上看，從圖形上看，橢圓關(guān)于橢圓關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱。軸、原點(diǎn)對(duì)稱。從方程上看：從方程上看：（1）把）把x換成換成-x方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；軸對(duì)稱；（2）把）把y換成換成-y方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；軸對(duì)稱；（3）把）把x換成換成-x，同時(shí)把，同時(shí)把y換成換成-y方程不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中方程不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。心對(duì)稱。三、橢圓的頂點(diǎn)三、橢圓的頂點(diǎn))0(12222babyax在在中，令中，令 x=0，得，得

3、 y=？，說(shuō)明橢圓與？，說(shuō)明橢圓與 y軸的交點(diǎn)？軸的交點(diǎn)？令令 y=0，得，得 x=？說(shuō)明橢圓與？說(shuō)明橢圓與 x軸的交點(diǎn)？軸的交點(diǎn)？*頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。頂點(diǎn)。*長(zhǎng)軸、短軸：線段長(zhǎng)軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。和短軸。a、b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所

4、學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 四、橢圓的離心率四、橢圓的離心率 oxyace 離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比：離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比：叫做橢圓的離心率。叫做橢圓的離心率。1離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：因?yàn)橐驗(yàn)?a c 0，所以，所以0e 11）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，從而，從而 b就越小，橢圓就就越小，橢圓就越扁越扁.2）e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，從而，從而 b就越大，橢圓就就越大，橢圓就越圓越圓.3）特例：）特例：

5、e =0，則，則 a = b，則，則 c=0，兩個(gè)焦點(diǎn)重合，橢，兩個(gè)焦點(diǎn)重合，橢圓方程變?yōu)椋?？）圓方程變?yōu)椋?？?離心率對(duì)橢圓形狀的影響：離心率對(duì)橢圓形狀的影響：22222 1612:9362,yxxyC1問(wèn)：對(duì)于橢圓C與橢圓：更接近于圓的是。2C1 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程)0(12222babyax所表示的橢圓的存在范圍是什么？所表示的橢圓的存在范圍是什么？2 上述方程表示的橢圓有幾個(gè)對(duì)稱軸？幾個(gè)對(duì)稱中心？上述方程表示的橢圓有幾個(gè)對(duì)稱軸？幾個(gè)對(duì)稱中心？3 橢圓有幾個(gè)頂點(diǎn)？頂點(diǎn)是誰(shuí)與誰(shuí)的交點(diǎn)？橢圓有幾個(gè)頂點(diǎn)？頂點(diǎn)是誰(shuí)與誰(shuí)的交點(diǎn)？4 對(duì)稱軸與長(zhǎng)軸、短軸是什么關(guān)系？對(duì)稱軸與長(zhǎng)軸、短軸是什么關(guān)系？

6、5 2a 和和 2b是什么量？是什么量？ a和和 b是什么量？是什么量？6 關(guān)于離心率講了幾點(diǎn)？關(guān)于離心率講了幾點(diǎn)？回回 顧顧 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程范圍范圍對(duì)稱性對(duì)稱性 頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)半軸長(zhǎng)離心率離心率a a、b b、c c的關(guān)系的關(guān)系22221(0)xyabab|x| a,|y| b關(guān)于關(guān)于x x軸、軸、y y軸成軸對(duì)稱；軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a a, ,短短半軸長(zhǎng)為半軸長(zhǎng)為b. b. ababcea22221

7、(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前222cab(0e1)(e越接近于越接近于1越扁越扁)例例1.1.已知橢圓方程為已知橢圓方程為9x9x2 2+25y+25y2 2=225,=225, 它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是： 。短軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)是： 。焦距是焦距是： 。 離心率等于離心率等于： 。焦點(diǎn)坐標(biāo)是焦點(diǎn)坐標(biāo)是： 。頂點(diǎn)坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)是： 。 外切矩形的面積等于外切矩形的面積等于： 。 1068( 3,0)(0, 4)60解題的關(guān)鍵：解題的關(guān)鍵：1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為

8、標(biāo)準(zhǔn)方程準(zhǔn)方程 明確明確a、b192522yx2、確定焦點(diǎn)的位置和長(zhǎng)軸的位置、確定焦點(diǎn)的位置和長(zhǎng)軸的位置54例例2 求橢圓求橢圓 16 x2 + 25y2 =400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并作出簡(jiǎn)圖。心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并作出簡(jiǎn)圖。解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程1452222yx這里，這里，31625,4,5cba因此，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是因此，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是82,102ba離心率離心率6.053ace焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是)0,3(),0,3(21FF四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是)4,0(),4,0(),0

9、 , 5(),0 , 5(2121BBAA例例2 求橢圓求橢圓 16 x2 + 25y2 =400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并作出簡(jiǎn)圖。心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并作出簡(jiǎn)圖。)4,0(),4,0(),0 , 5(),0 , 5(2121BBAAA1A2B2B1xyO例例3求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（- 3，0）、）、Q（0，2）;（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20，離心率等于，離心率等于 5 53 322194xy22110064xy22110064yx或或（1）例例4 如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是

10、旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過(guò)對(duì)稱軸的截口其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過(guò)對(duì)稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上，片門位于另一上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)個(gè)焦點(diǎn)F2上上,由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1出發(fā)的光線，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反出發(fā)的光線，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)F2.所在橢圓的方程。求截口已知BACcmFFcmBFFFBC,5 . 4,8 . 2,21121解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓方程為設(shè)所求橢圓方程為. 12222byax22221212215 . 48 . 2FFBFBFFBFRt中，在所以由橢圓的性質(zhì)知，,221aBFBF1 . 4)5 . 48 . 28 . 2(21)(212221BFBFayF2F1xoBC4 . 325. 21 . 42222cab14 . 31 . 42222yx為所以，所求的橢圓方程A的軌跡。，求點(diǎn)的距離的比是常數(shù)的距離和它到直線與定點(diǎn)點(diǎn)例Mx