數(shù)字信號(hào)處理第六章 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

1、第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)： 掌握模擬濾波器設(shè)計(jì)的指標(biāo)，模擬濾波器設(shè)計(jì)的一般過(guò)程。 掌握巴特沃思 (Butterworth)模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)。 掌握切比雪夫 (Chebyshev)模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)。 掌握利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程。 掌握脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。 掌握雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波數(shù)字濾波： 對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，讓輸入信號(hào)中的有用頻率成分以較高的保真度通過(guò)，濾除（阻止）某些無(wú)用的頻率成分，實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)的選頻處理。優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)： 處理精度高，穩(wěn)定性好，體積小，實(shí)現(xiàn)方法靈活，不存在阻抗匹配問(wèn)題，

2、可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。 濾波器分類濾波器分類 經(jīng)典濾波器經(jīng)典濾波器（一般濾波器）（一般濾波器）（本書(shū)介紹）（本書(shū)介紹） 線性系統(tǒng)構(gòu)成的濾波器，信號(hào)和干擾的頻帶互不重疊時(shí)采用。 分類（功能）：高通、低通、帶通、帶阻； 分類（結(jié)構(gòu)）：遞歸系統(tǒng)、非遞歸系統(tǒng)； 分類（實(shí)現(xiàn)方法）：無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器IIR（本章介紹（本章介紹） 有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器FIR 現(xiàn)代濾波器現(xiàn)代濾波器 隨機(jī)信號(hào)統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)構(gòu)成的濾波器，信號(hào)和干擾的頻帶相互重疊時(shí)采用（例如：維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等）IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 間接設(shè)計(jì)法間接設(shè)計(jì)法p 根據(jù)

3、設(shè)計(jì)指標(biāo)設(shè)計(jì)相應(yīng)的過(guò)渡模擬濾波器p 將過(guò)渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。 直接設(shè)計(jì)法直接設(shè)計(jì)法 在時(shí)域或頻域直接設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。本章主要講述：（本章主要講述：（間接法間接法） 6.1 模擬濾波器設(shè)計(jì) 6.2 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)6.1 6.1 模擬濾波器設(shè)計(jì)模擬濾波器設(shè)計(jì)模擬濾波器（AF）的一般設(shè)計(jì)過(guò)程：（1） 根據(jù)信號(hào)處理要求確定設(shè)計(jì)指標(biāo)（選頻）（2） 選擇濾波器類型（3） 計(jì)算濾波器階數(shù)（4） 通過(guò)查表或計(jì)算確定濾波器系統(tǒng)函數(shù)（5） 綜合實(shí)現(xiàn)并調(diào)試幅頻特性體現(xiàn)了各頻率成分幅度的衰減,而相頻特性體現(xiàn)的是不同成分在時(shí)間的的延時(shí)。選頻濾波器一般只考慮幅頻特性，對(duì)相頻特性不作要求。對(duì)輸出波形有要求時(shí)

4、，則需考慮線性相位問(wèn)題。()()|() |jHjHje( )aHs返回本節(jié)主要講述：本節(jié)主要講述： 6.1.1 模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo) 6.1.2 巴特沃思模擬低通濾波器設(shè)計(jì) 6.1.3 切比雪夫（Chebyshev）濾波器設(shè)計(jì)返回6.1.1 6.1.1 模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo) 圖6.1.1 典型模擬低通濾波器幅頻特性及其指標(biāo)描述返回回到本節(jié) 通帶邊界頻率， 阻帶邊界頻率， 3db截止頻率 系統(tǒng)通帶的誤差要求 阻帶s, 幅度以最大誤差1/A逼近于零，即要求 ：通帶波紋幅度參數(shù) A： 阻帶波紋幅度參數(shù) 2a11(j)1Hp a( j)1/HAs psc設(shè)計(jì)指標(biāo)設(shè)計(jì)指標(biāo)返回回到本節(jié)用 表

5、示通帶最大衰減通帶最大衰減（或稱為通帶峰值波紋）用 表示阻帶最小衰減阻帶最小衰減（以分貝(dB)表示波紋）p2p2120 lg 10 lg(1) dB1 s12 0 lg2 0 lg d BAA p/ 1 01 01s/ 2 01 0A求解s返回回到本節(jié) 損耗函數(shù)損耗函數(shù)（或稱為衰減函數(shù)）()來(lái)描述濾波器的幅頻響應(yīng)特性。即 當(dāng) 時(shí)的邊界頻率稱為3dB3dB截止頻截止頻率率，通常用 c表示，2aa()20lg(j)10lg(j)HH ( )3 dB 返回回到本節(jié)兩個(gè)附加參數(shù)：兩個(gè)附加參數(shù)： a.過(guò)渡比過(guò)渡比或選擇性參數(shù),通常用k表示 n 反應(yīng)過(guò)渡帶的性能，過(guò)渡帶越窄，k值趨近于1n 低通濾波器

6、b.偏離參數(shù)偏離參數(shù)，用k1表示 n 越小，通帶、阻帶的紋波越小psk121kA1k 1k返回回到本節(jié)p 模擬濾波器的設(shè)計(jì) 模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供選擇。 這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。 p 典型濾波器 巴特沃斯（Butterworth）濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性； 切比雪夫（Chebyshev）濾波器：幅頻特性在通帶或阻帶有波動(dòng)，可提高選擇性；返回回到本節(jié)6.1.2 6.1.2 巴特沃思模擬低通濾波器設(shè)計(jì)巴特沃思模擬低通濾波器設(shè)計(jì)N 階巴特沃思模擬低通濾波器的幅度平方函數(shù)為N為濾波器的階數(shù)， 為3dB截止頻率。2

7、a2c1(j)1(/)NH c返回回到本節(jié)特點(diǎn)：特點(diǎn)： 在 點(diǎn)， 的n(n2N)階導(dǎo)數(shù)等于零，因此濾波器在 點(diǎn)具有最大平坦幅度 濾波器幅頻響應(yīng)隨 的增大而單調(diào)下降，因?yàn)榉绕椒胶瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)小于零 損耗函數(shù)0 0 2()aHj21| )(|jHacN=8N=80 0N=4N=4N=2N=21 122( )20lg()110lg()10lg 1aaNcHjHj 返回回到本節(jié) 濾波器的特性由3dB截止頻率和階數(shù)N確定 濾波器的給定指標(biāo)為通帶邊界頻率阻帶邊界頻率通帶最小幅度阻帶最大波紋2( )10lg 1 ()Nc 2()10lg 1()10lg23cccNdB21| )(|jHacN=8N=80 0N

8、=4N=4N=2N=21 1ps2111/ A返回回到本節(jié)截止頻率與階數(shù)如何確定？截止頻率與階數(shù)如何確定？濾波器幅頻響應(yīng)隨頻率的增大而單調(diào)下降 于是22211()1(/)1ppaNcHj22211()1 (/)aNcssHjA2()1NspA21lg1lglglg()psAkNk1lglgkNk1pcN 滿足通帶指標(biāo)，阻帶指標(biāo)有富裕 滿足阻帶指標(biāo)，通帶指標(biāo)有富裕122(1)scNA 階數(shù)截止頻率返回回到本節(jié)濾波器的給定指標(biāo)為通帶最大衰減阻帶最小衰減先求確定截止頻率與階數(shù)21lg1lglglg()psAkNk2120lg1p/2010sA120lg()20lgsAdBA /10101p1pcN

9、122(1)scNA 返回回到本節(jié)巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： （由 3dB 截止頻率 和階數(shù)N 確定） 式中，分母 稱為N 階巴特沃思多項(xiàng)式。cca( )( )NNHsDsND (s)返回回到本節(jié)三種形式:10( )( )NNkNNkkDsBssb s211221()0( )(),kNNjNckkkDssppe/22101( )( ),( )NNkkkkkDsB sB ssb sb( )NDs因式分解共軛對(duì)相乘返回回到本節(jié)歸一化討論：對(duì)于得：由于N較大時(shí)，計(jì)算量太大，為了方便， 歸一化的N階巴特沃思多項(xiàng)式系數(shù) 已制成表格供查閱：10)()(NkkcNp

10、ssD1)(1)()(NokkcNNcapssDsH)(1)(1)()(10pDpppHpGNNkkcac( )NDp返回回到本節(jié) 極點(diǎn)位置階數(shù)N 1-1.0000 2-0.7071j0.7071 3-0.5000j0.8660-1.00004-0.3827j0.9239 -0.9239j0.38275-0.3090j0.9511 -0.8090j0.5878-1.0000 60.2588j0.9659 -0.7071j0.7071-0.9659j0.25887-0.2225j0.9749 -0.6235j0.7818 -0.9010j0.4339-1.0000 80.1951j0.9808

11、0.5556j0.8315-0.9010j0.4339-0.9808j0.19519-0.1736j0.9848 -0.5000j0.8660 -0.8315j0.5556-0.9397j0.3420 -1.00000,1NP1,2NP2,3NP3,4NP4PN：濾波器階數(shù)：濾波器階數(shù)- ：極點(diǎn)位置表示：極點(diǎn)位置表示( )NDp返回回到本節(jié) 分母多 項(xiàng)式階數(shù)N b0 b1 b2b3b4b5b6b7b8 1-1.0000 2-1.00001.4142 3-1.00002.0000 2.0000 4-1.00002.6131 3.4142 5-1.00003.23615.2361 5.2361 3

12、.2361 6-1.00003.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 7-1.00004.4940 10.0978 14.5918 14.5918 10.0978 4.49408-1.0000-5.1258 13.1371 21.8462 25.6884 21.8642 13.1371 5.1258 9-1.00005.7588 16.5817 31.1634 41.986441.986431.1634 16.5817 5.7588 N：濾波器階數(shù)：濾波器階數(shù)- ：多項(xiàng)式表示：多項(xiàng)式表示( )NDp121210( )NNNNND ppbpbpb pb返回回到本節(jié) 分

13、母因式階數(shù)N 1(p+1) 2(p2+1.4142p+1) 3(p2+p+1)(p+1) 4(p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1) 5(p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(p+1) 6(p2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1) 7(p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1) 8(p2+0.3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1.6629p+1)(p2+1.9616p+1)9(p2+0.3473p+1)(p2+p+1)(p2+1.5321p+1)(p2

14、+1.8794p+1)(p+1) 12345( )( )( )( )( )( )D pB p Bp Bp Bp BpN：濾波器階數(shù)：濾波器階數(shù)- ：共軛極點(diǎn)：共軛極點(diǎn)因式因式( )NDp返回回到本節(jié)去歸一化歸一化( )1/( )NG pDp/( )( )cap sHsG pcc( )NDp查表得得到返回回到本節(jié) 低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟：低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟： 由 ，求濾波器階次N 由N查表，求出歸一化極點(diǎn) 和歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p) 令 代入G(p) ，得實(shí)際濾波器傳輸函數(shù)Ha(s) 。（去歸一）ppss、csp/kp返回回到本節(jié) 例：例： 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。要求幅頻特性單調(diào)下降，通

15、帶邊界頻率fp=1 kHz，通帶最大衰減p=1 dB，阻帶邊界頻率fs=5 kHz，阻帶最小衰減s=40 dB。 解: :（1）根據(jù)幅頻特性單調(diào)下降要求，應(yīng)選擇巴特沃思濾波器。 （2）計(jì)算階數(shù)N和3 dB截止頻率c。首先用求出波紋幅度參數(shù)為 再求出過(guò)渡比和偏離參數(shù) 從而得到 取整數(shù)N=4 p/101/101011010.508847s/2010100Ap12s0.508850.2, 0.0050887599991kkA1lg3.2811lgkNkssc21 21 82 9934.7125/(1)9999Nfrad sA返回回到本節(jié)（3）求系統(tǒng)函數(shù)。查表6.1.1得到歸一化4階巴特沃思多項(xiàng)式為

16、將 和c代入，得到系統(tǒng)函數(shù)224( )(0.76541)(1.84781)Dppppp4( )Dp4ca2222ccccc152372471( )/(0.7654)(1.8478)9.7414 10 (7.6040 109.8699 10 )(1.8357 109.8699 10 )NHsDsssssssss返回回到本節(jié)6.1.3 6.1.3 切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)兩種類型：兩種類型： 切比雪夫型濾波器的幅頻特性在通帶為等波紋，在阻帶為單調(diào)下降。 切比雪夫型的幅頻特性在阻帶為等波紋，在通帶為單調(diào)下降。 返回回到本節(jié)1.1.切比雪夫切比雪夫型濾波器型濾波器 N 階切比雪夫型模擬低通

17、濾波器Ha(s)的幅度平方函數(shù)為 為小于1的正數(shù)，表示通帶波紋幅度參數(shù)。 CN()是N階切比雪夫多項(xiàng)式 2a22p1(j)1(/)NHC 返回回到本節(jié) 圖6.1.4 典型切比雪夫型低通濾波器的幅頻響應(yīng)特性曲線 返回回到本節(jié)2 2切比雪夫切比雪夫型逼近型逼近 切比雪夫型模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶呈現(xiàn)單調(diào)下降特性，而且在 =0點(diǎn)具有最大平坦響應(yīng)，在阻帶呈現(xiàn)等波紋特性。其幅度平方函數(shù)為2a2sp2s1(j)()1()NNHCC 返回回到本節(jié)圖6.1.5 典型切比雪夫型低通濾波器的幅頻響應(yīng)特性曲線返回回到本節(jié) 巴特沃思濾波器與切比雪夫?yàn)V波器特點(diǎn)比較：n 巴特沃思濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，

18、在靠近截止頻率處，幅度下降很多。所以為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次（N）很高。n切比雪夫型濾波器的紋波在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，在靠近截止頻率處，幅度下降很少。同樣的通帶衰減，其所需階數(shù)N N較巴特沃思濾波器要小。特點(diǎn)比較回到本節(jié)返回6.2 IIR6.2 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 目標(biāo)：滿足給定頻率響應(yīng)指標(biāo)、因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù) 間接法設(shè)計(jì)過(guò)程確定數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成過(guò)渡模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)過(guò)渡模擬濾波器將過(guò)渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器 指標(biāo)轉(zhuǎn)換( )H z( )aHs( )H z22pppsssssssfFFfFF0,0, 2 sF返回過(guò)渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的要求過(guò)渡

19、模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的要求 保證因果穩(wěn)定性， Ha(s) 的因果穩(wěn)定性映射成 H（z）后保持不變，即S平面的左半平面 ReS0 應(yīng)映射到Z平面的單位圓以內(nèi)|Z|1。 H（z）的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即S平面的虛軸應(yīng)映射到Z平面的單位圓 上。je設(shè)計(jì)模擬設(shè)計(jì)模擬Ha(s) 轉(zhuǎn)換成數(shù)字轉(zhuǎn)換成數(shù)字H(z)返回本節(jié)主要講述：本節(jié)主要講述：6.2.1 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器6.2.2 用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器返回6.2.16.2.1脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 n 基本思想 使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波的特性； 從濾波器的脈沖響

20、應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)正好等于模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)的采樣值，即 n 方法)()()()(zHznThthsHaaa函數(shù)變換得數(shù)字濾波器傳遞取進(jìn)行采樣得：取拉氏逆變換得：得：由模擬濾波器設(shè)計(jì)理論( )(),( ) ( )ah nhnTH zZT h n回到本節(jié)返回（1 1） 濾波器系統(tǒng)函數(shù)濾波器系統(tǒng)函數(shù) （ 單極點(diǎn)、分母階次高于分子階次單極點(diǎn)、分母階次高于分子階次 部分分式）部分分式）（2 2）模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)（3 3）采樣采樣（4 4）Z Z變換變換( )( )aHsHz1()NkakkAHsss1( )( )kNstakk

21、htA eut11( )()( )()( )kkNNs nTs Tnakkkkh nhnTA eu nAeu n11()1kNks TkAHzez( )aH s( )Hz( )aH s回到本節(jié)返回下面分析脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換性能： s平面到z平面的極點(diǎn)映射關(guān)系: ，用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)時(shí)，整個(gè)s平面到z平面的映射關(guān)系為 設(shè) 則 所以 = = T T eks Tkz es Tz jj, eszr j(j)je eeeTTTreTr回到本節(jié)返回 其中，式 = = T T 表明： 數(shù)字頻率與模擬頻率之間是線性關(guān)系，這是脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)之一。 由式 可知：

22、 =0時(shí)，r =1，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓； 0時(shí)，r0時(shí)，r1，s平面的右半平面映射為z平面的單位圓外。eTr優(yōu)點(diǎn)返回回到本節(jié) 模擬系統(tǒng)因果穩(wěn)定，其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的所有極點(diǎn)位于s平面的左半平面，按照上述結(jié)論，這些極點(diǎn)全部映射到z平面單位圓內(nèi)，因此，數(shù)字濾波器H(z)也因果穩(wěn)定。 因?yàn)閔(n)=ha(nT)，根據(jù)時(shí)域采樣理論得到 代入=T 得到 上面兩式說(shuō)明，數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓函數(shù)。 ja12(e)jTkkHHTT ja12(e)jkkHHTT 返回回到本節(jié) 所以，如果模擬濾波器具有帶限特性，而且T 滿足采樣定理，則數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)完全模仿了模擬濾

23、波器頻率響應(yīng)。這是脈沖響應(yīng)不變法的最大優(yōu)點(diǎn)。但是，一般模擬濾波器不是帶限的，所以實(shí)際上總是存在頻譜混疊失真 返回回到本節(jié) 由上圖可見(jiàn)，頻譜混疊失真會(huì)使數(shù)字濾波器在=附近的頻率響應(yīng)偏離模擬濾波器頻響特性曲線，混疊嚴(yán)重時(shí)可使數(shù)字濾波器不滿足阻帶衰減指標(biāo)。所以，脈沖響應(yīng)不變法不適合設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器，這是脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)。 為了減小頻譜混疊失真，通常采取以下措施: 選用具有銳截止特性的模擬濾波器； 提高采樣頻率Fs（Fs=1/T）。 缺點(diǎn)返回回到本節(jié) 與模擬濾波器頻率響應(yīng)增益相比，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)增益增加了常數(shù)因子1/T。所以，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)增益會(huì)隨采樣周期T 變化，特別是T 很

24、小時(shí)增益很大，容易造成數(shù)字濾波器溢出。 所以，工程實(shí)際中采用以下實(shí)用公式 這時(shí) 使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)增益與模擬濾波器頻響增益相同，符合實(shí)際應(yīng)用要求。a( )()h nTh nT11 ( )1ekNks TkT AH zz ja2(e)jkkHHT 返回回到本節(jié)增益補(bǔ)償例：例： 二階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 試用脈沖響應(yīng)不變法將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)，并對(duì)不同的采樣周期T，觀察頻譜混疊失真現(xiàn)象。解: : 采用待定系數(shù)法將Ha(s)部分分式展開(kāi)。Ha(s)的極點(diǎn)為 因此 解得 a21( )21Hsss12122 (1j), (1j) 22sss 12a2121( )21AAHsss

25、ssss1222j, j22AA 返回回到本節(jié) 按實(shí)用公式，即式（6.2.12）得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 式中12112121112( )11e1es Ts TTATAbzH za za zzz2 /222esin2TbTT2 /221222ecos, e2TTaTa 返回回到本節(jié) 當(dāng)T分別取0.2 s, 0.1 s和0.05 s時(shí)，模擬濾波器和數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線如下圖所示 模擬頻率（Hz） 數(shù)字頻率（rad） (a) 模擬濾波器頻響曲線 (b) 數(shù)字濾波器頻響曲線 顯然，采樣周期T越大，頻譜混疊失真越嚴(yán)重， 與 差別越大。所以，脈沖響應(yīng)不變法不能用于將模擬高通和帶阻濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高

26、通和帶阻濾波器。j(e)Ha(j)H返回回到本節(jié)例例 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，要求通帶和阻帶具有單調(diào)下降特性，指標(biāo)參數(shù)如下:解: : 根據(jù)間接設(shè)計(jì)法的基本步驟求解。 （1）將數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)模擬濾波器指標(biāo)。設(shè)采樣周期為T，得到 （2）設(shè)計(jì)相應(yīng)的模擬濾波器，得到模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。根據(jù)單調(diào)下降要求，選擇巴特沃思濾波器。求出波紋幅度參數(shù)為pp0.2 rad,1 dBss0.35 rad,10 dBppp0.2rad /s,1 dBTTsss0.35rad/s,40 dBTTp/101/101011010.508847s/20103.1623A返回回到本節(jié)從而得到再將k和

27、k1代入，計(jì)算得到 取整數(shù)N=4取T=1 s時(shí) 查表6.1.1得到歸一化4階巴特沃思多項(xiàng)式為得到歸一化系統(tǒng)函數(shù)為2ps14/7, 10.1696kkA1lg/lg3.1704Nkksc21 221 80.350.2659 rad/s(1)(3.16251)NA41234( )()()()()Dppppppppp4123411( )()()()()kkkAG ppppppppppp返回回到本節(jié) 將c帶入去歸一化，得到希望設(shè)計(jì)的低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 其中 （3）將T=1 s代入，將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)，即 c44ca/c11( )( )kkp skkkkA

28、BH sG pspsscc, kkkkspBA441111( )1e1ekkkks TskkBBH zzz12312340.04560.10270.01541 1.91841.65460.68530.1127zzzzzzz返回回到本節(jié) 如果取T=0.1 s，可得到近似相同的H(z)。這說(shuō)明當(dāng)給定數(shù)字濾波器指標(biāo)時(shí)，采樣周期的取值對(duì)頻譜混疊程度影響很小。所以，一般取T=1 s使設(shè)計(jì)運(yùn)算最簡(jiǎn)單。T=1 s時(shí)，T=0.1 s時(shí)，如下圖6.2.3 圖中數(shù)字濾波器滿足指標(biāo)要求，但是，由于頻譜混疊失真，使數(shù)字濾波器在=（對(duì)應(yīng)模擬頻率Fs/2 Hz）附近的衰減明顯小于模擬濾波器在f = Fs/2附近的衰減。返

29、回回到本節(jié)例6.2.2 設(shè)計(jì)的模擬和數(shù)字濾波器的損耗函數(shù) 返回回到本節(jié)小結(jié)小結(jié): : 1)脈沖響應(yīng)不變法的一個(gè)重要特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性的，與是線性關(guān)系。 因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過(guò)變換后數(shù)字濾波器的頻響可不失真地反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系。 例如線性相位的低通濾波器，通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法得到的仍是線性相位的低通數(shù)字濾波器。 2)在某些場(chǎng)合，要求數(shù)字濾波器在時(shí)域上能模仿模擬濾波器的功能時(shí)，如要實(shí)現(xiàn)時(shí)域沖激響應(yīng)的模仿，一般使用脈沖響應(yīng)不變法。TjHeHaj/)()(返回回到本節(jié) 3)如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是穩(wěn)定的。 4)脈沖響

30、應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)：有頻譜周期延拓效應(yīng)，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，而高頻衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小，至于高通和帶阻濾波器,由于它們?cè)诟哳l部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中，此時(shí)可增加一保護(hù)濾波器，濾掉高于 的頻帶，再用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾波器階數(shù)，只有在一定要滿足頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)才采用。 / 2s返回回到本節(jié)6.2.2 6.2.2 用雙線性變換法設(shè)計(jì)用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 上節(jié)介紹的脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是存在頻譜混疊失真。如果 時(shí)， ，則數(shù)字濾波器產(chǎn)生頻譜混疊失真。 雙線性變

31、換法從原理上徹底消除了頻譜混疊，所以雙線性變換法在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中得到更廣泛的應(yīng)用。 /Ta(j)0H返回回到本節(jié)1. 1. 雙線性變換法的設(shè)計(jì)思想與雙線性變換公式雙線性變換法的設(shè)計(jì)思想與雙線性變換公式 p 克服脈沖響應(yīng)不變法的頻譜混疊現(xiàn)象，采用非線性頻率壓縮方法。p 雙線性變換法的基本設(shè)計(jì)思想 脈沖響應(yīng)不變法：波形逼近 雙線性變換法：算法逼近。用線性常系數(shù)差分方程逼近線性常系數(shù)微分方程返回回到本節(jié) 設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)sk（k=1, 2, , N），且分母多項(xiàng)式階次高于分子多項(xiàng)式階次。則Ha(s)可以用如下部分分式表示 式中 只要推導(dǎo)出將Hak(s)轉(zhuǎn)換成一階數(shù)字濾波器

32、Hk(z)的變換公式，則該變換公式就是將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)的變換公式。 aa11( )( )NNkkkkkAHsHsssa( ), 1,2,kkkAHskNss返回回到本節(jié)Hak(s)所對(duì)應(yīng)的微分方程為對(duì)微分方程中各項(xiàng)做如下近似: 則微分方程可用下面的差分方程近似aaad( )( )( )dkky ts y tA x ttaaaaad( ) ( )(1)/ , ( )()d( ) ( )(1)/2( ) ( )(1)/2, ( )()y ty ny nT y ny nTty ty ny nx tx nx nx nx nT ( )(1)/ ( )(1)/2 ( )(1)

33、/2kkynynT s ynynA xnxn返回回到本節(jié) 兩邊取Z變換得到逼近微分方程的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 所以 上式就是用雙線性變換法直接將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的變換公式。 11a211( )( )zsTzH zHs11a21111( )( ) 2 11kkkzsTzkAHzHszsTz變換公式返回回到本節(jié) 從s域到z域的映射變換為雙線性變換: 上式是s域到z域的單值可逆映射變換，所以不會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊失真。 112 11zsTz返回回到本節(jié)2 2雙線性變換法轉(zhuǎn)換性能分析雙線性變換法轉(zhuǎn)換性能分析 先求出式（6.2.19）相應(yīng)的逆變換如下 將s=+j，

34、代入上式可得112 11zsTz1122TTzss1j1j22TTz22222(1/2)(/2)(1/2)(/2)TTzTT返回回到本節(jié)由上式容易看出，從s平面到z平面的映射關(guān)系: |z|1， 1， 0（右半s平面映射成z平面單位圓外） 所以，雙線性變換法將因果穩(wěn)定的模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)仍因果穩(wěn)定。雙線性變換法的映射關(guān)系返回回到本節(jié) 下面推導(dǎo)數(shù)字頻率與模擬頻率之間的映射關(guān)系 由 即 下圖即是數(shù)字頻率與模擬頻率之間的映射關(guān)系 112 11zsTzjj2 1e2jjtan21eTT2tan2T映射關(guān)系式返回回到本節(jié)由圖看出，s平面的正（負(fù)）虛軸映射成z平面單位圓的上（下）半圓。由于s平面的整個(gè)正虛軸（ =0）映射成有限寬的數(shù)字頻段（=0），所以雙線性變換引起數(shù)字頻率與模擬頻率之間的嚴(yán)重非線性畸變。正是這種頻率非線性畸變，使整個(gè)模擬頻率軸映射成數(shù)字頻率的主值區(qū)-，從而消除了頻譜混疊失真。這種頻率非線性畸變使數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)曲線不能模仿相應(yīng)的過(guò)渡模擬濾波器頻率響應(yīng)曲線的波形。 頻率非線性畸變影響舉例 返回回到本節(jié)頻率響應(yīng)的畸變頻率響應(yīng)的畸變 幅頻特性 相頻特性0 0)(jeH)( jHa0 00 0回到本節(jié)返回 由圖中可明顯看出，由于數(shù)字頻率與模擬頻率之間的非線性映射關(guān)系，典型模擬濾波器幅頻響應(yīng)曲線經(jīng)過(guò)雙線性變換后，所得數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)曲線