外接球問題四種模型

1、外接球四種模型主講：付老師模型模型1 1 長方體外接球問題長方體外接球問題2222)2( Rcba一般題目不會直接告訴你是長方體的外接球類型，必須自己去類比分析，只要出現(xiàn)兩兩垂直的三條棱都可以用。例1.在棱錐P-ABC中，側棱 PA、PB、PC兩兩垂直，Q 為底面ABC內一點，若點Q 到三條側棱的距離分別為2、2、 ，則以線段PQ為直徑的球的表面積為 .到三條側棱的距離恰好是以PQ為對角線的長方體三個相鄰面上的三條對角線，則可得22222222222)22(22cbcaba此題可改為Q到三個側面的距離。做題時多利用長方體，可簡化問題。8222cba8?29例2 四面體ABCD中，已知AB=CD

2、= ，AC=BD= ，AD=BC= 。則四面體ABCD的外接球的表面積為 3437在長方體中恰好存在相對棱相等的四面體，三條棱恰好可作為長方體的三條對角線222222222)37()34()29(cbcaba50222cba50正四面體就可以放入正方體之中，利用類似方法可以很快求出正四面體外接球半徑正四面體就可以放入正方體之中，利用類似方法可以很快求出正四面體外接球半徑模型模型2 三點共線型三點共線型當棱錐頂點，外接球球心，底面小圓圓心，三點共線時如圖，根據勾股定理可得222)(RrRh此模型注意一定是三點共線才能用。所有正棱錐都是三點共線。只要題目中有提到棱錐的每條側棱都相等，或者頂點在底面

3、投影是底面的中心之類，都屬于三點共線。還有那種底面固定，體積最大問題有些也是三點共線，在利用公式的時候，棱錐的高比半徑大或者小都可以用。每條側棱都相等的棱柱，每條側棱可以看做同一個圓錐的母線，所以棱錐頂點,球心，底面小圓圓心三點共線。底面圓半徑可以用正玄定理RAa2sin2260sin32rr222)(RrRh棱錐的高可以用勾股定理側棱記做 ，此處將底面小圓半徑記做l222rlhr42)52(222hh254252)4(2222RRRR例42222hr22R代入公式可得3231Vsh模型模型3 3 一條棱垂直于底面一條棱垂直于底面一條棱垂直于底面時，如圖可構造矩形，利用勾股定理。棱錐垂直于底面

4、的棱記為 ，棱錐底面外接圓半徑記做 ，rl222)2(Rrl當?shù)酌嫒切问侵苯侨切螘r也可以用構造長方體的方法。此題可用第一種模型構造長方體，兩兩垂直的棱剛好是長方體的三條棱。也可以用第三種模型。構造長方體：554)3(113, 1, 12222SRcba利用第三種模型：545)22()23(22, 3222SRrl模型4 兩個面垂直如圖，側面PAC底面ABC。側面圓心，球心，底面圓心，公共棱中點恰好構成矩形，利用勾股定理可得外接球半徑。222221)2(Rlrr這種類型不是很常見，常以折疊成直二面角形式出現(xiàn)這種類型不是很常見，常以折疊成直二面角形式出現(xiàn)第四種模型關鍵是算對兩個面的半徑。三角形AMN可以用正玄定理，底面是等腰梯形，而且對角線垂直于腰。32