4.3線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性

1、4.34.3線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性目目 錄錄概述概述4.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性4.2 線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性4.3 線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性4.4 對(duì)偶性原理對(duì)偶性原理4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性分解和零極點(diǎn)相消線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性分解和零極點(diǎn)相消4.6 能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形4.7 實(shí)現(xiàn)問(wèn)題實(shí)現(xiàn)問(wèn)題4.8 Matlab問(wèn)題問(wèn)題本章小結(jié)本章小結(jié)線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性(1/2)4.3 線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性線性

2、定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性q 本節(jié)主要講述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性/能觀性的定義和判據(jù)。 由于線性連續(xù)系統(tǒng)只是線性離散系統(tǒng)當(dāng)采樣周期趨于無(wú)窮小時(shí)的無(wú)限近似,所以 離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性/能觀性的定義與線性連續(xù)系統(tǒng)的極其相似, 能控性/能觀性判據(jù)則在形式上基本一致。線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性(2/2)q 本節(jié)的關(guān)鍵問(wèn)題為: 基本概念: 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性/能觀性 基本方法: 線性離散系統(tǒng)狀態(tài)能控性/能觀性的判別方法離散化系統(tǒng)的能控性/能觀性q 本節(jié)的主要內(nèi)容為: 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與能達(dá)性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與能達(dá)性 線性定常離散系統(tǒng)

3、的能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能觀性 離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性重點(diǎn)喔重點(diǎn)喔!線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性(1/2)4.3.1 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與能達(dá)性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與能達(dá)性 q 狀態(tài)能控性討論的是系統(tǒng)輸入對(duì)狀態(tài)空間中任意初始狀態(tài)控制到坐標(biāo)原點(diǎn)(平衡態(tài))的能力, 而狀態(tài)能達(dá)性討論的是系統(tǒng)輸入對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)(平衡態(tài))的初始狀態(tài)控制到狀態(tài)空間中任意狀態(tài)的能力。 對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)來(lái)說(shuō),狀態(tài)能控性與能達(dá)性雖然定義不同,兩者的判據(jù)卻是等價(jià)的, 但對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)來(lái)說(shuō),這兩者無(wú)論定義還是判據(jù)有所不同。線性

4、定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性(2/2)q 與線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性問(wèn)題一樣,對(duì)線性離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性問(wèn)題也可只考慮系統(tǒng)狀態(tài)方程,與輸出方程和輸出變量y(k)無(wú)關(guān)。 對(duì)線性定常離散系統(tǒng),我們有如下 狀態(tài)能控性與能達(dá)性定義狀態(tài)能控性與能達(dá)性定義 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù) 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義(1/4)能控性定義能控性定義1. 線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義q 定義定義4-

5、1 對(duì)線性定常離散系統(tǒng)x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 若對(duì)某個(gè)初始狀態(tài)x(0),存在控制作用序列u(0),u(1), u(n-1),使系統(tǒng)在第n步上達(dá)到到原點(diǎn),即x(n)=0,則稱狀態(tài)x(0)能控; 若狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能控,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能控; 即,若邏輯關(guān)系式x(0) u(k) (k0,n-1)(x(n)=0)為真,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義(2/4)能控性定義能控性定義 若存在某個(gè)狀態(tài)x(0)不滿足上述條件,稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的,簡(jiǎn)稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能控。 即,若邏輯關(guān)系式x(0) u(k) (k0,n-1

6、)(x(n)0)為真,則稱系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。 q 在上述狀態(tài)能控性定義中,只要求在n步之內(nèi)尋找控制作用,使得系統(tǒng)狀態(tài)在第n步上到達(dá)原點(diǎn)。 這是因?yàn)?可以證明,若離散系統(tǒng)在n步之內(nèi)不存在控制作用使得對(duì)任意初始狀態(tài)控制到原點(diǎn),則在n步以后也不存在控制作用使?fàn)顟B(tài)在有限步之內(nèi)控制到原點(diǎn)。 故在上述定義中,只要求系統(tǒng)在n步之內(nèi)尋找控制作用。線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義(3/4)能達(dá)性定義能達(dá)性定義q 定義定義4-5(線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)能達(dá)性定義) 對(duì)線性定常離散系統(tǒng)(G,H)， 若對(duì)某個(gè)最終狀態(tài)x1,存在控制作用序列u(0),u(1), u(n-1),使得

7、系統(tǒng)狀態(tài)從零狀態(tài)在第n步上到達(dá)最終狀態(tài)x1,即x(n)=x1,則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)x1是能達(dá)的。 若系統(tǒng)對(duì)狀態(tài)空間中所有狀態(tài)都能達(dá),則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能達(dá),簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)能達(dá)。 即,若數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系式x1 u(k)(k0,n-1 x(0)=0 x(n)=x1為真,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能達(dá)。 若系統(tǒng)存在某個(gè)狀態(tài)x1不滿足上述條件,則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能達(dá)的,簡(jiǎn)稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能達(dá)。 線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義(4/4)能達(dá)性定義能達(dá)性定義q 從能控性與能達(dá)性兩者的定義可知,在系統(tǒng)控制問(wèn)題中, 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題多與能控性有關(guān), 而跟蹤、伺服問(wèn)題多與能達(dá)性有關(guān)。線性定常離散

8、系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(1/9)2. 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)q 與線性定常連續(xù)系統(tǒng)不同,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與能達(dá)性的判據(jù)兩者不等價(jià)。 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性與連續(xù)系統(tǒng)的能控性/能達(dá)性判據(jù)形式上完全一致,而狀態(tài)能控性的判據(jù)則有所區(qū)別。 下面給出并敘述線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)能控性的秩判據(jù)定理。線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(2/9)-定理4-12q 定理4-12(線性定常離散系統(tǒng)能控性秩判據(jù)) 對(duì)線性定常離散系統(tǒng)(G,H),有如下狀態(tài)能控性結(jié)論:1) 若系統(tǒng)矩陣G為非奇異矩陣，則

9、狀態(tài)完全能控的充要條件為如下定義的能控性矩陣:Qc=H GH Gn-1H滿秩，即rankQc=n2) 若系統(tǒng)矩陣G為非奇異矩陣，則為系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件為 rankQc=rankQc Gn線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(3/9 )-定理4-12q 證明證明 由第3章的線性定常離散系統(tǒng)的解理論,可得狀態(tài)方程的解如下:101)()0()(kjjkkjHGGkuxx 設(shè)在第n步上能使初始狀態(tài)x(0)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài),于是上式可記為101)()0(0njjnnjHGGux即11120(0)( )(0)(1).( -1)nnnjnnjGGHjGHGHHn xuuuu線

10、性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(4/9 )-定理4-12 上式寫成矩陣形式即為)0()0(.)2() 1(.1xuuunnGnnHGGHH 這是一個(gè)非齊次線性代數(shù)方程,由線性方程解的存在性理論可知,上式存在控制序列u(0),u(1),u(n-1)的充要條件為rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn x(0)11120(0)( )(0)(1).( -1)nnnjnnjGGHjGHGHHn xuuuu線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(5/9 )-定理4-12 考慮到系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)是屬于n維狀態(tài)空間中任意

11、一個(gè)狀態(tài),因此上式等價(jià)于rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn即證明了系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件為能控性矩陣滿足rankQc=rankQc Gn即定理的結(jié)論2)得以證明。線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(6/9 )-定理4-12q 當(dāng)系統(tǒng)矩陣G滿秩時(shí),顯然有rankGn=n 因此rankH GH Gn-1H Gn=n所以由結(jié)論1可知,在系統(tǒng)矩陣G滿秩時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件為rankQc=rankH GH Gn-1H=n線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(7/9)例例4-11)(01)(0010) 1

12、(kkkuxxq 解 由線性定常離散系統(tǒng)的能控性矩陣的定義有10001rankrankrankGHHQc但100000001rankrank2GQc因此rankQc=rankQc G2由定理4-12的結(jié)論2可知,該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。q 例例4-11 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(8/9)例例4-12)(121)(011220001) 1(kkkuxxq 解 判斷一：由系統(tǒng)狀態(tài)能控性的代數(shù)判據(jù)有1111222111rankrankrank2HGGHHQc但3421406001111222111rankrank3GQcq 例例4-12

13、試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(9/9) 因此rankQcrankQc G3由定理4-12的結(jié)論2可知,該系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。q 判斷二： 由于G為可逆矩陣rankQc =13=n,因此由定理4-12的結(jié)論1可判別出系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性判據(jù)(1/4)2. 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性判據(jù)q 由上述線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性代數(shù)判據(jù)可知,離散系統(tǒng)的能控性與連續(xù)系統(tǒng)的能控性存在一定的差別。 由系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣組成的能控性矩陣的秩等于狀態(tài)變量的

14、個(gè)數(shù),對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，這是狀態(tài)完全能控的充分必要條件, 而對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性則僅是一個(gè)充分條件。線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性判據(jù)(2/4) 造成線性連續(xù)系統(tǒng)和線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)形式上有差別的原因在于： 線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和狀態(tài)能達(dá)性是兩個(gè)等價(jià)的概念,而線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和狀態(tài)能達(dá)性則是兩個(gè)不等價(jià)的概念。q 定理定理4-13(線性定常離散系統(tǒng)能達(dá)性秩判據(jù)) 對(duì)線性定常離散系統(tǒng)(G,H)狀態(tài)完全能達(dá)的充分必要條件為能控性矩陣Qc=H GH Gn-1H滿秩，即rank Qc=n線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的

15、狀態(tài)能達(dá)性判據(jù)(3/4)q 定理定理4-14(線性定常離散系統(tǒng)能達(dá)性模態(tài)判據(jù)) 對(duì)約旦規(guī)范形的線性定常離散系統(tǒng)(G,H),有 1若系統(tǒng)矩陣G為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)能達(dá)的充分必要條件為 對(duì)應(yīng)G的每個(gè)約旦塊的H的分塊的最后一行都不全為零。 若G為某個(gè)特征值有多于一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)能達(dá)的充分必要條件為 對(duì)應(yīng)于G的每個(gè)特征值的所有約旦塊的H的分塊的最后一行線性無(wú)關(guān)。 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性判據(jù)(4/4)q 定理定理4-15(線性定常離散系統(tǒng)能達(dá)性PHB秩判據(jù)) 線性離散連續(xù)系統(tǒng)(G,H)狀態(tài)完全能控的充分必要條件為： 對(duì)于所有的復(fù)

16、數(shù),下式成立rankI-G H=n C1 線性定常離散系統(tǒng)的能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(1/9)4.3.2 線性定常離散系統(tǒng)的能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能觀性q 與線性連續(xù)系統(tǒng)一樣,線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性只與系統(tǒng)輸出y(t)以及系統(tǒng)矩陣G和輸出矩陣C有關(guān), 即只需考慮齊次狀態(tài)方程和輸出方程即可。 下面我們先引入線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)能觀性的定義。 對(duì)初始狀態(tài)x(0),根據(jù)在n個(gè)采樣周期內(nèi)采樣到的輸出向量y(k)的序列y(0),y(1),y(n-1)能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0),則稱狀態(tài)x(0)能觀; 若對(duì)狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能觀,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀,簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)能觀。 即,若數(shù)學(xué)邏輯

17、關(guān)系式線性定常離散系統(tǒng)的能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(2/9)能觀性定義能觀性定義 q 定義定義4-3 若線性定常離散系統(tǒng))()()() 1(kCkkGkxyxx)0()()1, 0()0(xyx唯一knk為真,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀。線性定常離散系統(tǒng)的能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(3/9) 若存在某個(gè)狀態(tài)x(0)不滿足上述條件,稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀的,簡(jiǎn)稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能觀。 q 在線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性定義中,只要求以在n個(gè)采樣周期內(nèi)采樣到的輸出來(lái)確定系統(tǒng)的狀態(tài)。 這是因?yàn)?可以證明: 如果由n個(gè)采樣周期內(nèi)的輸出向量序列不能唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài),則由多于n個(gè)采樣周期的輸出向量序

18、列也不能唯一確定系統(tǒng)初始狀態(tài)。q 對(duì)線性定常離散系統(tǒng),存在與線性定常連續(xù)系統(tǒng)在形式上完全一致的狀態(tài)能觀性的代數(shù)判據(jù)和模態(tài)判據(jù)。 下面我們先介紹代數(shù)判據(jù)。線性定常離散系統(tǒng)的能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(4/9)能觀性判據(jù)代數(shù)能觀性判據(jù)代數(shù)1.noCGCGCQ滿秩,即rankQo=n q 定理定理4-16 線性定常連續(xù)系統(tǒng)(G,C)狀態(tài)完全能觀的充分必狀態(tài)完全能觀的充分必要條件要條件為如下定義的能觀性矩陣:線性定常離散系統(tǒng)的能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(5/9)能觀性判據(jù)證明能觀性判據(jù)證明) 1(.) 1 () 0() 0(.) 0(1nCGCGCQnoyyyxxq 證明 本定理的證明可直接由

19、線性代數(shù)方程組的解唯一性線性代數(shù)方程組的解唯一性理論給出。 由第3章中線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的求解公式,可得y(0)=Cx(0)y(1)=Cx(1)=CGx(0) y(n-1)=Cx(n-1)=CGn-1x(0) 將上述n個(gè)方程寫成矩陣的形式,有線性定常離散系統(tǒng)的能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(6/9)例例20 因此,由線性方程的解存在性理論可知,無(wú)論輸出向量的維數(shù)是否大于1,上述方程有x(0)的唯一解的充分必要條件為rankQo=n 由能觀性的定義可知,上式亦為線性定常離散系統(tǒng)(G,C)狀態(tài)完全能觀的充要條件。 于是定理得證。 線性定常離散系統(tǒng)的能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(7/9

20、)例例4-13)(010001)()(210021302) 1(kkkkxyxxq 例4-13 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性q 解 由狀態(tài)能觀性的代數(shù)判據(jù)有3.302010001rankrankrank2CGCGCQo 對(duì)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性,還有如下模態(tài)判據(jù)。線性定常離散系統(tǒng)的能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(8/9)能觀性模態(tài)判據(jù)能觀性模態(tài)判據(jù)q 對(duì)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性,還有如下模態(tài)判據(jù)。q 定理4-17 對(duì)為約旦規(guī)范形(對(duì)角線規(guī)范形為其特例)的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(G,C),有:1) 若G為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)能觀的充要條件為對(duì)應(yīng) G的每個(gè)約旦塊的的每個(gè)約

21、旦塊的C的分塊的第一列都不全為零的分塊的第一列都不全為零;2) 若G為某特征值有多于一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)能觀的充要條件為對(duì)應(yīng)G的每個(gè)特征值的 所有約旦塊的所有約旦塊的C的分塊的第一列線性無(wú)關(guān)的分塊的第一列線性無(wú)關(guān)。 線性定常離散系統(tǒng)的能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(9/9)能觀性模態(tài)判據(jù)能觀性模態(tài)判據(jù)nCGIrankq 定理4-18 線性定常離散系統(tǒng)(G,C)狀態(tài)完全能觀的充要必狀態(tài)完全能觀的充要必條件條件為: 對(duì)于所有的復(fù)數(shù),下式成立:離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(1/11)4.3.3 離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀離散化線性定常

22、系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性性q 這里所要討論的離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性/能觀性問(wèn)題,是指:1. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)離散化后是否仍能保持其狀態(tài)能控性/能觀性?2. 離散化系統(tǒng)能控性和能觀性與原連續(xù)系統(tǒng)的能控性/能觀性之間的關(guān)系? 該問(wèn)題是計(jì)算機(jī)控制中一個(gè)十分重要的問(wèn)題。q 在具體討論之前,先看一個(gè)例子。離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(2/11)例例21xyuxx 10010110q 解解 1. 求原連續(xù)系統(tǒng)的能控性和能觀性。求原連續(xù)系統(tǒng)的能控性和能觀性。 因?yàn)閚ABB21001rankranknCAC20110rankrank故原連續(xù)系統(tǒng)是狀態(tài)完

23、全能控且完全能觀的。q 例4-14 判斷如下線性定常連續(xù)系統(tǒng)離散化后的狀態(tài)能控性和能觀性。離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(3/11)2. 求連續(xù)系統(tǒng)的離散化系統(tǒng)求連續(xù)系統(tǒng)的離散化系統(tǒng). 由第3章中的離散化步驟,有)-)(111-|-|2jsjssssAsI即系統(tǒng)特征值為s1=j,s2=-j,由求矩陣指數(shù)函數(shù)的有限項(xiàng)矩陣法有ttjjssttjtjttstssincosee11ee11)()(11211021因此,有離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(4/11)即經(jīng)離散化后的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為TTTTATITG

24、ATcossinsincos)()(e101-cossin01dcossin-sincosde00TTttttttBHTTAt)(10)()(1cossin)(cossinsincos) 1(kkykTTkTTTTkxuxx離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(5/11)TTCGCQTTTTTTTTGHHQoccossin-10cos-sin-cos1-cossincos2sin-sin223. 求離散化后的系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性。求離散化后的系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性。 由上述離散化后系統(tǒng)的狀態(tài)方程,有如下狀態(tài)能控性矩陣和能觀性矩陣: 由于系統(tǒng)矩陣G=

25、eAT為可逆矩陣,故由定理4-12和定理4-13可知, 離散化系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控和完全能觀的充分必要條件為能控性矩陣Qc和能觀性矩陣Qo均滿秩。離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(6/11)因此,此時(shí)離散化系統(tǒng)是既不能控又不能觀的。 若取Tk(k=1,2,),即sinT0,cosT1,則有|Qc|=sinT(-sin2T-cos2T+2cosT-1)=2sinT(cosT-1)0|Qo|=sinT0即Qc和Qo均為滿秩矩陣,則此時(shí)離散化系統(tǒng)狀態(tài)完全能控又完全能觀。nQnQoc211010rankrank21111100rankrank 若取T=k(k=1,2,),即sinT=0,cosT=1,則有離散化線性定常系統(tǒng)的