信號(hào)與系統(tǒng)奧本海姆課件第2章

1、第第2章章 線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)Linear Time-Invariant Systems LTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示。系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示。本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容： 信號(hào)的時(shí)域分解信號(hào)的時(shí)域分解用用 表示離散時(shí)間表示離散時(shí)間信號(hào)；用信號(hào)；用 表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)。表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)。 LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析系統(tǒng)的時(shí)域分析卷積積分與卷積和卷積積分與卷積和 LTI系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示。系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示。 奇異函數(shù)。奇異函數(shù)。( ) t2.0 引言引言 ( Introduction ) 由于由于LTI系統(tǒng)滿(mǎn)足齊次性和可加性，系統(tǒng)滿(mǎn)足齊次性和可加性，并且具有時(shí)不變性的特點(diǎn)，因而為

2、建并且具有時(shí)不變性的特點(diǎn)，因而為建立信號(hào)與系統(tǒng)分析的理論與方法奠定立信號(hào)與系統(tǒng)分析的理論與方法奠定了基礎(chǔ)。了基礎(chǔ)?；舅枷耄夯舅枷耄喝绻馨讶我廨斎胄盘?hào)分解如果能把任意輸入信號(hào)分解成基本信號(hào)的線(xiàn)性組合，那么只要得到成基本信號(hào)的線(xiàn)性組合，那么只要得到了了LTI系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)，就可以系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的線(xiàn)性特性，將系統(tǒng)對(duì)任意輸利用系統(tǒng)的線(xiàn)性特性，將系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)表示成系統(tǒng)對(duì)基本信入信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)表示成系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)的線(xiàn)性組合。號(hào)的響應(yīng)的線(xiàn)性組合。問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：?jiǎn)栴}的實(shí)質(zhì)：1.1.研究信號(hào)的分解：即以什么樣研究信號(hào)的分解：即以什么樣的信號(hào)作為構(gòu)成任意信號(hào)的

3、基的信號(hào)作為構(gòu)成任意信號(hào)的基本信號(hào)單元，如何用基本信號(hào)本信號(hào)單元，如何用基本信號(hào)單元的線(xiàn)性組合來(lái)構(gòu)成任意信單元的線(xiàn)性組合來(lái)構(gòu)成任意信號(hào)；號(hào)；2. 如何得到如何得到LTI系統(tǒng)對(duì)基本單元系統(tǒng)對(duì)基本單元信號(hào)的響應(yīng)。信號(hào)的響應(yīng)。 作為基本單元的信號(hào)應(yīng)滿(mǎn)足以下作為基本單元的信號(hào)應(yīng)滿(mǎn)足以下要求：要求：1. 本身盡可能簡(jiǎn)單，并且用它的線(xiàn)性組本身盡可能簡(jiǎn)單，并且用它的線(xiàn)性組合能夠表示（構(gòu)成）盡可能廣泛的其它合能夠表示（構(gòu)成）盡可能廣泛的其它信號(hào)；信號(hào)；2. LTI系統(tǒng)對(duì)這種信號(hào)響應(yīng)易于求得。系統(tǒng)對(duì)這種信號(hào)響應(yīng)易于求得。如果解決了信號(hào)分解的問(wèn)題，如果解決了信號(hào)分解的問(wèn)題，即：若有即：若有( )( )iiix t

4、a x t( )( )iix ty t則則( )( )iiiy ta y t 將信號(hào)分解可在時(shí)域進(jìn)行，也可在頻域或?qū)⑿盘?hào)分解可在時(shí)域進(jìn)行，也可在頻域或變換域進(jìn)行，相應(yīng)地就產(chǎn)生了對(duì)變換域進(jìn)行，相應(yīng)地就產(chǎn)生了對(duì)LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的時(shí)域分析法、頻域分析法和變換域分析法。時(shí)域分析法、頻域分析法和變換域分析法。分析方法分析方法： 離散時(shí)間信號(hào)中離散時(shí)間信號(hào)中, ,最簡(jiǎn)單的是最簡(jiǎn)單的是 , ,可可以由它的線(xiàn)性組合構(gòu)成以由它的線(xiàn)性組合構(gòu)成 ，即：，即：2.1 離散時(shí)間離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和系統(tǒng)：卷積和一一. . 用單位脈沖表示離散時(shí)間信號(hào)用單位脈沖表示離散時(shí)間信號(hào) （Discrete-Time LTI S

5、ystems:The Convolution Sum） 對(duì)任何離散時(shí)間信號(hào)對(duì)任何離散時(shí)間信號(hào) , ,如果每次從如果每次從其中取出一個(gè)點(diǎn)，就可以將信號(hào)拆開(kāi)來(lái)，其中取出一個(gè)點(diǎn)，就可以將信號(hào)拆開(kāi)來(lái)，每次取出的一個(gè)點(diǎn)都可以表示為不同加每次取出的一個(gè)點(diǎn)都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單位脈沖。權(quán)、不同位置的單位脈沖。 于是有于是有：上式把任意一個(gè)序列上式把任意一個(gè)序列 表示成一串移表示成一串移位的單位脈沖序列位的單位脈沖序列 的線(xiàn)性組合，的線(xiàn)性組合，其中其中 是權(quán)因子。是權(quán)因子。二二. . 卷積和卷積和（Convolution sum） 定義：離散時(shí)間定義：離散時(shí)間LTILTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單

6、位脈沖響應(yīng)( impulse response ) 根據(jù)根據(jù)LTI的移不變性有：的移不變性有：再根據(jù)再根據(jù)LTI的齊次性和可加性有：的齊次性和可加性有：總之，總之，LTI系統(tǒng)對(duì)任何輸入信號(hào)系統(tǒng)對(duì)任何輸入信號(hào) 的的響應(yīng)有：響應(yīng)有：上面這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱(chēng)為上面這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱(chēng)為卷積卷積和和（The convolution sumThe convolution sum）。這表明：這表明：一個(gè)一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)都可以由它的單位脈系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)都可以由它的單位脈沖響應(yīng)和輸入來(lái)表示。沖響應(yīng)和輸入來(lái)表示。卷積的意義：卷積的意義：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)完單位脈沖響應(yīng)完全表征全表征

7、LTILTI系統(tǒng)的特性系統(tǒng)的特性系統(tǒng)與系統(tǒng)與信號(hào)的統(tǒng)一。信號(hào)的統(tǒng)一。三三. . 卷積和的計(jì)算卷積和的計(jì)算計(jì)算方法計(jì)算方法：有圖解法、列表法、解析法（包有圖解法、列表法、解析法（包括數(shù)值解法）。括數(shù)值解法）。運(yùn)算過(guò)程運(yùn)算過(guò)程： 將一個(gè)信號(hào)將一個(gè)信號(hào) 不動(dòng)不動(dòng)，另一個(gè)信號(hào)經(jīng)反轉(zhuǎn)另一個(gè)信號(hào)經(jīng)反轉(zhuǎn)后成為后成為 , ,再隨參變量再隨參變量 移位為：移位為： 在每個(gè)在每個(gè) 值的情況值的情況下，將下，將 與與 對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘，再把乘積的各點(diǎn)值累加應(yīng)點(diǎn)相乘，再把乘積的各點(diǎn)值累加，即得到即得到 時(shí)刻的時(shí)刻的 。nnn例例1： 011k0 時(shí)時(shí)，0n 時(shí)時(shí)，所以所以例例2： 時(shí)時(shí)，0n 時(shí)時(shí)，04n 時(shí)時(shí)，46n

8、時(shí)時(shí)，610n 時(shí)，時(shí)，10n 通過(guò)圖形幫助確定反轉(zhuǎn)移位信號(hào)通過(guò)圖形幫助確定反轉(zhuǎn)移位信號(hào)的區(qū)間表示，對(duì)于確定卷積和計(jì)算的區(qū)間表示，對(duì)于確定卷積和計(jì)算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的。有用的。 四四. . 卷積和運(yùn)算的性質(zhì)卷積和運(yùn)算的性質(zhì)1. 交換律：交換律：結(jié)論：結(jié)論： 一個(gè)單位沖激響應(yīng)是一個(gè)單位沖激響應(yīng)是hn的的LTI系統(tǒng)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)對(duì)輸入信號(hào)xn所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個(gè)單位所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個(gè)單位沖激響應(yīng)是沖激響應(yīng)是xn的的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)hn所所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。產(chǎn)生的響應(yīng)相同。2. 結(jié)合律結(jié)合律: : 兩個(gè)兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)可以等效為一個(gè)

9、單一系統(tǒng)級(jí)聯(lián)可以等效為一個(gè)單一系統(tǒng)，該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩個(gè)級(jí)系統(tǒng)，該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩個(gè)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的卷積。聯(lián)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的卷積。 兩個(gè)級(jí)聯(lián)的兩個(gè)級(jí)聯(lián)的LTI系統(tǒng)總的單位脈沖系統(tǒng)總的單位脈沖響應(yīng)與其中各部分級(jí)聯(lián)的次序無(wú)關(guān)。響應(yīng)與其中各部分級(jí)聯(lián)的次序無(wú)關(guān)。結(jié)論：結(jié)論：3. 分配律：分配律：結(jié)論：結(jié)論： 兩個(gè)兩個(gè)LTI系統(tǒng)并聯(lián)可以用一個(gè)單系統(tǒng)并聯(lián)可以用一個(gè)單一的一的LTILTI系統(tǒng)來(lái)等效，該單個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)來(lái)等效，該單個(gè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于并聯(lián)的各個(gè)子系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)等于并聯(lián)的各個(gè)子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)之和。的單位脈沖響應(yīng)之和。4. 4. 卷積運(yùn)算還有如下性質(zhì)：卷積運(yùn)算還

10、有如下性質(zhì)：卷積和滿(mǎn)足差分、求和特性：卷積和滿(mǎn)足差分、求和特性：時(shí)移特性：時(shí)移特性：則有：若： n y n x n hn-nyn-nxnhnxn-nh000 與離散時(shí)間信號(hào)分解的思想相一致，連與離散時(shí)間信號(hào)分解的思想相一致，連續(xù)時(shí)間信號(hào)應(yīng)該可以分解成一系列移位加權(quán)續(xù)時(shí)間信號(hào)應(yīng)該可以分解成一系列移位加權(quán)的單位沖激信號(hào)的線(xiàn)性組合。至少單位階躍的單位沖激信號(hào)的線(xiàn)性組合。至少單位階躍與單位沖激之間有這種關(guān)系：與單位沖激之間有這種關(guān)系：（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）0( )( )()tu tdtd 一一. . 用沖激信號(hào)表示連

11、續(xù)時(shí)間信號(hào)用沖激信號(hào)表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)2.2 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分系統(tǒng)：卷積積分 對(duì)一般信號(hào)對(duì)一般信號(hào) ，可以將其分成很多，可以將其分成很多 寬度的區(qū)段，用一個(gè)階梯信號(hào)寬度的區(qū)段，用一個(gè)階梯信號(hào) 近似表近似表示示 。當(dāng)。當(dāng) 時(shí)時(shí)，有有( )x t0( )x t引入引入 ，即：即：( ) t1/0( )0ttotherwise 則有則有：10( )0ttotherwise ( )( ) ()x txtd 表明：表明：任何連續(xù)時(shí)間信號(hào)任何連續(xù)時(shí)間信號(hào) 都可以被分解成移位都可以被分解成移位加權(quán)的單位沖激信號(hào)的線(xiàn)性組合。加權(quán)的單位沖激信號(hào)的線(xiàn)性組合。 ( )x t于是：于是：二二. .

12、卷積積分卷積積分（The convolution integral）定義：連續(xù)時(shí)間定義：連續(xù)時(shí)間LTILTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)卷積積分的表示：卷積積分的表示：又又( )( ) ()( )( )y txh tdx th t 表明表明: :連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)可以系統(tǒng)可以完全由它的完全由它的單位沖激單位沖激 響響應(yīng)應(yīng)來(lái)表征。來(lái)表征。( )h t卷積積分卷積積分三三. . 卷積積分的計(jì)算卷積積分的計(jì)算 卷積積分的計(jì)算與卷積和很類(lèi)似，也有圖卷積積分的計(jì)算與卷積和很類(lèi)似，也有圖解法、解析法和數(shù)值解法。解法、解析法和數(shù)值解法。 運(yùn)算過(guò)程的實(shí)質(zhì)也是：參與卷積的兩個(gè)信運(yùn)算過(guò)程的實(shí)質(zhì)也是

13、：參與卷積的兩個(gè)信號(hào)中，一個(gè)不動(dòng)，另一個(gè)反轉(zhuǎn)后隨參變量號(hào)中，一個(gè)不動(dòng)，另一個(gè)反轉(zhuǎn)后隨參變量 移動(dòng)。對(duì)每一個(gè)移動(dòng)。對(duì)每一個(gè) 的值，將的值，將 和和 對(duì)應(yīng)相乘，再計(jì)算相乘后曲線(xiàn)所包圍的面積。對(duì)應(yīng)相乘，再計(jì)算相乘后曲線(xiàn)所包圍的面積。 通過(guò)圖形幫助確定積分區(qū)間和積分上下限通過(guò)圖形幫助確定積分區(qū)間和積分上下限是很有用的。是很有用的。tt( )x()h t01( )x例例1: : ( )( ),0atx teu ta( )( )h tu t 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0t ( )0y t 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，所以：所以：例例2 : : 10( )0tTx totherwise 02( )0ttTh totherwise (

14、 )( )( )( ) ()() ( )y tx th txh tdx thd02T2T( )h()x t01tTt 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0t ( )0y t 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0tT 201( )2ty tdt 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，2TtT 21( )2tt Ty tdTtT 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，23T tT 2221( )2()2Tt Ty tdTtT 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，3tT( )0y t 212T232TT3T2T0t( )yt四四. . 卷積積分運(yùn)算的性質(zhì)卷積積分運(yùn)算的性質(zhì)1. 交換律：交換律：結(jié)論：結(jié)論：一個(gè)單位沖激響應(yīng)是一個(gè)單位沖激響應(yīng)是h(t)的的LTI系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)輸入信號(hào)x(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)，

15、與一個(gè)單位沖激所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個(gè)單位沖激響應(yīng)是響應(yīng)是x(t)的的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)h(t)所產(chǎn)生所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。的響應(yīng)相同。2. 分配律：分配律：結(jié)論：結(jié)論：兩個(gè)兩個(gè)LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位沖激系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激沖激響應(yīng)之和。響應(yīng)之和。3. 結(jié)合律結(jié)合律: : 兩個(gè)兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)總的單位沖系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)總的單位沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積。積。 由于卷積運(yùn)算滿(mǎn)足交換律，因此，由于卷積運(yùn)算滿(mǎn)足交換律，因此，系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的先后次序可以調(diào)換。系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的先后次序可以調(diào)換。結(jié)論：

16、結(jié)論：4. 卷積運(yùn)算還有如下性質(zhì)：卷積運(yùn)算還有如下性質(zhì)：卷積積分滿(mǎn)足微分、積分特性：卷積積分滿(mǎn)足微分、積分特性：若若 ，則，則)()()(tythtx)()()()()(tythtxthtxtttdydhtxthdx)()()()()(卷積積分時(shí)移特性：卷積積分時(shí)移特性：)()()(tythtx若若 ，則，則)()()()()(000ttytthtxthttx將將 微分一次有微分一次有: :( )x t( )( )()x tttT( )x ttT0(1)( 1)( )( )( )( ) ( )()( )()y tx th th tttTh th tT例如：例如：2.2 中的例中的例2根據(jù)微分特

17、性有根據(jù)微分特性有: :02T2Tt( )ht212T232TT3T2T0t()yt( )( )ty tyd利用積分利用積分特性即可特性即可得得: :T2TT2T( )y t3T2TT0t2.3 線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì) LTI 系統(tǒng)可以由它的單位沖激系統(tǒng)可以由它的單位沖激/ /脈沖響應(yīng)來(lái)表征，因而其特性（記脈沖響應(yīng)來(lái)表征，因而其特性（記憶性、可逆性、因果性、穩(wěn)定性）憶性、可逆性、因果性、穩(wěn)定性）都應(yīng)在其單位沖激都應(yīng)在其單位沖激/ /脈沖響應(yīng)中有脈沖響應(yīng)中有所體現(xiàn)。所體現(xiàn)。（ Properties of Linear Time-Invariant Properties of L

18、inear Time-Invariant SystemsSystems）1. 無(wú)無(wú)記憶性和記憶性：記憶性和記憶性：故必有：故必有：即：即：所以，無(wú)記憶系統(tǒng)的單位脈沖所以，無(wú)記憶系統(tǒng)的單位脈沖/沖激響應(yīng)為：沖激響應(yīng)為： 如果如果LTI系統(tǒng)的單位沖激系統(tǒng)的單位沖激/ /脈沖響應(yīng)不滿(mǎn)足脈沖響應(yīng)不滿(mǎn)足上述要求，則系統(tǒng)是上述要求，則系統(tǒng)是記憶的記憶的。 2. 可逆性：可逆性： 如果如果LTI系統(tǒng)是可逆的，一系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個(gè)逆系統(tǒng)，且逆系統(tǒng)也是定存在一個(gè)逆系統(tǒng)，且逆系統(tǒng)也是LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)，它們級(jí)聯(lián)起來(lái)構(gòu)成一個(gè)恒等系統(tǒng)。它們級(jí)聯(lián)起來(lái)構(gòu)成一個(gè)恒等系統(tǒng)。( )x t( )x t( )h t( )g

19、t因此有：因此有：例如：例如：延時(shí)器是可逆延時(shí)器是可逆LTI系統(tǒng)系統(tǒng)， 其逆系統(tǒng)是其逆系統(tǒng)是 ，顯然有：，顯然有：0( )()h ttt0( )()g ttt00( )( )()()( )h tg tt tt tt 累加器是可逆的累加器是可逆的LTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)，其 其逆系統(tǒng)是其逆系統(tǒng)是 ，顯然也有：，顯然也有：3. 因果性：因果性：對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)有對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)有: :這是這是LTI系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件。( )0,0h tt因此必須有：因此必須有：即：即： 根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由 若若 有界，則有界，則 ; ;若系統(tǒng)穩(wěn)定，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則要

20、則要 求求 必有界，由必有界，由可知，必須有可知，必須有:對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，相應(yīng)有對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，相應(yīng)有: ( )htd t 這是這是LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。4. 穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：5. LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)： 在工程實(shí)際中，也常用單位階躍響應(yīng)來(lái)描在工程實(shí)際中，也常用單位階躍響應(yīng)來(lái)描述述LTI系統(tǒng)。單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)。單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對(duì) 或或 所產(chǎn)生的響應(yīng)。因此有所產(chǎn)生的響應(yīng)。因此有: :( )u tLTI的特性也可用單位階躍響應(yīng)來(lái)描述。的特性也可用單位階躍響應(yīng)來(lái)描述。 2.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LT

21、I系統(tǒng)系統(tǒng) 在工程實(shí)際中有相當(dāng)普遍的一類(lèi)系在工程實(shí)際中有相當(dāng)普遍的一類(lèi)系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可以用線(xiàn)性常系數(shù)微統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可以用線(xiàn)性常系數(shù)微分方程或線(xiàn)性常系數(shù)差分方程來(lái)描述。分方程或線(xiàn)性常系數(shù)差分方程來(lái)描述。分析這類(lèi)分析這類(lèi)LTI系統(tǒng)，就是要求解線(xiàn)性系統(tǒng)，就是要求解線(xiàn)性常系數(shù)微分常系數(shù)微分方程方程或差分方程?；虿罘址匠?。 ( Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations ) 求解該微分方程，通常是求出求解該微分方程，通常是求出通解通解 和和一個(gè)特解一個(gè)特解 則則 。( )pyt( )hy t( )( )(

22、 )phy ty ty t一一. .線(xiàn)性常系數(shù)微分方程線(xiàn)性常系數(shù)微分方程(LCCDE)(LCCDE)（Linear Constant-Coefficient Differential Equation）00( )( ),kkNMkkkkkkd y td x tabdtdt,kkab為常數(shù)為常數(shù)例：已知例：已知LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng) )()()(txtydttdy 2)()(tuetxt3且系統(tǒng)滿(mǎn)足初始松弛條件，即且系統(tǒng)滿(mǎn)足初始松弛條件，即if tif t00，x(tx(t) )0 0 thenthen t0t0，y(ty(t) )0 0 一般的線(xiàn)性常系數(shù)差分方程可表示為：一般的線(xiàn)性常系數(shù)差分方程

23、可表示為：可以將其改寫(xiě)為：可以將其改寫(xiě)為：若要求若要求 除了要知道所有的輸入外，還必除了要知道所有的輸入外，還必須知道須知道 。由于這種差分由于這種差分方程可以通過(guò)遞推求解，因而稱(chēng)為方程可以通過(guò)遞推求解，因而稱(chēng)為遞歸方程遞歸方程（recursive equationrecursive equation）。二二. . 線(xiàn)性常系數(shù)差分方程線(xiàn)性常系數(shù)差分方程(LCCDE)(LCCDE):(Linear Constant-Coefficient Difference Equation)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，差分方程變?yōu)椋簳r(shí)，差分方程變?yōu)椋?,0kak此時(shí)此時(shí), ,求解方程不再需要迭代運(yùn)算，求解方程不再需要迭代運(yùn)算

24、，因而稱(chēng)為因而稱(chēng)為非遞歸方程非遞歸方程（non-recursive equation）顯然，此時(shí)方程就是一個(gè)卷積顯然，此時(shí)方程就是一個(gè)卷積和的形式，相當(dāng)于和的形式，相當(dāng)于此時(shí)，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)此時(shí)，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) 是有限長(zhǎng)是有限長(zhǎng)的的, ,因而把這種方程描述的因而把這種方程描述的LTI系統(tǒng)稱(chēng)為系統(tǒng)稱(chēng)為FIR（Finite Impulse Response）系統(tǒng)系統(tǒng)。與此相。與此相應(yīng)，將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱(chēng)為應(yīng)，將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱(chēng)為IIR（Infinite Impulse Response）系統(tǒng)系統(tǒng), ,此時(shí)系此時(shí)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的序列。統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的序列。F

25、IR系統(tǒng)與系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時(shí)間系統(tǒng)是離散時(shí)間LTI系統(tǒng)中兩系統(tǒng)中兩類(lèi)很重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)類(lèi)很重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計(jì)方法都存在很大的差異。計(jì)方法都存在很大的差異。三三. .由微分和差分方程描述的由微分和差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框系統(tǒng)的方框圖表示圖表示 Block-Diagram Respresentation of the LTI System described by LCCDE）1. 離散時(shí)間系統(tǒng)的三種基本網(wǎng)絡(luò)單元：離散時(shí)間系統(tǒng)的三種基本網(wǎng)絡(luò)單元：相加器相加器乘以系數(shù)乘以系數(shù)單位延遲單位延遲例：因果系統(tǒng)例：因果系統(tǒng) ，建立，建立該系統(tǒng)的方框圖表示該系統(tǒng)

26、的方框圖表示nbxnayny1例：因果系統(tǒng)例：因果系統(tǒng) ，建立，建立該系統(tǒng)的方框圖表示，首先：該系統(tǒng)的方框圖表示，首先：nbxnayny11naynbxnynxbaDny 2. 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)單元連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)單元相加器相加器乘以系數(shù)乘以系數(shù)微分器微分器積分器積分器 但由于微分器不僅在工程實(shí)現(xiàn)上有困難，但由于微分器不僅在工程實(shí)現(xiàn)上有困難，而且對(duì)誤差及噪聲極為靈敏，因此，工程上而且對(duì)誤差及噪聲極為靈敏，因此，工程上通常使用積分器而不用微分器。通常使用積分器而不用微分器。)()()(tbxtaydttdy例：已知因果系統(tǒng)例：已知因果系統(tǒng) ，確定該系統(tǒng)的方框圖表示。確定該系統(tǒng)的方框圖

27、表示。tdaybxty)()()( 在第一章介紹單位沖激時(shí)，采用極限的在第一章介紹單位沖激時(shí)，采用極限的觀點(diǎn)，將觀點(diǎn)，將 視為視為 在在 時(shí)的極限。時(shí)的極限。這種定義或描述這種定義或描述 的方法在數(shù)學(xué)上仍然是的方法在數(shù)學(xué)上仍然是不嚴(yán)格的，因?yàn)榭梢杂性S多不同函數(shù)在不嚴(yán)格的，因?yàn)榭梢杂性S多不同函數(shù)在 時(shí)都表現(xiàn)為與時(shí)都表現(xiàn)為與 有相同的特性。有相同的特性。( ) t( ) t0( ) t0( ) t2.5 奇異函數(shù)奇異函數(shù)（Singularity function） 例如例如: :以下信號(hào)的面積都等于以下信號(hào)的面積都等于1 1，而且，而且時(shí)，它們的極限都表現(xiàn)為單位沖激時(shí)，它們的極限都表現(xiàn)為單位沖激。

28、0 01t( ) t021t( )( )( )r ttt0241t( )( )r tr t 之所以產(chǎn)生這種現(xiàn)象，是因?yàn)橹援a(chǎn)生這種現(xiàn)象，是因?yàn)?是一個(gè)是一個(gè)理想化的非常規(guī)函數(shù)，被稱(chēng)為理想化的非常規(guī)函數(shù)，被稱(chēng)為奇異函數(shù)奇異函數(shù)。通。通常采用在卷積或積分運(yùn)算下函數(shù)所表現(xiàn)的特常采用在卷積或積分運(yùn)算下函數(shù)所表現(xiàn)的特性來(lái)定義奇異函數(shù)。性來(lái)定義奇異函數(shù)。( ) t一一. . 通過(guò)卷積定義通過(guò)卷積定義( ) t定義定義 為一個(gè)信號(hào)，對(duì)任何為一個(gè)信號(hào)，對(duì)任何 信號(hào)有：信號(hào)有： ( ) t( )( )( )x tx tt( ) t 根據(jù)定義可以得出根據(jù)定義可以得出 的如下性質(zhì)：的如下性質(zhì)： ( ) t 根據(jù)上述定義可以得出根據(jù)上述定義可以得出 的如下性質(zhì)：的如下性質(zhì)： 00( )( )( )( )( )( )()( )()x ttx ttttt ttt t 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有( )1x t ( )( )() ( )( )1x ttx tdd ( )1t dt1)(0dttt 此式即可作為在積分運(yùn)算下此式即可作為在積分運(yùn)算下 的的定義式。定義式。( ) t 采樣性：采樣性： 原點(diǎn)采樣公式原點(diǎn)采樣公式 )0()()0()()0()()(xdttxdtt