第2章 能量守恒定律.

1、2- -4 基本教學要求基本教學要求 一、掌握一、掌握功的概念功的概念, , 能計算變力的功，能計算變力的功，理解理解保守力作功的特點及勢能的概念，會計保守力作功的特點及勢能的概念，會計算萬有引力、重力和彈性力的勢能算萬有引力、重力和彈性力的勢能 二、掌握二、掌握動能定理、功能原理和機械動能定理、功能原理和機械能守恒定律，能守恒定律，掌握掌握運用動量和能量守恒定運用動量和能量守恒定律分析力學問題的思想和方法律分析力學問題的思想和方法 三、了解三、了解完全彈性碰撞和完全非彈性完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞的特點，并能處理較簡單的碰撞的特點，并能處理較簡單的完全彈性完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞的問題

2、碰撞和完全非彈性碰撞的問題2-4-4 基本教學要求基本教學要求2-4-1 功和功率功和功率 功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描寫了力對空間積累作用。寫了力對空間積累作用。功的定義： 在力在力 的作用下，的作用下，物體發(fā)生了位移物體發(fā)生了位移 ，則，則把力在位移方向的分力與把力在位移方向的分力與位移位移 的乘積稱為功。的乘積稱為功。FrrxyzO1rrFFrFrFcosW國際單位：國際單位：焦耳焦耳（J ）NmabFrd 質(zhì)點由質(zhì)點由a點沿曲線運動到點沿曲線運動到b點的過程中，變力點的過程中，變力 所所作的功作的功 。F元功：rFWddcosbbaaWFrFrd

3、d合力的功：合力的功：rFFFrFWbanbadd21banbabarFrFrFddd21結(jié)論：合力對質(zhì)點所作的功等于每個分力對合力對質(zhì)點所作的功等于每個分力對質(zhì)點作功之代數(shù)和質(zhì)點作功之代數(shù)和 。在直角坐標系在直角坐標系Oxyz中中 kFjFiFFzyxk zj yi xr zFyFxFkzj yi xkFjFiFrFWzybaxbazyxbaxxddddddd在自然坐標系中，力在自然坐標系中，力 和和 可寫成如下可寫成如下形式：形式：Fdrt tn nFFeF etdrdsetdWF drFds質(zhì)點沿曲線從質(zhì)點沿曲線從s0運動到運動到s1過程中，力所做過程中，力所做的功為：的功為：10sts

4、WFds功率是反映作功快慢程度的物理量。功率是反映作功快慢程度的物理量。功率：功率：平均功率：平均功率：tWP瞬時功率：瞬時功率：tWtWPtddlim0瓦特瓦特（W）=（J/s）vFtrFtWPdddd設作用在質(zhì)量為設作用在質(zhì)量為2kg的物體上的力的物體上的力F = 6t N。如。如果物體由靜止出發(fā)沿直線運動，在頭果物體由靜止出發(fā)沿直線運動，在頭2（s）內(nèi)這力）內(nèi)這力作了多少功？作了多少功？ttmFa326taddvtttad3ddv兩邊積分：兩邊積分：ttt00d3dvv223tvtxddvtttxd23dd2 v20420249d236dttttxFWJ362-4-2 動能和動能定理 質(zhì)

5、點因有速度而具有的作功本領。質(zhì)點因有速度而具有的作功本領。221vmEk單位：單位：（J）設質(zhì)點設質(zhì)點m在力的作用下沿在力的作用下沿曲線從曲線從a點移動到點移動到b點點sFrFWdcosddrdFab1質(zhì)點動能定理質(zhì)點動能定理)(21dd212221vvvvvvmmWW質(zhì)點的動能定理：質(zhì)點的動能定理：合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。1221222121kkEEmmWvvvvvdddddcosdmstmsFWtmmaFddcosv解解d5dxxtvddyyttv2225tv2221113J22Wmmvv例例 質(zhì)量為質(zhì)量為 的質(zhì)點的質(zhì)點, 在平面內(nèi)在

6、平面內(nèi)運動運動, 方程為方程為 ，求，求從從 到到 這段時間內(nèi)，外力對質(zhì)點這段時間內(nèi)，外力對質(zhì)點作的功作的功.25 (m)0.5 (m)tyt，x0.5kgm 4st 2st 2質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理 iFif一個由一個由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，考察第個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，考察第i個質(zhì)點。個質(zhì)點。 質(zhì)點的動能定理：質(zhì)點的動能定理： iiEE1k2k內(nèi)外iiWW對系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點求和對系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點求和 niiniiEE11k12kniniiiWW11外內(nèi)12kkEE外內(nèi)WW 質(zhì)點系動能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和質(zhì)點系動能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內(nèi)力作功之代數(shù)和。內(nèi)力作功之代數(shù)

7、和。 內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)的總動能。的總動能。 例例2 如圖所示，用質(zhì)量為如圖所示，用質(zhì)量為M的鐵錘把質(zhì)量為的鐵錘把質(zhì)量為m 的釘子的釘子敲入木板。設木板對釘子的阻力與釘子進入木板的深敲入木板。設木板對釘子的阻力與釘子進入木板的深度成正比。在鐵錘敲打第一次時，能夠把釘子敲入度成正比。在鐵錘敲打第一次時，能夠把釘子敲入1cm深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完全相同，問第二次能把釘子敲入多深？全相同，問第二次能把釘子敲入多深？1S2SxO設鐵錘敲打釘子前的設鐵錘敲打釘子前的速度為速度為v0，敲打后兩者的共同速敲打后兩者的共同速度

8、為度為v。 vv)(0mMMmMM0vv鐵錘第一次敲打時，克服阻力做功，設釘子所受阻鐵錘第一次敲打時，克服阻力做功，設釘子所受阻力大小為：力大小為： kxf由動能定理，由動能定理， 有：有：2102021d2101kSxkxmSv0vv ,mMSSSxkxm11d21020v設鐵錘第二次敲打時能敲入的深度為設鐵錘第二次敲打時能敲入的深度為S ，則有，則有212121)(21kSSSk21212)(SSS112SSS化簡后化簡后第二次能敲入的深度為：第二次能敲入的深度為： cm41. 0cm1) 12(211SSS2-4-3 保守力與非保守力 勢能（1）重力的功）重力的功bzazxyzOabrg

9、m),(aaazyxa初始位置初始位置),(bbbzyxb末了位置末了位置baabrFWdkzj yi xkmgbadddbabazzmgzmgd 重力做功僅取決于質(zhì)點的始、末位置重力做功僅取決于質(zhì)點的始、末位置z za a和和z zb b，與質(zhì)點經(jīng)過的具體路徑無關。與質(zhì)點經(jīng)過的具體路徑無關。 （2） 萬有引力作功萬有引力作功 設質(zhì)量為設質(zhì)量為M的質(zhì)點固的質(zhì)點固定，另一質(zhì)量為定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點的質(zhì)點在在M 的引力場中從的引力場中從a a點運點運動到動到b b點。點。rerMmGF20barrrrerMmGWd20rrrerdcosddrrdrrd crdMabarbrbarrrrMmGrr

10、MmGWba11d020 萬有引力作功只與質(zhì)點的始、末位置有關，而萬有引力作功只與質(zhì)點的始、末位置有關，而與具體路徑無關。與具體路徑無關。 （3）彈性力的功）彈性力的功x2box1mxamFx由虎克定律：由虎克定律：ikxF2121dddxxxxxkxi xikxxFW22212121kxkxW 彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關，彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關，而與彈性變形的過程無關。而與彈性變形的過程無關。作功與路徑無關，只與始末位置有關的力。作功與路徑無關，只與始末位置有關的力。保守力沿任何閉合路徑作功等于零。保守力沿任何閉合路徑作功等于零。0drF設保守力沿閉合路徑設保守力

11、沿閉合路徑acbda作功作功abcd按保守力的特點：按保守力的特點：因為：因為：所以：所以：adbacbWWbdaacbWW0acbacbbdaacbWWWWW物體在保守力場中物體在保守力場中a、b兩點的勢能兩點的勢能Epa與與 Epb之差，等之差，等于質(zhì)點由于質(zhì)點由a點移動到點移動到b點過程中保守力所做的功點過程中保守力所做的功Wab。abbapbpaWrFEEdppapbabEEEW)(由物體的相對位置所確定的系統(tǒng)能量稱為由物體的相對位置所確定的系統(tǒng)能量稱為勢能勢能（E Ep p）（1）勢能是一個系統(tǒng)的屬性。）勢能是一個系統(tǒng)的屬性。（2）（3）勢能的零點可以任意選取。）勢能的零點可以任意選

12、取。 設空間設空間r0點為勢能的零點，則空間任意一點點為勢能的零點，則空間任意一點 r的勢能為：的勢能為：orropprFrErErEd)()()( 空間某點的勢能空間某點的勢能Ep在數(shù)值上等于質(zhì)點從該在數(shù)值上等于質(zhì)點從該點移動到勢能零點時保守力做的功。點移動到勢能零點時保守力做的功。mghEp（地面（地面（h = 0= 0）為勢能零點）為勢能零點）221kxEp（彈簧自由端為勢能零點）（彈簧自由端為勢能零點）rMmGEp0（無限遠處為勢能零點）（無限遠處為勢能零點）保守力與勢能的積分關系：pEW保守力與勢能的微分關系：pEWddzFyFxFrFWzyxdddddzzEyyExxEEzyppd

13、ddd所以：所以：xEFpxyEFpyzEFpzkzEjyEixEFppp保守力的矢量式： 保守力沿各坐標方向的分量，在數(shù)值上等于系保守力沿各坐標方向的分量，在數(shù)值上等于系統(tǒng)的勢能沿相應方向的空間變化率的負值，其方向統(tǒng)的勢能沿相應方向的空間變化率的負值，其方向指向勢能降低的方向。指向勢能降低的方向。 結(jié)論：2-4-4 機械能守恒定律21ppWEE 保內(nèi)12kkEE外內(nèi)WW質(zhì)點系的動能定理：質(zhì)點系的動能定理：非保內(nèi)保內(nèi)內(nèi)WWW其中其中12kkEEWWW非保內(nèi)保內(nèi)外 1p1k2p2kEEEEWW非保內(nèi)外pkEEE機械能12EEWW非保內(nèi)外 質(zhì)點系機械能的增量等于所有外力和所有非保質(zhì)點系機械能的增量

14、等于所有外力和所有非保守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。 質(zhì)點系的功能原理0外W如果如果0非保內(nèi)W，pkEEE恒量 當系統(tǒng)只受保守內(nèi)力作功時，質(zhì)點系的總機當系統(tǒng)只受保守內(nèi)力作功時，質(zhì)點系的總機械能保持不變。械能保持不變。機械能守恒定律 注意：（1 1）機械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于）機械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于非慣性系。這是因為慣性力可能作功。非慣性系。這是因為慣性力可能作功。（2 2）在某一慣性系中機械能守恒，但在另一慣性）在某一慣性系中機械能守恒，但在另一慣性系中機械能不一定守恒。這是因為外力的功與參系中機械能不一定守恒。這是因為外力的功與參考系的選擇有關。對一

15、個參考系外力功為零，但考系的選擇有關。對一個參考系外力功為零，但在另一參考系中外力功也許不為零。在另一參考系中外力功也許不為零。例例3. 傳送帶沿斜面向上運行速度為傳送帶沿斜面向上運行速度為v = 1m/s，設物料無，設物料無初速地每秒鐘落到傳送帶下端的質(zhì)量為初速地每秒鐘落到傳送帶下端的質(zhì)量為M = 50kg/s，并，并被輸送到高度被輸送到高度h = 5m處，求配置的電動機所需功率。處，求配置的電動機所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量損失）（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量損失）hv解：解： 在在t 時間內(nèi)，質(zhì)量為時間內(nèi)，質(zhì)量為Mt 的物料落到皮帶的物料落到皮帶上，并獲得速度上，并獲

16、得速度v 。t內(nèi)內(nèi)系統(tǒng)動能的增量：系統(tǒng)動能的增量：0212vtMEki重力做功：重力做功：ghtMW電動機對系統(tǒng)做的功：電動機對系統(tǒng)做的功：tP由動能定理：由動能定理：221vtMghtMtPW247558 . 92150222ghMPv例例4. 一長度為一長度為2l的均質(zhì)鏈條，平衡地懸掛在一光滑的均質(zhì)鏈條，平衡地懸掛在一光滑圓柱形木釘上。若從靜止開始而滑動，求當鏈條離圓柱形木釘上。若從靜止開始而滑動，求當鏈條離開木釘時的速率（木釘?shù)闹睆娇梢院雎裕╅_木釘時的速率（木釘?shù)闹睆娇梢院雎裕┙饨庠O單位長度的質(zhì)量為設單位長度的質(zhì)量為l 2lOOcc始末兩態(tài)的中心分別為始末兩態(tài)的中心分別為c和和c機械能守

17、恒：機械能守恒： 2221222vlglllg l解得解得lgv例例5. 5. 計算第一，第二宇宙速度計算第一，第二宇宙速度已知：地球半徑為已知：地球半徑為R，質(zhì)量，質(zhì)量為為M，衛(wèi)星質(zhì)量為，衛(wèi)星質(zhì)量為m。要使。要使衛(wèi)星在距地面衛(wèi)星在距地面h高度繞地球高度繞地球作勻速圓周運動，求其發(fā)作勻速圓周運動，求其發(fā)射速度。射速度。解：解：設發(fā)射速度為設發(fā)射速度為v1，繞地球的運動速度為，繞地球的運動速度為v。機械能守恒：機械能守恒：hRMmGmRMmGm2212121vvRMm由萬有引力定律和牛頓定律：由萬有引力定律和牛頓定律：hRmhRMmG22v解方程組，得：解方程組，得：hRGMRGM21v2RmM

18、Gmg gRRGM代入上式，得：代入上式，得：)2(1hRRgRvRh 131109 . 7smgRv2. 第二宇宙速度第二宇宙速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度（1）脫離地球引力時，飛船的動能必須大于或至少）脫離地球引力時，飛船的動能必須大于或至少 等于零。等于零。由機械能守恒定律：由機械能守恒定律：02122pkEERMmGmv解得：解得：1312sm102 .11222vvgRRGM（2）脫離地球引力處，飛船的引力勢能為零。）脫離地球引力處，飛船的引力勢能為零。 一輕彈簧一輕彈簧, 其一端系在其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點鉛直放置的圓環(huán)的

19、頂點P，另一端系一質(zhì)量為另一端系一質(zhì)量為m 的小的小球球, 小球穿過圓環(huán)并在環(huán)上小球穿過圓環(huán)并在環(huán)上運動運動( (=0) )開始球靜止開始球靜止于點于點 A, 彈簧處于自然狀態(tài)，彈簧處于自然狀態(tài)，其長為環(huán)半徑其長為環(huán)半徑R; 30oPBRA當球運動到環(huán)的底端點當球運動到環(huán)的底端點B時，球?qū)Νh(huán)沒有壓時，球?qū)Νh(huán)沒有壓力求彈簧的勁度系數(shù)力求彈簧的勁度系數(shù) 解解 以彈簧、小球和以彈簧、小球和地球為一系統(tǒng)地球為一系統(tǒng)BA只有保守內(nèi)力做功只有保守內(nèi)力做功系統(tǒng)系統(tǒng)ABEE 即即)30sin2(2121022mgRkRmBvRmmgkRB2v又又Rmgk2所以所以取點取點B為重力勢能零點為重力勢能零點0pE3

20、0oPBRA2-4-5 碰撞 兩個或兩個以上的物體在運動中兩個或兩個以上的物體在運動中發(fā)生極其短暫的相互作用，使物體的發(fā)生極其短暫的相互作用，使物體的運動狀態(tài)發(fā)生急劇變化，這一過程稱運動狀態(tài)發(fā)生急劇變化，這一過程稱為為碰撞碰撞。 1m1m2m2m1m10v20v1v2vxO動量守恒動量守恒2211202101vvvvmmmm完全彈性完全彈性碰撞：碰撞：碰撞碰撞后物體后物體系統(tǒng)系統(tǒng)的的動動能沒有損失能沒有損失。 非彈性碰撞非彈性碰撞：碰撞碰撞后物體后物體系統(tǒng)系統(tǒng)的的動動能有損失能有損失。 完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞：碰撞碰撞后物體后物體系統(tǒng)系統(tǒng)的的動動能有損失能有損失，且且碰撞后碰撞后物體物體

21、以同一速度運動以同一速度運動。 1. 完全彈性碰撞完全彈性碰撞 2222112202210121212121vvvvmmmm2211202101vvvvmmmm210110212221202102112)(2)(mmmmmmmmmmvvvvvv(1) 如果如果m1= m2 ，則，則v1 = v20 ，v2 = v10，即兩物體即兩物體在碰撞時速度在碰撞時速度發(fā)生了發(fā)生了交換交換。 (2) 如果如果v20 =0 , 且且 m2 m1, 則則v1 = - v10, v2 = 02完全完全非非彈性碰撞彈性碰撞 21202101mmmmvvv由動量守恒定律由動量守恒定律完全非彈性碰撞中完全非彈性碰撞中

22、動動能的損失能的損失 22122022101(21)2121()vvvmmmmE)(2)(212201021mmmmvv牛頓的牛頓的碰撞定律碰撞定律：在一維對心碰撞在一維對心碰撞中，中，碰撞碰撞后兩物后兩物體的分離速度體的分離速度 v2 2- - v1 1 與與碰撞碰撞前兩物體的接近速度前兩物體的接近速度 v1010- - v2020 成正比成正比，比值由兩物體的材料比值由兩物體的材料性質(zhì)性質(zhì)決定決定。 3非非彈性碰撞彈性碰撞201012vvvve e 為恢復系數(shù)為恢復系數(shù) e = 0，則則v2 = v1，為，為完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞。 e =1，則分離速度等于接近速度則分離速度等于接近

23、速度，為，為完全彈性碰撞完全彈性碰撞。 一般一般非彈性碰撞非彈性碰撞碰撞碰撞：0 e 1 如果系統(tǒng)的狀態(tài)在某種操作下保持不變，則稱如果系統(tǒng)的狀態(tài)在某種操作下保持不變，則稱該系統(tǒng)對于這一操作具有該系統(tǒng)對于這一操作具有對稱性對稱性。 如果某一物理現(xiàn)象或規(guī)律在某一變換下保持不變，則稱該現(xiàn)象或規(guī)律具有該變換所對應的對稱性。 物理學中最常見的對稱操作：物理學中最常見的對稱操作： 時間操作：時間操作：時間平移、時間反演等；時間平移、時間反演等； 空間操作：空間操作：空間平移、旋轉(zhuǎn)、鏡像反射、空間反演等。空間平移、旋轉(zhuǎn)、鏡像反射、空間反演等。 時空操作：時空操作：伽利略變換、洛侖茲變換等。伽利略變換、洛侖茲

24、變換等。 zxyO1空間的對稱性及其操作（1）空間平移操作）空間平移操作zzyyxx,系統(tǒng)具有空間平移對稱性。系統(tǒng)具有空間平移對稱性。 x（2）空間反演操作）空間反演操作zzzyyyxxx,空間反演操作下空間反演操作下不變的系統(tǒng)具有不變的系統(tǒng)具有對對O O點的對稱性。點的對稱性。 xyz（ 3）鏡像反射操作）鏡像反射操作 xx不變zy,zxyyzx（4）空間旋轉(zhuǎn)）空間旋轉(zhuǎn)（球?qū)ΨQ球?qū)ΨQ）操作操作 zyxO在此操作下系統(tǒng)稱具有球在此操作下系統(tǒng)稱具有球?qū)ΨQ性。對稱性。 rr保持不變保持不變（5）空間旋轉(zhuǎn)）空間旋轉(zhuǎn)（軸對稱軸對稱）操作操作r保持不變,對繞對繞 z 軸作任意旋轉(zhuǎn)都不變的系統(tǒng)具有軸對稱性。軸作任意旋轉(zhuǎn)都不變的系統(tǒng)具有軸對稱性。 2時間的對稱性及其操作（1）時間平移操作）時間平移操作ttt，系統(tǒng)不變，系統(tǒng)不變例如例如,系統(tǒng)作周期性變化系統(tǒng)作周期性變化（2）時間反演操作）時間反演操作tt系統(tǒng)具有時間反演對稱性。系統(tǒng)具有時間反演對稱性。 3時空的對稱性操作 物理規(guī)律對對于某一變換（也是一個時