矩陣理論第二章矩陣的標準型

1、G G E ME M2 矩陣的標準型矩陣的標準型1目錄目錄n2.1 一元多項式一元多項式n2.2 因式分解定理因式分解定理n2.3 矩陣化簡矩陣化簡n2.4 l l 陣的標準形陣的標準形 n2.5 矩陣相似的條件矩陣相似的條件n 2.6 矩陣的若當標準形矩陣的若當標準形n 2.7 矩陣的最小多項式矩陣的最小多項式 G G E ME M2.1 一元多項式一元多項式定義定義. .設(shè)設(shè) n 是一個非負整數(shù)，表達式是一個非負整數(shù)，表達式 0111axaxaxannnn 2上的一元多項式，上的一元多項式，稱為數(shù)域稱為數(shù)域 FFaaan ,10，其中其中.0 稱為零多項式稱為零多項式特別地，特別地，)(|

2、 )(上的一元多項式上的一元多項式是數(shù)域是數(shù)域 FxfxfxF G G E ME M1110( )nnnnf xa xaxa xa 3則稱則稱 f(x)與與 g(x)相等相等，記作，記作 f(x)= g(x)。為首項系數(shù)，為首項系數(shù)，的首項，的首項，為為則稱則稱若若nnnnaxfxaa)(, 0 1110( )mmmmg xb xbxb xb 若其同次項的系數(shù)都相等，即若其同次項的系數(shù)都相等，即,0iiab i. 0).()(deg)(零多項式次數(shù)定義為或記作的次數(shù)，稱為xfxfxfn定義定義. .)(, )(xFxgxf 設(shè)設(shè)G G E ME M4多項式加法多項式加法為了方便起見，設(shè)為了方便

3、起見，設(shè)0,1 mnbbmn1111100()()()()nnnnnnab xabxab xab ( )( )f xg x 0()niiiiab x deg( ( )( )maxdeg( ),deg ( )f xg xf xg xG G E ME M5運算規(guī)律運算規(guī)律:)()()()() 1 (xfxgxgxf 交換律：交換律：0)()(:)4( xfxf負元素負元素(3)( )0( )f xf x零零元元素素：)()()()()()( :)2(xhxgxfxhxgxf 結(jié)合律結(jié)合律G G E ME M6數(shù)乘多項式數(shù)乘多項式1110( )nnnnkf xka xkaxka xka 0niiik

4、a x 運算規(guī)律運算規(guī)律:)()()() 1 (xfxf l lll 結(jié)合律：結(jié)合律：)()(1:) 4(xfxf單位元？(3)( ( )( )( )( )分配律： f xg xf xg xllllll)()()()( :)2(xfxfxf l l l l 分配律分配律G G E ME M7( ) ( )f x g x多項式乘法多項式乘法111100100()()n mn mnmnmnma b xa babxa ba b xa b其中其中k 次項的系數(shù)是次項的系數(shù)是011110kkkkijij ka baba ba ba b m nkijk oij ka bx deg( ( ) ( )deg(

5、 )deg ( )f x g xf xg xG G E ME M8運算規(guī)律運算規(guī)律:)()()()() 1 (xfxgxgxf 交換律：交換律：)()(1:)5(xfxf 單單位位元元(4)( ) ( )( ) ( ), ( )0f x h xg x h xh x消消去去律律： 若若)()()()()()( :)2(xhxgxfxhxgxf 結(jié)合律結(jié)合律)()()()()()()(:)3(xhxfxgxfxhxgxf 分配律分配律)()(xgxf 則則G G E ME M)()()()(xrxgxqxf 90)()(deg)(deg xrxgxr或或其中其中定理定理2.1.1（帶余除法）（帶余

6、除法）設(shè)設(shè) f(x)和和 g(x)是數(shù)域是數(shù)域 F 上的多項式上的多項式，并且并且q(x)和和 r(x)是唯一的，是唯一的， 帶余除法帶余除法且且 g(x) 0，則必存在多項式，則必存在多項式 q(x)和和 r(x) ，使得，使得若若r(x)=0，則稱，則稱 g(x)是是 f(x)的因式，的因式， f(x)是是 g(x)的倍式，的倍式， 也稱也稱 g(x)能整除能整除 f(x)，并記作，并記作 g(x)| | f(x)。G G E ME M10例例2.1.1設(shè)設(shè) f(x)和和 g(x) 是有理數(shù)域是有理數(shù)域 F上的兩個多項式上的兩個多項式 432( )42659,f xxxxx2( )254g

7、 xxx求滿足等式求滿足等式 的多項式的多項式( ), ( )q xr x )()()()(xrxgxqxf G G E ME M112( )243q xxx( )33r xx 2432254 42659xxxxxx22x2348104xxx 9514823 xxxx4 xxx1620823 91162 xx3 )()()()(xrxgxqxf 121562 xx34 xG G E ME M122.2 因式分解定理因式分解定理若若h(x)既是既是 f(x)的因式，又是的因式，又是 g(x)的因式，的因式，則稱則稱h(x)為為 f(x)與與 g (x)的一個公因式。的一個公因式。 定義定義. .

8、 )()(, )(xFxhxgxf ，設(shè)設(shè)若若h(x)既是既是 f(x)的倍式，又是的倍式，又是 g(x)的倍式，的倍式，則稱則稱h(x)為為 f(x)與與 g (x)的一個公倍式。的一個公倍式。 G G E ME M的公因式；的公因式；與與是是)()()()1(xgxfxd的因式；的因式；的公因式都是的公因式都是與與)()()()2(xdxgxf則稱則稱 d(x)為為 f(x)和和 g(x) 的一個最大公因式。的一個最大公因式。的公倍式；的公倍式；與與是是)()()()1(xgxfxd的倍式；的倍式；的公倍式都是的公倍式都是與與)()()()(xdxgxf2則稱則稱 d(x)為為 f(x)和

9、和 g(x) 的一個最小公倍式。的一個最小公倍式。，并且滿足并且滿足: :)(),(, )(xFxdxgxf 設(shè)設(shè)，并且滿足并且滿足: :)(),(, )(xFxdxgxf 設(shè)設(shè)G G E ME M14使得使得d(x)是是 f(x)和和 g(x)的一個最大公因式，的一個最大公因式，定理定理2.2.12.2.1,)(,)(, )(xFxdxFxgxf 則存在則存在設(shè)設(shè)),()()()()(xgxvxfxuxd 并且并且.)(),(xFxvxu 其中其中G G E ME M15不可約多項式不可約多項式定義定義. . 設(shè)設(shè) ，若，若 在數(shù)域在數(shù)域F上只有平凡因式，上只有平凡因式，)(xFxp )(x

10、p則稱則稱 為域為域 F上的不可約多項式，上的不可約多項式，)(xp否則，稱否則，稱 為域為域F上的可約多項式。上的可約多項式。 )(xp注意：注意：(1) 一次多項式總是不可約多項式；一次多項式總是不可約多項式； (2) 多項式的不可約性與其所在系數(shù)域密切相關(guān)。多項式的不可約性與其所在系數(shù)域密切相關(guān)。 例如，例如，22(2 )(2 )xxixi G G E ME M16因式分解唯一性定理因式分解唯一性定理 定理定理. 數(shù)域數(shù)域F上任一個次數(shù)不小于上任一個次數(shù)不小于1的多項式的多項式 f(x)都可以都可以唯一地分解成數(shù)域唯一地分解成數(shù)域F上有限個不可約多項式的乘積。上有限個不可約多項式的乘積。

11、 其唯一性是指，若有兩個分解式其唯一性是指，若有兩個分解式 12( )( )( )( )sf xpx pxpx 12( )( )( )tqx qxq x 則則 s = t , 并且經(jīng)過對因式的適當排序后有并且經(jīng)過對因式的適當排序后有 ( )( ),1, 2,iiip xc q xis其中其中 為非零常數(shù)。為非零常數(shù)。 ,1, 2,icis G G E ME M17稱為標準分解式。稱為標準分解式。 1212( )( )( )( )srrrsf xapx pxpx 分解式分解式其中其中a 是是 f(x)的首項系數(shù)，的首項系數(shù)， 是首項系數(shù)為的是首項系數(shù)為的( )ip x不可約多項式，而不可約多項式

12、，而 是正整數(shù)是正整數(shù)ir(1, 2, )is G G E ME M18復(fù)系數(shù)多項式的因式分解定理：復(fù)系數(shù)多項式的因式分解定理： 因式分解定理因式分解定理 次數(shù)次數(shù)不小于不小于1的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域上的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域上可唯一地分解成一次因式的乘積。可唯一地分解成一次因式的乘積。 標準分解式為標準分解式為 1212( )() ()()snnnnkf xaxrxrxr 復(fù)系數(shù)多項式復(fù)系數(shù)多項式110( )nnnnf xa xaxa 的的其中其中 是正整數(shù)，且是正整數(shù)，且 in12snnnn G G E ME M19實系數(shù)多項式的因式分解定理：實系數(shù)多項式的因式分解定理： 次數(shù)次數(shù)不小于不小

13、于1的實系數(shù)多項式在實數(shù)域上的實系數(shù)多項式在實數(shù)域上可唯一地分解成一次因式可唯一地分解成一次因式和二次不可約因式和二次不可約因式的乘積。的乘積。 標準分解式為標準分解式為 1122111( )()() ()()stnmnmnsttf xaxrxrxp xqxp xq 實系數(shù)多項式實系數(shù)多項式110( )nnnnf xa xaxa 的的其中其中 和和 是正整數(shù)，且是正整數(shù)，且 in1122stnnmmn imG G E ME M的標準分解式。的標準分解式。例例 求求 8481224)(234567 xxxxxxxxf在實數(shù)域上在實數(shù)域上的標準分解式的標準分解式: 在復(fù)數(shù)域上在復(fù)數(shù)域上的標準分解式

14、的標準分解式: 222)22()1)(2()( xxxxxf222)1()1()1)(2()(ixixxxxf G G E ME M212.3 矩陣化簡矩陣化簡文件在計算機中存儲方式：文件在計算機中存儲方式：二進制代碼二進制代碼特別地：圖像在電腦中存儲方式（除了文件頭等）特別地：圖像在電腦中存儲方式（除了文件頭等）黑白：黑白：0-1矩陣，如分辨率為矩陣，如分辨率為1024*980的一的一張黑白照片，占用空間為張黑白照片，占用空間為1024*980*1/8= 122.5kb 。 彩色：三基色（紅、綠、藍）理論，每一種顏色彩色：三基色（紅、綠、藍）理論，每一種顏色分級為分級為0-255，一個像素占

15、用，一個像素占用1*3個字節(jié)，全個字節(jié)，全為為0表示黑色，全為表示黑色，全為255表示白色；表示白色；如分辨率為如分辨率為1024*980的一張彩色照片，占用的一張彩色照片，占用空間為空間為1024*980*8*3/8= 2940 kb。 問題：問題：存儲空間有限，文件如何化簡？存儲空間有限，文件如何化簡？G G E ME M22將存儲空間的將存儲空間的0-1看成一個矩陣，進行矩陣的化簡看成一個矩陣，進行矩陣的化簡矩陣化簡的種類：矩陣化簡的種類：矩陣合同矩陣合同：對：對n階方陣階方陣A和和B，如果存在可逆矩，如果存在可逆矩陣陣C滿足滿足B=CTAC，就稱矩陣，就稱矩陣A和和B 合同。合同。矩陣

16、等價矩陣等價：對矩陣：對矩陣A和和B，如果矩陣，如果矩陣B可以經(jīng)可以經(jīng)過一系列初等變換化為過一系列初等變換化為A，就稱矩陣，就稱矩陣A和和B 合等價合等價 。 矩陣相似矩陣相似： n階方陣階方陣A和和B，如果存在可逆，如果存在可逆矩陣矩陣C滿足滿足B=C-1AC，就稱矩陣，就稱矩陣A和和B相似。相似。 G G E ME M矩陣的相似是利用最多的一種方式矩陣的相似是利用最多的一種方式一個矩陣相似于對角矩陣的充要條件是矩陣有一個矩陣相似于對角矩陣的充要條件是矩陣有n（原矩陣階數(shù)）個線性無關(guān)的特征向量。（原矩陣階數(shù)）個線性無關(guān)的特征向量。不是所有的矩陣相似于對角矩陣，如不是所有的矩陣相似于對角矩陣，

17、如1101A問題：問題：不能相似于對角矩陣的方陣相似最簡不能相似于對角矩陣的方陣相似最簡單情況是什么？單情況是什么？G G E ME M242.4 l l 陣的標準形陣的標準形 定義定義. 元素是元素是 l l 的多項式的矩陣稱為的多項式的矩陣稱為l l 矩陣，記作矩陣，記作A(l l )例如例如 232211121)(l ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll lA 01100001101010112110101000001000000023l ll ll lG G E ME M定義定義. 設(shè)設(shè)l l 矩陣矩陣 A(l l), B(l l) 滿足滿足稱稱 A(l l )為

18、可逆的為可逆的l l 矩陣，且矩陣，且B(l l )為為A(l l )的逆。的逆。EABBA )()()()(l ll ll ll l為非零常數(shù)。為非零常數(shù)。| )(|l lA顯然，顯然， A(l l )可逆可逆說明：說明： l l 矩陣可逆與數(shù)字矩陣可逆的區(qū)別與聯(lián)系矩陣可逆與數(shù)字矩陣可逆的區(qū)別與聯(lián)系（向下兼容性）。（向下兼容性）。G G E ME M26定義定義. l l 矩陣的初等變換矩陣的初等變換)(,)()2(kckrkiii 記記作作乘乘以以非非零零數(shù)數(shù)列列行行第第,)()()()3(倍倍的的列列行行加加上上第第列列行行第第l lkji)()(,)1(jijiccrrji記記作作，列

19、列兩兩行行對對調(diào)調(diào))()(jijickcrkrl ll l 記作記作的多項式。的多項式。為為其中其中l(wèi) ll l)(kG G E ME M27定義定義: : 若若l l 矩陣矩陣 A(l l) 經(jīng)過若干次初等變經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)閾Q變?yōu)锽(l l)，l l 矩陣的等價矩陣的等價)()(l ll lBA則稱則稱 A(l l)與與B(l l) 等價等價，記作，記作 211221121)(l ll ll ll lA)(110100012l ll ll ll ll ll lB G G E ME M28引理：設(shè)引理：設(shè) 為為 n 階階l l 矩陣矩陣， ， )()(l ll lijaA 0)(11 l

20、 la若若A(l l)中存在一個元素不能被中存在一個元素不能被 整除，整除，)(11l la則必存在與則必存在與A(l l)等價的矩陣等價的矩陣 ,)()(l ll lijbB 0)(11 l lb滿足滿足)(deg)(deg1111l ll lab 并且并且“A(l l)可經(jīng)過若干次初等變換變成一個可經(jīng)過若干次初等變換變成一個l l 矩陣，其矩陣，其(1,1)(1,1)元素是其余所有元素的公因式。元素是其余所有元素的公因式?！盙 G E ME M29情形情形1 1： 不能被不能被 整除，整除，11a1ia,111rqaai )deg()deg(11ar 111)(iaaAl l raqrri

21、111 111arirr情形情形2 2： 不能被不能被 整除，整除，11aja1,111rqaaj )deg()deg(11ar 證明過程與情形證明過程與情形1 類似類似G G E ME M30,111qaai 能被能被 整除，整除，11ajiaa11和和情形情形3 3：但但 不能被不能被 整除，整除，11aija ijijaaaaA1111)(l l jijjqrrqaaaai111101 jijijjrrqaaaaqai11110)1(1此時已化成情形此時已化成情形2 2G G E ME M31定理：設(shè)定理：設(shè) A(l l) 為為 mn 階階l l 矩陣矩陣，則則A(l l)等價于分塊等價

22、于分塊 對角陣對角陣 OOODFA)()()(l ll ll l )()()()(21l ll ll ll lrdddD稱為稱為 A(l l) 等價標準形，等價標準形，其中其中并且并且 首項系數(shù)為首項系數(shù)為 1，riddii, 1),(| )(1 l ll l)(l lidl l 矩陣的等價標準形矩陣的等價標準形G G E ME M例：例： 求求l l 矩陣的等價標準形矩陣的等價標準形32 232211121)(l ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll lAG G E ME M33 0110121)(222321l ll ll ll ll ll ll ll lrrrrA

23、000012122321312l ll ll ll ll ll ll ll ll lrrrrG G E ME M34 )1(00000012323)1(l ll ll ll lccrr 0000012)12(32122l ll ll ll ll ll ll lrrccG G E ME Ml l 矩陣的秩矩陣的秩定義：定義：l l 矩陣矩陣A(l l)的不恒為零的子式的最高階數(shù)的不恒為零的子式的最高階數(shù)顯然，顯然，等價的等價的 l l 矩陣矩陣有相同的秩有相同的秩。稱為稱為A(l l)的秩。的秩。事實上，事實上，l l 矩陣的初等變換不會改變矩陣的初等變換不會改變其其子式子式恒為零與否恒為零與否

24、的狀態(tài)，也就的狀態(tài)，也就不會改變其不會改變其不恒為零子式不恒為零子式最高階數(shù)最高階數(shù)。例如，例如，A 為為 n 階數(shù)字方陣，則階數(shù)字方陣，則|AE l l不恒為零，故不恒為零，故AE l l的秩為的秩為 n 。G G E ME M行列式因子行列式因子定義：定義：l l 矩陣矩陣A(l l)的所有的所有 k 階子式的最大公因式階子式的最大公因式定理：定理：等價的等價的 l l 矩陣矩陣有相同的各階有相同的各階行列式因子行列式因子。事實上，事實上，初等變換不會改變初等變換不會改變 A(l l)各階各階子式子式的最大公因式的最大公因式也就也就不會改變其各不會改變其各階行列式因子階行列式因子。稱為稱為

25、A(l l)的的 k 階階行列式因子行列式因子，記作，記作。)(lkD性質(zhì)：性質(zhì)：1( )|( )1,2,.,.kkDDkrll（）G G E ME M37求求A(l l)的的各各階階行列式因子方法：行列式因子方法： OOODA)()(l ll l )()()()(21l ll ll ll lrdddD依依行列式因子的定義：行列式因子的定義：，)()(11lldD， )()()(212lllddD。)()()(1lllrrddDG G E ME M例：例： 求求l l 矩陣的各階行列式因子。矩陣的各階行列式因子。232211121)(lllllllllllAG G E ME M ) 1(000

26、0001)(llllA。，所以：) 1()(D)(D1)(D2321llllllG G E ME M例：例： 求求l l 矩陣的各階行列式因子。矩陣的各階行列式因子。2221122011)(lllllAG G E ME M22121642642310( )202( )1,( )|( )( )=1( ) =-+4+2( )=-+4+2ADDDDADllllllll lllll lll左上角二階子式所以再由，故G G E ME M42不變因子不變因子定義：設(shè)定義：設(shè) 為為l l 矩陣矩陣 A(l l)的的k 階階行列式因子，行列式因子，定理：等價的定理：等價的 l l 矩陣矩陣有相同的各有相同的各

27、階階不變因子不變因子。稱為稱為A(l l)的的 k 階階不變因子。不變因子。)(l lkD1)(,)()()(01 l ll ll ll lDDDdkkkG G E ME M43定理：定理：l l 矩陣矩陣的等價標準形是唯一的。的等價標準形是唯一的。注意到，注意到，A(l l)的的等價標準形中等價標準形中D(l l)的對角元是的對角元是A(l l)的的各各階不變因子。階不變因子。G G E ME M例：例：) 1(000000111121)(2322llllllllllllllA。，不變因子為所以) 1(1)(llllAG G E ME M45定義：設(shè)定義：設(shè) A(l l)的的 各階各階不變因

28、子在復(fù)數(shù)域的標準分解式不變因子在復(fù)數(shù)域的標準分解式初等因子初等因子rsrrsslsllrlslllsllaaadaaadaaad)()()()()()()()()()()()( l ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll l21222211121121212211稱指數(shù)稱指數(shù) 為為A(l l)的初等的初等因子。因子。ijliijal)(0 l l的因式的因式G G E ME M初等因子定義等價論述：設(shè)初等因子定義等價論述：設(shè) A(l l)的每一個次數(shù)大于零的的每一個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同一次因式方冪的乘積，所有這不變因子分解成互不相同一次因式方冪的乘積，所

29、有這些一次因式的方冪（相同的必須按照出現(xiàn)的次數(shù)計算）些一次因式的方冪（相同的必須按照出現(xiàn)的次數(shù)計算）稱為矩陣稱為矩陣A(l l)初等因子。初等因子。定理：等價的定理：等價的 l l 矩陣矩陣有相同的初等有相同的初等因子因子。G G E ME M222221,1,1,(1), (1) (1),(1) (1)(1)llllllllllll 9個個 則其初等因子有則其初等因子有7個，它們是個，它們是222(1) , (1) , (1) , (1), (1),llllllllll22() , ()iillllA例：如果矩陣 的不變因子是l l G G E ME M48例例2 設(shè)設(shè)求矩陣求矩陣 l lE

30、- -A 的的行列式因子行列式因子, 不變因子不變因子, 和和初等因子初等因子。110241003A G G E ME M110241003EAl llllll l 12110421003ccl ll ll l 2121(4)2(1)1000561003rrccl ll llllll l 解：解：)(l lA G G E ME M2321000156030cclllll l 32(3)210001000(2)(3)rrl lllll 2321)3)(2()(, 1)(, 1)(lllllddd不變因子為)(l lA2321)3)(2()(D, 1)(D, 1)(Dlllll行列式因子為2)3(

31、 2ll，初等因子為G G E ME M2.5 矩矩陣相似的條件陣相似的條件 定理：數(shù)字定理：數(shù)字方陣方陣 A 相似于相似于 B 的充分必要條件是的充分必要條件是 l lE A 等價于等價于 l lE BPAEPAPPEBEBAPP)(111 l ll ll lBEPAQPQBEQAEP l ll ll ll l)(BPAQEPQ ,BPAPQP 11,G G E ME M定理定理: 方陣方陣 A 相似于相似于 B 的充分必要條件是的充分必要條件是 l lE A與與l lE B有相同的有相同的: 1. 行列式因子組行列式因子組, 2. 不變因子不變因子組組, 3. 初等因子初等因子組組.G G

32、 E ME MAAE l l的行列式因子的行列式因子A的不變因子的不變因子A的初等因子的初等因子A定義定義: 數(shù)字矩陣，數(shù)字矩陣的數(shù)字矩陣，數(shù)字矩陣的行列式因子、行列式因子、 不變因子、初等因子。不變因子、初等因子。G G E ME M引理：引理：設(shè)設(shè) 2 2 階階l l 矩陣矩陣 )()()()(l ll ll ll l2010100gagaAnm )()()()(l ll ll ll l2010200gagaAmn其中其中210,),(| igail ll l則則1A與與2A等價。等價。G G E ME M)(),()(l ll ll l21ggd 則則1A與與2A的行列式因子的行列式因子

33、)()()(l ll ll ldaDm01 )()()()(l ll ll ll l2102ggaDnm 證明：證明：設(shè)設(shè)nm 且且)(),(l ll l21gg的最大公因式是的最大公因式是G G E ME M56定理定理 設(shè)設(shè) A(l l)為分塊對角陣為分塊對角陣 12( )( )( )( )sAAAAl ll ll ll l 則每個子塊則每個子塊 的初等因子都是的初等因子都是 A(l l) 的的初等因子，并且初等因子，并且 A(l l) 的每個初等因子必的每個初等因子必是某個子塊是某個子塊 的初等因子。的初等因子。( )iAl l( )iAl lG G E ME M)()()(1lllrf

34、fA)()(1llrddG G E ME M定理在應(yīng)用中把問題變得比較簡單，例如定理在應(yīng)用中把問題變得比較簡單，例如，4000030000200001A。)4-)(3-)(2-)(1-(0000100001000014-00003-00002-00001-ElllllllllAG G E ME M59例例2 設(shè)設(shè)求矩陣求矩陣 l lE- -A （也就是矩陣（也就是矩陣A A）的）的行列式行列式因子因子, 不變因子不變因子, 和和初等因子初等因子。110241003A G G E ME M110241003EAl llllll l 12110421003ccl ll ll l 2121(4)2(

35、1)1000561003rrccl ll llllll l 解：解：)(l lA G G E ME M2321000156030cclllll l 32(3)210001000(2)(3)rrl lllll )(l lA2321)3)(2()(, 1)(, 1)(lllllddd不變因子為2321)3)(2()(D, 1)(D, 1)(Dlllll行列式因子為2)3( 2ll，初等因子為G G E ME M62求矩陣求矩陣 l lE- -A 的的行列式因子，不變因子和行列式因子，不變因子和初等因子初等因子。 211121221A例例3 3 設(shè)設(shè)G G E ME M 211121221l ll

36、ll ll lAE 110100012l ll ll ll ll l 211221121l ll ll l 2)1(00010001l ll lG G E ME Ml lE- -A 的的行列式因子：行列式因子：2)1(, 1 l ll ll lE- -A 的的初等因子初等因子: :l lE- -A 的的不變因子：不變因子：2321)1()(, 1)(, 1)( l ll ll ll ll lddd3321)1()(, 1)(, 1)( l ll ll ll ll lDDD( 簡稱簡稱: A 的的初等因子初等因子 ) )( 簡稱簡稱: A 的的不變因子不變因子 )( 簡稱簡稱: A 的的行列式因

37、子行列式因子 )G G E ME M結(jié)論結(jié)論1、若兩個同級數(shù)字矩陣有相同的不變因子，、若兩個同級數(shù)字矩陣有相同的不變因子，則它們就有相同的初等因子；則它們就有相同的初等因子；反之，若它們有相同的初等因子，則它們就有反之，若它們有相同的初等因子，則它們就有結(jié)論結(jié)論2、兩個同級數(shù)字矩陣相似、兩個同級數(shù)字矩陣相似可見：初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量（可見：初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量（？）.相同的不變因子相同的不變因子.它們有相同的初等因子它們有相同的初等因子.G G E ME M2.6 矩矩陣的若當標準形陣的若當標準形 Jordan 塊塊: 形如形如11iiiiinJl ll l

38、l l 的的 ni 階矩陣稱為階矩陣稱為 ni 階階Jordan 塊（若當塊完塊（若當塊完全由兩個因素決定，一是階數(shù)，二是對角線全由兩個因素決定，一是階數(shù)，二是對角線元素）。元素）。G G E ME MJordan 塊的等價形式塊的等價形式: 11iiiiinJl ll ll l ,iiiiinaJal ll ll l (0)iiiiinaJaal ll ll lG G E ME M的初等因子的初等因子:iJ()inil ll l iEJl l 11iiiinllllllllllll 11( )1,( )1,( )iiinnniDDDllllllllll 11( )1,( )1,( )iiinnnidddllllllllll G G E ME M12sJJJJ 分塊對角陣分塊對角陣稱為稱為 A 的的Jordan標準形標準形. .1212() , () ,()snnnsl ll ll ll ll ll l J 的初等因子的初等因子:G G E ME M定理：設(shè)矩陣定理：設(shè)矩陣 A 的的初等因子是：初等因子是：12sJJJJ 則存在則存在 Jordan標準形標準形1212() , () ,()snnnsl ll ll ll ll ll l 使得使得1