第4章 41 42 比熱的聲子模型

1、第四章第四章 晶格振動(dòng)和固體熱性質(zhì)晶格振動(dòng)和固體熱性質(zhì) 第二章第二章 化學(xué)鍵和晶體形成化學(xué)鍵和晶體形成第一章第一章 緒論緒論第三章第三章 固體結(jié)構(gòu)和固體結(jié)構(gòu)和X X射線衍射線衍射射第五章第五章 固體電子理論固體電子理論第六章第六章 晶體中電子的輸運(yùn)性質(zhì)晶體中電子的輸運(yùn)性質(zhì)第七章第七章 晶體中的缺陷與擴(kuò)散晶體中的缺陷與擴(kuò)散本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容： 基于聲子模型，解釋固體的熱、聲性質(zhì)基于聲子模型，解釋固體的熱、聲性質(zhì)4.2 4.2 愛(ài)因斯坦聲子模型愛(ài)因斯坦聲子模型4.3 4.3 德拜聲子模型德拜聲子模型4.3 4.3 晶格動(dòng)力學(xué)晶格動(dòng)力學(xué)4.4 4.4 聲子能譜的中子衍射測(cè)定聲子能譜的中子衍射

2、測(cè)定4.5 4.5 熱膨脹和熱傳導(dǎo)熱膨脹和熱傳導(dǎo)略略4.1 4.1 熱現(xiàn)象與熱物理發(fā)展熱現(xiàn)象與熱物理發(fā)展4.1 4.1 熱現(xiàn)象與熱物理發(fā)展熱現(xiàn)象與熱物理發(fā)展 古希臘的四元素說(shuō)古希臘的四元素說(shuō) 伽利略、托里切利：測(cè)定溫度的溫度計(jì)伽利略、托里切利：測(cè)定溫度的溫度計(jì) 18401840年，年，焦耳定律焦耳定律：P=IP=I2 2R R；18471847年，熱功當(dāng)量系年，熱功當(dāng)量系數(shù)：數(shù)：1 cal=4.18J1 cal=4.18J 熱力學(xué)第一定律熱力學(xué)第一定律：能量守恒：能量守恒 熱力學(xué)第二定律熱力學(xué)第二定律：熱永遠(yuǎn)都只能由熱處轉(zhuǎn)到冷處，：熱永遠(yuǎn)都只能由熱處轉(zhuǎn)到冷處，為物理現(xiàn)象設(shè)定了時(shí)間箭頭。為物理現(xiàn)

3、象設(shè)定了時(shí)間箭頭。 玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)熱物理：玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)熱物理：建立了宏觀物理量建立了宏觀物理量- -熵與微熵與微觀狀態(tài)的幾率之間的聯(lián)系。觀狀態(tài)的幾率之間的聯(lián)系。 量子物理：量子物理：普朗克提出電磁波的能量必須以普朗克提出電磁波的能量必須以h h 為量子，用為量子，用玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)原理玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)原理統(tǒng)一了黑體輻射公式。統(tǒng)一了黑體輻射公式。 19071907年，根據(jù)普朗克的輻射振子統(tǒng)計(jì)的年，根據(jù)普朗克的輻射振子統(tǒng)計(jì)的愛(ài)因斯坦聲子模型愛(ài)因斯坦聲子模型，定量解釋了固體比熱容與溫度的關(guān)系。定量解釋了固體比熱容與溫度的關(guān)系。 19111911年，修正了愛(ài)因斯坦聲子模型的年，修正了愛(ài)因斯坦聲子模型的德拜模型德

4、拜模型，彌補(bǔ)其在，彌補(bǔ)其在低溫情形的不足。得到極低溫下固體比熱容的低溫情形的不足。得到極低溫下固體比熱容的T T3 3定律（能定律（能斯特低溫試驗(yàn)證實(shí)）斯特低溫試驗(yàn)證實(shí)） 聲學(xué)方面，聲學(xué)方面，1912-19131912-1913年，波恩、馮年，波恩、馮. .卡門用卡門用分析力學(xué)分析力學(xué)推導(dǎo)推導(dǎo)計(jì)算了固體原子的色散關(guān)系計(jì)算了固體原子的色散關(guān)系- -聲子能譜；聲子能譜； 19511951年，布洛克豪斯的年，布洛克豪斯的中子非彈性衍射實(shí)驗(yàn)中子非彈性衍射實(shí)驗(yàn)可測(cè)聲子能譜。可測(cè)聲子能譜。理論解釋：有波恩、黃昆的理論解釋：有波恩、黃昆的晶格動(dòng)力學(xué)晶格動(dòng)力學(xué)。4.2 4.2 晶體比熱規(guī)律的經(jīng)典理論和量子理論

5、解釋晶體比熱規(guī)律的經(jīng)典理論和量子理論解釋4.2.1 4.2.1 定容比熱的定容比熱的定義：定義：VVTEC E-晶體的平均內(nèi)能晶體的平均內(nèi)能eVaVVCCC 晶格振動(dòng)比熱晶格振動(dòng)比熱晶體電子比熱晶體電子比熱aVVCC e通常情況下，通常情況下， 本節(jié)本節(jié)只討論晶格振動(dòng)比熱只討論晶格振動(dòng)比熱。晶體比熱的實(shí)驗(yàn)規(guī)律晶體比熱的實(shí)驗(yàn)規(guī)律 (1) (1)在高溫時(shí)，晶體的比熱為在高溫時(shí)，晶體的比熱為3 3NkNkB B( (N N為晶體中原子的個(gè)數(shù)為晶體中原子的個(gè)數(shù)) ) (2) (2)在低溫時(shí)，晶體的比熱按在低溫時(shí)，晶體的比熱按T T3 3趨于零。趨于零。玻爾茲曼常玻爾茲曼常數(shù)數(shù)k kB B=1.38=1

6、.38 1010-23-23J J K K-1-14.2.2 4.2.2 杜隆杜隆- -珀替定律珀替定律 根據(jù)能量均分定理，每一個(gè)自由度的平均能量是根據(jù)能量均分定理，每一個(gè)自由度的平均能量是k kB BT T, ,若晶若晶體有體有N N個(gè)原子，則總自由度為：個(gè)原子，則總自由度為：3 3N N。 故故TNkEB3 VVTEC B3Nk 但是，低溫時(shí)經(jīng)典理論不再適用。金剛石、石墨晶體室溫但是，低溫時(shí)經(jīng)典理論不再適用。金剛石、石墨晶體室溫時(shí)的比熱容也與預(yù)測(cè)不符合。時(shí)的比熱容也與預(yù)測(cè)不符合。 1820 1820年，杜隆年，杜隆- -珀替預(yù)測(cè)比熱是一個(gè)珀替預(yù)測(cè)比熱是一個(gè)與溫度無(wú)關(guān)的常數(shù)與溫度無(wú)關(guān)的常數(shù)5

7、.96 cal/(mol5.96 cal/(molK)K)。經(jīng)典理論用氣體分子運(yùn)動(dòng)論進(jìn)行解釋：經(jīng)典理論用氣體分子運(yùn)動(dòng)論進(jìn)行解釋：4.2.3 4.2.3 晶格振動(dòng)的量子理論解釋晶格振動(dòng)的量子理論解釋 晶格振動(dòng)的量子理論，可以很好地解釋低晶格振動(dòng)的量子理論，可以很好地解釋低溫時(shí)的固體比熱容問(wèn)題。其簡(jiǎn)化模型有溫時(shí)的固體比熱容問(wèn)題。其簡(jiǎn)化模型有愛(ài)因斯愛(ài)因斯坦模型和德拜模型。坦模型和德拜模型。愛(ài)因斯坦模型：愛(ài)因斯坦模型：假定所有振動(dòng)模頻率相等，聲假定所有振動(dòng)模頻率相等，聲子能量分立，可定性解釋低溫比熱趨近于零的子能量分立，可定性解釋低溫比熱趨近于零的問(wèn)題，但定量上不正確；問(wèn)題，但定量上不正確；德拜模型：

8、德拜模型：以連續(xù)介質(zhì)中的彈性波代替晶體中以連續(xù)介質(zhì)中的彈性波代替晶體中的格波，在低溫下很好地解釋實(shí)驗(yàn)給出的的格波，在低溫下很好地解釋實(shí)驗(yàn)給出的T T3 3規(guī)規(guī)律。律。 晶格晶格振動(dòng)振動(dòng)格波格波簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧近似近似獨(dú)立的振動(dòng)獨(dú)立的振動(dòng)模式模式由玻恩由玻恩- -卡門卡門邊界條件邊界條件分立分立值值聲子聲子晶格振動(dòng)能量晶格振動(dòng)能量量子化量子化受普朗克對(duì)能量量子化的啟發(fā)，愛(ài)因斯坦首先對(duì)原子振動(dòng)的受普朗克對(duì)能量量子化的啟發(fā)，愛(ài)因斯坦首先對(duì)原子振動(dòng)的能量進(jìn)行量子化，得到準(zhǔn)粒子能量進(jìn)行量子化，得到準(zhǔn)粒子-聲子。聲子。晶格振動(dòng)的能量量子晶格振動(dòng)的能量量子-聲子。聲子。 聲子聲子不是真實(shí)的粒子，稱為不是真實(shí)的粒子，

9、稱為“準(zhǔn)粒子準(zhǔn)粒子”，它反映的是晶格原，它反映的是晶格原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激發(fā)單元。子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激發(fā)單元。1.1.聲子是晶格振動(dòng)的能量量子，其能量為聲子是晶格振動(dòng)的能量量子，其能量為： 2. 2.一個(gè)格波一個(gè)格波( (一種振動(dòng)模式一種振動(dòng)模式) )，稱為一種聲子，稱為一種聲子( (一個(gè)一個(gè) 就是一就是一種聲子種聲子) )，當(dāng)這種振動(dòng)模式處于，當(dāng)這種振動(dòng)模式處于 本征態(tài)時(shí)，稱為本征態(tài)時(shí)，稱為有有n ni i個(gè)聲子，個(gè)聲子，n ni i為這種聲子的聲子數(shù)為這種聲子的聲子數(shù)。iin 21 3. 3.由于晶體中可以激發(fā)任意個(gè)相同聲子，由于晶體中可以激發(fā)任意個(gè)相同聲子，聲子遵循玻色統(tǒng)計(jì)聲子遵循玻色統(tǒng)計(jì)

10、（針對(duì)整數(shù)自旋基本粒子的量子統(tǒng)計(jì)）。（針對(duì)整數(shù)自旋基本粒子的量子統(tǒng)計(jì)）。1e1B Tkiin 聲子遵循的規(guī)則如下：聲子遵循的規(guī)則如下： 4. 4.電子電子( (或光子或光子) )與晶格振動(dòng)相互作用時(shí)，交換能量以與晶格振動(dòng)相互作用時(shí)，交換能量以 為單位為單位，若電子從晶格獲得，若電子從晶格獲得 能量，稱為吸收一個(gè)聲子，能量，稱為吸收一個(gè)聲子，若電子給晶格若電子給晶格 能量，稱為發(fā)射一個(gè)聲子。能量，稱為發(fā)射一個(gè)聲子。 5.5.在簡(jiǎn)諧近似下，聲子間無(wú)相互作用在簡(jiǎn)諧近似下，聲子間無(wú)相互作用。而非簡(jiǎn)諧作用可以而非簡(jiǎn)諧作用可以引入聲子間的相互碰撞，保證了聲子氣體能夠達(dá)到熱平衡狀引入聲子間的相互碰撞，保證了

11、聲子氣體能夠達(dá)到熱平衡狀態(tài)。態(tài)。 1905年的5篇論文：u 關(guān)于分子運(yùn)動(dòng)論分子運(yùn)動(dòng)論（布朗運(yùn)動(dòng)）的研究（博士論文）。u 提出光子光子概念u 狹義相對(duì)論狹義相對(duì)論：分別引入力學(xué)和電磁學(xué)必須遵從的極限速度c，和提出質(zhì)能關(guān)系E=mc2，解釋輻射能量來(lái)源。 1907年，提出聲子聲子概念來(lái)解釋比熱容，獲得1921年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。 1912年，提出光化學(xué)基本定律光化學(xué)基本定律。 1913-1916年，發(fā)展了廣義相對(duì)論廣義相對(duì)論（物質(zhì)引起空間曲率變化，引力將對(duì)空間形狀和時(shí)間流動(dòng)產(chǎn)生影響） 1917年，從宇宙靜態(tài)模型到“新宇宙學(xué)新宇宙學(xué)”宇宙大爆炸理論。 1917年，提出自發(fā)輻射以外，還有受激發(fā)射受激發(fā)射激

12、光的基礎(chǔ)理論。4.3 4.3 愛(ài)因斯坦聲子模型愛(ài)因斯坦聲子模型愛(ài)因斯坦的貢獻(xiàn)愛(ài)因斯坦的貢獻(xiàn)(1)(1)晶體中原子振動(dòng)的能量是相互獨(dú)立的，所有原子都具晶體中原子振動(dòng)的能量是相互獨(dú)立的，所有原子都具有同一頻率有同一頻率 ，E=nE=nh h ；(2)(2)系統(tǒng)服從基本統(tǒng)計(jì)物理原理系統(tǒng)服從基本統(tǒng)計(jì)物理原理- -玻耳茲曼原理。玻耳茲曼原理。1.模型模型1907年，根據(jù)普朗克的熱輻射振子統(tǒng)計(jì)和光子概念，年，根據(jù)普朗克的熱輻射振子統(tǒng)計(jì)和光子概念，愛(ài)因愛(ài)因斯坦提出聲子模型斯坦提出聲子模型，定量解釋了固體比熱容與溫度的關(guān)系。，定量解釋了固體比熱容與溫度的關(guān)系。愛(ài)因斯坦聲子模型愛(ài)因斯坦聲子模型 晶體可以看成是一

13、個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡(jiǎn)諧近似下，晶格中晶體可以看成是一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡(jiǎn)諧近似下，晶格中原子的熱振動(dòng)可以看成是相互獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。原子的熱振動(dòng)可以看成是相互獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。據(jù)量子力學(xué)，據(jù)量子力學(xué)，每個(gè)諧振子的能量都是量子化的。每個(gè)諧振子的能量都是量子化的。iiinE 21第第i i個(gè)諧振子的個(gè)諧振子的能量為：能量為： 其中，其中，n ni i是是頻率為頻率為 i i的諧振子的平均聲子數(shù)，符合的諧振子的平均聲子數(shù)，符合玻色玻色- -愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)規(guī)律：規(guī)律：1e1B Tkiin iTkiiiE 211eB 第第i i個(gè)諧振子的個(gè)諧振子的能量為：能量為：2.計(jì)算 由由N N個(gè)原子組成的晶體中

14、包含個(gè)原子組成的晶體中包含3 3N N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，總振動(dòng)能為個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，總振動(dòng)能為 211e3BTkN NiiinE3121 （4-4）2B2B1ee3BB TkNkTkTk TECV TkfNkBB3根據(jù)固體比熱容的定義：根據(jù)固體比熱容的定義： 通常用通常用愛(ài)因斯坦溫度愛(ài)因斯坦溫度 E代替頻率代替頻率 ，定義為，定義為 E= /kB ，22E1ee3EETTBVTNkC其中，愛(ài)因斯坦比熱函數(shù)：其中，愛(ài)因斯坦比熱函數(shù)：愛(ài)因斯坦溫度愛(ài)因斯坦溫度 E如何確定呢？如何確定呢？ 選取合適的選取合適的 E值，可使得在比熱顯著改變的溫度范圍內(nèi)，值，可使得在比熱顯著改變的溫度范圍內(nèi)，理論曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)符合得

15、相當(dāng)好。理論曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)符合得相當(dāng)好。對(duì)于大多數(shù)固體材料，對(duì)于大多數(shù)固體材料， E在在100300k的范圍內(nèi)。的范圍內(nèi)。（4-5）221ee)(TTfETTEEE22EE1eeEE TTTTf 12212EE2E TTT 高溫情況，當(dāng)高溫情況，當(dāng)T E時(shí)，時(shí)，(1)2222EEEEEeeee TTTTT ! 3! 21e32xxxx2EE2E)21()21(1 TTT 3.高、低溫極限討論B3NkCV因此因此 杜隆杜隆-珀替定律珀替定律（4-6）TTTTTTfEEEe1ee2E22EE(2) 低溫情況，當(dāng)?shù)蜏厍闆r，當(dāng)T D時(shí)，時(shí)，x11 xxTTfTxxd1ee34023DDD xxTTxxdee13402223DD 3.高低溫極限情況討論1d22134023DDxxxxTT ! 3! 21e32x