高中數(shù)學(xué)分類討論思想的應(yīng)用

1、高中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用一、知識整合 1.分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對于簡化研究對象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置。 2.所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。實質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略。 3.分類原則：分類對象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級討論。 4.分類方法：明確討論對象，確定對象的全體，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類；逐類進(jìn)行討

2、論，獲取階段性成果；歸納小結(jié)，綜合出結(jié)論。 5.含參數(shù)問題的分類討論是常見題型。 6.注意簡化或避免分類討論。二、例題分析例1.一條直線過點（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為（ ） A. B. C. D. 分析：設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a, 當(dāng)a=0時，直線過原點，此時直線方程為； 當(dāng)時，設(shè)直線方程為，方程為。例2 分析： 因此，只要根據(jù)已知條件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA時，是一解還是兩解？這一點需經(jīng)過討論才能確定，故解本題時要分類討論。對角A進(jìn)行分類。解： 這與三角形的內(nèi)角和為180相矛盾。 例3.已知圓x2+y2=4，求經(jīng)

3、過點P（2，4），且與圓相切的直線方程。 分析：容易想到設(shè)出直線的點斜式方程y-4=k(x-2)再利用直線與圓相切的充要條件：“圓心到切線的距離等于圓的半徑”，待定斜率k，從而得到所求直線方程，但要注意到：過點P的直線中，有斜率不存在的情形，這種情形的直線是否也滿足題意呢？因此本題對過點P的直線分兩種情形：（1）斜率存在時，（2）斜率不存在 解（略）：所求直線方程為3x-4y+10=0或x=2例4. 分析：解對數(shù)不等式時，需要利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)符號的不等式。而對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性因底數(shù)a的取值不同而不同，故需對a進(jìn)行分類討論。 解： 例5. 分析：解無理不等式，需要將兩邊

4、平方后去根號，以化為有理不等式，而根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，只有在不等式兩邊同時為正時，才不改變不等號方向，因此應(yīng)根據(jù)運(yùn)算需求分類討論，對x分類。 解： 例6. 分析：這是一個含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對二次項系數(shù)a分類：（1）a0（2）a=0，對于（2），不等式易解；對于（1），又需再次分類：a0或a0，因為這兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點之后，又會遇到1與誰大誰小的問題，因而又需作一次分類討論。故而解題時，需要作三級分類。 解： 綜上所述，得原不等式的解集為；。例7. 分析： 解：（1）當(dāng)k=4時，方程變?yōu)?x

5、2=0，即x=0，表示直線； （2）當(dāng)k=8時，方程變?yōu)?y2=0，即y=0，表示直線； （i）當(dāng)k4時，方程表示雙曲線；（ii）當(dāng)4k6時，方程表示橢圓； （iii）當(dāng)k=6時，方程表示圓；（iv）當(dāng)6k8時，方程表示雙曲線。例8. 某車間有10名工人，其中4人僅會車工，3人僅會鉗工，另外三人車工鉗工都會，現(xiàn)需選出6人完成一件工作，需要車工，鉗工各3人，問有多少種選派方案？ 分析：如果先考慮鉗工，因有6人會鉗工，故有C63種選法，但此時不清楚選出的鉗工中有幾個是車鉗工都會的，因此也不清楚余下的七人中有多少人會車工，因此在選車工時，就無法確定是從7人中選，還是從六人、五人或四人中選。同樣，如果

6、先考慮車工也會遇到同樣的問題。因此需對全能工人進(jìn)行分類：（1）選出的6人中不含全能工人；（2）選出的6人中含有一名全能工人；（3）選出的6人中含2名全能工人；（4）選出的6人中含有3名全能工人。 解： 三、總結(jié)提煉分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是一種數(shù)學(xué)解題策略，對于何時需要分類討論，則要視具體問題而定，并無死的規(guī)定。但可以在解題時不斷地總結(jié)經(jīng)驗。如果對于某個研究對象，若不對其分類就不能說清楚，則應(yīng)分類討論，另外，數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論，公式、方法對于一般情形是正確的，但對某些特殊情形或說較為隱蔽的“個別”情況未必成立。這也是造成分類討論的原因，因此在解題時，應(yīng)注意挖掘這些個別情形進(jìn)行分類討論。

7、常見的“個別”情形略舉以下幾例：（1）“方程有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化為時忽略了了個別情形：當(dāng)a=0時，方程有解不能轉(zhuǎn)化為0；（2）等比數(shù)列的前項和公式中有個別情形：時，公式不再成立，而是Sn=na1。 設(shè)直線方程時，一般可設(shè)直線的斜率為k，但有個別情形：當(dāng)直線與x軸垂直時，直線無斜率，應(yīng)另行考慮。(4)若直線在兩軸上的截距相等，常常設(shè)直線方程為，但有個別情形：a=0時，再不能如此設(shè)，應(yīng)另行考慮。【模擬試題】一. 選擇題： 1. 若的大小關(guān)系為（ ） A. B. C. D. ； 2. 若，且，則實數(shù)中的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 3. 設(shè)A=（ ） A. 1B. C. D. 4. 設(shè)的值為（

8、 ） A. 1B. 0C. 7D. 0或7 5. 一條直線過點（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為（ ） A. B. C. D. 6. 若（ ） A. 1B. C. D. 不能確定 7. 已知圓錐的母線為l，軸截面頂角為，則過此圓錐的頂點的截面面積的最大值為（ ） A. B. C. D. 以上均不對 8. 函數(shù)的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，則實數(shù)m的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 二. 填空題 9. 若圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為4和2的矩形，則圓柱的體積是_。 10. 若，則a的取值范圍為_。 11. 與圓相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為_。 12.

9、 在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽取5件，至少有3件次品的抽法共有_種（用數(shù)字作答） 13. 不等式的解集為_。三. 解答題： 14. 已知橢圓的中心在原點，集點在坐標(biāo)軸上，焦距為，另一雙曲線與此橢圓有公共焦點，且其實軸比橢圓的長軸小8，兩曲線的離心率之比為3：7，求此橢圓、雙曲線的方程。 15. 設(shè)a0且，試求使方程有解的k的取值范圍。【試題答案】一. 選擇題 1. C2. D3. D4. D5. C6. A7. D8. B 提示：1. 欲比較p、q的大小，只需先比較的大小，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。而決定的大小的a值的分界點為使的a值：a=1， 當(dāng)a1時，此時 當(dāng)即。 可見，不論a1還是

10、0aq。 2. 若，即 若 可見當(dāng)都有，故選（D） 3. 若 若，則， 4. 由是1的7次方根，可得顯然，1是1的7次方根，故可能；若，則 故選（D） 5. 設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a, 當(dāng)a=0時，直線過原點，此時直線方程為； 當(dāng)時，設(shè)直線方程為，方程為 6. 由 于是總有，故選（A） 7. 當(dāng)時，最大截面就是軸截面，其面積為； 當(dāng)時，最大截面是兩母線夾角為的截面，其面積為 可見，最大截面積為，故選（D） 8. 當(dāng)時，滿足題意 綜上可知， 故選（B）二. 填空題 9. （提示：若長為4的邊作為圓柱底面圓周的展開圖，則；若長為2的邊作為圓柱底面圓周的展開圖，則） 10. （提示：對a分：兩種情況討論） 11. （提示：分截距相等均不為0與截距相等均為0兩種情形） 12. 4186種 （提示：對抽取5件產(chǎn)品中的次品分類討論：（1）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有3件次品；（2）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有4件次品，于是列式如下：=4140+46=4186） 13. 若，則解集為 若，則解集為 （提示：設(shè) 解之得 對a分類：時， ）三. 解答題 14. 解：（1）若橢圓與雙曲線的焦點在x軸上，可設(shè)它們方程分別為 ，依題意 （2）若焦點在y軸上，則可設(shè)橢圓方程為 雙曲線方程為，依題意有 1