固體物理習題解答

1、固體物理學作業(yè)固體物理學作業(yè)第一章 思考題1、簡述晶態(tài)、非晶態(tài)、單晶、多晶、準晶的特征和性質(zhì)答：主要區(qū)別在微結構有序度。固體中微觀組成粒子(原子、離子、分子)在空間排列有序，具有微米數(shù)量級以上的三維平移周期性，這種具有長程有序態(tài)的固體稱為晶態(tài)固體(晶體)，否則為非晶態(tài)。晶體中微觀組成粒子空間排列有序存在于整個固體中，稱為單晶體。多晶體由許多單晶體隨機堆砌而成。單晶體，具有以下性質(zhì)：(1)規(guī)則幾何外形；(2) 各向異性物理性質(zhì)，(3)確定的熔點。 多晶體不具有規(guī)則的外形，物理性質(zhì)不表現(xiàn)各向異性。非晶體不具有確定的熔點。2、晶體結構可分成布拉菲格子和復式格子嗎？第一章 思考題答：可以。以原子為結構

2、參考點，可以把晶體分成布拉菲格子和復式格子。任何晶體，以基元為結構參考點，都是布拉菲格子描述。任何化合物晶體，都可以復式格子描述？不是所有的單質(zhì)晶體，都是布拉菲格子描述？單質(zhì)晶體，以原子為結構參考點，也可以分成布拉菲格子和復式格子？3、引入倒格子有什么實際意義？對于一定的布拉菲格子，基矢選擇不唯一，它所對應的倒基矢也不唯一，因而有人說一個布拉菲格子可以對應于幾個倒格子，對嗎？復式格子的倒格子也是復式格子嗎？第一章 思考題答：引入倒格子概念，對分析和表述有關晶格周期性的各種問題非常有效，如：晶體X射線衍射，晶體周期函數(shù)的傅里葉變換。布拉菲格子不可以對應于幾個倒格子。基矢選擇不唯一，但定義的布拉菲

3、格子是唯一確定的；同樣，倒基矢選擇不唯一，但定義的倒格子是唯一確定的。因此，給定布拉菲格子對應唯一確定的倒格子。倒格子定義在布拉菲格子概念上，而非復式格子。表達晶體結構周期性，以基元為格點的布拉菲格子是唯一的。4、當描述同一晶面時，密勒指數(shù) (hkl)與晶面指數(shù) (h1h2h3) 一定相同嗎？第一章 思考題答：不一定相同。密勒指數(shù)和晶面指數(shù)都定義為晶面在給定坐標軸上的截距倒數(shù)互質(zhì)整數(shù)比。但是，密勒指數(shù)是在晶胞基矢為坐標軸上定義的，而晶面指數(shù)是在原胞基矢為坐標軸上定義的。因此，只當晶胞基矢和原胞基矢一致時，同一晶面的密勒指數(shù)和晶面指數(shù)才能相同。一般情況下，同一晶面密勒指數(shù) (hkl)與晶面指數(shù)

4、(h1h2h3) 不相同。由于簡單立方結構的晶胞基矢和原胞基矢一致，因此，簡單立方結構的同一晶面密勒指數(shù) (hkl)與晶面指數(shù) (h1h2h3) 相同。5、試畫出體心立方和面心立方(100)、(110)、(111)面上格點的分布圖。第一章 思考題體心立方面心立方(100)(110)(111)6、怎樣判斷一個體系對稱性的高低？討論對稱性有何物理意義。第一章 思考題答：一個物理體系對稱性用其具有的對稱操作集合來描述。一個體系具有的對稱操作越多，其對稱性就越高。在數(shù)學上，基本操作的集合構成 “群”，每個基本操作稱為群的一個元素。由于晶格周期性限制，描述晶體宏觀對稱性的“點群”只有32種。描述晶體微觀

5、對稱性的“空間群”只有230種。一個物理體系，如知道其幾何對稱性，就可在一定程度上確定它的某些物理性質(zhì)。例如，若原子結構具有中心反演對稱性，則原子無固定偶極矩；若一個體系具有軸對稱性，偶極矩必在對稱軸上；若有對稱面，偶極矩必在對稱面上。由此可見，不必討論體系結構細節(jié)，僅從體系的對稱性，就可對其物理性質(zhì)作出某些判斷。對稱理論已成為定性和半定量研究物理問題的重要方法。第一章 習題1.1 何謂布拉菲格子？畫出NaCl晶格所構成的布拉菲格子，說明基元代表點構成的格子是面心立方晶體，每個原胞中含幾個格點？解：由基元代表點-格點-形成的晶格稱為布拉菲格子或布拉菲點陣。它的特征是每個格點周圍的情況(包括周圍

6、的格點數(shù)目和格點配置的幾何方位等)完全相同?；上噜彽囊粋€Na+和一個Cl構成，基元代表點 (如：Na+ 位置) 構成面心立方晶格。每個原胞中含一個格點。第一章 習題1.2 在下面的例子中，其結構是不是布拉菲格子？如果是，寫出它的基矢；如果不是，能否挑選合適的格點組成基元，使基元的重心構成布拉菲格子？(1) 底心立方格子；(2) 邊心立方格子；(3) 蜂窩二維格子。底心立方格子是簡單四方格子邊心立方格子PRQ蜂窩二維格子基元基元aijkkajiajiaaaa321)(2)(2不是布拉菲格子不是布拉菲格子a1a2a31.3 對于面心立方晶格，如果取晶胞的三邊為基矢，某一族晶面的密勒指數(shù) 為(h

7、kl)，問，如果取原胞的三邊為基矢，該族晶面的晶面指數(shù)是多少？解：已知，面心立方晶格某晶面密勒指數(shù)(hkl)，求該晶面指數(shù)(h1h2h3)。aijk。，晶面指數(shù)，密勒指數(shù)截距倒數(shù)的關系根據(jù)晶面指數(shù)是在基矢332211:hhhlkhaaacbaABCDkcjbiaaaa，晶胞基矢：)(2)(2)(2321jiaikakjaaaa，原胞基矢：a3abkbha33ha設晶面(hkl)在底面截線 0， DBDC0)()( 333323333333khhhkhhhhkhabaaabaaaaba即：第一章 習題aijkABCDa3abkbha33ha晶面在底面截線kijab2 aaa，代入jbiaaa )

8、(2 3jiaa和033332333khhhkhhabaaabaa DBDC求解022 2323233332333kkkabaaabaakhahhakhakhhhkhh得到，即，012121 33khhhkhkjijab2)(2 23aaa，hkhkhkh123，123hkh,2 3khh得到同理 , 033aa 2)(223，kijiaaaaa,21lkh22hlh第一章 習題1.4 如果基矢 a,b,c 構成正交晶系，試證明晶面族 (hkl) 的面間距為第一章 習題222)()()(1clbkahdhkl證明：設 n 為該晶面系的法線方向，密勒指數(shù) (hkl) 與 n,a,b,c 及 d

9、有如下關系。)/(),cos(1lcdnc對于正交晶系，)/(),cos(1hadna),/(),cos(1kbdnb1),cos(),cos(),cos(222ncnbna, 1)()()( 222222lcdkbdhad即，2222222222)()()()()()()()()(kbhalchalckblckbhad，222)()()(1clbkahd證畢。1.5 試求面心立方結構和體心立方結構具有最大面密度的晶面族，并寫出計算這個最大面密度的表示式。第一章 習題解：由格點面密度 與面間距 d 關系式 hkl = dhkl，知晶體格點體密度 和面間距 d，可求晶面族 (hkl) 格點面密度

10、表達式。已知，面心立方和體心立方晶胞格點體密度分別為 4/a3 和 2/a3。密勒指數(shù)簡單的晶面系，其面間距 d 較大，格點面密度也較大。比較 (100)，(110)，(111)晶面，可知面心立方 (111)晶面和體心立方 (110)晶面的格點面密度最大。根據(jù)，222lkhadhkl2 110ad體心立方，有面心立方3 111ad21102232 aaa體心立方，面心立方2111334334 aaa表達式，因此，最大格點面密度321321/2 hhhhhhGd1.7 證明體心立方格子和面心立方格子互為倒格子。第一章 習題 證明：根據(jù) BCC和 FCC 基矢表達式，)(2)(2)(2)( 321

11、jibikbkjbaaaBCC倒基矢)(2)(2)- (2)( 321kjiakjiakjiaaaaBCC 正基矢)(2)(2)(2)( 321jiaikakjaaaaFCC 正基矢)(2)(2)- (2)( 321kjibkjibkjibaaaFCC倒基矢)(2321321aaaaab要求同學通過矢量運算，證明得出結論：和倒格子基矢定義)( 2321213aaaaab)( 2321132aaaaab第四章 思考題1、能帶理論作了哪些近似和假定？得到哪些結果？答：能帶理論是近似理論。它作了絕熱近似、平均場近似和周期勢場假定。絕熱近似視固體中原子核(離子實)靜止不動，價電子在固定不變的離子實勢場

12、中運動。通過絕勢近似將電子系統(tǒng)和原子核(離子實)系統(tǒng)分開考慮。平均場近似視固體中每個電子所處的勢場都相同，使每個電子所受勢場只與該電子位置有關，而與其它電子位置無關。通過平均場近似使所有電子都滿足同樣的薛定鄂方程。通過絕熱近似和平均場近似，將一個多粒子體系問題簡化為單電子問題。絕熱近似和平均場近似也稱為單電子近似。周期勢場假定則認為電子所受勢場具有晶格平移周期性。通過以上近似和假定，最終將一個多粒子體系問題變成在晶格周期勢場中的單電子的薛定鄂方程定態(tài)問題。第四章 思考題2、周期場是能帶形成的必要條件嗎？答：周期場是由布洛赫函數(shù)描述的能帶結構的必要條件。布洛赫定理推導出周期場中單電子狀態(tài)的一般屬

13、性(主要是能帶結構，參見圖4.2-1 一維能帶結構的表示圖式)，而晶格周期勢場是布洛赫定理的前提條件。在晶體周期性結構(平移對稱性)中，電子波函數(shù) (k) 是布洛赫函數(shù)，能量本征值和本征函數(shù)在 k 空間具有倒格矢反演和周期性，電子波矢 k 是與平移對稱性相聯(lián)系的量子數(shù) 。非晶態(tài)也具有相似的基本能帶結構，即：導帶、價帶和禁帶。但非晶態(tài)的電子態(tài)與晶態(tài)比較有本質(zhì)區(qū)別。非晶態(tài)不存在周期性，因此 k 不再是具有類似特征的量子數(shù)。非晶態(tài)能帶中電子態(tài)分擴展態(tài)和局域態(tài)二類。擴展態(tài)的電子為整個固體共有，可在整個固體內(nèi)找到，在外場中運動類似晶體中電子；局域態(tài)的電子基本局限在某一區(qū)域，狀態(tài)波函數(shù)只能在圍繞某一不大的

14、尺度內(nèi)顯著不為零，它們依靠聲子協(xié)助，進行跳躍式導電。第四章 思考題3、按自由電子近似，禁帶產(chǎn)生的原因是什么？緊束縛近似呢？答：按自由電子近似，零級近似波函數(shù)是平面波，它在晶體中傳播如同X射線。當波矢 k 不滿足布拉格條件時，晶格的影響很弱，電子幾乎不受阻礙地通過晶體。但當 k = n/a (處在布里淵區(qū)邊界)，波長 = 2/k = 2a/n 正好滿足布拉格反射條件，受到晶格的全反射，反射波和入射波干涉形成駐波，使電子分布密度發(fā)生變化。一部分主要分布在離子實之間，受離子實吸引較弱，勢能較高，一部分主要分布在離子實周圍，受離子實吸引較強，勢能較低。由此出現(xiàn)能隙。按緊束縛近似，原來孤立原子的每一能級

15、，當原子相互接近組成晶體時，由于原子間的相互作用就構成一個能帶，若原子間距離越小，原子波函數(shù)間交疊越多，相互作用越大，能帶寬度就越寬。由于晶體原胞數(shù) N 很大，倒格子原胞體積很小， k 在波矢空間準連續(xù)取值，因此，同一能帶中相鄰 k 值的能量差別很小， 所以 En(k) 可近似看成是 k 的準連續(xù)函數(shù)。第四章 思考題4、一個能帶有 N 個準連續(xù)能級的物理原因是什么？答：能量本征值 En(k) 與 n 和 k 有關；對給定 n ，En(k) 在波矢空間具有倒格子周期性，因此，電子波矢 k 可限制在第一布里淵區(qū)；在周期性邊界條件下， k 分立取值個數(shù)為晶體原胞數(shù) N； En(k)包含由于 k 的不

16、同取值所對應的許多能級，稱為一個能帶。Nk*第四章 思考題5、近自由電子模型和緊束縛模型有何特點？它們有共同之處嗎？答：近自由電子近似模型是當晶格周期勢場起伏很小，電子的行為很接近自由電子時采用的處理方法。作為零級近似，用晶格平均勢場代替晶格勢場，以自由電子的波函數(shù)為零級近似波函數(shù)。將晶格勢場與平均勢場的差，作為微擾求解薛定鄂方程。緊束縛近似模型是當晶格周期勢場起伏顯著，電子在某一個原子附近主要受到該原子勢場作用時采用的處理方法。作為零級近似，用孤立原子勢場代替晶格勢場，以自由原子中電子的波函數(shù)為零級近似波函數(shù)。將其它原子勢場的作用作為微擾求解薛定鄂方程。它們共同之處，將電子所受主要勢場代替晶

17、格勢場，并以此選擇零級近似波函數(shù)，將主要勢場以外的其它勢場的影響作為微擾，采用量子力學微擾理論求解薛定鄂方程。第四章 思考題6、試述晶體電子作準經(jīng)典運動的條件和準經(jīng)典運動的基本公式。答：量子力學采用準經(jīng)典模型來描述晶體電子對外場的響應，并用布洛赫波組成波包，用波包群速度對應經(jīng)典粒子在外場中的運動。22)()(),(kkkktkxikdkexutx由此可見，用準經(jīng)典模型描述晶體電子對外場響應的條件： 這一外場相對波包范圍變化緩慢，從而相對晶體原胞范圍變化更為緩慢。根據(jù)波包定義：這是因為，從測不準原理xk 1，ka/2。即：當波包波矢范圍 k 比布里淵區(qū)尺度小得多，則波包在晶體空間的范圍將覆蓋許多

18、原胞。只要令波包的波矢范圍 k 相對布里淵區(qū)尺度為小量， 即：k2 /a，則 En(k)可代表這一波包內(nèi)所有電子的狀態(tài)？第四章 思考題6、試述晶體電子作準經(jīng)典運動的條件和準經(jīng)典運動的基本公式。因此，準經(jīng)典模型是將變化周期遠大于波包范圍和晶體原胞尺度的外場采用經(jīng)典理論處理，將變化周期遠小于波包范圍的晶格周期勢場采用量子理論結果。準經(jīng)典運動的基本公式：波包的群速度等于晶體電子作為經(jīng)典粒子后的平均速度；并由此導出晶體電子在外場作用下的動力學方程、加速度、準動量和有效質(zhì)量。第四章 思考題7、試述有效質(zhì)量、空穴的意義，引入它們有什么用處？答：關于有效質(zhì)量：有效質(zhì)量是在討論晶體電子在外場作用下的加速度時引

19、入的物理量，F(xiàn)=m*a。有效質(zhì)量是張量，因此電子的加速度一般與外力方向不一致，這是因為電子除了受外力作用外，還受到晶格周期勢場的作用，這個作用由有效質(zhì)量概括。有效質(zhì)量與電子狀態(tài)有關，是波矢 k 的函數(shù) me*(k)；有效質(zhì)量可以取正值，也可以取負值。引入有效質(zhì)量，概括了晶格周期勢場，晶體電子在外力下運動，在形式上仍有經(jīng)典動力學方程。引入有效質(zhì)量，在能帶極值附近的電子可以看成是具有有效質(zhì)量的自由電子。第四章 思考題7、試述有效質(zhì)量、空穴的意義，引入它們有什么用處？關于空穴：空穴是在討論半導體滿帶(價帶)電子受激發(fā)到達空帶，使?jié)M帶留下一個空狀態(tài)成為近滿帶的導電行為時引入的概念。一個 k 狀態(tài)空著的

20、能帶所產(chǎn)生的電流與一個帶正電荷 e，以該狀態(tài)的電子速度 V(k) 運動的粒子所產(chǎn)生的電流相同，我們稱這種空的狀態(tài)為“空穴”。空穴在外場下的運動，可以看成是一個帶正電荷 e，具有正的有效質(zhì)量 mh*(k) 的粒子。引入空穴，使得對一個近滿帶(2N-1)電子在外場下行為的描述轉(zhuǎn)化為對一個空穴的描述。引入空穴，對于解釋半導體及一些物理現(xiàn)象起著重要作用，如：可以用來解釋某些材料霍爾系數(shù)為正的實驗結果。第四章 習題4.1 周期場中電子的波函數(shù) k(r) 應是布洛赫波，若一維晶格常數(shù)為 a，電子波函數(shù)為 試求這些電子態(tài)的波矢。解： 根據(jù)布洛赫定理lkkkflaxfxxaixxax) ( )()( )3()

21、3cos()( )2()sin()( ) 1 (是一個確定的函數(shù))()(rRrRknine)sin()( ) 1 (xaxk 1 ，即，要求ikae)()sin()sin()(sin()( xxaxaaxaaxkk第四章 習題)3cos()( )2(xaixk.3 , 2 , 1 ,.) 12(.53 1 nanaaakeika，即應有，若要求.3 , 2 , 1 . ,) 12(.53 1 nanaaakeika，即應有，若要求)()(rRrRknine 1 ，即要求ikae)( )3cos()33cos()(3cos()( xxaixaiaxaiaxkk第四章 習題.210 ,.2.420

22、 1 ，即應有，若要求nanaakeikalklaxfx)()( )3()()(rRrRknine 1 ，即要求ikae)( )() 1()()( xmaxfalxflaaxfaxkmllk第四章 習題4.2 電子在周期場中的勢能為其中 a = 4b， 為常數(shù)。(1) 試畫出勢能曲線，并求其平均值。(2) 用近自由電子近似模型求出晶體的第一和第二禁帶寬度。解：(1) 示意勢能曲線bnaxbanbnaxbnanaxbmxV) 1( 0 )(21)(222當當a-bb-a2a-2axV(x)2221bm周期為 a=4b第四章 習題(1) 求平均值2222261)(81bmdxxdxbmbbbbba

23、-bb-a2a-2axV(x)2221bm根據(jù)周期性dxxbmbdxxbmLVbbL21412112220222第四章 習題(2) 求 第 1 個能隙寬度3222222222021114)2sin()2cos(812141)(12bmdxxbixbxbmbdxexbmbdxexVLVVEbbbbxbiLxaiga-bb-a2a-2axV(x)2221bm32218bmEg第四章 習題(2) 求 第 2 個能隙寬度2222bmEga-bb-a2a-2axV(x)2221bm22222222202222221)sin()cos(812141)(12bmdxxbixbxbmbdxexbmbdxexV

24、LVVEbbbbxbiLxaig第四章 習題4.6 一維晶格中，用緊束縛近似及最近鄰近似，求 S 態(tài)電子的能譜 E(k) 的表示式，帶寬以及帶頂和帶底的有效質(zhì)量。解：已知，在緊束縛近似及最近鄰近似下nnmiimeE,)()(RkRk對于一維晶格，令晶格常數(shù)為 a， S態(tài)相互作用積分為 ，)cos(2)()(kaeekEiaikaiki4)(kE能譜表示式2)cos(2)( 2)0cos(2)( 0 maxminiiiiaakEakkEk，帶寬第四章 習題4.6 一維晶格中，用緊束縛近似及最近鄰近似，求 S 態(tài)電子的能譜 E(k) 的表示式，帶寬以及帶頂和帶底的有效質(zhì)量。)cos(2)()(ka

25、eekEiaikaiki2221)(1*)(dkkEdm)cos(1222kaa222* am底有效質(zhì)量表示式222* am頂2222112)cos(12*)( aamak，帶頂有效質(zhì)量2222112)0cos(12*)( 0aamk，帶底有效質(zhì)量根據(jù)第四章 習題4.7 二維正方格子的晶格常數(shù)為 a，用緊束縛近似及最近鄰近似，求 S 態(tài)電子的能譜 E(k) 的表示式，帶寬以及帶頂和帶底的有效質(zhì)量。解：已知，在緊束縛近似及最近鄰近似下nnmiimeE,)()(RkRk令 S 態(tài)相互作用積分為 ，)cos(cos2)()(akakeeeeEyxiaikaikaikaikiyyxxk4 )cos()(cos(2)( 4) 11 (2)( 0 maxminiiyxiiyxaaaaEakkEkkkk，能譜表示式帶寬8)()()(minmaxkkkEEE第四章 習題)cos(cos2)(akakEyxik4.7 二維正方格子的晶格常數(shù)為 a，用緊束縛近似及最近鄰近似，求 S 態(tài)電子的能譜 E(k) 的表示式，帶寬以及帶頂和帶底的有效質(zhì)量。根據(jù)有效質(zhì)量表示式)cos(00)cos(222akakayx22222221)()()()(1*yExyEyxExEmkkkk第四章 習題4.7 二維正方格子的晶格常數(shù)為 a，用緊束縛近似及最近鄰近似，求 S 態(tài)電子的能譜 E(k) 的