初中物理串聯(lián)電路計(jì)算中的定值電阻問題分析舉隅

1、初中物理串聯(lián)電路計(jì)算中的定值電阻問題分析舉隅上海市第四中學(xué) 周文翔 200030摘要：串聯(lián)電路的分析與計(jì)算方法是初中物理中一個(gè)十分重要的技能，也是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的一大難點(diǎn)。而“求解串聯(lián)電路中滿足特定條件的定值電阻阻值或范圍”又是串聯(lián)電路分析與計(jì)算中對(duì)學(xué)生能力要求最高的問題類別之一。本文從串聯(lián)電路動(dòng)態(tài)分析的基礎(chǔ)思想出發(fā)，歸納出串聯(lián)電路中定值電阻阻值變化對(duì)電路各元件相關(guān)物理量的影響之特點(diǎn)，并枚舉了運(yùn)用這一特點(diǎn)解決一些串聯(lián)電路計(jì)算中定值電阻問題的分析實(shí)例。關(guān)鍵詞：初中物理；電學(xué)；串聯(lián)電路計(jì)算；串聯(lián)電路動(dòng)態(tài)分析。串聯(lián)電路的分析與計(jì)算方法是初中物理中一個(gè)十分重要的技能，也是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的一大難點(diǎn)。其重

2、要，在于它不光是后續(xù)并聯(lián)電路分析計(jì)算的前導(dǎo)，更是學(xué)生在今后更高學(xué)段中學(xué)習(xí)和解決電學(xué)問題的基礎(chǔ)。其難度，則在于要解決串聯(lián)電路計(jì)算問題，就要求學(xué)生需要熟練掌握歐姆定律、串聯(lián)電路特點(diǎn)、串聯(lián)電路的動(dòng)態(tài)分析等一系列知識(shí)與技能。而“求解串聯(lián)電路中滿足特定條件的定值電阻阻值或范圍”（以下簡(jiǎn)稱“定值電阻問題”）又是串聯(lián)電路分析與計(jì)算中對(duì)學(xué)生能力要求最高、學(xué)生學(xué)習(xí)過程最困難的問題類別之一。在日常的教學(xué)過程中針對(duì)這類問題所采用的解決方法，有圖像法、枚舉法（分類討論）或是基于枚舉法思想同時(shí)結(jié)合串聯(lián)電路特點(diǎn)后精簡(jiǎn)的分析方法（一般分析思路）。這些方法都能有效解決定值電阻問題，但又各有優(yōu)劣。并且，上述三種方法在筆者看來(lái)實(shí)

3、際上都更像是“用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想解決物理問題”而非“用物理知識(shí)、思想解決物理問題”。因此，如果在教學(xué)過程中教師是基于上述三種分析方法來(lái)教授學(xué)生如何解決定值電阻問題的話，那么學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)踐時(shí)遇到的困難實(shí)際上從物理層面轉(zhuǎn)到了數(shù)學(xué)層面。故通過上述三種分析方法解決定值電阻問題后所提升的，主要是學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。因而筆者開始思考：是否可以主要通過物理分析過程而非數(shù)學(xué)方法處理來(lái)解決定值電阻問題呢？如前文所述，一般要解決串聯(lián)電路計(jì)算問題，就要求學(xué)生需要熟練掌握歐姆定律、串聯(lián)電路特點(diǎn)、串聯(lián)電路的動(dòng)態(tài)分析等一系列的知識(shí)與技能。常規(guī)的串聯(lián)電路計(jì)算問題通常會(huì)給出一個(gè)如圖1所示的電路結(jié)構(gòu)，并討論電源電壓不變時(shí)與定值電阻

4、所串聯(lián)的滑動(dòng)變阻器阻值（或規(guī)格）改變而導(dǎo)致電路中各物理量變化的問題。對(duì)于這一類問題，熟悉串聯(lián)電路動(dòng)態(tài)分析的學(xué)生可以利用“阻大壓大電流小、阻小壓小電流大”這一結(jié)論很方便地進(jìn)行分析并解決。所謂的“阻大壓大電流小、阻小壓小電流大”指的是：在串聯(lián)電路中，電源電壓不變，當(dāng)滑動(dòng)變阻器連入電路的阻值變大時(shí)，其兩端電壓也變大，電路中的電流減小；反之，當(dāng)滑動(dòng)變阻器連入電路的阻值變小時(shí)，其兩端的電壓也變小，電路中的電流增大。這一結(jié)論可以說(shuō)是大部分串聯(lián)電路動(dòng)態(tài)分析的基礎(chǔ)。而當(dāng)學(xué)生遇到定值電阻問題時(shí)，因?yàn)樵入娐分小安蛔儭钡亩ㄖ惦娮杩梢员黄渌柚档亩ㄖ惦娮杼鎿Q也就是定值電阻R1成為了變量，于是導(dǎo)致分析難度對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)大

5、大增加、甚至無(wú)從下手。筆者認(rèn)為，要破解這一難題的關(guān)鍵，就在于首先要理解串聯(lián)電路中定值電阻究竟起到什么作用？定值電阻的阻值改變究竟會(huì)控制哪些物理量與其同步發(fā)生變化？既然定值電阻問題的關(guān)鍵點(diǎn)在于定值電阻R1可以由其他規(guī)格的定值電阻替換（為了便于分析我們?nèi)杂肦1來(lái)表示），那么就可以認(rèn)為它實(shí)質(zhì)上也相當(dāng)于一個(gè)“變阻器”。于是原先的電路就轉(zhuǎn)化為了如圖2所示的結(jié)構(gòu)。利用控制變量的思想通過簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)、分析后不難得到：串聯(lián)電路中，電源電壓不變時(shí)定值電阻R1的阻值越大，則： 通過電路的電流之最大值Imax越小，定值電阻R1兩端的電壓之最大值U1max越大，滑動(dòng)變阻器兩端的電壓之最小值U2min越??； 通過電路的電

6、流之最小值Imin越小，定值電阻R1兩端的電壓之最小值U1min越大，滑動(dòng)變阻器兩端的電壓之最大值U2max越??；定值電阻R1的阻值越小，則： 通過電路的電流之最大值Imax越大，定值電阻R1兩端的電壓之最大值U1max越小，滑動(dòng)變阻器兩端的電壓之最小值U2min越大； 通過電路的電流之最小值Imin越大，定值電阻R1兩端的電壓之最小值U1min越小，滑動(dòng)變阻器兩端的電壓之最大值U2max越大；由歐姆定律及串聯(lián)電路特點(diǎn)，可以得到電路中的電流與兩串聯(lián)電阻的線性關(guān)系：I=U(R1+R2)。根據(jù)這一線性關(guān)系直接推導(dǎo)，同樣也能夠得出上述結(jié)論。實(shí)際上，上述結(jié)論就是串聯(lián)電路動(dòng)態(tài)分析的推廣?；谏鲜鼋Y(jié)論，不

7、難看出定值電阻R1的阻值大小在如圖1所示的串聯(lián)電路中能夠控制Imax、Imin、U1max、U1min、U2max、U2min這六個(gè)重要的數(shù)值同步發(fā)生變化。那么在實(shí)際分析過程中，就可以根據(jù)問題給出的條件信息有的放矢地去推理、解決問題了。下面，筆者就將基于上述結(jié)論（后文表述為“定值電阻變化四結(jié)論”），以具體問題來(lái)實(shí)踐其分析過程。例1：（2018徐匯區(qū)一模）如圖所示，電源電壓為18伏保持不變，定值電阻R1的阻值為20歐，滑動(dòng)變阻器R2標(biāo)有“1201A”字樣，閉合電鍵S后，電流表示數(shù)如圖所示。求：電阻R1兩端的電壓；現(xiàn)用電阻R0替換電阻R1，同時(shí)將一個(gè)電壓表（該電壓表03伏量程損壞）接入電路a、b、

8、c中的某兩點(diǎn)之間，要求：電流表、電壓表選取合適的量程，在移動(dòng)滑片P的過程中，兩電表均能達(dá)到滿刻度，且電路能正常工作，求替換電阻R0的阻值范圍。本文中筆者主要針對(duì)原題第二小問進(jìn)行分析：因電源電壓為18伏，超過了電壓表0-15伏量程，故電壓表不可接在ac兩點(diǎn)間，所以需要分析的只有電壓表接在ab或bc兩點(diǎn)間的情況。又由滑動(dòng)變阻器允許通過的最大電流為1A這一條件，可以明確本題中電流表只能選擇0-0.6A量程才可以能達(dá)到示數(shù)滿偏情況。若電壓表接在ab兩點(diǎn)間，則其測(cè)量對(duì)象為定值電阻R0兩端的電壓，因R0替換了原定值電阻R1，為方便起見筆者仍然將其電壓標(biāo)記為U1。根據(jù)串聯(lián)電路動(dòng)態(tài)變化的特點(diǎn)，易得此時(shí)電壓表、

9、電流表示數(shù)必然能夠同時(shí)達(dá)到滿偏情況，即：Imax=0.6A，U1max=15V。由歐姆定律易得：R0=U1maxImax=15V0.6A=25。若電壓表接在bc兩點(diǎn)間，則其測(cè)量對(duì)象為滑動(dòng)變阻器R2兩端的電壓，記作U2。此時(shí)，電流表與電壓表示數(shù)可能分別達(dá)到滿偏，即：Imax=0.6A，U2max=15V；也可能同時(shí)達(dá)到滿偏，即：Imax=0.6A，U2min=15V或Imin=0.6A，U2max=15V。于是，依據(jù)前文四結(jié)論1-可知：定值電阻R0越大，通過電路的電流之最大值Imax越小，定值電阻R0兩端的電壓之最大值U1max越大，滑動(dòng)變阻器兩端的電壓之最小值U2min越小。則：定值電阻R0最

10、大時(shí)，定值電阻R0兩端的電壓之最大值U1max最大，即（U1max）大=18V；滑動(dòng)變阻器兩端的電壓之最小值U2min最小，即（U2min）小=0V。而通過電路的電流之最大值Imax的數(shù)值，為保證符合題目要求“電流表示數(shù)滿偏”之條件，必然有Imax=0.6A。故列式：R0max=U1max大Imax=18V0.6A=30。經(jīng)過驗(yàn)證：U2max=IminR2max=UR0+R2maxR2max=18V30+120120=14.4V15V。即：此情況下電壓表示數(shù)無(wú)法達(dá)到滿偏，故舍去。依據(jù)前文四結(jié)論1-可知：定值電阻R0越大，通過電路的電流之最小值Imin越小，定值電阻R0兩端的電壓之最小值U1mi

11、n越大，滑動(dòng)變阻器兩端的電壓之最大值U2max越小。則：定值電阻R0最大時(shí)，通過電路的電流之最小值Imin最小，定值電阻R0兩端的電壓之最小值U1min最大；滑動(dòng)變阻器兩端的電壓之最大值U2max為符合題目要求必然有U2max=15V。故列式：R0max=U1min大Imin小=U1min大U2max小R2max=18V-15V15V120=24。同理，依據(jù)前文四結(jié)論2-可知：定值電阻R0最小時(shí)，定值電阻R0兩端的電壓之最大值U1max最小，滑動(dòng)變阻器兩端的電壓之最小值U2min最大。U2min最大只能達(dá)到電壓表的滿偏示數(shù)15V，此情況也就是上文分析伊始所羅列的兩電表同時(shí)達(dá)到滿偏，即：Imax

12、=0.6A，U2min=15V的情況。故列式：R0min=U1max小Imax=U-U2min大Imax=18V-15V0.6A=5。依據(jù)前文四結(jié)論2-可知：定值電阻R0最小時(shí)，通過電路的電流之最小值Imin最大，定值電阻R0兩端的電壓之最小值U1min最小。Imin最大只能達(dá)到電流表的滿偏示數(shù)0.6A，此情況也就是上文分析伊始所羅列的兩電表同時(shí)達(dá)到滿偏的另一種可能性，即：Imin=0.6A，U2max=15V。故列式：R0min=U1min小Imin大=U-U2maxImin大=18V-15V0.6A=5。可見據(jù)2-所列示的結(jié)果與2-是一致的。因此，綜上所述本題答案為：電壓表接在ab兩點(diǎn)間時(shí)

13、，R0=25；電壓表接在bc兩點(diǎn)間時(shí)，5R024。例1的分析過程中，筆者為了完整展示串聯(lián)電路中定值電阻阻值變化對(duì)整個(gè)電路影響的特點(diǎn)在具體問題分析中的運(yùn)用，逐條運(yùn)用了四結(jié)論代入原題條件進(jìn)行分析。實(shí)際上在熟悉了定值電阻變化四結(jié)論后，實(shí)際運(yùn)用時(shí)完全可以根據(jù)具體情況自行選擇具體采用四結(jié)論中的哪兩條來(lái)進(jìn)行分析蓋因四結(jié)論中1-與1-針對(duì)的都是定值電阻阻值越大的情況，可擇一而用2-與2-也同樣如此，都針對(duì)了定值電阻阻值越小的情況。而選取四結(jié)論的依據(jù)所謂的“具體情況”，指的也就是Imax、Imin、U1max、U1min、U2max、U2min這六個(gè)重要的數(shù)值哪項(xiàng)或哪幾項(xiàng)在題目中更明確、更易獲得。所選用的結(jié)論

14、包含的明確對(duì)象越多，分析難度自然越低。例2：（2018徐匯區(qū)二模）如圖（a）所示，電源電壓為18伏，且保持不變，定值電阻R1的阻值為5歐，滑動(dòng)變阻器R2標(biāo)有“60 1A”字樣，兩電壓表的規(guī)格相同。閉合電鍵S后，電流表示數(shù)為0.6安，求：電壓表V1的示數(shù)電阻R2接入電路的阻值現(xiàn)用定值電阻R0替換電阻R1，要求：移動(dòng)變阻器的滑片P，使電壓表V1和V2的指針分別都能處于如圖（b）所示的位置，且電路正常工作i）若電壓表V1和V2的指針分別都能處于如圖（b）所示的位置，電壓表V1和V2的讀數(shù)一定為 伏，理由是 。ii）進(jìn)一步分析題目要求可知，當(dāng)電路中的電流I達(dá)到1A時(shí)電路中的總電阻最小，此時(shí)電壓表V2的

15、示數(shù)為 （均選填“最大值”或“最小值“），可分析推出：R0的最小阻值為 歐。iii）通過計(jì)算求出定值電阻R0的范圍。本文中筆者主要針對(duì)原題第三小問進(jìn)行分析。由題可知，原電路電源電壓為18伏，若兩電壓表中任意一個(gè)選擇0-3V量程，則其示數(shù)為1.2V，根據(jù)串聯(lián)電路電壓特點(diǎn)：易得另一電壓表示數(shù)必然會(huì)超過0-15V量程而導(dǎo)致電表?yè)p壞。所以兩電壓表的示數(shù)一定都為6V。原題3-ii、3-iii兩問實(shí)際上可以統(tǒng)一看作一個(gè)問題，3-ii實(shí)質(zhì)上是3-iii的前置，目的在于展現(xiàn)學(xué)生思維過程的同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考分析的方向。3-ii中提示了學(xué)生要研究電壓表V2的示數(shù)，根據(jù)串聯(lián)電路動(dòng)態(tài)變化的特點(diǎn)可知當(dāng)電路中的電流最大時(shí)V

16、2的示數(shù)即滑動(dòng)變阻器兩端的最小電壓U2min。又根據(jù)題意可知，移動(dòng)變阻器的滑片過程中必須保證兩電壓表示數(shù)分別都能達(dá)到6V，易得：U2min6V，即滑動(dòng)變阻器兩端電壓最小值的上限（U2min）大=6V?；谶@一明確信息，就能判斷3-ii中R0最小值利用四結(jié)論中的2-進(jìn)行分析顯然是最為便捷的。故列式：R0min=U1max小Imax=U-U2min大Imax=18V-6V1A=12。解決了3-ii，那么3-iii實(shí)際上也就轉(zhuǎn)化為了求解滿足題意的替換定值電阻R0的最大值。同樣為了保證移動(dòng)變阻器的滑片過程中兩電壓表示數(shù)分別都能達(dá)到6V，易得：U1min6V，即替換后的定值電阻R0兩端電壓最小值的上限（

17、U1min）大=6V。根據(jù)串聯(lián)電路電壓特點(diǎn)，易得：（U2max）小=12V。于是就能判斷采用四結(jié)論中的1-進(jìn)行分析的關(guān)鍵信息最完備。故列式：R0max=U1min大Imin小=U1min大U2max小R2max=6V12V60=30 。綜上可知，滿足題意的替換定值電阻R0的阻值范圍是：12R030。在例2的分析過程中，筆者沒有機(jī)械性地將四結(jié)論全部代入原題，而是依照前文所述有選擇性地代入，使整個(gè)分析過程更為精簡(jiǎn)。例3：（2017徐匯區(qū)一模）在如圖（a）所示電路中，電源電壓為18伏且不變，電阻R1的阻值為24歐，滑動(dòng)變阻器R2上標(biāo)有“100歐1安字樣，閉合電鍵S，電流表的示數(shù)為0.5安，求：電阻R

18、1兩端的電壓U1；現(xiàn)用電阻R0替換電阻R1，同時(shí)將一電壓表接入電路中，且電流表選用00.6A量程，電壓表選用03V量程，要求：在移動(dòng)變阻器滑片P的過程中，使電壓表V和電流表A的指針均能到達(dá)圖（b）（c）所示位置，且電路能正常工作；i）若電壓表接在ab兩點(diǎn)之間，求替換電阻R0的阻值范圍；ii）若電壓表接在bc兩點(diǎn)之間，求替換電阻R0的阻值范圍。本文中筆者主要針對(duì)原題第二小問進(jìn)行分析。根據(jù)原題-i的相關(guān)信息可知，若電壓表接在ab兩點(diǎn)間，且保證兩電表示數(shù)分別能夠達(dá)到2V及0.4A，則有：U1min2VU1max3V，Imin0.4AImax0.6A。由四結(jié)論1-列式：R0max=U1max大Imax小=3V0.4A=7.5。由四結(jié)論2-列式：R0min=U1max小Imax大=2V0.6A=3.3。故當(dāng)電壓表接在ab兩點(diǎn)間時(shí)替換定值電阻R0的阻值范圍是：3.3R07.5。根據(jù)原題-ii的相關(guān)信息可知，若電壓表接在bc兩點(diǎn)間，且保證兩電表示數(shù)分別能夠達(dá)到2V及0.4A，則有：U1max18V，U2min2VU2max3V，Imin0.4AImax0.6A。由四結(jié)論1-列式：R0