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1、第四章第四章. . 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng),采用微質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng),采用微積分方法,剛體分割為無(wú)數(shù)質(zhì)量為積分方法,剛體分割為無(wú)數(shù)質(zhì)量為 dm dm 的質(zhì)點(diǎn)系。的質(zhì)點(diǎn)系。4- 1 剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)1. 1. 剛體剛體 剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng),無(wú)論它在多大外力剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng),無(wú)論它在多大外力作用下,系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變。作用下,系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變。* 剛體研究方法:剛體研究方法:* 剛體微元質(zhì)量剛體微元質(zhì)量剛體質(zhì)量剛體質(zhì)量體體分布分布dVdVdmV剛體質(zhì)量剛體質(zhì)量面面分布分布dSdSdms剛體質(zhì)量剛體質(zhì)量線線分布分布dl
2、dldml4- 1 剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)2. 2. 平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體最基本的運(yùn)動(dòng)形式是剛體最基本的運(yùn)動(dòng)形式是平動(dòng)平動(dòng)和和轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)。 如果剛體在運(yùn)動(dòng)中,連接剛體上任意兩點(diǎn)的直線如果剛體在運(yùn)動(dòng)中,連接剛體上任意兩點(diǎn)的直線在各時(shí)刻始終保持彼此平行,這種運(yùn)動(dòng)叫平動(dòng)。在各時(shí)刻始終保持彼此平行,這種運(yùn)動(dòng)叫平動(dòng)。 剛體在平動(dòng)時(shí),在任意一段時(shí)間內(nèi),剛體中所剛體在平動(dòng)時(shí),在任意一段時(shí)間內(nèi),剛體中所質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的位移位移都是相同的。而且在任何時(shí)刻,各個(gè)質(zhì)都是相同的。而且在任何時(shí)刻,各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)的速度速度和和加速度加速度也都是相同的。所以也都是相同的。所以剛體內(nèi)任何剛體內(nèi)任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)
3、,都可代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng),都可代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。bca平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)bcabcab平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)bca平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)bca平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)bca平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)bca平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)bca平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)bca平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 如果剛體上所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng),如果剛體上所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng),則稱為剛體的則稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng),這一直線就叫做,這一直線就叫做轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。 平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng):定軸轉(zhuǎn)動(dòng): 剛體上各點(diǎn)都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的剛體上各點(diǎn)都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng),且在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度。圓周運(yùn)動(dòng),且在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度。 剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)平動(dòng)平動(dòng)繞某心的轉(zhuǎn)動(dòng)繞某心的轉(zhuǎn)動(dòng)
4、+定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn):特點(diǎn): 質(zhì)點(diǎn)在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng);質(zhì)點(diǎn)在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng);角位移,角速度和角加速度均相同。角位移,角速度和角加速度均相同。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角位移角位移角速度角速度角加速度角加速度tddtddz1o2oAABB1r2r4. 4. 角速度矢量角速度矢量角速度 角速度的方向:與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向呈角速度的方向:與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向呈右手螺旋關(guān)系。右手螺旋關(guān)系。角速度矢量角速度矢量 在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,角速度的方向沿在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,角速度的方向沿轉(zhuǎn)軸方向。轉(zhuǎn)軸方向。與轉(zhuǎn)軸正向相同為正,否與轉(zhuǎn)軸正向相同為正,否則為負(fù)。則為負(fù)。* 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng): 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度
5、為恒量。剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量。 剛體剛體繞繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt角速度5. 5. 線量線量xz轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面參考軸參考軸imiriv線速度線速度iirv大小大小iirv 切向加速度切向加速度iirdtdva22iiinrrva法向加速度法向加速度irvanaa例例4-1 4-1 一飛輪轉(zhuǎn)速一飛輪轉(zhuǎn)速n= =1500r/min,受到制動(dòng)后均勻地減,受到制動(dòng)后均勻地減速,經(jīng)速,經(jīng)t t=50s=50s后靜止。后靜止。(1 1)求角加速度求角加速度和飛
6、輪從制動(dòng)和飛輪從制動(dòng)開始到靜止所轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)開始到靜止所轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)N;(2 2)求制動(dòng)開始后求制動(dòng)開始后t=25=25s 時(shí)飛輪的角速度時(shí)飛輪的角速度 ;(3 3)設(shè)飛輪的半徑設(shè)飛輪的半徑r =1=1m,求在,求在t =25=25s 時(shí)邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。時(shí)邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。角速度 0O解解:(1 1)設(shè)初角度為)設(shè)初角度為 0 0方向如圖所示,方向如圖所示, 0 0=2=21500/60=501500/60=50 rad/s已知已知t=50=50S 時(shí)刻時(shí)刻 =0 =0 ,代入方程代入方程 = = 0+t 得得220/14. 3/5050sradsradt角速度 從開始制動(dòng)到靜止
7、,飛輪的角位移從開始制動(dòng)到靜止,飛輪的角位移 radatt125021200轉(zhuǎn)6252N轉(zhuǎn)數(shù)轉(zhuǎn)數(shù)N 為為(2 2)求制動(dòng)開始后)求制動(dòng)開始后t=25=25s 時(shí)飛輪的角速度時(shí)飛輪的角速度 ;sradsradsradt/5 .78/25/25500 的方向與的方向與 0 0相同相同 ; 0O角速度smrvv/5 .78 0vanatarO(3)設(shè)飛輪的半徑)設(shè)飛輪的半徑r=1m,求在,求在t=25s 時(shí)邊緣上一點(diǎn)時(shí)邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。的速度和加速度。 t t=25=25s 時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)P 的速度的速度rv 的方向垂直于的方向垂直于 和和 構(gòu)成的平面。構(gòu)成的平面。vr切向
8、加速度切向加速度2/14. 3smrat向心加速度向心加速度232/1016. 6smran 邊緣上該點(diǎn)的加速度邊緣上該點(diǎn)的加速度 ,其中其中 的方向與的方向與 的方向的方向相反相反, 的方向指向軸心,的方向指向軸心, 的大小為的大小為aaanavana角速度23222322/1016.6/14.3)1016.6(smsmaaant 的方向幾乎和的方向幾乎和 相同。相同。ana 的大小為的大小為a例例4-2 4-2 一飛輪在時(shí)間一飛輪在時(shí)間t t內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)角度內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)角度 at+bt3-ct4 , ,式中式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。都是常量。求它的角加速度。解:解:飛輪上某點(diǎn)角位置可用
9、飛輪上某點(diǎn)角位置可用 表示為表示為 at+btat+bt3 3-ct-ct4 4將此式對(duì)將此式對(duì)t t求導(dǎo)數(shù),即得飛輪角速度的表達(dá)式為求導(dǎo)數(shù),即得飛輪角速度的表達(dá)式為324343)(ctbtactbtatdtd角加速度是角速度角加速度是角速度對(duì)對(duì)t t的導(dǎo)數(shù),因此得的導(dǎo)數(shù),因此得232126)43(ctbtctbtadtddtda由此可見(jiàn)飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動(dòng)。由此可見(jiàn)飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動(dòng)。角速度4-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律Z轉(zhuǎn)動(dòng)平面rAFMrFMZM 沿沿Z Z 軸分量為軸分量為 對(duì)對(duì)Z Z 軸力矩軸力矩ZMMFsinrFM FrM對(duì)對(duì)O O 點(diǎn)的力矩點(diǎn)的力矩:F1.1.力矩力矩O
10、 力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi) 力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi) 注:注:在定軸動(dòng)問(wèn)題中,如不加說(shuō)在定軸動(dòng)問(wèn)題中,如不加說(shuō)明,所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面明,所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。內(nèi)的分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。FrM 只能引起軸的只能引起軸的變形變形, 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)貢獻(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)貢獻(xiàn)。1Fr轉(zhuǎn)動(dòng)平面1FF2F)(21FFr21FrFrr力矩力矩Pz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂d 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) , 力力 作用在剛體上點(diǎn)作用在剛體上點(diǎn) P , 且在轉(zhuǎn)動(dòng)且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)平面內(nèi), 為由點(diǎn)為由點(diǎn)O 到力的到力的作用點(diǎn)作用點(diǎn) P 的徑矢的徑矢 . FrFrM
11、 對(duì)轉(zhuǎn)軸對(duì)轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩的力矩 FM4-24-2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律力矩力矩zOkFr討論討論FFFzFrkMzsin rFMzzFF 1)若力若力 不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),把力分解為平行和垂不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量 F2)合)合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 其中其中 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零,故矩為零,故 對(duì)轉(zhuǎn)軸的對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力矩zFF3) 剛體內(nèi)作用力和剛體內(nèi)作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消fdMMjiijjririjijfjifdOijMjiM4)在轉(zhuǎn)軸方向確定后,力對(duì)
12、轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用在轉(zhuǎn)軸方向確定后,力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用+ +、- -號(hào)表示。號(hào)表示。2. 2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量iiiivrmLOzimiriviL 剛體上質(zhì)元?jiǎng)傮w上質(zhì)元 相對(duì)于轉(zhuǎn)軸相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量為的角動(dòng)量為im 是質(zhì)元是質(zhì)元 到轉(zhuǎn)軸的距離。到轉(zhuǎn)軸的距離。 imir2iirm整個(gè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量為:整個(gè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量為:2iiizrmLL2iirm定義:定義:剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2iirmJ角動(dòng)量角動(dòng)量JLz剛體的角動(dòng)量dtLdM外JLz剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理dtdLMzzdtJddtd
13、JJ 剛體繞某一定軸轉(zhuǎn)動(dòng),它受的合外力矩等于剛體剛體繞某一定軸轉(zhuǎn)動(dòng),它受的合外力矩等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積。dtdLM 3. 3. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J2iirmJdmr2 是質(zhì)元是質(zhì)元 到轉(zhuǎn)軸的距離。到轉(zhuǎn)軸的距離。 dmr 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的大小取決于剛體的質(zhì)量質(zhì)量、形狀形狀及及轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸的位置的位置 .注意注意例例4-3 4-3 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為 l l 的均勻細(xì)棒對(duì)下面三種轉(zhuǎn)的均勻細(xì)棒對(duì)下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:(1 1)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并和棒垂直;轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并和棒垂直;(2 2)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端
14、并和棒垂直轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端并和棒垂直; ;(3 3)轉(zhuǎn)軸通過(guò)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為棒上距中心為h h的一點(diǎn)并和棒垂直。的一點(diǎn)并和棒垂直。l/2l/2OxdxlOxdxAlxdxAABh解解 (1 1)在棒上離軸)在棒上離軸x 處,取一長(zhǎng)度元處,取一長(zhǎng)度元d dx,如棒的質(zhì),如棒的質(zhì)量線密度為量線密度為 ,這長(zhǎng)度元的質(zhì)量為,這長(zhǎng)度元的質(zhì)量為d dm= = d dx。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算xxmrJllodd2/2/22l/2l/2OxdxA當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心并和棒垂直時(shí)當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心并和棒垂直時(shí)123lml 2121mlJ 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算(2 2)當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端)當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端A A并和并和棒垂直時(shí)棒
15、垂直時(shí)3323mlllxdxAdxxJlA02lOxdxABh(3 3)當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為)當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為h h的的B B點(diǎn)并和棒垂直時(shí)點(diǎn)并和棒垂直時(shí)222/2/212mhmldxxJhlhlB 這個(gè)例題表明,同一剛體對(duì)不同位置的轉(zhuǎn)軸,這個(gè)例題表明,同一剛體對(duì)不同位置的轉(zhuǎn)軸,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并不相同。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并不相同。例例求均質(zhì)圓盤求均質(zhì)圓盤(m,R)過(guò)圓心且與板面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)過(guò)圓心且與板面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)慣量 .解解242121mRhR xyzrdr盤由許多環(huán)組成盤由許多環(huán)組成 mrIdd2 mrId2 rhrrd22 Rrrh03d2 tJJMdd4. 4. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的應(yīng)用
16、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的應(yīng)用討論:討論: 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度;轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度;(1) M M 一定,一定,J J(3 3)J J 和質(zhì)量分布有關(guān);和質(zhì)量分布有關(guān);J 和轉(zhuǎn)軸有關(guān),同一個(gè)物體和轉(zhuǎn)軸有關(guān),同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同。對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同。 (2 2)M M 的符號(hào):使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動(dòng)正方向加速的力矩的符號(hào):使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動(dòng)正方向加速的力矩為正;為正;(4 4)分析問(wèn)題,選定轉(zhuǎn)軸正方向;對(duì)于質(zhì)點(diǎn))分析問(wèn)題,選定轉(zhuǎn)軸正方向;對(duì)于質(zhì)點(diǎn)- -剛體組成的剛體組成的系統(tǒng),質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)正方向選擇要與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)正方向自洽系統(tǒng),質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)正方向選擇要與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)正方向自洽。 (5
17、5)對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用牛頓定律,對(duì)剛體運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律。)對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用牛頓定律,對(duì)剛體運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律。 (6 6)列出關(guān)聯(lián)方程,一般在質(zhì)點(diǎn)加速度與剛體角加速度)列出關(guān)聯(lián)方程,一般在質(zhì)點(diǎn)加速度與剛體角加速度之間尋找。之間尋找。 例題例題4-5 4-5 一輕繩跨過(guò)一定滑輪,滑輪視為圓盤,繩的兩一輕繩跨過(guò)一定滑輪,滑輪視為圓盤,繩的兩端分別懸有質(zhì)量為端分別懸有質(zhì)量為m1和和m2的物體的物體1 1和和2 2,m1m1,物體,物體1 1向上運(yùn)動(dòng),物體向上運(yùn)動(dòng),物體2 2向下運(yùn)動(dòng),滑輪以順向下運(yùn)動(dòng),滑輪以順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),Mf f的指向如圖所示??闪谐鱿铝蟹匠痰闹赶蛉鐖D所示??闪谐鱿铝蟹匠虖囊陨细魇郊纯山獾脧?/p>
18、以上各式即可解得 式中式中 是滑輪的角加速度,是滑輪的角加速度,a是是物體的加速度?;嗊吘壣系那邢蛭矬w的加速度?;嗊吘壣系那邢蚣铀俣群臀矬w的加速度相等,即加速度和物體的加速度相等,即ra 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律T2 T1 T1T2G2G1aam1m2MfJMrTrTf12amTG222amGT111ra mmmrMgmmrJmmrMgmmaff21121221212 /mmmrMgmmaf21/1212 mmmrMgmmmagmTf21212121212 / mmmrMgmmmagmTf21212122111 /而而定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 rmmmrMgmmraf 211212/當(dāng)不計(jì)
19、滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m=0=0、M =0=0時(shí),有時(shí),有g(shù)mmmmTT1221212gmmmma1212 上題中的裝置叫阿特伍德機(jī),是一種可用來(lái)測(cè)上題中的裝置叫阿特伍德機(jī),是一種可用來(lái)測(cè)量重力加速度量重力加速度g g的簡(jiǎn)單裝置。因?yàn)樵谝阎暮?jiǎn)單裝置。因?yàn)樵谝阎猰1、 m2 、r和和J的情況下,能通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出物體的情況下,能通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出物體1 1和和2 2的加速度的加速度a,再通過(guò)加速度把再通過(guò)加速度把g g算出來(lái)。在實(shí)驗(yàn)中可使兩物體的算出來(lái)。在實(shí)驗(yàn)中可使兩物體的m1和和m2相近,從而使它們的加速度相近,從而使它們的加速度a和速度和速度v都較小,都較小,這樣就能
20、較精確地測(cè)出這樣就能較精確地測(cè)出a來(lái)。來(lái)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題例題4-6 4-6 一半徑為一半徑為R R,質(zhì)量為,質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤,平放在粗糙勻質(zhì)圓盤,平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為 ,令圓盤最,令圓盤最初以角速度初以角速度 0 0繞通過(guò)中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn),問(wèn)它繞通過(guò)中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn),問(wèn)它經(jīng)過(guò)多少時(shí)間才停止轉(zhuǎn)動(dòng)?經(jīng)過(guò)多少時(shí)間才停止轉(zhuǎn)動(dòng)?R edrrd 解解 由于摩擦力不是集中作用于一點(diǎn),而是分布在由于摩擦力不是集中作用于一點(diǎn),而是分布在整個(gè)圓盤與桌子的接觸面上,力矩的計(jì)算要用積分整個(gè)圓盤與桌子的接觸面上,力矩的計(jì)算要用積分法
21、。在圖中,把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元,每個(gè)質(zhì)元法。在圖中,把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元,每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量的質(zhì)量dm= rd dre,所受到的阻力矩是,所受到的阻力矩是r dmg 。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律此處此處e是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是2002RdrrdegdrredrgdmgrM因因m= e R2,代入得,代入得mgRM32 根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律,阻力矩使圓盤減速,即獲得負(fù)根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律,阻力矩使圓盤減速,即獲得負(fù)的角加速度的角加速度.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律R edrrd 332RegdtdmRJmgR22132dtdRg2132設(shè)圓盤經(jīng)過(guò)時(shí)間設(shè)圓盤經(jīng)過(guò)時(shí)間t t停
22、止轉(zhuǎn)動(dòng),則有停止轉(zhuǎn)動(dòng),則有0002132dRdtgt由此求得由此求得043gRt 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律Rdgdt21324-3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能 1.1.力矩的功力矩的功 力力 對(duì)對(duì)P 點(diǎn)作功:點(diǎn)作功:FrFddAsindsF2cosdsFddrs 00 drFrdP因因MFrsinddMA 0ddMMA力矩作功:力矩作功:im力的空間累積效應(yīng)力的空間累積效應(yīng) 力的功力的功,動(dòng)能動(dòng)能,動(dòng)能定理動(dòng)能定理.力矩的空間累積效應(yīng)力矩的空間累積效應(yīng) 力矩的功力矩的功,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,動(dòng)能定理動(dòng)能定理.力矩的功力矩的功2. 2. 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能應(yīng)該是
23、組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能應(yīng)該是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和。能之和。221iikivmE 設(shè)剛體中第設(shè)剛體中第i i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 ,速度為,速度為 , ,則該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為:則該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為:imiv 剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),各質(zhì)點(diǎn)的角速度剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),各質(zhì)點(diǎn)的角速度 相同。設(shè)質(zhì)相同。設(shè)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn) 離軸的垂直距離為離軸的垂直距離為 ,則它的線速度,則它的線速度imiriirv 則該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為則該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為222121iiiikirmvmE因此整個(gè)剛體的動(dòng)能因此整個(gè)剛體的動(dòng)能221iiKvmE 2221 iirm221J剛體因轉(zhuǎn)動(dòng)而具有的動(dòng)能,因此叫剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。剛體因
24、轉(zhuǎn)動(dòng)而具有的動(dòng)能,因此叫剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。222121iiiikirmvmE區(qū)別區(qū)別:平動(dòng):平動(dòng)動(dòng)能平動(dòng):平動(dòng)動(dòng)能 221mv線動(dòng)量線動(dòng)量mv轉(zhuǎn)動(dòng):轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng):轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 221J角動(dòng)量角動(dòng)量J轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度。3.3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理JdtdM 外力矩所做元功為:外力矩所做元功為:MddA總外力矩對(duì)剛體所作的功為:總外力矩對(duì)剛體所作的功為: 212221212121JJdJMdA 物體在物體在 時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)角位移時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)角位移 時(shí)時(shí)tdtdd剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理:總
25、外力矩對(duì)剛體所做的功剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理:總外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。dJdtddJdtdJd221JE cpmghE 表明:一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能與它的質(zhì)量集表明:一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能與它的質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能一樣。中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能一樣。4.4.剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能即:即:iiiiphmgghmE質(zhì)心高度為:質(zhì)心高度為:mhmhiic 對(duì)于一個(gè)不太大的質(zhì)量為對(duì)于一個(gè)不太大的質(zhì)量為 的物體,它的重力的物體,它的重力勢(shì)能應(yīng)是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能之和。勢(shì)能應(yīng)是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能之和。m軸和棒之間沒(méi)有摩擦力
26、;軸和棒之間沒(méi)有摩擦力;例題例題4-7 一根質(zhì)量為一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為 l 的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒OA,可繞通,可繞通過(guò)其一端的光滑軸過(guò)其一端的光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),今使棒從水平在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),今使棒從水平位置開始自由下擺,求細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)其中點(diǎn)位置開始自由下擺,求細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)其中點(diǎn)C和和端點(diǎn)端點(diǎn)A的速度。的速度。G AA O 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 N解:先對(duì)細(xì)棒解:先對(duì)細(xì)棒OA所受的力作一所受的力作一分析;分析;G重力重力 , ,作用在棒的中心點(diǎn)作用在棒的中心點(diǎn)C C,方向豎直向下;方向豎直向下;N軸對(duì)棒作用的支承力軸對(duì)棒作用的支承力 ,垂直,垂直于棒和軸的
27、接觸面且通過(guò)于棒和軸的接觸面且通過(guò)O O點(diǎn)點(diǎn),在棒的下擺過(guò)程中,此力的,在棒的下擺過(guò)程中,此力的方向和大小是隨時(shí)改變的。方向和大小是隨時(shí)改變的。 支撐力支撐力N N的力矩等于零的力矩等于零重力重力G G的力矩則是變力矩,大小為:的力矩則是變力矩,大小為:dlmgdMdAGcos2在使棒從水平位置下擺到豎直位置過(guò)在使棒從水平位置下擺到豎直位置過(guò)程中,重力矩所作的功是程中,重力矩所作的功是2cos220lmgdlmgdAA應(yīng)該指出:重力矩作的功就是重力作的功,也可應(yīng)該指出:重力矩作的功就是重力作的功,也可用重力勢(shì)能的差值來(lái)表示。用重力勢(shì)能的差值來(lái)表示。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 棒轉(zhuǎn)過(guò)一
28、極小的角位移棒轉(zhuǎn)過(guò)一極小的角位移d d 時(shí),重力時(shí),重力矩所作的元功是矩所作的元功是cos2lmgMGG AA O N2212JlmgA由此得由此得Jmgl代入上式得代入上式得因因231mlJ lg3所以細(xì)棒在豎直位置時(shí),端點(diǎn)所以細(xì)棒在豎直位置時(shí),端點(diǎn)A A和中心點(diǎn)和中心點(diǎn)C C的速度的速度分別為分別為gllvA3gllvC3212定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 棒在水平位置時(shí)的角速度棒在水平位置時(shí)的角速度 0 00 0,下擺到豎直位置時(shí)的,下擺到豎直位置時(shí)的角速度為角速度為 ,根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理得,根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理得G AA O N 剛體在一段時(shí)間內(nèi)所受的沖量矩等于剛
29、體在這段剛體在一段時(shí)間內(nèi)所受的沖量矩等于剛體在這段時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量。時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量。4-4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律1. 1. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理:剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理:JdtddtdLM00dJJtMtttttM0d為為 時(shí)間內(nèi)力矩時(shí)間內(nèi)力矩M M 對(duì)給定軸的沖量矩。對(duì)給定軸的沖量矩。0ttt角動(dòng)量定理的積分形式:角動(dòng)量定理的積分形式:在外力矩作用下,從在外力矩作用下,從tt 0角動(dòng)量角動(dòng)量00JL 變?yōu)樽優(yōu)镴L , 力矩的時(shí)間累積效應(yīng)力矩的時(shí)間累積效應(yīng) 沖量矩、角動(dòng)量、沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理. 力
30、的時(shí)間累積效應(yīng)力的時(shí)間累積效應(yīng) 沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理. 分離變量得分離變量得JddLMdt2. 2. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 角動(dòng)量守恒定律:角動(dòng)量守恒定律:剛體(或質(zhì)點(diǎn)系)對(duì)某一定軸所剛體(或質(zhì)點(diǎn)系)對(duì)某一定軸所受合外力矩為零,則它對(duì)這一固定軸的角動(dòng)量保持不變受合外力矩為零,則它對(duì)這一固定軸的角動(dòng)量保持不變JL恒量恒量討論:討論: a. .對(duì)于繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體,若對(duì)于繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體,若J J 保持不變,保持不變,當(dāng)合外力矩為零時(shí),其當(dāng)合外力矩為零時(shí),其角速度角速度恒定。恒定。時(shí),當(dāng)0M時(shí),當(dāng)0MJ= =恒量恒量= =恒量恒量00
31、dJJtMtt角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理若若J J 變:變:J 增大則增大則變小;變??; J變小則變小則增大;增大;b. .若系統(tǒng)由若干個(gè)剛體構(gòu)成若系統(tǒng)由若干個(gè)剛體構(gòu)成, ,當(dāng)合外力矩為零時(shí)當(dāng)合外力矩為零時(shí), ,系系 統(tǒng)的角動(dòng)量依然守恒。統(tǒng)的角動(dòng)量依然守恒。時(shí),當(dāng)0M恒量2211JJLc.c.若系統(tǒng)內(nèi)既有平動(dòng)也有轉(zhuǎn)動(dòng)現(xiàn)象發(fā)生,若對(duì)某一軸若系統(tǒng)內(nèi)既有平動(dòng)也有轉(zhuǎn)動(dòng)現(xiàn)象發(fā)生,若對(duì)某一軸的合外力矩為零的合外力矩為零, ,則系統(tǒng)對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒。則系統(tǒng)對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律當(dāng)滑冰、跳水、體操當(dāng)滑冰、跳水、體操運(yùn)動(dòng)員在空中為了迅運(yùn)動(dòng)員在空中為了迅速翻轉(zhuǎn)也總
32、是曲體、速翻轉(zhuǎn)也總是曲體、減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、增加減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、增加角速度。當(dāng)落地時(shí)則角速度。當(dāng)落地時(shí)則總是伸直身體、增大總是伸直身體、增大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、使身體平轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、使身體平穩(wěn)落地。穩(wěn)落地。直線運(yùn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律對(duì)照直線運(yùn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律對(duì)照質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)txvdd22ddddtxtvatdd22ddddttmvP 221mvEKJL 221JEKFmMJxFAddtF dddMA tM dmaF JM 0dPPtF0dLLtM2022121dmvmvxF2022121dJJM定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律例題例題4-8 4-8
33、一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為l,質(zhì)量為,質(zhì)量為m,可繞通過(guò)其端點(diǎn),可繞通過(guò)其端點(diǎn)O的水平軸的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后,它在豎直位置上與放在地面轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后,它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為m ,它與地面的摩擦系數(shù)為,它與地面的摩擦系數(shù)為 。相撞后物體沿地面滑行一距離相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的質(zhì)心而停止。求相撞后棒的質(zhì)心C離地離地面的最大高度面的最大高度h,并說(shuō)明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。,并說(shuō)明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。解:解: 這個(gè)問(wèn)題可分為三個(gè)階段進(jìn)這個(gè)問(wèn)題可分為三個(gè)階段
34、進(jìn)行分析。第一階段是行分析。第一階段是棒自由擺落棒自由擺落的過(guò)程的過(guò)程。CO定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律2223121212mlJlmg(1 1) 這時(shí)除重力外,其余內(nèi)力這時(shí)除重力外,其余內(nèi)力與外力都不作功,所以與外力都不作功,所以機(jī)械能守機(jī)械能守恒恒。 我們把棒在豎直位置時(shí)質(zhì)心所我們把棒在豎直位置時(shí)質(zhì)心所在處取為勢(shì)能零點(diǎn),用在處取為勢(shì)能零點(diǎn),用表示棒表示棒這時(shí)的角速度這時(shí)的角速度, ,則則2223121212mlJlmg(1 1)第二階段是第二階段是碰撞過(guò)程碰撞過(guò)程。(2 2) 223131mlmvlml 式中式中 棒在碰撞后的角速度,它可正可負(fù)。棒在碰撞后的角速
35、度,它可正可負(fù)。 取取正值,表示碰后棒向左擺;反之,表示向右擺。正值,表示碰后棒向左擺;反之,表示向右擺。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律CO因碰撞時(shí)間極短,沖力極大,物體雖然受因碰撞時(shí)間極短,沖力極大,物體雖然受到地面的摩擦力,但可以忽略。這樣,棒到地面的摩擦力,但可以忽略。這樣,棒與物體相撞時(shí),它們組成的系統(tǒng)所受的對(duì)與物體相撞時(shí),它們組成的系統(tǒng)所受的對(duì)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零,所以,這個(gè)系統(tǒng)的的外力矩為零,所以,這個(gè)系統(tǒng)的對(duì)對(duì)O軸的軸的角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒。我們用。我們用v表示物體碰表示物體碰撞后的速度,則撞后的速度,則第三階段是物體在碰撞后的第三階段是物體在碰撞后的
36、滑行過(guò)程滑行過(guò)程。物體作勻減。物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng),加速度由牛頓第二定律求得為速直線運(yùn)動(dòng),加速度由牛頓第二定律求得為mamg (3 3)由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得asv202gsv 22 (4)亦即亦即由式(由式(1 1)、()、(2 2)與()與(4 4)聯(lián)合求解,即得)聯(lián)合求解,即得 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律CO2223121212mlJlmg(1 1)(2 2) 223131mlmvlmllgsgl233(1 1)、()、(2 2)與()與(4 4)聯(lián)合求解,即得)聯(lián)合求解,即得CO當(dāng)當(dāng) 取正值,則棒向左擺,其條件為取正值,則棒向左擺
37、,其條件為0233 gsgl 亦即亦即l l66 s;當(dāng)當(dāng) 取負(fù)值,則棒向右擺,其條件為取負(fù)值,則棒向右擺,其條件為0233 gsgl 亦即亦即l 6 s棒的質(zhì)心棒的質(zhì)心C C上升的最大高度上升的最大高度: : 碰撞后棒上升過(guò)程與第一階碰撞后棒上升過(guò)程與第一階段情況相似,機(jī)械能守恒。段情況相似,機(jī)械能守恒。(6)(6)223121mlmghslslh632例題例題4-12 4-12 工程上,兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們工程上,兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)。以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)。A和和B兩飛輪的軸桿在同一兩飛輪的軸桿在同一中心線上,中心線上,A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JA=1
38、0kg m2,B B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為量為JB=20kg m2 。開始時(shí)。開始時(shí)A A輪的轉(zhuǎn)速為輪的轉(zhuǎn)速為600r/min,B輪輪靜止。靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速;在嚙為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速;在嚙合過(guò)程中,兩輪的機(jī)械能有何變化?合過(guò)程中,兩輪的機(jī)械能有何變化? A ACBACB定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 以飛輪以飛輪A A、B B和嚙合器和嚙合器C C作為一系統(tǒng)來(lái)考慮,在嚙合過(guò)程作為一系統(tǒng)來(lái)考慮,在嚙合過(guò)程中,系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力,前者中,系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力,前者對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零,后者對(duì)轉(zhuǎn)軸有
39、力矩,但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零,后者對(duì)轉(zhuǎn)軸有力矩,但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。系統(tǒng)沒(méi)有受到其他外力矩,所以系統(tǒng)的系統(tǒng)沒(méi)有受到其他外力矩,所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒。解:按角動(dòng)量守恒定律可得解:按角動(dòng)量守恒定律可得BABBAAJJJJ 為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。BABBAAJJJJ以各量的數(shù)值代入得以各量的數(shù)值代入得srad /9.20 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 ACB解得解得 在嚙合過(guò)程中,摩擦力矩作功,所以機(jī)械能不守在嚙合過(guò)程中,摩擦力矩作功,所以機(jī)械能不守恒,部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量,損失的機(jī)械能為恒,部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱
40、量,損失的機(jī)械能為222212121BABAJJJJEBAJ41032. 1例例4-13 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為l 、質(zhì)量為、質(zhì)量為m 的勻質(zhì)細(xì)桿,可繞光滑軸的勻質(zhì)細(xì)桿,可繞光滑軸O 在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。當(dāng)桿靜止時(shí),一顆質(zhì)量為在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。當(dāng)桿靜止時(shí),一顆質(zhì)量為m0 的子的子彈水平射入與軸相距為彈水平射入與軸相距為a 處的桿內(nèi),并留在桿中,使處的桿內(nèi),并留在桿中,使桿能偏轉(zhuǎn)到桿能偏轉(zhuǎn)到 =600,求子彈的初速,求子彈的初速v0。解:分兩個(gè)階段進(jìn)行考慮解:分兩個(gè)階段進(jìn)行考慮avmL000JL 22031mlamJ其中其中a0m(1)子彈射入細(xì)桿子彈射入細(xì)桿,使細(xì)桿獲得使細(xì)桿獲得初速度。因這一過(guò)程進(jìn)行得初速度。因這一過(guò)程進(jìn)行得很快很快,細(xì)桿發(fā)生偏轉(zhuǎn)極小細(xì)桿發(fā)生偏轉(zhuǎn)極小,可認(rèn)可認(rèn)為桿仍處于豎直狀態(tài)。子彈為桿仍處于豎直狀態(tài)。子彈和細(xì)桿組成系統(tǒng)和細(xì)桿組成系統(tǒng),無(wú)外力矩?zé)o外力矩,滿滿足足角動(dòng)量守恒角動(dòng)
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