非線性物理2-2(流體不穩(wěn)定性、洛倫茲方程、李雅普諾夫指數(shù)、埃儂吸引子、洛倫茲吸引子)

1、第二章第二章 分岔與奇怪吸引子分岔與奇怪吸引子第三節(jié)第三節(jié) 流體不穩(wěn)定性與洛倫茲方程流體不穩(wěn)定性與洛倫茲方程 1.1.流體中的不穩(wěn)定性流體中的不穩(wěn)定性2.2.洛倫茲方程解的分岔洛倫茲方程解的分岔1900年年, 法國科學家貝納德法國科學家貝納德(E.Benard)做了一個著名的做了一個著名的對流實驗對流實驗. 1.流體中的不穩(wěn)定性流體中的不穩(wěn)定性 在一水平容器中放一薄層液在一水平容器中放一薄層液體，從底部徐徐均勻地加熱，體，從底部徐徐均勻地加熱，開始液體沒有任何宏觀的運動。開始液體沒有任何宏觀的運動。當上下溫差達到一定的程度，當上下溫差達到一定的程度，液體中突然出現(xiàn)規(guī)則的六邊形液體中突然出現(xiàn)規(guī)則

2、的六邊形對流圖案。照片中每個小六角對流圖案。照片中每個小六角形中心較暗處液塊向上浮，邊形中心較暗處液塊向上浮，邊緣較暗處液塊向下沉。緣較暗處液塊向下沉。 當上下溫差加大時，為什么當上下溫差加大時，為什么對流不積微漸著，而是突然從對流不積微漸著，而是突然從無到有地產(chǎn)生無到有地產(chǎn)生? 貝納德對流貝納德對流 當上下溫差加大時，對當上下溫差加大時，對流突然從無到有產(chǎn)生。流突然從無到有產(chǎn)生。 貝納德圖案是對流與抑貝納德圖案是對流與抑止因素止因素( (黏性和熱擴散黏性和熱擴散) )競爭競爭的結(jié)果的結(jié)果。T2T1這是現(xiàn)代用硅油做實驗拍攝的照片。這是現(xiàn)代用硅油做實驗拍攝的照片。貝納德對流實驗貝納德對流實驗 理

3、想裝置：理想裝置：兩塊平行平板中間充滿液體，兩塊平行平板中間充滿液體，y方向無限伸展，下底加熱。方向無限伸展，下底加熱。現(xiàn)象現(xiàn)象：實驗時，下面板均勻緩慢地加熱，上下平板之間出現(xiàn)溫差。平板實驗時，下面板均勻緩慢地加熱，上下平板之間出現(xiàn)溫差。平板間的液體開始是靜止的，當加熱到一定程度時，液體開始翻動，出現(xiàn)對間的液體開始是靜止的，當加熱到一定程度時，液體開始翻動，出現(xiàn)對流現(xiàn)象。流現(xiàn)象。發(fā)生翻動對流時會形成一種象蛋卷一樣很規(guī)則的圖形，發(fā)生翻動對流時會形成一種象蛋卷一樣很規(guī)則的圖形，溫差溫差進進一步增加時，規(guī)則的對流圖形將受到破壞，進入到一步增加時，規(guī)則的對流圖形將受到破壞，進入到湍流湍流狀態(tài)。狀態(tài)。

4、分析：分析：隨溫度上升，流體經(jīng)歷由隨溫度上升，流體經(jīng)歷由穩(wěn)定到不穩(wěn)定再到新的穩(wěn)定態(tài)的分岔穩(wěn)定到不穩(wěn)定再到新的穩(wěn)定態(tài)的分岔過過程。程。1.流體中的不穩(wěn)定性流體中的不穩(wěn)定性瑞利數(shù)瑞利數(shù) 1916年，英國學者年，英國學者瑞利瑞利對貝納德實驗作了解釋。認為是浮力和粘對貝納德實驗作了解釋。認為是浮力和粘滯力間的關系決定液體向上運動。由此定義了一個無量綱參數(shù)滯力間的關系決定液體向上運動。由此定義了一個無量綱參數(shù)R (瑞利瑞利數(shù)數(shù)) ： g-為重力加速度，為重力加速度，a-a-為熱脹系數(shù)，為熱脹系數(shù)，d-兩塊板間距，兩塊板間距，h-h-粘滯系數(shù)，粘滯系數(shù)，DT-擴散系數(shù)。擴散系數(shù)。T3DdTgRha 瑞利數(shù)

5、瑞利數(shù)R與溫度差成正比，溫度差加大時與溫度差成正比，溫度差加大時R值增加，有一臨界值值增加，有一臨界值RC，當，當R 超過超過RC時，流時，流體出現(xiàn)翻動與對流，稱為體出現(xiàn)翻動與對流，稱為貝納德不穩(wěn)定性貝納德不穩(wěn)定性。臨界值臨界值RC為：為：其中其中k k是是 x 方向環(huán)流波數(shù)方向環(huán)流波數(shù) 。 2324c)1 (kkR1.流體中的不穩(wěn)定性流體中的不穩(wěn)定性倍周期分岔的實驗檢驗倍周期分岔的實驗檢驗 從分岔觀點看，平板間液體隨著溫差升高出現(xiàn)的從靜止到對從分岔觀點看，平板間液體隨著溫差升高出現(xiàn)的從靜止到對流也是一種流也是一種分岔現(xiàn)象分岔現(xiàn)象。帶著這樣觀點。帶著這樣觀點利布沙伯利布沙伯(Libchaber

6、-低溫低溫物理學家物理學家)于于1980年用液氦重做了貝納德對流實驗。年用液氦重做了貝納德對流實驗。實 驗 裝 置 ：實 驗 裝 置 ： 一 個 很 小 的 不 銹 鋼 液 氦 的 容 器 ， 其 尺 寸 為一 個 很 小 的 不 銹 鋼 液 氦 的 容 器 ， 其 尺 寸 為3mm 1.5mm 1.25mm。用高純度銅做容器的底板，容器蓋是用。用高純度銅做容器的底板，容器蓋是用蘭寶石做的，在蘭寶石上嵌入兩個精巧的溫度計，用以監(jiān)視兩蘭寶石做的，在蘭寶石上嵌入兩個精巧的溫度計，用以監(jiān)視兩點的溫度。點的溫度。 容器中的液氦對溫度非常敏容器中的液氦對溫度非常敏感，上下液面千分之一的溫差感，上下液面千

7、分之一的溫差出現(xiàn)對流。對流發(fā)生時液氦在出現(xiàn)對流。對流發(fā)生時液氦在中心升起，往兩側(cè)分流沿腔壁中心升起，往兩側(cè)分流沿腔壁下降形成兩個對流圈。下降形成兩個對流圈。1.流體中的不穩(wěn)定性流體中的不穩(wěn)定性利布沙伯通過對液氦對流信息的分析利布沙伯通過對液氦對流信息的分析, ,發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)開始時只有對流翻動開始時只有對流翻動頻率為頻率為 f 的基波峰，相應兩個對流圈翻動。隨著瑞利數(shù)增大，的基波峰，相應兩個對流圈翻動。隨著瑞利數(shù)增大，在功率譜出現(xiàn)基波頻率一半的倍周期在功率譜出現(xiàn)基波頻率一半的倍周期(f/2)諧波，接著又出現(xiàn)諧波，接著又出現(xiàn) f/4、f/8等次諧波。實驗結(jié)果顯然是倍周期等次諧波。實驗結(jié)果顯然是倍周期分

8、岔現(xiàn)象分岔現(xiàn)象。倍周期分岔的實驗檢驗倍周期分岔的實驗檢驗1.流體中的不穩(wěn)定性流體中的不穩(wěn)定性倍周期分岔普遍性倍周期分岔普遍性 利布沙伯的實驗結(jié)果證明利布沙伯的實驗結(jié)果證明, ,倍周期分岔不僅在平方映射中存在，倍周期分岔不僅在平方映射中存在，而且在真實的物理學系統(tǒng)中也會出現(xiàn)。而且在真實的物理學系統(tǒng)中也會出現(xiàn)。 后來后來, ,人們相繼在人們相繼在 LCR 振蕩、激光振蕩、化學反應等許多過振蕩、激光振蕩、化學反應等許多過程中都發(fā)現(xiàn)了程中都發(fā)現(xiàn)了倍周期分岔現(xiàn)象倍周期分岔現(xiàn)象，這表明倍周期分岔是存在于許多，這表明倍周期分岔是存在于許多動力學過程中的一種普遍現(xiàn)象。動力學過程中的一種普遍現(xiàn)象。 1.流體中的

9、不穩(wěn)定性流體中的不穩(wěn)定性洛倫茲的設想洛倫茲的設想2.洛倫茲方程洛倫茲方程 洛倫茲的設想洛倫茲的設想 60年代初，美國數(shù)學家洛倫茲年代初，美國數(shù)學家洛倫茲(E. Lorenz)在氣象部門工作。在氣象部門工作。他把將大氣對流與貝納德液體對流聯(lián)系起來，想用數(shù)值方法進行他把將大氣對流與貝納德液體對流聯(lián)系起來，想用數(shù)值方法進行長期天氣預報長期天氣預報。2.洛倫茲方程洛倫茲方程 洛倫茲方程洛倫茲方程 洛倫茲從貝納德對流出發(fā)洛倫茲從貝納德對流出發(fā)，利用流體力學中的納維葉利用流體力學中的納維葉-斯托克斯托克斯斯(Navier-Stokes)方程、熱傳導方程和連續(xù)性方程，推導出描述方程、熱傳導方程和連續(xù)性方程，

10、推導出描述大氣對流的微分方程，即著名的洛倫茲方程。大氣對流的微分方程，即著名的洛倫茲方程。-xybzddzxzyrxddyyxddx)( x -對流的翻動速率對流的翻動速率; y -比例于上流與下流液體之間的溫差比例于上流與下流液體之間的溫差; z-是垂直方向的溫度梯度是垂直方向的溫度梯度; - -無量綱因子無量綱因子, 稱為稱為 Prandtl 數(shù)數(shù); b-速度阻尼常數(shù)速度阻尼常數(shù); r -相對瑞利數(shù)相對瑞利數(shù) r = R/RC2.洛倫茲方程洛倫茲方程 342 3c2T(1),gT dkRRDkah 洛倫茲方程解的分岔洛倫茲方程解的分岔0(1),1xyzxyb rzr -xybzddzxzy

11、rxddyyxddx)(0dxdydzddd2.洛倫茲方程洛倫茲方程 洛倫茲方程有三個平衡點洛倫茲方程有三個平衡點 若若r 1，只存在一個平衡點，只存在一個平衡點x=y=z=0。此平衡點是洛倫茲方。此平衡點是洛倫茲方程的不動點，相應于貝納爾德實驗中液體的靜止狀態(tài)。程的不動點，相應于貝納爾德實驗中液體的靜止狀態(tài)。 洛倫茲方程的平衡點隨瑞利數(shù)洛倫茲方程的平衡點隨瑞利數(shù) r 的增加而發(fā)生分裂，原來的增加而發(fā)生分裂，原來穩(wěn)穩(wěn)定的平衡點變?yōu)椴黄胶鉅顟B(tài)定的平衡點變?yōu)椴黄胶鉅顟B(tài)。原點原點的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性 r 1 ，于是分支出兩個，于是分支出兩個新的平衡點新的平衡點 C1與與 C2 。 說明在說明在 r =

12、1 時系統(tǒng)將發(fā)生一次分岔，時系統(tǒng)將發(fā)生一次分岔，跨越跨越 r = 1 意味著原點的吸引子意味著原點的吸引子喪失了穩(wěn)定性，出現(xiàn)了局部的喪失了穩(wěn)定性，出現(xiàn)了局部的不穩(wěn)定性。不穩(wěn)定性。 這時在坐標原點出現(xiàn)一維不這時在坐標原點出現(xiàn)一維不穩(wěn)定的流形。這是一次叉式分穩(wěn)定的流形。這是一次叉式分岔。相應于在貝納德實驗中流岔。相應于在貝納德實驗中流體從靜態(tài)走向?qū)α鞣瓌?。體從靜態(tài)走向?qū)α鞣瓌印?2.洛倫茲方程洛倫茲方程 C1與與 C2的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性 當當 r 1, 坐標原點為鞍點，兩個新平衡點坐標原點為鞍點，兩個新平衡點 C1與與 C2是穩(wěn)定的焦點，是穩(wěn)定的焦點，它們是它們是C1與與 C2鄰域螺旋線的吸引點，如

13、圖所示。鄰域螺旋線的吸引點，如圖所示。 C1、C2 坐標為：坐標為：現(xiàn)說明貝納德實驗形成了穩(wěn)定的定態(tài)對流現(xiàn)說明貝納德實驗形成了穩(wěn)定的定態(tài)對流。-1) 1(2, 12, 12, 1rzrbyx2.洛倫茲方程洛倫茲方程 當當 r 繼續(xù)增加直到繼續(xù)增加直到 r =13.962時，時，兩個螺旋線外徑會接觸合并一起。兩個螺旋線外徑會接觸合并一起。 r = rc 時兩個平衡點時兩個平衡點C1與與 C2發(fā)展成了中心點發(fā)展成了中心點, 其鄰域的相軌其鄰域的相軌線是橢圓線是橢圓. r rc 時時, C1與與C2成了不穩(wěn)定的焦點成了不穩(wěn)定的焦點. 定態(tài)對流失穩(wěn)定態(tài)對流失穩(wěn)，是不穩(wěn)是不穩(wěn)定的定的. 這時將出現(xiàn)一次新

14、分岔霍夫分岔這時將出現(xiàn)一次新分岔霍夫分岔, 平衡點平衡點C1與與C2失穩(wěn)發(fā)失穩(wěn)發(fā)展成為展成為奇怪吸引子奇怪吸引子.c(3)24.7368,(10,8/3)(1)brbb -2.2.洛倫茲方程洛倫茲方程 C1與與 C2的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性洛倫茲吸引子洛倫茲吸引子 r = rc 時兩個平衡點時兩個平衡點C1與與 C2發(fā)展成了中心點發(fā)展成了中心點, 其其鄰域的相軌線是橢圓鄰域的相軌線是橢圓. r rc 時將出現(xiàn)一次新時將出現(xiàn)一次新分岔霍夫分岔分岔霍夫分岔, 平衡點平衡點C1與與C2失穩(wěn)發(fā)展成為失穩(wěn)發(fā)展成為奇奇怪吸引子怪吸引子.c(3)24.7368,(1)(10,8/3)brbb -其中第四節(jié)第四節(jié) 李

15、雅普諾夫指數(shù)與奇怪吸引子李雅普諾夫指數(shù)與奇怪吸引子1. 李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)2. 埃儂映射與埃儂吸引子埃儂映射與埃儂吸引子3. 洛倫茲吸引子洛倫茲吸引子 1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)奇怪吸引子奇怪吸引子吸引子吸引子 所謂吸引子是指相軌線經(jīng)過長時間之后所表現(xiàn)的終極所謂吸引子是指相軌線經(jīng)過長時間之后所表現(xiàn)的終極形態(tài)形態(tài). .它可能是穩(wěn)定的平衡點或是周期性軌道它可能是穩(wěn)定的平衡點或是周期性軌道; ;也可能是繼續(xù)不也可能是繼續(xù)不斷變化斷變化, ,沒有明確規(guī)則或次序的有許多回轉(zhuǎn)結(jié)構的曲線沒有明確規(guī)則或次序的有許多回轉(zhuǎn)結(jié)構的曲線. .前者也前者也被稱為被稱為平庸吸引子平庸吸引子, ,后者被稱為

16、后者被稱為奇怪吸引子奇怪吸引子. .1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)奇怪吸引子奇怪吸引子平庸吸引子平庸吸引子 能量耗散系統(tǒng)最終收縮到的一種能量耗散系統(tǒng)最終收縮到的一種定常狀態(tài)。這是一個動力系統(tǒng)在定常狀態(tài)。這是一個動力系統(tǒng)在t t 時所時所呈現(xiàn)的與時間無關的定態(tài)，并且不管選取什呈現(xiàn)的與時間無關的定態(tài)，并且不管選取什么樣的初始值其終值的定態(tài)只有一個，也就么樣的初始值其終值的定態(tài)只有一個，也就是說終值與初始值無關。這類吸引子也稱平是說終值與初始值無關。這類吸引子也稱平庸吸引子。庸吸引子。 如：阻尼單擺有不動點吸引子，范德玻耳如：阻尼單擺有不動點吸引子，范德玻耳方程有極限環(huán)吸引子，等等。方程有極限環(huán)吸

17、引子，等等。奇怪吸引子奇怪吸引子 相對于平庸吸引子而言，它們相對于平庸吸引子而言，它們的特點之一是終態(tài)值與初始值密切相關，或的特點之一是終態(tài)值與初始值密切相關，或者說對初始值具有極端敏感性；初始取值的者說對初始值具有極端敏感性；初始取值的細微差別可能會導致完全不同的結(jié)果，這時細微差別可能會導致完全不同的結(jié)果，這時的吸引子毫無周期可言，即所謂混沌。的吸引子毫無周期可言，即所謂混沌。 考察平方映射的兩個迭代運算考察平方映射的兩個迭代運算 xxxyyyn 1nnn 1nn-()()11N012345678910Xn0.3700.9320.2520.7540.7410.7670.7150.8140.6

18、050.9560.167Yn0.3800.9420.2170.6800.8700.4510.9900.0380.1470.5010.999 取取 = 4，并取有一點微小的差別的兩個初始值并取有一點微小的差別的兩個初始值 x0 =0.370 與與 y0=0.380。運算結(jié)果如表所列，運算結(jié)果如表所列，經(jīng)過前第四次迭代經(jīng)過前第四次迭代, ,兩個運算結(jié)兩個運算結(jié)果還沒有顯出太大差別果還沒有顯出太大差別，但是從，但是從第五次開始迭代結(jié)果的差別就第五次開始迭代結(jié)果的差別就非常顯著非常顯著了。了。 奇怪吸引子奇怪吸引子1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)奇怪吸引子奇怪吸引子 取取 =2.1，并取有較大差別的三

19、個初始值并取有較大差別的三個初始值 x01 =0.08，x02=0.12, x03=0.16。運算結(jié)果如左圖，運算結(jié)果如左圖，經(jīng)過五次迭代經(jīng)過五次迭代, ,三個運算三個運算結(jié)果趨于一致結(jié)果趨于一致，045. . 取取 =3.7，取差別很小兩個初始值取差別很小兩個初始值 x01 =0.04，x02=0.05。運運算結(jié)果如右圖，算結(jié)果如右圖，第二迭代差別就已顯示出來第二迭代差別就已顯示出來, ,以后雖在第七次以后雖在第七次迭代時很接近，但隨后又快速分離開來。迭代時很接近，但隨后又快速分離開來。 1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)xy00-xyf xf yf xf yxyxydfdxxy1100000

20、000000-()()()()x0000yxx)()(lim000yxyfxfdxdf-兩個系統(tǒng)：兩個系統(tǒng)：設其初始值存在微小誤差設其初始值存在微小誤差 ，經(jīng)過一次迭代以后有：，經(jīng)過一次迭代以后有：式中式中：李雅普諾夫指數(shù)公式李雅普諾夫指數(shù)公式)(),(11nnnnyfyxfx1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)由第二次迭代得：由第二次迭代得：經(jīng)過第經(jīng)過第 n 次迭代得：次迭代得： 李雅普諾夫指數(shù)公式李雅普諾夫指數(shù)公式xydfdxxydfdxdfdxxy22xxx-110110000 x1 -n0=n,nnn)(yxdxxdfyxn-1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù) 可見，兩個系統(tǒng)對初始擾動的敏感

21、度由導數(shù)可見，兩個系統(tǒng)對初始擾動的敏感度由導數(shù) 決定，決定，它與初始值它與初始值 x0 0 有關。映射整體對初值敏感性需對全部初始條件有關。映射整體對初值敏感性需對全部初始條件平均，要進行平均，要進行 n 次迭代：次迭代： 00 x1 -n0=n,nnn)(yxdxxdfyxn-dfdxn=0n-1xnn1/李雅普諾夫指數(shù)公式李雅普諾夫指數(shù)公式dfdx/x01.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)每次迭代平均分離值為：每次迭代平均分離值為： 兩個系統(tǒng)如初始存在微小誤差，隨時間兩個系統(tǒng)如初始存在微小誤差，隨時間( (或迭代或迭代) )產(chǎn)生分離，產(chǎn)生分離，分離程度常用分離程度常用李雅普諾夫李雅普諾夫(Ly

22、apunov)(Lyapunov)指數(shù)指數(shù)來度量來度量, ,它為幾何平均它為幾何平均值的對數(shù)：值的對數(shù)：李雅普諾夫指數(shù)公式李雅普諾夫指數(shù)公式nx1 -n0=n,)(ln1dxxdfnn-10,)(ln1limnnnndxxdfn1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)式中式中xn n為第為第 n 次迭代值。取次迭代值。取 n，得李雅普諾夫指數(shù)計算公，得李雅普諾夫指數(shù)計算公式：式： 利用李雅普諾夫指數(shù)利用李雅普諾夫指數(shù) ，相空間內(nèi)初始時刻的兩點距離將隨，相空間內(nèi)初始時刻的兩點距離將隨時間時間( (迭代次數(shù)迭代次數(shù)) )作指數(shù)分離：作指數(shù)分離： 在一維映射中在一維映射中 只有一個值，而在多維相空間情況下一

23、般就只有一個值，而在多維相空間情況下一般就有多個有多個 i ，而且沿相空間的不同方向，其，而且沿相空間的不同方向，其 i ( (i=1,2,)值一般值一般也不同。也不同。 )exp(00nn-nyxyx李雅普諾夫指數(shù)應用李雅普諾夫指數(shù)應用1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)nyxyxnnexp00-00yx - 經(jīng)過經(jīng)過n次迭代次迭代0i0tiet0)(0i設設 為多維相空間中兩點的初始距離，經(jīng)為多維相空間中兩點的初始距離，經(jīng) n 次迭代后兩點的次迭代后兩點的距離為：距離為：式中指數(shù)式中指數(shù) i 值可正可負。值可正可負。 表示沿該方向擴展，表示沿該方向擴展， 表表示沿該方向收縮。在經(jīng)過一段時間示沿

24、該方向收縮。在經(jīng)過一段時間( (數(shù)次迭代數(shù)次迭代) )以后，兩個不同以后，兩個不同李雅普諾夫指數(shù)值將使相空間中原來的李雅普諾夫指數(shù)值將使相空間中原來的圓演變?yōu)闄E圓圓演變?yōu)闄E圓。1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)應用李雅普諾夫指數(shù)應用李雅普諾夫指數(shù)應用李雅普諾夫指數(shù)應用1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù) 穩(wěn)定體系的相軌線趨向于某個平衡點，如果出現(xiàn)越來越遠穩(wěn)定體系的相軌線趨向于某個平衡點，如果出現(xiàn)越來越遠離平衡點的情況，則體系是不穩(wěn)定的。正的李雅普諾夫指數(shù)預離平衡點的情況，則體系是不穩(wěn)定的。正的李雅普諾夫指數(shù)預示著系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。示著系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。 研究表明，研究表明，系統(tǒng)只要有一個正

25、值的李雅普諾夫指數(shù)就可出系統(tǒng)只要有一個正值的李雅普諾夫指數(shù)就可出現(xiàn)混沌運動現(xiàn)混沌運動。因此在判別一個非線性系統(tǒng)是否存在混沌運動時，。因此在判別一個非線性系統(tǒng)是否存在混沌運動時，只需要檢查它的最大李雅普諾夫指數(shù)是否為正值即可。只需要檢查它的最大李雅普諾夫指數(shù)是否為正值即可。 吸引子與李雅普諾夫指數(shù)吸引子與李雅普諾夫指數(shù)1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù) 我們可按我們可按 的符號對吸引子的性質(zhì)進行分類，對于三維空的符號對吸引子的性質(zhì)進行分類，對于三維空間，有以下幾種吸引子類型：間，有以下幾種吸引子類型：i1 1、三個指數(shù)、三個指數(shù) 、 和和 均為負值，相點收縮到一點，即均為負值，相點收縮到一點，即系

26、統(tǒng)存在不動點；系統(tǒng)存在不動點；2 2、三個指數(shù)中有一個為零，另外兩個為負值，相點收縮在一、三個指數(shù)中有一個為零，另外兩個為負值，相點收縮在一個環(huán)上，即極限環(huán)；個環(huán)上，即極限環(huán)；3 3、三個指數(shù)中有兩個為零，一個為負值，相點收縮在一個二、三個指數(shù)中有兩個為零，一個為負值，相點收縮在一個二維的環(huán)面上，這是二維環(huán)面吸引子；維的環(huán)面上，這是二維環(huán)面吸引子；4 4、三個指數(shù)中有一個為正值，此時系統(tǒng)將出現(xiàn)奇怪吸引子。、三個指數(shù)中有一個為正值，此時系統(tǒng)將出現(xiàn)奇怪吸引子。123吸引子與李雅普諾夫指數(shù)吸引子與李雅普諾夫指數(shù)1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)吸引子與李雅普諾夫指數(shù)吸引子與李雅普諾夫指數(shù) 吸引子可存在

27、于高維相空間內(nèi)。在這相空間中大于零的李雅吸引子可存在于高維相空間內(nèi)。在這相空間中大于零的李雅普諾夫指數(shù)可能不止一個，這樣體系的運動將為更復雜。人們普諾夫指數(shù)可能不止一個，這樣體系的運動將為更復雜。人們稱高維相空間中有多個正值指數(shù)的混沌為稱高維相空間中有多個正值指數(shù)的混沌為超混沌超混沌。推廣到高維。推廣到高維空間后，由指數(shù)空間后，由指數(shù) 的值決定的各種類型的吸引子的值決定的各種類型的吸引子歸納如下：歸納如下： ),(432, 1),(432, 1), 0(-),(-), 0 , 0(-), 0 , 0 , 0(-), 0 ,(-), 0 ,(-吸引子類型吸引子類型 維數(shù)維數(shù)不動點不動點 D =

28、0極限環(huán)極限環(huán)D = 1二維環(huán)面二維環(huán)面D = 2三維環(huán)面三維環(huán)面D = 2奇怪吸引子（混沌）奇怪吸引子（混沌）D = 23（非整數(shù)）（非整數(shù)）超混沌超混沌D = 高于高于3非整數(shù)非整數(shù)1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)平方映射的平方映射的 指數(shù)指數(shù) 利用計算程序可以方便地求得一維映射的利用計算程序可以方便地求得一維映射的。分析分析：由圖可見平方映射的指數(shù)由圖可見平方映射的指數(shù)隨參數(shù)隨參數(shù)值變化起伏很大，有一個值變化起伏很大，有一個臨界值臨界值, ,當當 時指數(shù)變化但始終處于負值。當時指數(shù)變化但始終處于負值。當 指數(shù)開始轉(zhuǎn)為指數(shù)開始轉(zhuǎn)為正值，就是說平方映射從這里開始由規(guī)則運動轉(zhuǎn)為混沌，進入到混沌

29、正值，就是說平方映射從這里開始由規(guī)則運動轉(zhuǎn)為混沌，進入到混沌狀態(tài)。狀態(tài)。1.00 3.00 周期周期1軌道軌道(不動點不動點)3.00 3.4495 周期周期2軌道軌道3.4495 3.5541 周期周期4軌道軌道3.5541 3.5644 周期周期8軌道軌道3.5644 3.5688 周期周期16軌道軌道5699. 3ccc1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)2. 奇怪吸引子奇怪吸引子 -埃儂吸引子埃儂映射埃儂映射-n1+nn21+n1bxyyxxn 埃儂映射是一個二維映射。這是天文學家埃儂埃儂映射是一個二維映射。這是天文學家埃儂( (M.Henon) )首先計首先計算的離散型映射算的離散型映射

30、, ,它有兩個控制參數(shù)它有兩個控制參數(shù) 和和 b：埃儂映射所描述的體系隨參數(shù)埃儂映射所描述的體系隨參數(shù) b 的取值不同而不同的取值不同而不同： 當當b = 1時系統(tǒng)在運動中保持相平面積不變，描述的是保守系統(tǒng)時系統(tǒng)在運動中保持相平面積不變，描述的是保守系統(tǒng)； 當當b 1，系統(tǒng)在運動中相平面面積逐漸縮小，因此描述的是耗散系系統(tǒng)在運動中相平面面積逐漸縮小，因此描述的是耗散系統(tǒng)。統(tǒng)。 當當b = 0時退化為一維映射時退化為一維映射：當當xn與與xn+1的取值的取值0，1時，時，則參數(shù)則參數(shù) 的取值的取值0，2。這個一維映射與這個一維映射與平方映射有相同的復雜動力學性質(zhì)平方映射有相同的復雜動力學性質(zhì)。

31、21+n1nxx-埃儂吸引子埃儂吸引子小方塊是放大小方塊是放大20倍后的局部圖形倍后的局部圖形 取參數(shù)取參數(shù) 1.4，b0.3（即（即 b 1 的耗散體系），進行計算，結(jié)的耗散體系），進行計算，結(jié)果顯示在果顯示在(x,y)相平面上：相平面上： 開始時，計算出的點在平面上開始時，計算出的點在平面上隨機地出現(xiàn)，隨著計算繼續(xù)，計隨機地出現(xiàn)，隨著計算繼續(xù)，計算得的點開始顯現(xiàn)成某種圖形，算得的點開始顯現(xiàn)成某種圖形，程序運行越久圖形中顯現(xiàn)出越多程序運行越久圖形中顯現(xiàn)出越多的細節(jié)，形成如香蕉形狀，具有的細節(jié)，形成如香蕉形狀，具有無窮層次無窮層次。-n1+nn21+n1bxyyxxn2. 奇怪吸引子奇怪吸引子

32、 -埃儂吸引子 指數(shù)指數(shù) 隨參數(shù)隨參數(shù) 的的變化變化 1. 在在 時始終為負時始終為負值；值； 2. 在在 附近由負值附近由負值轉(zhuǎn)為正值，并隨轉(zhuǎn)為正值，并隨 增加出增加出現(xiàn)一些規(guī)則運動的窗口?，F(xiàn)一些規(guī)則運動的窗口。 3. 當當 時軌道變得時軌道變得不再穩(wěn)定，因此曲線也在不再穩(wěn)定，因此曲線也在此終止。此終止。 4.在在 處計算得處計算得: : 04. 104. 142. 140. 1419. 0a埃儂吸引子的埃儂吸引子的 指數(shù)指數(shù)b0.3 的最大李氏指數(shù)的最大李氏指數(shù) 隨隨 的變化曲線的變化曲線2. 奇怪吸引子奇怪吸引子 -埃儂吸引子埃儂吸引子的埃儂吸引子的 指數(shù)指數(shù) 埃儂映射是二維映射，要用兩個李氏指數(shù)埃儂映射是二維映射，要用兩個李氏指數(shù) 描述，上述已計算出正值描述，上述已計算出正值指數(shù)指數(shù) ，現(xiàn)在求第二個負值指數(shù)，現(xiàn)在求第二個負值指數(shù) 。 對于二維映射，迭代使相空間圓變?yōu)闄E圓。對于二維映射，迭代