《大學(xué)物理教程》01力學(xué)09混沌現(xiàn)象

1、? ?大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程?01-?01-力學(xué)力學(xué)-09-09混沌現(xiàn)象混沌現(xiàn)象2 1975 1975年，美國(guó)數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家梅年，美國(guó)數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家梅R. MayR. May在研在研究昆蟲(chóng)繁衍時(shí)，提出了非常簡(jiǎn)單確實(shí)定性非線性迭究昆蟲(chóng)繁衍時(shí)，提出了非常簡(jiǎn)單確實(shí)定性非線性迭代方程，稱(chēng)為蟲(chóng)口方程。通過(guò)迭代計(jì)算，可以清楚代方程，稱(chēng)為蟲(chóng)口方程。通過(guò)迭代計(jì)算，可以清楚得到非線性系統(tǒng)通過(guò)倍周期分岔進(jìn)入混沌狀態(tài)的途得到非線性系統(tǒng)通過(guò)倍周期分岔進(jìn)入混沌狀態(tài)的途徑。徑。 至此，至此，混沌混沌(chaos)(chaos)作為一個(gè)新的科學(xué)名作為一個(gè)新的科學(xué)名詞正式出現(xiàn)在文獻(xiàn)中。詞正式出現(xiàn)在文獻(xiàn)中。5線性函數(shù)：y=ax+

2、b函數(shù)圖象：直線yxy=ax+bb6于是法國(guó)數(shù)學(xué)家于是法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯拉普拉斯夸下海口：夸下?？冢喝绻o定宇宙的初始條件，如果給定宇宙的初始條件，我們就能預(yù)言它的未來(lái)。我們就能預(yù)言它的未來(lái)。但是美國(guó)氣象學(xué)家但是美國(guó)氣象學(xué)家 Lorenz 在在60年代年代研究長(zhǎng)期的天氣預(yù)報(bào)的可能性時(shí)發(fā)現(xiàn)研究長(zhǎng)期的天氣預(yù)報(bào)的可能性時(shí)發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)期的長(zhǎng)期的天氣預(yù)報(bào)是天氣預(yù)報(bào)是不可能不可能的！的！幻燈片 7幻燈片 107時(shí)間時(shí)間t氣候氣候Lorenz氣候演變曲線氣候演變曲線復(fù)雜系統(tǒng)對(duì)初復(fù)雜系統(tǒng)對(duì)初值的值的極端敏感性極端敏感性蝴蝴蝶蝶效效應(yīng)應(yīng)x0 x082、非線性非線性 什么是非線性？事半功倍事半功倍靈感靈感事倍功半事倍功

3、半隨機(jī)應(yīng)變隨機(jī)應(yīng)變勞而無(wú)功勞而無(wú)功瞎貓碰上瞎貓碰上 死耗子死耗子突發(fā)奇想突發(fā)奇想差之差之 毫厘毫厘 ，失之之 千里千里9 最簡(jiǎn)單的非線性函數(shù)： y=a x 2+b x+ c 函數(shù)圖象： 拋物線 y x10初值的微小初值的微小差異差異被非線性的被非線性的放大放大了了非線性放大非線性放大 線性放大線性放大11建立理想模型建立理想模型 受力簡(jiǎn)單受力簡(jiǎn)單建立線性方程建立線性方程對(duì)對(duì)初值不敏感初值不敏感 有可預(yù)測(cè)性有可預(yù)測(cè)性經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典力學(xué)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)簡(jiǎn)單、平庸簡(jiǎn)單、平庸實(shí)際運(yùn)動(dòng)實(shí)際運(yùn)動(dòng) 受力復(fù)雜受力復(fù)雜建立建立非非線性方程線性方程對(duì)對(duì)初值極端敏感初值極端敏感 有不可預(yù)測(cè)性有不可預(yù)測(cè)性非線性系統(tǒng)非線

4、性系統(tǒng)復(fù)雜、多樣復(fù)雜、多樣告告訴訴你你一一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的的世世界界告告訴訴你你一一個(gè)個(gè)真真實(shí)實(shí)的的世世界界幻燈片 612 混沌現(xiàn)象舉例混沌現(xiàn)象舉例 一、三體問(wèn)題一、三體問(wèn)題 一顆一顆質(zhì)量很小質(zhì)量很小的衛(wèi)星在兩顆的衛(wèi)星在兩顆大質(zhì)量大質(zhì)量的行星作用的行星作用下運(yùn)動(dòng)。假定行星在它們之間的萬(wàn)有引力作用下繞下運(yùn)動(dòng)。假定行星在它們之間的萬(wàn)有引力作用下繞其聯(lián)線中心作圓周運(yùn)動(dòng)。同時(shí)假定三個(gè)天體在同一其聯(lián)線中心作圓周運(yùn)動(dòng)。同時(shí)假定三個(gè)天體在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)在要問(wèn)：平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在要問(wèn)：衛(wèi)星在兩顆行星作用下的衛(wèi)星在兩顆行星作用下的運(yùn)動(dòng)情況如何呢？運(yùn)動(dòng)情況如何呢？m1F2F1M1M13龐加萊的發(fā)現(xiàn)龐加萊的發(fā)現(xiàn)l

5、由于彼此的引力作用，三體運(yùn)動(dòng)的牛頓方程由于彼此的引力作用，三體運(yùn)動(dòng)的牛頓方程組不僅含有規(guī)那么性和預(yù)見(jiàn)性，同時(shí)隱含著不規(guī)組不僅含有規(guī)那么性和預(yù)見(jiàn)性，同時(shí)隱含著不規(guī)那么性和不可預(yù)見(jiàn)性。那么性和不可預(yù)見(jiàn)性。l 衛(wèi)星的長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)是纏來(lái)繞去，錯(cuò)綜復(fù)雜的。衛(wèi)星的長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)是纏來(lái)繞去，錯(cuò)綜復(fù)雜的。一個(gè)非常小的原因會(huì)引出一個(gè)我們不可能視而不一個(gè)非常小的原因會(huì)引出一個(gè)我們不可能視而不見(jiàn)的重要結(jié)果，顯示出結(jié)果對(duì)初始條件依賴(lài)的敏見(jiàn)的重要結(jié)果，顯示出結(jié)果對(duì)初始條件依賴(lài)的敏感性，長(zhǎng)期行為的不確定性。感性，長(zhǎng)期行為的不確定性。14二、蝴蝶效應(yīng)二、蝴蝶效應(yīng) 19611961年，洛侖茲利用一臺(tái)老式計(jì)算機(jī)，根據(jù)他年，洛侖茲利用一臺(tái)

6、老式計(jì)算機(jī)，根據(jù)他導(dǎo)出的描述氣象演變的導(dǎo)出的描述氣象演變的非線性動(dòng)力學(xué)方程非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行長(zhǎng)期進(jìn)行長(zhǎng)期氣象預(yù)報(bào)的模擬數(shù)值計(jì)算，氣象預(yù)報(bào)的模擬數(shù)值計(jì)算，探討準(zhǔn)確進(jìn)行長(zhǎng)期天氣探討準(zhǔn)確進(jìn)行長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)的可能性預(yù)報(bào)的可能性。 有一次，洛侖茲為了檢驗(yàn)上一次的計(jì)算結(jié)果，決定再算一遍。但他不是從上一次計(jì)算時(shí)的最初輸入的數(shù)據(jù)開(kāi)始驗(yàn)算，而是以一個(gè)中間結(jié)果 0.506127 0.506作為驗(yàn)算的輸入數(shù)據(jù)。 經(jīng)過(guò)一段重復(fù)過(guò)程后，計(jì)算開(kāi)始偏離上次的結(jié)經(jīng)過(guò)一段重復(fù)過(guò)程后，計(jì)算開(kāi)始偏離上次的結(jié)果，甚至大相徑庭。果，甚至大相徑庭。15時(shí)間時(shí)間t氣候氣候洛侖茲洛侖茲氣候演變曲線氣候演變曲線x0 x0 16洛侖茲的發(fā)現(xiàn)洛侖

7、茲的發(fā)現(xiàn)l 因?yàn)樗姆匠淌且驗(yàn)樗姆匠淌欠蔷€性非線性的，的，解對(duì)初值的依賴(lài)解對(duì)初值的依賴(lài)極其敏感極其敏感。l 正是初始條件的微小誤差導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果的正是初始條件的微小誤差導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果的巨大偏離。由此斷言：巨大偏離。由此斷言：準(zhǔn)確地作出長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)準(zhǔn)確地作出長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)是不可能的。是不可能的。 洛倫茲作了個(gè)形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇洛倫茲作了個(gè)形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇動(dòng)一下翅膀，使大氣的狀態(tài)產(chǎn)生微小的改變，經(jīng)過(guò)動(dòng)一下翅膀，使大氣的狀態(tài)產(chǎn)生微小的改變，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，會(huì)在美國(guó)的得克薩斯州引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)，一段時(shí)間，會(huì)在美國(guó)的得克薩斯州引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)，這就是這就是蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)。17 西方童謠

8、 丟了一個(gè)釘子，壞了一只蹄鐵；壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬；折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；傷了一位騎士，輸了一場(chǎng)戰(zhàn)斗；輸了一場(chǎng)戰(zhàn)斗，亡了一個(gè)帝國(guó)帝國(guó)。三、蹄釘效應(yīng)三、蹄釘效應(yīng)18例如：例如： “ “千里之堤，潰于蟻穴。千里之堤，潰于蟻穴。蟻穴效應(yīng)蟻穴效應(yīng) “ “失之毫厘，差之千里。失之毫厘，差之千里。 總之，一些看起來(lái)不顯眼的微總之，一些看起來(lái)不顯眼的微小的初始原因，會(huì)引出非常意外的小的初始原因，會(huì)引出非常意外的結(jié)果。結(jié)果。19四、昆蟲(chóng)繁衍四、昆蟲(chóng)繁衍 由分析昆蟲(chóng)繁衍提出的蟲(chóng)口即昆蟲(chóng)數(shù)量，昆蟲(chóng)“人口，簡(jiǎn)稱(chēng)蟲(chóng)口模型及描述昆蟲(chóng)繁衍的非線性方程蟲(chóng)口方程，在研究果木產(chǎn)量及家畜數(shù)量變化時(shí)也大體適用。 在研究

9、地球上日益嚴(yán)重的人口爆炸問(wèn)題時(shí)也有重要的借鑒作用。201 1、蟲(chóng)口模型、蟲(chóng)口模型 假定有某種昆蟲(chóng)，在不存在世代交疊的情假定有某種昆蟲(chóng)，在不存在世代交疊的情況下，即每年夏天成蟲(chóng)產(chǎn)卵后全部死亡，第二況下，即每年夏天成蟲(chóng)產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個(gè)蟲(chóng)卵孵化為蟲(chóng)。很顯然，假設(shè)產(chǎn)卵年春天每個(gè)蟲(chóng)卵孵化為蟲(chóng)。很顯然，假設(shè)產(chǎn)卵數(shù)大于數(shù)大于1 1，那么蟲(chóng)口就會(huì)迅速增加，那么蟲(chóng)口就會(huì)迅速增加，“蟲(chóng)滿為患蟲(chóng)滿為患。 但在蟲(chóng)口數(shù)目增大的同時(shí)又由于爭(zhēng)奪有限但在蟲(chóng)口數(shù)目增大的同時(shí)又由于爭(zhēng)奪有限的食物和生存空間而不斷發(fā)生咬斗事件，也可的食物和生存空間而不斷發(fā)生咬斗事件，也可能因接觸感染而導(dǎo)致疾病蔓延，這些又會(huì)使蟲(chóng)能因接觸

10、感染而導(dǎo)致疾病蔓延，這些又會(huì)使蟲(chóng)口減少?？跍p少。21 綜合考慮正增長(zhǎng)和負(fù)增長(zhǎng)，即鼓勵(lì)和抑制這兩綜合考慮正增長(zhǎng)和負(fù)增長(zhǎng)，即鼓勵(lì)和抑制這兩種因素的作用，經(jīng)過(guò)一定的數(shù)學(xué)抽象和變換后，在種因素的作用，經(jīng)過(guò)一定的數(shù)學(xué)抽象和變換后，在19761976年生物學(xué)家梅最終得到蟲(chóng)口方程如下：年生物學(xué)家梅最終得到蟲(chóng)口方程如下： 物理意義物理意義 取值范圍取值范圍 n ：繁衍的代數(shù)：繁衍的代數(shù) 1，2，3， xn：第：第n代的相對(duì)蟲(chóng)口數(shù)代的相對(duì)蟲(chóng)口數(shù) 0，1 ：控制參量：控制參量 0，4)1 (1nnnxxx22 :0:0 1 1 x xn+1n+10 0 :1:1 3 3 x xn+1n+10 0. .5 5 :3

11、:3 3 3.449.449 x xn+1n+1 :3:3.44.44 3 3.544.544 x xn+1n+1 4 4個(gè)解個(gè)解 :3:3. .5 54444 3 3.564.564 x xn+1n+1 8 8個(gè)解個(gè)解 3 3. .5 56969 x xn+1n+1 個(gè)解個(gè)解進(jìn)入混沌狀態(tài)0 0. .513051300 0. .799579952 2個(gè)解個(gè)解1 1個(gè)解個(gè)解倍周期分叉開(kāi)始昆蟲(chóng)滅絕一半成活收收斂斂解解)1 (1nnnxxx23初值的敏感性初值的敏感性24五、五、混沌現(xiàn)象的定義混沌現(xiàn)象的定義 混沌現(xiàn)象是一種貌似無(wú)規(guī)那么的運(yùn)動(dòng)。它是確定論系統(tǒng)表現(xiàn)的內(nèi)在隨機(jī)行為的總稱(chēng)。個(gè)別結(jié)果敏感地依賴(lài)

12、初始條件；長(zhǎng)期解不可預(yù)測(cè)；其根源在于系統(tǒng)方程的非線性。25 混沌現(xiàn)象的特性、本質(zhì)及應(yīng)用混沌現(xiàn)象的特性、本質(zhì)及應(yīng)用 1 1、在混沌區(qū)中混沌系統(tǒng)對(duì)初值的依賴(lài)具有敏感性。、在混沌區(qū)中混沌系統(tǒng)對(duì)初值的依賴(lài)具有敏感性。 一、混沌現(xiàn)象的特性與非線性物理過(guò)程一、混沌現(xiàn)象的特性與非線性物理過(guò)程 2 2、混沌區(qū)中存在周期窗口是混沌現(xiàn)象的又一大、混沌區(qū)中存在周期窗口是混沌現(xiàn)象的又一大 特性。特性。 混沌區(qū)為一個(gè)無(wú)限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)。即混沌區(qū)為一個(gè)無(wú)限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)。即局部與整體相似。對(duì)局部放大后的形象與整體局部與整體相似。對(duì)局部放大后的形象與整體形象相同或近似相同。形象相同或近似相同。 具有無(wú)限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)

13、是混沌現(xiàn)象的具有無(wú)限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)是混沌現(xiàn)象的普遍特性。普遍特性。26 上圖清楚地顯示了混沌的自相似結(jié)構(gòu)，其中的上圖清楚地顯示了混沌的自相似結(jié)構(gòu)，其中的小圖是大圖一個(gè)窗口中局部結(jié)構(gòu)的放大圖。小圖是大圖一個(gè)窗口中局部結(jié)構(gòu)的放大圖。27 3 3、從不同的初始條件出發(fā)可以產(chǎn)生同樣的結(jié)果。、從不同的初始條件出發(fā)可以產(chǎn)生同樣的結(jié)果。 “ “殊途同歸殊途同歸； “ “條條道路通羅馬條條道路通羅馬； “ “百川東流歸大海百川東流歸大海； “ “是金子總要發(fā)光的是金子總要發(fā)光的。 4 4、從不同的初始條件出發(fā)可以得到同樣的、從不同的初始條件出發(fā)可以得到同樣的“終態(tài)終態(tài) 集合。集合。 5 5、從同樣的初始條件

14、出發(fā)可能得到完全不同的、從同樣的初始條件出發(fā)可能得到完全不同的 結(jié)果。結(jié)果。 28 1 1、混沌是過(guò)程的科學(xué)、演化的科學(xué)，而不是狀態(tài)的、混沌是過(guò)程的科學(xué)、演化的科學(xué)，而不是狀態(tài)的 科學(xué)，變是混沌的本性。科學(xué)，變是混沌的本性。 二、混沌現(xiàn)象的本質(zhì)二、混沌現(xiàn)象的本質(zhì) 2 2、混沌現(xiàn)象只能出現(xiàn)在非線性系統(tǒng)而不能出現(xiàn)在、混沌現(xiàn)象只能出現(xiàn)在非線性系統(tǒng)而不能出現(xiàn)在 線性系統(tǒng)中。線性系統(tǒng)中。 3 3、混沌不等同于混亂。、混沌不等同于混亂。 4 4、真實(shí)的自然界介于完全確實(shí)定論和純粹的概率、真實(shí)的自然界介于完全確實(shí)定論和純粹的概率 論之間。論之間。 29 1 1、湍流之謎、湍流之謎 三、混沌現(xiàn)象的應(yīng)用三、混沌

15、現(xiàn)象的應(yīng)用 流體常有不規(guī)那么漲落的紊亂流動(dòng)叫湍流。湍流體常有不規(guī)那么漲落的紊亂流動(dòng)叫湍流。湍流的運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜，大旋渦中套小旋渦，小旋渦中流的運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜，大旋渦中套小旋渦，小旋渦中還有小旋渦。還有小旋渦。 將混沌理論應(yīng)用于湍流的研究，獲得了許多重將混沌理論應(yīng)用于湍流的研究，獲得了許多重要成果?？茖W(xué)工作者從混沌現(xiàn)象著手考察了湍流的要成果?？茖W(xué)工作者從混沌現(xiàn)象著手考察了湍流的發(fā)生機(jī)制，研究了通往混沌的道路，提出了用混沌發(fā)生機(jī)制，研究了通往混沌的道路，提出了用混沌來(lái)描述湍流形成的新觀點(diǎn)。根據(jù)流體中所發(fā)生的實(shí)來(lái)描述湍流形成的新觀點(diǎn)。根據(jù)流體中所發(fā)生的實(shí)際情況建立新的統(tǒng)計(jì)模型，有希望在探求湍流過(guò)程際情況

16、建立新的統(tǒng)計(jì)模型，有希望在探求湍流過(guò)程的共同特性上得到新的認(rèn)識(shí)。的共同特性上得到新的認(rèn)識(shí)。30 2 2、線性思維與非線性思維、線性思維與非線性思維 有關(guān)思維的一種重要分類(lèi)方法是將思維分為有關(guān)思維的一種重要分類(lèi)方法是將思維分為線性思維線性思維和和非線性思維非線性思維兩種。兩種。 非線性思維與混沌現(xiàn)象聯(lián)系密切，因?yàn)榛煦绶蔷€性思維與混沌現(xiàn)象聯(lián)系密切，因?yàn)榛煦绗F(xiàn)象的本質(zhì)最主要的就是非線性?，F(xiàn)象的本質(zhì)最主要的就是非線性。 一般來(lái)說(shuō)，人們對(duì)線性思維方式更加習(xí)慣，一般來(lái)說(shuō)，人們對(duì)線性思維方式更加習(xí)慣，而相對(duì)缺乏對(duì)非線性思維的認(rèn)同，這是關(guān)于思維而相對(duì)缺乏對(duì)非線性思維的認(rèn)同，這是關(guān)于思維方面認(rèn)識(shí)上的偏差，應(yīng)當(dāng)引起重視。方面認(rèn)識(shí)上的偏差，應(yīng)當(dāng)引起重視。31 線性思維線性思維只認(rèn)同簡(jiǎn)單的線性因果只認(rèn)同簡(jiǎn)單的線性因果關(guān)系，只成認(rèn)一因一關(guān)系，只成認(rèn)一因一果，微因微果。果，微因微果。特征：封閉性、直線性、特征：封閉性、直線性、低關(guān)聯(lián)性等。低關(guān)聯(lián)性等。優(yōu)勢(shì)：從對(duì)稱(chēng)性角度出優(yōu)勢(shì)：從對(duì)稱(chēng)性角度出發(fā)，講求平衡、穩(wěn)定、發(fā)，講求平衡、穩(wěn)定、全面、邏輯性強(qiáng)。全面、邏輯性強(qiáng)。缺點(diǎn)：保守僵化。缺點(diǎn)：保守僵化。 非線性思維非線性思維認(rèn)同復(fù)雜的非線性因果關(guān)認(rèn)同復(fù)雜的非線性因果關(guān)系。如系。如“多因一果，多因一果，“一因多果，一因多果，“微因微因巨果。巨果。特征：開(kāi)放性、曲線性、