橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

1、2.1 曲線與方程曲線與方程2.1.1 曲線與方程曲線與方程圓心為圓心為C(a,b) ,半徑為半徑為r的圓的圓C的方程為的方程為:222()()xaybr 思考思考? ?xy.C（1）圓）圓C上的點的坐標(biāo)都是方程上的點的坐標(biāo)都是方程 的解的解;222()()xaybr （2）方程）方程 的解為坐標(biāo)的點都在圓的解為坐標(biāo)的點都在圓C上。上。222()()xaybr (1)曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解;(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.那么,這個方程叫做曲線的方程曲線的方程; 這條曲線叫做方程的曲線方程的曲線.定義定義

2、: :1.曲線的方程曲線的方程反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系; 方程的曲線方程的曲線反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形.f(x,y)=00 xy 一般地一般地,在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線如果某曲線C(看看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點上的點與一個二元方程與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系的關(guān)系:說明說明: :2.“曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程 的解的解” 3.“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在

3、曲線上”闡明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點，也就是闡明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點，也就是說曲線上所有的點都符合這個條件而毫無例外說曲線上所有的點都符合這個條件而毫無例外.闡明符合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏闡明符合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏.練習(xí)練習(xí)1:下列各題中，下圖各曲線的曲線方程是下列各題中，下圖各曲線的曲線方程是所列出的方程嗎？為什么？所列出的方程嗎？為什么？ (1)曲線曲線C為過點為過點A(1，1)，B(-1，1)的折線的折線(如如圖圖(1)其方程為其方程為(x-y)(x+y)=0; (2)曲線曲線C是頂點在原點的拋物線其方程是頂點在原點的拋物線其方程為為x+ =0; (3

4、)曲線曲線C是是, 象限內(nèi)到象限內(nèi)到x軸，軸，y軸的距軸的距離乘積為離乘積為1的點集其方程為的點集其方程為y= 。10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221y1|x1|x練習(xí)練習(xí)1:下列各題中，下圖各曲線的曲線方程是下列各題中，下圖各曲線的曲線方程是所列出的方程嗎？為什么？所列出的方程嗎？為什么？ (1)曲線曲線C為過點為過點A(1，1)，B(-1，1)的折的折線線(如圖如圖(1)其方程為其方程為(x-y)(x+y)=0; (2)曲線曲線C是頂點在原點的拋物線其方程是頂點在原點的拋物線其方程為為x+ =0; (3)曲線曲線C是是, 象限內(nèi)到象限內(nèi)到x軸，軸，y軸的距軸的距離乘

5、積為離乘積為1的點集其方程為的點集其方程為y= 。10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221y1|x1|x不是不是不是不是是是練習(xí)練習(xí)2:下述方程表示的圖形分別是下圖中的哪下述方程表示的圖形分別是下圖中的哪一個？一個？ - =0 xy|x|-|y|=0 x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD練習(xí)練習(xí)2:下述方程表示的圖形分別是下圖下述方程表示的圖形分別是下圖中的哪一個？中的哪一個？ - =0 xy|x|-|y|=0 x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD練習(xí)練習(xí)3:若命題若命題“曲線曲線C上的點的坐標(biāo)滿足

6、方程上的點的坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0”是正確的是正確的,則下列命題中正確的是則下列命題中正確的是( )A.方程方程f(x,y)=0 所表示的曲線是所表示的曲線是C B.坐標(biāo)滿足坐標(biāo)滿足 f(x,y)=0 的點都在曲線的點都在曲線C上上C.方程方程f(x,y)=0的曲線是曲線的曲線是曲線C的一部分或是曲的一部分或是曲線線C D.曲線曲線C是方程是方程f(x,y)=0的曲線的一部分或是全的曲線的一部分或是全部部練習(xí)練習(xí)3:若命題若命題“曲線曲線C上的點的坐標(biāo)滿足方程上的點的坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0”是正確的是正確的,則下列命題中正確的是則下列命題中正確的是( )A.方程方程f(x,y)=0

7、 所表示的曲線是所表示的曲線是C B.坐標(biāo)滿足坐標(biāo)滿足 f(x,y)=0 的點都在曲線的點都在曲線C上上C.方程方程f(x,y)=0的曲線是曲線的曲線是曲線C的一部分或是曲的一部分或是曲線線C D.曲線曲線C是方程是方程f(x,y)=0的曲線的一部分或是全的曲線的一部分或是全部部D 上一節(jié)，我們已經(jīng)建立了曲線的方程上一節(jié)，我們已經(jīng)建立了曲線的方程.方程的方程的曲線的概念曲線的概念.利用這兩個重要概念，就可以借助利用這兩個重要概念，就可以借助于坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點，把曲線看成滿足某于坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點，把曲線看成滿足某種條件的點的集合或軌跡，用曲線上點的坐標(biāo)種條件的點的集合或軌跡，用曲線上點的

8、坐標(biāo)（x,y）所滿足的方程）所滿足的方程f(x,y)=0表示曲線，通過表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì)研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì).這一這一節(jié)，我們就來學(xué)習(xí)這一方法節(jié)，我們就來學(xué)習(xí)這一方法.M點, )x y坐標(biāo)(按某中規(guī)律運動C曲線, x y的制約條件( , )0f x y 方程幾何意義代數(shù)意義“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合” ” 數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)基礎(chǔ)到到F(2，0)和和y軸的距離相等的動點的軌跡方程軸的距離相等的動點的軌跡方程是是_ 解解:設(shè)動點為設(shè)動點為(x，y)，則由題設(shè)得，則由題設(shè)得| |x x| |y y2 2x x2 22 2化簡得化簡得:y2=4(x-1)這

9、就是所求的軌跡方程這就是所求的軌跡方程. .例例2.已知一條直線已知一條直線l和它上方的一個點和它上方的一個點A，點，點A到到l的距離是的距離是2,一條曲線也在一條曲線也在l的上方，它上面的的上方，它上面的每一點到每一點到A的距離減去到的距離減去到l的距離的差都是的距離的差都是2,建建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線的方程立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線的方程.例例2.已知一條直線已知一條直線l和它上方的一個點和它上方的一個點A，點，點A到到l的距離是的距離是2,一條曲線也在一條曲線也在l的上方，它上面的的上方，它上面的每一點到每一點到A的距離減去到的距離減去到l的距離的差都是的距離的差都是2,建建立適當(dāng)

10、的坐標(biāo)系，求這條曲線的方程立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線的方程.取直線取直線l為為x軸軸,過點過點A且垂直于直線且垂直于直線l的直線為的直線為y軸軸,建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系xOy,解：解：2MAMB22(0)(2)2xyy218yx21(0)8yxx因為曲線在因為曲線在x軸的上方，所以軸的上方，所以y0, 所以曲線的方程是所以曲線的方程是 設(shè)點設(shè)點M(x,y)是曲線上任意一點，是曲線上任意一點，MBx軸，垂足是軸，垂足是B，解解:練習(xí)練習(xí)1.B“嫦娥二號”于2010年10月1日18時59分57秒在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空 自然界處處存在著橢圓,我們?nèi)绾斡米约旱碾p手畫出橢圓呢?先回憶如何畫圓 實驗 如

11、何定義橢圓?圓的定義: 平面上到定點的距離等于定長 的點的集合叫圓.橢圓的定義: 平面上到兩個定點F1, F2的距離之和為固定值(大于| F1F2 |)的點的軌跡叫作橢圓. 1. 改變兩圖釘之間的距離，使其與改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？ 1. 改變兩圖釘之間的距離，使其與改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？ 回憶圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)步驟 提出了問題就要試著解決

12、問題.怎么推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？ 求動點軌跡方程的一般步驟：求動點軌跡方程的一般步驟：1、建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對、建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對（x,y）表示曲線上任意一點）表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)的坐標(biāo);2、寫出適合條件、寫出適合條件 P（M） ;3、用坐標(biāo)表示條件、用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程），列出方程 ; 4、化方程為最簡形式。、化方程為最簡形式。 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單； ( (一般利用

13、對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸直線作為坐標(biāo)軸.).)(對稱、對稱、“簡簡潔潔”)xF1F2( (x , y) )0y設(shè)P (x, y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距|F1F2|=2c(c0)，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0) . P與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a2c) （問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化簡化簡？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程222222bayaxb 22b

14、a兩邊除以兩邊除以 得得).0(12222babyax設(shè)所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由橢圓定義可知由橢圓定義可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，得)()(22222222caayaxca移項，再平方移項，再平方橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程剛才我們得到了焦點在x軸上的橢圓方程，如何推導(dǎo)焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？（問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化簡化簡？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|cyxPFcyxPFacyxcyx

15、2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程aycxycxx2)()(2222軸焦點在).0(12222babyaxOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。2222+=1 0 xyabab222

16、2+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點就在哪個軸上分母哪個大，焦點就在哪個軸上222=+abc平面內(nèi)到兩個定點平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等的距離的和等于常數(shù)（大于于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡）的點的軌跡12- , 0 , 0，F(xiàn)cFc120,-0,，F(xiàn)cFc標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程不不 同同 點點相相 同同 點點圖圖 形形焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)定定 義義a、b、c 的關(guān)系的關(guān)系焦點位置的判斷焦點位置的判斷 再認識！再認識！xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO22221.153xy ，則a ，b ；22222.146xy ，則a ，b ；5346口答：則a ，b ；則a ，b 3

17、7 169. 322yx6 147. 422yx2例.求下列橢圓的焦點坐標(biāo)，以及橢圓上每一點到兩焦點距離的和。14) 1 (22 yx154)2(22yx434)3(22 yx解：橢圓方程具有形式12222byax其中1, 2ba因此31422bac兩焦點坐標(biāo)為)0 , 3(),0 , 3(橢圓上每一點到兩焦點的距離之和為42 a,10|21 PFPF如圖:求滿足下列條件的橢圓方程解：橢圓具有標(biāo)準(zhǔn)方程12222byax其中102 , 82ac因此91625222cab, 5, 4ac所求方程為192522yx例4. 求出剛才在實驗中畫出的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程8|21FF探索嫦娥奔月探索嫦娥奔月201

18、0年10月8日中國“嫦娥”二號衛(wèi)星成功實現(xiàn)第二次近月制動，衛(wèi)星進入距月球表面近月點高度約210公里，遠月點高度約8600公里，且以月球的球心為一個焦點的橢圓形軌道。已知月球半徑約3475公里， 試求“嫦娥”二號衛(wèi)星運行的軌跡方程。 如圖，已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為如圖，已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為2，從這，從這個圓上任意一點個圓上任意一點P向向x軸作垂線段軸作垂線段PP中點中點M的軌跡。的軌跡。 解：設(shè)M(x,y), P(x0,y0)00：,.2yxxy于是00（ ,)Pxy22由于在x +y =4上,2200所以x +y =4.00,2xxyy2200把代入x +y =4中,得

19、x22+4y =4,4x22即:+y =1,所以所以M點的軌跡是一個橢圓。點的軌跡是一個橢圓。復(fù)習(xí)練習(xí)復(fù)習(xí)練習(xí)P為橢圓為橢圓 + =1上一點上一點,F1、F2是其左、右焦點是其左、右焦點（1）若）若|PF1|=3,則則|PF2|=_252x162y（2）過左焦點）過左焦點F1任作一條弦任作一條弦AB， 則則ABF2的周長為的周長為_（3）若點）若點P在橢圓上運動在橢圓上運動, 則則|PF1|PF2|的最大值為的最大值為_yx0F2F1PBAP72025二、橢圓二、橢圓 簡單的幾何性質(zhì)簡單的幾何性質(zhì)12222byax1、范圍：、范圍：, 122 ax得：得：122 by -axa, -byb 橢

20、圓落在橢圓落在x=a,y= b組成的矩形中組成的矩形中 oyB2B1A1A2F1F2cab2、橢圓的頂點、橢圓的頂點22221(0)，xyabab在中令令 x=0，得，得 y=？，說明橢圓與？，說明橢圓與 y軸的交點（軸的交點（ ），）， 令令 y=0，得，得 x=？, 說明橢圓與說明橢圓與 x軸的交點（軸的交點（ ）。）。*頂點頂點：橢圓與它的對稱橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。頂點。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0, ba, 0*長軸長軸、短軸短軸： 線段線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長軸和短軸。長軸和短軸。

21、a、b分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長半長半軸長軸長和和短半軸長短半軸長。焦點總在長軸上焦點總在長軸上!3.橢圓的對稱性橢圓的對稱性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）22221(0)，xyabab在之中 把把(X)換成換成(-X),方程不變方程不變,說明橢圓關(guān)于說明橢圓關(guān)于( )軸對稱；軸對稱； 把把(Y)換成換成(-Y),方程不變方程不變,說明橢圓關(guān)于說明橢圓關(guān)于( )軸對稱；軸對稱； 把把(X)換成換成(-X), (Y)換成換成(-Y),方程還是不變方程還是不變,說明橢圓說明橢圓 關(guān)關(guān)于于( )對稱；對稱；中心：橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。中心：橢圓的對稱中心叫做橢圓的中

22、心。oxy 所以，坐標(biāo)軸是所以，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心。是橢圓的對稱中心。Y X 原點原點 123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 4、橢圓的離心率橢圓的離心率ace 離心率：離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。叫做橢圓的離心率。1離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：1）e

23、 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，從而，從而 b就越小，橢圓就就越小，橢圓就越扁越扁因為因為 a c 0，所以，所以0e babceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前例例1 1、已知橢圓方程為、已知橢圓方程為16x16x2 2+25y+25y2 2=400=400，則，則它的長軸長是它的長軸長是： ；短軸長是短軸長是： ；焦距是焦距是： ；離心率等于離心率等于： ；焦點坐標(biāo)是焦點坐標(biāo)是： ；頂點坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)是： ； 外切矩形的面積等于外

24、切矩形的面積等于： ； 108635( 3,0)( 5,0)(0, 4)80解題步驟：解題步驟：1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求a、b：1162522yx2、確定焦點的位置和長軸的位置、確定焦點的位置和長軸的位置. 2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) a=6, e= , (1) a=6, e= , 焦點在焦點在x x軸上軸上(2) (2) 離心率離心率 e=0.8, e=0.8, 焦距為焦距為8 8(3) (3) 長軸是短軸的長軸是短軸的2 2倍倍, , 且過點且過點P(2,-6)P(2,-6)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時,

25、應(yīng)應(yīng): 先定位先定位(焦點焦點), 再定量（再定量（a、b）當(dāng)焦點位置不確定時，要討論，此時有兩個解！當(dāng)焦點位置不確定時，要討論，此時有兩個解！31(4)在在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且焦距為且焦距為61323622yx192519252222xyyx或11352y137y1482222xx或191822yx 練習(xí)練習(xí)2 2：過適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：過適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1 1）經(jīng)過點）經(jīng)過點 、 ；（2 2）長軸長等于）長軸長等于 , ,離心率等于離心率等于 ( 3,0)P (0, 2)Q2035解解: :（1

26、1）由題意，）由題意， , ,又又長軸在長軸在軸上，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為軸上，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 3a 2b x22194xy（2 2）由已知，由已知， ， ， ， ，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 或或 220a 35cea10a 6c 22210664b 22110064xy22110064yx例例3.3.已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標(biāo)已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，長軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過點軸上，長軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過點P P（3 3，0 0），求橢圓的方程。），求橢圓的方程。1981192222xyyx或例題例題3 3離心率離心率 e e(1).若橢圓若橢圓 + =1的離心率為的離心率為 0.5，則：，則：k=_82kx92y(2).若某個橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等差數(shù)列，若某個橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等差