第五章 單純形優(yōu)化設計法1

1、1第五章第五章 單純形優(yōu)化設計法單純形優(yōu)化設計法前面我們已經介紹了幾種設計方法，這些方法之間前面我們已經介紹了幾種設計方法，這些方法之間有什么特點呢？有什么特點呢？因子設計法因子設計法正交設計法正交設計法均勻設計法均勻設計法 同時試驗設計法同時試驗設計法 （simultaneous design ）單因素試驗設計法單因素試驗設計法單純形優(yōu)化設計法單純形優(yōu)化設計法遺遺 傳傳 算算 法法 序貫試驗設計法序貫試驗設計法（sequential design） 第一節(jié)第一節(jié) 單純形優(yōu)化法概述單純形優(yōu)化法概述2序貫試驗設計的特點：序貫試驗設計的特點：不需要知道目標和因素之間關系的數學表達式，而不需要知道目

2、標和因素之間關系的數學表達式，而是通過試驗指標值的比較，尋求試驗的最佳工作條是通過試驗指標值的比較，尋求試驗的最佳工作條件。件。單純形優(yōu)化法是單純形優(yōu)化法是1962年年Spendley首先提出，后來由首先提出，后來由NelderNelder和和MeadMead于于19651965年進行了改進。其后在各領域都年進行了改進。其后在各領域都有很大發(fā)展，當然也包括化學化工領域。有很大發(fā)展，當然也包括化學化工領域。 3什么是什么是優(yōu)化優(yōu)化？簡單說簡單說優(yōu)化優(yōu)化就是如何把事情做的更好。就是如何把事情做的更好。在化學試驗條件選擇里，就是指如何得到最佳的試在化學試驗條件選擇里，就是指如何得到最佳的試驗條件。驗

3、條件。優(yōu)化設計的三要素：優(yōu)化設計的三要素： 設計變量、約束條件、目標函數。設計變量、約束條件、目標函數。 1. 在優(yōu)化設計的過程中，不斷進行修改、調整，一直在優(yōu)化設計的過程中，不斷進行修改、調整，一直處于變化的參數處于變化的參數稱為稱為設計變量設計變量。設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示：表示：12.Tnxxxx42. 一個一個可行設計可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱作限制條件稱作約束條件約束條件，簡稱，簡稱約束約束。約束約束性能約束性能約束側面約束側面約束針對性能要求針對性能要求只對設

4、計變量的取值范圍限制只對設計變量的取值范圍限制（又稱邊界約束）（又稱邊界約束）（按性質分）（按性質分）（按數學表（按數學表達形式分）達形式分）約束約束等式約束等式約束不等式約束不等式約束h(x)=0g(x)0可行域：可行域：凡滿足所有約束條件的設計點，它在設計凡滿足所有約束條件的設計點，它在設計空間的活動范圍?？臻g的活動范圍。53. 目標函數目標函數是設計變量的函數，是設計中所追求的是設計變量的函數，是設計中所追求的目目標標。如：產率，回收率，分離度等。如：產率，回收率，分離度等。在優(yōu)化設計中，用在優(yōu)化設計中，用目標函數目標函數的大小來衡量設計方案的的大小來衡量設計方案的優(yōu)劣，故目標函數也可稱

5、優(yōu)劣，故目標函數也可稱評價函數評價函數。目標函數目標函數的一般表示式為：的一般表示式為：12( )( ,.)nf xf x xx6優(yōu)化設計的目的優(yōu)化設計的目的就是要求所選擇的設計變量使目標就是要求所選擇的設計變量使目標函數達到最佳值，即使：函數達到最佳值，即使：( )f xOpt目標函數目標函數單目標設計問題單目標設計問題多目標設計問題多目標設計問題 目前處理多目標設計問題的方法是組合成一個復目前處理多目標設計問題的方法是組合成一個復合的目標函數，如采用合的目標函數，如采用線性加權線性加權的形式，即：的形式，即：1 122( )( )( ).( )qqf xW f xW fxW fx7優(yōu)化設計

6、的數學表達（數學模型式）：優(yōu)化設計的數學表達（數學模型式）： ), 1(0),(), 1(0),(.),(212121ljxxxhmixxxgt sxxxfoptnjnin優(yōu)化設計的數學模型是對優(yōu)化設計問題的數學抽象。優(yōu)化設計的數學模型是對優(yōu)化設計問題的數學抽象。8優(yōu)化設計數學模型的分類：優(yōu)化設計數學模型的分類：(1) 按設計變量和參數的性質分：按設計變量和參數的性質分：確定型模型確定型模型隨機型模型隨機型模型設計變量和參數取值設計變量和參數取值確定確定設計變量和參數取值設計變量和參數取值隨機隨機(2) 按目標函數和約束函數的性質分：按目標函數和約束函數的性質分：a.目標函數和約束函數都是設計

7、變量的線性函數目標函數和約束函數都是設計變量的線性函數, 稱稱為為線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題;b.若目標函數是設計變量的二次函數、約束是線性函若目標函數是設計變量的二次函數、約束是線性函數，則為數，則為二次規(guī)劃問題二次規(guī)劃問題。9 優(yōu)化分類：優(yōu)化分類： 1 1）無約束優(yōu)化）無約束優(yōu)化: :在沒有限制的條件下，對設計變在沒有限制的條件下，對設計變量求目標函數的最佳值量求目標函數的最佳值； 2 2）約束優(yōu)化）約束優(yōu)化: :在可行域內對設計變量求目標函數在可行域內對設計變量求目標函數的最佳值的最佳值。 這些名詞是不是很抽象？其實這個很簡單，很容這些名詞是不是很抽象？其實這個很簡單，很容易理解。具體到我

8、們要解決的實際問題時，基本都是易理解。具體到我們要解決的實際問題時，基本都是約束優(yōu)化。約束優(yōu)化。比如我們要解決化學問題，必須結合考慮，不能出比如我們要解決化學問題，必須結合考慮，不能出現(xiàn)負濃度值、現(xiàn)負濃度值、pHpH只能在只能在0 01414之間，某些反應的溫度必之間，某些反應的溫度必須控制在一定范圍等等，這些就是約束條件。須控制在一定范圍等等，這些就是約束條件。10優(yōu)化算法：優(yōu)化算法：1 1）解析法（一階、二階導數）；）解析法（一階、二階導數）；2 2）直接法（）直接法（ 單純形法等）。單純形法等）。事實上，前面講事實上，前面講均勻設計法均勻設計法時，對建立的模型求最佳時，對建立的模型求最佳

9、條件就是采用的求導數法；條件就是采用的求導數法；而而單純形法單純形法正是這一章要重點講的。正是這一章要重點講的。另外像另外像遺傳算法遺傳算法，這也是最近十幾年化學計量學中的，這也是最近十幾年化學計量學中的一個很重要的領域，也屬于直接法。一個很重要的領域，也屬于直接法。11什么是什么是單純形單純形？單純形（單純形（SimplexSimplex）是數學里最優(yōu)化方法中的一個名是數學里最優(yōu)化方法中的一個名詞。詞。它是指它是指多維空間多維空間的的凸多面體凸多面體，其頂點數比空間維，其頂點數比空間維數多數多1。例如：例如：一維空間一維空間的單純形是一條直線，的單純形是一條直線，二維空間二維空間中是中是三角

10、形三角形，三維空間三維空間中是四面體。中是四面體。 12什么是什么是單純形優(yōu)化法單純形優(yōu)化法？單純形優(yōu)化法單純形優(yōu)化法是一種是一種多維搜索尋優(yōu)方法多維搜索尋優(yōu)方法。它是利用單純形的頂點計算它是利用單純形的頂點計算目標函數目標函數值值,按一定的規(guī)則按一定的規(guī)則進行進行探索性探索性搜索搜索,判斷目標函數的變化趨勢判斷目標函數的變化趨勢,確定有利的確定有利的搜索方向搜索方向和和步長步長。 經過不斷的迭代，經過不斷的迭代，最終使結果收斂最終使結果收斂到最優(yōu)解到最優(yōu)解。單純形優(yōu)化法實際上由兩部分組成：單純形優(yōu)化法實際上由兩部分組成：一是初始單純形的生成一是初始單純形的生成，即找出初始的，即找出初始的n+

11、1 個頂點；個頂點；二是其迭代過程二是其迭代過程。初始單純形的取法對迭代過程的收。初始單純形的取法對迭代過程的收斂性影響很大。斂性影響很大。 13單純形優(yōu)化法的基本思想：單純形優(yōu)化法的基本思想：給定初始點給定初始點X0 ，產生初始單純形，產生初始單純形S0，通過反射、擴，通過反射、擴張、壓縮、收縮一系列動作將單純形翻滾、變形，張、壓縮、收縮一系列動作將單純形翻滾、變形，從而產生一系列單純形，并逐漸向極小點靠攏。從而產生一系列單純形，并逐漸向極小點靠攏。更具體說就是：對更具體說就是：對n 維空間的維空間的n+1 個點個點(以它們?yōu)轫斠运鼈優(yōu)轫旤c形成一個點形成一個n 維單純形維單純形)的目標函數值

12、進行比較，丟的目標函數值進行比較，丟棄其中的最棄其中的最“壞壞”點，代之以適當的新點，形成新點，代之以適當的新點，形成新的單純形。重復比較，逐步逼近最優(yōu)點，如圖。的單純形。重復比較，逐步逼近最優(yōu)點，如圖。14單純形優(yōu)化法示意圖單純形優(yōu)化法示意圖單純形優(yōu)化的特點單純形優(yōu)化的特點：優(yōu)化方法簡便，信息量多，對于因素較多的試驗設計優(yōu)化方法簡便，信息量多，對于因素較多的試驗設計問題尤為適用。問題尤為適用。 15第二節(jié)第二節(jié) 基本單純形基本單純形對對n個因素的試驗優(yōu)化問題，單純形就是在個因素的試驗優(yōu)化問題，單純形就是在n維空間中維空間中由不處于同一超平面上的由不處于同一超平面上的n+1個頂點構成的凸多面體

13、。個頂點構成的凸多面體。故此，一維空間的單純形是一條直線，故此，一維空間的單純形是一條直線，二維空間的單純形就是三角形，二維空間的單純形就是三角形，三維空間的單純形就是四面體，三維空間的單純形就是四面體，高于三維空間的單純形一般只能以數學解析式表示。高于三維空間的單純形一般只能以數學解析式表示。 各條邊長相等的單純形叫各條邊長相等的單純形叫正規(guī)單純形正規(guī)單純形。如：當如：當n2時，等邊三角形就是正規(guī)單純形。時，等邊三角形就是正規(guī)單純形。 16在在n維空間中單純形的每個頂點可以用對應的坐標表示，維空間中單純形的每個頂點可以用對應的坐標表示，如二維空間的單純形的三個頂點可用三角形的坐標表示：如二維

14、空間的單純形的三個頂點可用三角形的坐標表示：（x11,x12），（），（x21,x22），（），（x31,x32）。）。NOTENOTE：在坐標中下標中的第一個數字為頂點代號，第在坐標中下標中的第一個數字為頂點代號，第二個數字為變量（因素）代號。每個頂點的坐標表示試二個數字為變量（因素）代號。每個頂點的坐標表示試驗中各因素的取值。驗中各因素的取值。因此對于因此對于n個因素的試驗設計問題，個因素的試驗設計問題，n維空間中單純形維空間中單純形的一個頂點就表示一次試驗，的一個頂點就表示一次試驗，該頂點（該頂點（x1,x2, ,xn）即）即為這為這n個因素的某一種因素水平的搭配方式個因素的某一種因素水

15、平的搭配方式。 17一一. .單純形優(yōu)化法的尋優(yōu)過程概述：單純形優(yōu)化法的尋優(yōu)過程概述：首先首先，單純形優(yōu)化法從初始，單純形優(yōu)化法從初始n+1n+1個頂點出發(fā)，從比較個頂點出發(fā)，從比較初始的初始的n+1n+1次試驗的目標值的優(yōu)劣，判斷目標函數變次試驗的目標值的優(yōu)劣，判斷目標函數變化的大致趨勢，作為尋優(yōu)方向的參考?；拇笾纶厔?，作為尋優(yōu)方向的參考。然后然后，逐步淘汰其中目標值最差的試驗點，增加可能，逐步淘汰其中目標值最差的試驗點，增加可能改進目標值的新的試驗點，如此不斷搜索，逐步達到改進目標值的新的試驗點，如此不斷搜索，逐步達到目標的最優(yōu)值，從而確定各因素的最佳水平組合。目標的最優(yōu)值，從而確定各因

16、素的最佳水平組合。 大量研究表明，對于多因素試驗設計，單純形優(yōu)化法大量研究表明，對于多因素試驗設計，單純形優(yōu)化法具有試驗次數少，信息量多，收斂于最優(yōu)目標速度快具有試驗次數少，信息量多，收斂于最優(yōu)目標速度快等優(yōu)點，是一種優(yōu)化的試驗設計方法。等優(yōu)點，是一種優(yōu)化的試驗設計方法。 18二二. .初始單純形的確定初始單純形的確定 如前所述，要完成單純形優(yōu)化過程，如前所述，要完成單純形優(yōu)化過程，首先必須構造一個首先必須構造一個初始單純形初始單純形。那么，對于那么，對于n個因素的實驗設計問題，首先要確定個因素的實驗設計問題，首先要確定n1個試驗點，這個試驗點，這n1個點的各因素通?？筛鶕瘜W工作個點的各因素

17、通常可根據化學工作者的化學知識和實踐經驗來選取。者的化學知識和實踐經驗來選取。對于所進行的試驗，化學工作者一般都有某些先驗知識，對于所進行的試驗，化學工作者一般都有某些先驗知識，能提出試驗條件的某些假設條件。能提出試驗條件的某些假設條件。 19事實上，事實上，n+1個點的選取，一般只需先確定一個初始點個點的選取，一般只需先確定一個初始點x0=（x01,x02,x0n）T T，其中，其中x01,x02,x0n分別為分別為n個因素個因素的某一初始水平。然后對每一因素，根據經驗確定一的某一初始水平。然后對每一因素，根據經驗確定一個個步長，即該因素相對于初始水平變化的幅度步長，即該因素相對于初始水平變

18、化的幅度。譬如考慮譬如考慮pHpH這一因素，若初始水平為這一因素，若初始水平為pH=7.0pH=7.0，步長為，步長為0.50.5，則表示，則表示pHpH這一因素從這一因素從7.07.0起按起按0.50.5的間距改變的間距改變pHpH值值來進行試驗。來進行試驗。如果再考慮反應溫度，假定初始水平為如果再考慮反應溫度，假定初始水平為4040o oC C，步長為，步長為5 5度，則表示溫度從度，則表示溫度從4040度起按度起按5 5度的間距改變溫度進行試度的間距改變溫度進行試驗。驗。 20這樣，在確定初始單純形的一個初始頂點這樣，在確定初始單純形的一個初始頂點x0和步長和步長aj后，其余后，其余n個

19、頂點的因素水平就可產生：個頂點的因素水平就可產生： x1=(x01+p1, x02+q2, x03+q3, , x0n+qn)Tx2=(x01+q1, x02+p2, x03+q3, , x0n+qn)Tx3=(x01+q1, x02+q2, x03+p3, , x0n+qn)T xn=(x01+q1, x02+q2, x03+q3, , x0n+pn)T（1）21式中：式中：i0,1,2,n；j1,2,n，xij表示第表示第i個頂點第個頂點第j個因素的水平取值。個因素的水平取值。 其中：其中： 112nnnapjj112nnaqjj事實上，各頂點坐標有個計算通式：事實上，各頂點坐標有個計算通

20、式： xij=x0j+pj, ij； xij=x0j+qj, ij； (1)*（2）22這樣由這樣由x0，x1，xn共共n1個頂點可得到一個不在同個頂點可得到一個不在同一超平面上的初始單純形。由于各因素的步長都具有一超平面上的初始單純形。由于各因素的步長都具有相同的數值，即初始單純形是以相同的數值，即初始單純形是以x0為頂點，各棱長為為頂點，各棱長為aj的的正規(guī)單純形正規(guī)單純形。 為了便于應用，下表給出了不同為了便于應用，下表給出了不同n值時計算初始單純形值時計算初始單純形的的pj和和qj值值 。23初始單純形的初始單純形的p p和和q q值值n np pq q1 1a a0.29290.29

21、29a a2 20.9659a0.9659a0.25880.2588a a3 30.9428a0.9428a0.23570.2357a a4 40.9256a0.9256a0.21850.2185a a5 50.9121a0.9121a0.20500.2050a a6 60.9011a0.9011a0.19400.1940a a7 70.8918a0.8918a0.18470.1847a a8 80.8839a0.8839a0.17680.1768a a9 90.8770a0.8770a0.16990.1699a a10100.8709a0.8709a0.16380.1638a a24 上述方

22、法是根據上述方法是根據初始點初始點和和步長步長來計算初始單純形的各來計算初始單純形的各個頂點，各因素的步長是相同的個頂點，各因素的步長是相同的,稱作稱作固定步長法或正固定步長法或正規(guī)單純形法規(guī)單純形法。 如二因素實驗舉例：如二因素實驗舉例： 因素因素1：pH，因素，因素2：溫度。：溫度。 初始值初始值x0=(7.0,40);步長步長a1=0.5, a2=5。 這是幾維單純形？有幾個頂點？這是幾維單純形？有幾個頂點？ 第一個頂點第一個頂點x1=(x11,x12)=(x01+p1,x02+q2) =(7.0+a1,40+0.2588*a2) 第二個頂點第二個頂點x2=(x21,x22)=(x01+

23、q1,x02+p2) =(7.0+0.2959*a1,40+0.9659*a2)25 實際過程中，各因素步長和單位并不相實際過程中，各因素步長和單位并不相同，利用這種方法會變得很麻煩，在實同，利用這種方法會變得很麻煩，在實際應用中問題較多。際應用中問題較多。 Long系數法系數法、均勻設計法均勻設計法和和黃金分割法黃金分割法也常用于初始單純形的構造。我們下面也常用于初始單純形的構造。我們下面再介紹前兩個構成初始單純形的方法。再介紹前兩個構成初始單純形的方法。26 Long系數表法系數表法 D.E. Long提出一種用系數表構成初始單純形提出一種用系數表構成初始單純形各頂點的方法，可以解決試驗設

24、計中初始單純各頂點的方法，可以解決試驗設計中初始單純形的構成問題。形的構成問題。 使用時把表中的對應值乘上該因素的步長后，使用時把表中的對應值乘上該因素的步長后，再加到初始點坐標上。再加到初始點坐標上。271234567891010A B C D E F G H I J01.000.500.500.500.500.500.500.500.500.50000.8660.2890.2890.2890.2890.2890.2890.2890.2890000.8170.2040.2040.2040.2040.2040.2040.20400000.7910.1580.1580.1580.1580.158

25、0.158000000.7750.1290.1290.1290.1290.1290000000.7640.1090.1090.1090.10900000000.7560.0940.0940.094000000000.7500.0830.0830000000000.7450.07500000000000.742因素因素頂點頂點Long系數表系數表28 例：有一個二因素的設計過程，其初始點為例：有一個二因素的設計過程，其初始點為(10.0,2.0)；步長為；步長為1.0和和0.5，據，據Long系數表來計算系數表來計算其余兩個頂點的坐標其余兩個頂點的坐標頂點頂點1： （10.0,2.0）頂點頂點2

26、： （10.0+1.001.0，2.0+00.5） =（11.0,2.0）頂點頂點3： （10.0+0.51.0，2.0+0.8660.5） =（10.5，2.433）29 均勻設計表法均勻設計表法 利用利用Long系數表法所構成的初始單純形各頂點系數表法所構成的初始單純形各頂點在空間的分布是不均勻的，因此進行的是不均勻在空間的分布是不均勻的，因此進行的是不均勻優(yōu)化。優(yōu)化。 均勻設計表改變了這個缺點，使各頂點在空間均均勻設計表改變了這個缺點，使各頂點在空間均勻分布，這樣進行的優(yōu)化就是勻分布，這樣進行的優(yōu)化就是整體的均勻優(yōu)化。整體的均勻優(yōu)化。 據所選因素的因素數，確定一個比較合適的均勻據所選因素

27、的因素數，確定一個比較合適的均勻表，使用時把表中的對應數值乘以響應因素的步表，使用時把表中的對應數值乘以響應因素的步長，加到初始點坐標上即可。長，加到初始點坐標上即可。30 例：我們有一個四因素的優(yōu)化過程，因此可以選用四例：我們有一個四因素的優(yōu)化過程，因此可以選用四因素的均勻設計表。設初點為因素的均勻設計表。設初點為(1.0,1.0,1.0,1.0);步長為步長為0.5,1.0,0.5,2.0。要求計算初始單純形的各頂點。要求計算初始單純形的各頂點。12345A B C D12345241353142543215列號（因素）試驗次數（頂點）四因素均勻設表四因素均勻設表U5(54)31頂點頂點1

28、：（1.0+1 0.5,1.0+2 1.0, 1.0+3 0.5,1.0+4 2.0） =（1.5,3.0,5.5,9.0）頂點頂點2：（1.0+2 0.5,1.0+4 1.0, 1.0+1 0.5,1.0+32.0） =（2.0,5.0,2.5,7.0）頂點頂點3：（1.0+3 0.5,1.0+11.0, 1.0+4 0.5,1.0+2 2.0） =（2.5,2.0,7.0,5.0）頂點頂點4：（1.0+4 0.5,1.0+3 1.0, 1.0+2 0.5,1.0+1 2.0） =（3.0,4.0,4.0,3.0）頂點頂點5：（1.0+5 0.5,1.0+5 1.0, 1.0+5 0.5,1

29、.0+52.0） =（3.5.6.0,8.5.11.0）32三三. .基本單純形優(yōu)化（有的文獻稱為移動、推進等）基本單純形優(yōu)化（有的文獻稱為移動、推進等） 確定了初始單純形的確定了初始單純形的n+1個試驗點之后，可在這個試驗點之后，可在這n+1個個試驗點的因素水平下做試驗，得到試驗點的因素水平下做試驗，得到n+1個指標值，根據個指標值，根據指標值的優(yōu)劣，逐步舍棄最差點，尋求好的實驗條件，指標值的優(yōu)劣，逐步舍棄最差點，尋求好的實驗條件，最終達到最優(yōu)目標。最終達到最優(yōu)目標。設在初始單純形中最好的頂點記為設在初始單純形中最好的頂點記為xB，最差的記為，最差的記為xW，次差點記為次差點記為xN。單純形

30、優(yōu)化中首先舍去最差點。單純形優(yōu)化中首先舍去最差點xW，并，并引入一個新試驗點引入一個新試驗點xR，這個新試驗點是由，這個新試驗點是由xW對除對除xW外外的其余的其余n個點的重心個點的重心反映反映得到的。得到的。 33因此首先計算除因此首先計算除xW后的重心指標：后的重心指標： nWiiipxnx, 01（3） 然后將最差點然后將最差點xW對對xp進行反映，得反映點進行反映，得反映點xR： 該公式的另一個寫法是：該公式的另一個寫法是： niwipxxnx01(3)* xRxP（xP- xW） (4) 34求反映點公式的另一個寫法是：求反映點公式的另一個寫法是： NOTE：xR, xP和和xW均為

31、均為n維向量，其中每個元素的數維向量，其中每個元素的數值表示這些點處值表示這些點處n個因素所取的水平。個因素所取的水平。wniwiRxxxnx 02(4)* 得到新點后在該點各因素水平下再做一次試驗，然后得到新點后在該點各因素水平下再做一次試驗，然后再比較新單純形（刪除再比較新單純形（刪除xW，加入，加入xR）中各試驗點處指）中各試驗點處指標值的優(yōu)劣，找出新的最差點。如此繼續(xù)進行，逐漸標值的優(yōu)劣，找出新的最差點。如此繼續(xù)進行，逐漸逼近最優(yōu)點。逼近最優(yōu)點。 35NOTENOTE：在單純形尋優(yōu)過程中，有時會出現(xiàn)一些問題，在單純形尋優(yōu)過程中，有時會出現(xiàn)一些問題，如：如：1 1）最差點反映到的新試驗點

32、的目標值在新單純形）最差點反映到的新試驗點的目標值在新單純形中也是最差的，從而使尋優(yōu)進入死循環(huán)；中也是最差的，從而使尋優(yōu)進入死循環(huán)；2 2）或者某些新試驗點的因素水平會超出這些因素的限）或者某些新試驗點的因素水平會超出這些因素的限制條件（如出現(xiàn)負值等）使新的試驗無法進行。制條件（如出現(xiàn)負值等）使新的試驗無法進行。那么如何解決這些問題呢？那么如何解決這些問題呢？36基于以上考慮，基于以上考慮，單純形優(yōu)化中有如下規(guī)定：單純形優(yōu)化中有如下規(guī)定：（1 1）若新的反映點）若新的反映點xR的指標值在新單純形中是最差的，的指標值在新單純形中是最差的，則用新單純形中的次差點反映，以改變尋優(yōu)方向；則用新單純形中

33、的次差點反映，以改變尋優(yōu)方向；（2 2）若新試驗點）若新試驗點x xR R的因素水平超出某因素的約束條件，的因素水平超出某因素的約束條件，則人為規(guī)定該新點為最差點；則人為規(guī)定該新點為最差點； （3 3）若一個試驗點連續(xù)在）若一個試驗點連續(xù)在n+1n+1個單純形中保留，且該個單純形中保留，且該點為當前的最佳點，則該點為所求的最優(yōu)點。點為當前的最佳點，則該點為所求的最優(yōu)點。 這種單純形優(yōu)化法即為這種單純形優(yōu)化法即為基本單純形法基本單純形法。37基本單純形法的特點是：基本單純形法的特點是：一旦初始單純形確定，尋優(yōu)過程的步長是固定的。如一旦初始單純形確定，尋優(yōu)過程的步長是固定的。如果步長過大，則收斂速

34、度過快，靠近最優(yōu)點的收斂精果步長過大，則收斂速度過快，靠近最優(yōu)點的收斂精度較差；反之若步長較小，最優(yōu)點附近收斂精度較好，度較差；反之若步長較小，最優(yōu)點附近收斂精度較好，但收斂速度較慢，需進行的試驗次數也較多。但收斂速度較慢，需進行的試驗次數也較多。 也就是也就是說基本單純形法的靈活性較差。說基本單純形法的靈活性較差。為此，又出現(xiàn)了為此，又出現(xiàn)了改進單純形法改進單純形法。單純形優(yōu)化過程可用表和圖形象表示。單純形優(yōu)化過程可用表和圖形象表示。38頂點頂點當前單純形當前單純形 頂點排列頂點排列(1)丟棄點丟棄點新點新點新頂點響應值新頂點響應值4ABCABC(2)AD655BCDBCDBE606CDEC

35、EDCF767DEFEDFEG718DFGDGFDH919FGHGFHGI6610FHIIFHF(3)J7711HIJIJHIK9512HJKJHKJL7213HKLLHKH(3)M6614KLMMLKL(3)N8515KMNMNKMO8316KNOONKN(3)P(=J)7739（1）排列順序：最差、次差、最好點；排列順序：最差、次差、最好點；（2 2）初始單純形指標值：）初始單純形指標值：A A3737，B B4545，C C5353；（3 3）反映點（新點）最差時把次差點丟棄。）反映點（新點）最差時把次差點丟棄?；谏媳淼幕谏媳淼幕締渭冃位締渭冃螌?yōu)過程示尋優(yōu)過程示意圖意圖 可以看

36、出，在可以看出，在第第11個點個點K處處實際上已達到實際上已達到最佳區(qū)域附近最佳區(qū)域附近40四四.改進單純形改進單純形 基本單純形法的缺點：基本單純形法的缺點：很難兼顧收斂速度和收斂精度兩方面的要求。很難兼顧收斂速度和收斂精度兩方面的要求。19651965年，年，NelderNelder和和MeadMead提出了提出了改進單純形法改進單純形法 ：在基本單純形法基礎上增加了在基本單純形法基礎上增加了步長調節(jié)功能步長調節(jié)功能，使得尋，使得尋優(yōu)過程的收斂速度和精度都得以改善。優(yōu)過程的收斂速度和精度都得以改善。 41改進單純形法尋優(yōu)的基本思想改進單純形法尋優(yōu)的基本思想 ：第一步，首先確定第一步，首先確

37、定n+1個試驗點，構造初始單純形，個試驗點，構造初始單純形，并進行并進行n+1次試驗，得到各試驗的目標值，找出最差次試驗，得到各試驗的目標值，找出最差點點xw。這一步和基本單純形法相同；。這一步和基本單純形法相同； 第二步，求出最差點第二步，求出最差點xw對其余各點重心對其余各點重心xp的反映點的反映點xR，根據根據xR點的試驗結果，將其與最好點點的試驗結果，將其與最好點xB，次差點，次差點xN及及最差點最差點xW的指標值做比較，具體可分為四種情況。的指標值做比較，具體可分為四種情況。 42（1）擴張）擴張 反映（也叫反射）點反映（也叫反射）點xR是當前最佳點，這是當前最佳點，這表明尋優(yōu)方向正

38、確，可考慮加快優(yōu)化速度，將單純形表明尋優(yōu)方向正確，可考慮加快優(yōu)化速度，將單純形擴張，亦即將試驗點沿擴張，亦即將試驗點沿xWxR方向延伸到方向延伸到xE（見下（見下圖）。圖）。 43xE這樣計算：這樣計算：(5)(5)xExPg g(xP- xW)式中，式中，g g為大于為大于1的系數，叫的系數，叫單純形擴張系數單純形擴張系數，通常取，通常取1.22之間。之間。 在在xE點再做一次試驗，若響應指標值優(yōu)于點再做一次試驗，若響應指標值優(yōu)于xR，說明單，說明單純形擴大成功，尋優(yōu)方向正確。此時保留純形擴大成功，尋優(yōu)方向正確。此時保留xE作為擴大作為擴大后的新單純形（不含后的新單純形（不含xR和和xW）的頂點，繼續(xù)尋優(yōu)。這）的頂點，繼續(xù)尋優(yōu)。這時因單純形擴張，已不再是正規(guī)單純形。時因單純形