《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第9章 時(shí)間序列分析和預(yù)測(cè)

1、1第9章 時(shí)間序列分析和預(yù)測(cè)9.1 導(dǎo)言 對(duì)于企業(yè)來(lái)說(shuō)，有關(guān)經(jīng)營(yíng)管理的各種問(wèn)題都需要作出預(yù)測(cè)，然后才能根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)生產(chǎn)活動(dòng)進(jìn)行決策。而預(yù)測(cè)的一個(gè)重要方法就是對(duì)未來(lái)情況進(jìn)行推測(cè)，其原因是企業(yè)的生產(chǎn)或經(jīng)營(yíng)狀況常常隨著時(shí)間推移而發(fā)生變化。 例如，材料和備用件的庫(kù)存、產(chǎn)品的銷售、工人的工資與產(chǎn)品的價(jià)格水平、生產(chǎn)過(guò)程的質(zhì)量控制，乃至整個(gè)企業(yè)的變化等，都會(huì)因時(shí)間的變化而呈現(xiàn)出動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程。因此有必要也完全有可能對(duì)現(xiàn)象發(fā)展變化的歷史資料進(jìn)行分析，找出現(xiàn)象的發(fā)展趨勢(shì)和變動(dòng)規(guī)律并據(jù)以預(yù)測(cè)未來(lái)。 時(shí)間序列指在相以的時(shí)間間隔觀測(cè)，記錄一個(gè)變量或過(guò)程的值并按時(shí)間先后順序排列的數(shù)列： X1,X2,X3,Xt,Xn

2、(t=1,2,n) 其中的下標(biāo)t代表與觀測(cè)時(shí)間t對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值。 時(shí)間序列按時(shí)間變量的性質(zhì)，可分為離散時(shí)間序列和連續(xù)時(shí)間序列。醫(yī)院每天早上為病人測(cè)體溫所得病人的體溫記錄是離散時(shí)間序列，而心電圖測(cè)是連續(xù)時(shí)間序列。由于離散時(shí)間序列存在與應(yīng)用的普遍性，本書(shū)主要討論離散時(shí)間序列，并簡(jiǎn)稱為時(shí)間序列。 時(shí)間序列按數(shù)據(jù)生產(chǎn)特點(diǎn)的不同，又可分為時(shí)點(diǎn)序列和時(shí)期序列。時(shí)點(diǎn)序列數(shù)據(jù)描述所研究對(duì)象在時(shí)間間隔點(diǎn)時(shí)的狀態(tài)及變化，如人口總數(shù)序列，股票收盤價(jià)格序列是時(shí)點(diǎn)序列。時(shí)期序列數(shù)據(jù)描述在一定時(shí)間間隔內(nèi)所研究對(duì)象的積累量及變化，和國(guó)民生產(chǎn)總值和某天的股票交易量是時(shí)期序列。9.2 時(shí)間序列分析 一、時(shí)間序列的分解一、時(shí)間序列

3、的分解 時(shí)間序列反映某一過(guò)程或變量隨機(jī)時(shí)間的推移而呈現(xiàn)的變動(dòng)。影響這種變動(dòng)的因素很多，有自然的、經(jīng)濟(jì)的、社會(huì)的和文化的，所起的推動(dòng)或制約作用也不同。在諸多影響因素中，有些因素對(duì)事物的發(fā)展或?qū)^(guò)程的變化起著長(zhǎng)期的、決定性的作用，使序列變動(dòng)呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性；有些則對(duì)事物或過(guò)程的發(fā)展變?nèi)似鹬唐诘?、非決定性的作用，致使序列變動(dòng)呈現(xiàn)波動(dòng)性、周期性和不規(guī)則性。 所以，時(shí)間序列的各個(gè)觀測(cè)值（Xi）所反映的變化正是多種影響因素共同作用結(jié)果的綜合體現(xiàn)。但作為基本分析，通常把時(shí)間序列在形式上的變動(dòng)歸納為四種因素所引起的變動(dòng)，即長(zhǎng)期趨勢(shì)、季節(jié)變動(dòng)、循環(huán)波動(dòng)和不規(guī)則波動(dòng)，有時(shí)也把它們稱為構(gòu)成時(shí)間序列變動(dòng)的趨勢(shì)分量

4、、季節(jié)分量、循環(huán)分量和不規(guī)則分量并分別用T、S、C和I來(lái)表示。 長(zhǎng)期趨勢(shì)（T）代表著序列變動(dòng)中的方向性趨勢(shì)，受根本性因素的作用和制約。就經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)而言，它反映基本經(jīng)濟(jì)力量的作用，如人口變動(dòng)、人們消費(fèi)習(xí)慣變化，通貨膨脹或重大技術(shù)進(jìn)步等對(duì)經(jīng)濟(jì)變量的影響。 季節(jié)變動(dòng)（S）是指一年以內(nèi)的，具有一定周期性且每年重復(fù)出現(xiàn)的變動(dòng)。如服裝銷售、汽油消費(fèi)、旅游服務(wù)等受季節(jié)的影響而形成的按季或月甚至周的規(guī)律性變化。 循環(huán)波動(dòng)（C）是一種圍繞長(zhǎng)期趨勢(shì)出現(xiàn)的具有一定起伏形態(tài)的周期波動(dòng)。循環(huán)周期時(shí)間間隔在一年以上。循環(huán)周期的持續(xù)時(shí)間和振幅的大小不一定相等，無(wú)一定方式，這使它很難預(yù)測(cè)。經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的循環(huán)變動(dòng)主要是由基本經(jīng)濟(jì)條件

5、、政府政策、人們消費(fèi)口味或習(xí)慣的變化所引起。 不規(guī)則波動(dòng)（I）是由上述三類以外的其他因素的作用而形成的變動(dòng)。其誘發(fā)因素可能是許多不可預(yù)見(jiàn)的隨機(jī)因素的綜合作用或一些突發(fā)事件，如戰(zhàn)爭(zhēng)、罷工、自然災(zāi)害、惡劣的氣候或政府立法、選舉等。這種變動(dòng)具有無(wú)規(guī)律性和不可預(yù)見(jiàn)性。二、時(shí)間序列模型二、時(shí)間序列模型 時(shí)間序列分析首先就是對(duì)這四種影響因素進(jìn)行分析，量度不同因素對(duì)時(shí)間序列影響的大小和規(guī)律，進(jìn)而了解一個(gè)時(shí)間序列是如何綜合這些因素的變動(dòng)而體現(xiàn)它本身的運(yùn)動(dòng)的。為了研究分析經(jīng)濟(jì)和管理問(wèn)題中出現(xiàn)的時(shí)間序列，經(jīng)濟(jì)學(xué)者按時(shí)間序列中四個(gè)主要因素間關(guān)系，建立了兩類時(shí)間序列模型。 加法模型是指時(shí)間序列的觀測(cè)值是趨勢(shì)值、季節(jié)變

6、動(dòng)、循環(huán)波動(dòng)和不規(guī)則波動(dòng)的和。按加法模型，一定時(shí)期的時(shí)間序列觀測(cè)值Y與同時(shí)期的四種分量的關(guān)系Y=T+S+C+I （9.1） 加法模型假定，四種因素變動(dòng)的原因各不相關(guān)，因而對(duì)Y的影響是相互獨(dú)立的，且具有與Y同樣的度量單位。 乘法模型是把時(shí)間序列的觀測(cè)值看作四種因素之乘積。 Y=TSCI （9.2） 其中，Y代表所觀測(cè)的時(shí)間序列，除趨勢(shì)分量使用與原時(shí)間序列觀測(cè)值Y相同的量度單位以外，其余各分量都用相對(duì)數(shù)或百分?jǐn)?shù)表示。 乘法模型又稱為經(jīng)典時(shí)間序列模型，它是一種描述性的模型，并滿足各分量對(duì)時(shí)間序列的影響是相互獨(dú)立的假設(shè)。可以很方便地將影響時(shí)間序列的四種因素分離出來(lái)，再進(jìn)一步研究時(shí)間序列各影響因素對(duì)時(shí)間

7、序列的單獨(dú)作用。 本章首先應(yīng)用乘法模型進(jìn)行對(duì)時(shí)間序列的構(gòu)成分析。 圖9-1為用經(jīng)典乘法模型描述的某貨物發(fā)貨批量及時(shí)間序列分量。 時(shí)間序列分析的目的不僅在于對(duì)時(shí)間序列的變動(dòng)有所了解和分析，而且還要能對(duì)未來(lái)長(zhǎng)期發(fā)展的前景進(jìn)行預(yù)測(cè)，這就是要進(jìn)行時(shí)間序列的趨勢(shì)分析和測(cè)定。 圖圖9-1 用經(jīng)典模型描述的某貨物發(fā)貨批量及時(shí)用經(jīng)典模型描述的某貨物發(fā)貨批量及時(shí)間序列分量間序列分量三、長(zhǎng)期發(fā)展趨勢(shì)分析三、長(zhǎng)期發(fā)展趨勢(shì)分析 （一）長(zhǎng)期趨勢(shì)的內(nèi)在與外在影響因素（一）長(zhǎng)期趨勢(shì)的內(nèi)在與外在影響因素 社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象隨著時(shí)間的推移所呈現(xiàn)的發(fā)展變化，是由于許多錯(cuò)綜復(fù)雜的因素共同作用的結(jié)果，從而形成四種變動(dòng)，即長(zhǎng)期趨勢(shì)、循環(huán)變動(dòng)

8、、季節(jié)變動(dòng)及不規(guī)劃變動(dòng)。 長(zhǎng)期趨勢(shì)是指客觀現(xiàn)象在某一個(gè)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期持續(xù)發(fā)展變化的趨勢(shì)。 例如：隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，生產(chǎn)量總是按一定速度增長(zhǎng)的趨勢(shì)；由于生產(chǎn)力水平的提高，人民生活水平隨之不斷提高的趨勢(shì)等。 長(zhǎng)期趨勢(shì)是由客觀事物內(nèi)在因素所決定的。內(nèi)在的必然因素對(duì)客觀事物的各個(gè)時(shí)期都是起著普遍的、長(zhǎng)期的、決定性的作用。并且使各個(gè)時(shí)期的發(fā)展水平沿著一個(gè)方向，即上升或下降持續(xù)發(fā)展，由此形成客觀事物在較長(zhǎng)時(shí)期比較穩(wěn)定發(fā)展變化線索和基本規(guī)律。 長(zhǎng)期趨勢(shì)一方面由內(nèi)在因素所決定，呈現(xiàn)穩(wěn)定的發(fā)展變化線索和規(guī)律；另一方面在具體的時(shí)間條件下，它又受到外在的偶然因素的影響，表現(xiàn)為上下起伏波動(dòng)，變化規(guī)律不明顯。正是由于這種

9、暫時(shí)的外在偶然因素的影響，在短時(shí)間內(nèi)難以認(rèn)識(shí)與掌握客觀事物發(fā)展的基本線索與規(guī)律，需要從相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)進(jìn)行系統(tǒng)觀察和分析。因?yàn)樵谳^長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)在的偶然因素影響會(huì)相互抵消。 研究長(zhǎng)期趨勢(shì)的主要目的首先在于測(cè)定與分析過(guò)去一段相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)客觀現(xiàn)象持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展的趨勢(shì)，從而認(rèn)識(shí)和掌握現(xiàn)象發(fā)展變化的規(guī)律；其次，通過(guò)分析現(xiàn)象發(fā)展的長(zhǎng)期趨勢(shì)，為統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)提供條件；最后，測(cè)定長(zhǎng)期趨勢(shì)可以消除原有時(shí)間數(shù)列中長(zhǎng)期趨勢(shì)的影響，更好地研究季節(jié)變動(dòng)等問(wèn)題。 （二）長(zhǎng)期趨勢(shì)的測(cè)定（二）長(zhǎng)期趨勢(shì)的測(cè)定 長(zhǎng)期趨勢(shì)是時(shí)間數(shù)列中最重要的動(dòng)態(tài)變動(dòng)因素。長(zhǎng)期趨勢(shì)測(cè)定的方法較多，最簡(jiǎn)單的是根據(jù)時(shí)間數(shù)列的圖形隨手確定一條直線。這種測(cè)定如果由經(jīng)驗(yàn)

10、豐富的人進(jìn)行操作，有時(shí)也能達(dá)到較好的效果，在此不加討論。下面主要介紹最常用的移動(dòng)平均法和數(shù)學(xué)修勻法。 1移動(dòng)平均法 由前面的分析可知，時(shí)間數(shù)列是由長(zhǎng)期趨勢(shì)、循環(huán)變動(dòng)、季節(jié)變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)交織運(yùn)動(dòng)的綜合結(jié)果，如要測(cè)定出長(zhǎng)期趨勢(shì)，就要將時(shí)間數(shù)列中的其他影響因素消除掉，以便使長(zhǎng)期趨勢(shì)分離出來(lái)。 移動(dòng)平均法是通過(guò)逐次移動(dòng)的方法分別計(jì)算一系列序時(shí)平均數(shù)得到一個(gè)新的時(shí)間數(shù)列，實(shí)現(xiàn)對(duì)原數(shù)列的修勻。其基本思路是：不規(guī)則變動(dòng)是由偶然的隨機(jī)因素所引起的。若從一個(gè)較長(zhǎng)時(shí)期盾，則各種偶然因素所形成的偏差會(huì)相互抵消。對(duì)于季節(jié)變動(dòng)與循環(huán)變動(dòng)，若采用其相應(yīng)的周期進(jìn)行移動(dòng)平均，則也可將它們剔除，使剩下的結(jié)果表現(xiàn)為長(zhǎng)期趨勢(shì)的影

11、響。 移動(dòng)平均法有簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法、加權(quán)移動(dòng)平均法、趨勢(shì)移動(dòng)平均法等等。現(xiàn)僅介紹簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法。移動(dòng)平均法根據(jù)所包含的項(xiàng)數(shù)又有奇數(shù)項(xiàng)移動(dòng)平均法，如三項(xiàng)移動(dòng)平均、五項(xiàng)移動(dòng)平均、七項(xiàng)移動(dòng)平均等。偶數(shù)項(xiàng)移動(dòng)平均，如四項(xiàng)移動(dòng)平均、八項(xiàng)移動(dòng)平均、十二項(xiàng)移動(dòng)平均等。 現(xiàn)以三項(xiàng)移動(dòng)平均為例說(shuō)明奇數(shù)項(xiàng)移動(dòng)平均法。方法是先將時(shí)間數(shù)列中的第一項(xiàng)至第三項(xiàng)的數(shù)值加總，求它們平均數(shù)，將此平均數(shù)作為該三項(xiàng)的中間一項(xiàng)（即數(shù)列中的第二項(xiàng)）的長(zhǎng)期趨勢(shì)值；隨后把第一項(xiàng)的數(shù)值去掉加上第四項(xiàng)的數(shù)值，求平均數(shù)，該平均數(shù)作為這三項(xiàng)中間一項(xiàng)的長(zhǎng)期趨勢(shì)值，依次類推，直至把原數(shù)列中的最后一項(xiàng)加入計(jì)算為止。 如果對(duì)時(shí)間數(shù)列進(jìn)行偶數(shù)項(xiàng)移動(dòng)平均法，如

12、四項(xiàng)移動(dòng)平均，則第一個(gè)平均數(shù)置于原數(shù)列的第二項(xiàng)與第三項(xiàng)之間，依此類推，得到一個(gè)新的數(shù)列；再采用二項(xiàng)移動(dòng)平均法，將該平均數(shù)數(shù)列中的第一、二項(xiàng)的數(shù)值再求一項(xiàng)平均值，對(duì)準(zhǔn)原數(shù)列中的第三項(xiàng)，依此下去，得到一個(gè)新的移動(dòng)平均數(shù)列。由此可見(jiàn)，采用偶數(shù)項(xiàng)移動(dòng)平均，需要兩次平均過(guò)程。 對(duì)于存在季節(jié)變動(dòng)與循環(huán)變動(dòng)的時(shí)間數(shù)列，為了消除季節(jié)變動(dòng)與循環(huán)變動(dòng)的影響，應(yīng)取相應(yīng)的時(shí)間長(zhǎng)度進(jìn)行移動(dòng)平均。如季節(jié)變動(dòng)一般取一年為時(shí)間長(zhǎng)度，即進(jìn)行12項(xiàng)移動(dòng)平均（或4項(xiàng)移動(dòng)平均）。 值得注意的是：通過(guò)移動(dòng)平均后數(shù)列縮短了，如五項(xiàng)移動(dòng)平均，前后各減少了兩次，從而會(huì)失掉一些信息。移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù)愈多，喪失的信息會(huì)愈多。因此，應(yīng)根據(jù)情況適當(dāng)選

13、擇移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù)，使移動(dòng)平均后的數(shù)列能較好地反映出現(xiàn)現(xiàn)象的發(fā)展趨勢(shì)。表9-1 五項(xiàng)移動(dòng)平均、四項(xiàng)移動(dòng)平均計(jì)算表 項(xiàng)數(shù) 數(shù)值 五項(xiàng)移動(dòng)平均 四項(xiàng)移動(dòng)平均 移動(dòng)平均數(shù)二項(xiàng)移動(dòng)平均 11521731316.015.2541616.216.2515.7551916.81616.12561618.417.7516.78572018.61918.37582118.618.519.591719.819.2520.175101920.619.7520.875112220.420.5122421.2513202數(shù)學(xué)修勻法 n數(shù)學(xué)修勻法又稱曲線配合法。它是根據(jù)時(shí)間數(shù)列中數(shù)據(jù)特點(diǎn)，擬合一條最佳的趨勢(shì)線來(lái)描述時(shí)間數(shù)列

14、也長(zhǎng)期趨勢(shì)。n然而，究竟應(yīng)擬合怎樣的趨勢(shì)線，是直線還是曲線？是怎樣形式的曲線？總之，應(yīng)由時(shí)間數(shù)列的數(shù)據(jù)來(lái)決定。 n方法有二：n一是根據(jù)散點(diǎn)圖（即將時(shí)間數(shù)列的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描繪的圖形）來(lái)判斷，即根據(jù)散點(diǎn)的走向來(lái)確定。n二是根據(jù)數(shù)據(jù)變化的特點(diǎn)來(lái)判斷。n一般采用下列標(biāo)準(zhǔn)：其一，如果時(shí)間數(shù)更中的數(shù)據(jù)的一級(jí)增長(zhǎng)量即逐期增長(zhǎng)量大體一致，宜擬合直線。其二，如果時(shí)間數(shù)列的二級(jí)增長(zhǎng)量即逐期增長(zhǎng)量數(shù)列的逐期增長(zhǎng)量大體一致，宜擬合拋物線方程。其三，如果時(shí)間數(shù)列的環(huán)比發(fā)展速度大體一致，宜擬合指數(shù)曲線。 下面分別介紹擬合直線、拋物線與指數(shù)曲線的方法。（1）直線方程 方程式為：yc=a+bt 作這最佳趨勢(shì)線必須滿足：

15、(9.4) )(9.3) )(2最小值ccyyyyn在上述兩個(gè)條件中，關(guān)鍵是條件（9.4）。只要（9.4）滿足，則（9.3）必然滿足。因此從=最小值出發(fā)，利用最小二乘法，確定直線方程中的兩個(gè)特定參數(shù)a與b。n因?yàn)?，將它代入?.4）得：最小值2)(btay 要使Q為最小，根據(jù)極值原理，必須令它對(duì)a與b的偏導(dǎo)數(shù)為0，于是： 2)( btayQ令00bQaQ0)(20)(2tbtaybQbtayaQ將它整理得下列標(biāo)準(zhǔn)方程： 21tbtattbnay t byatntytntyb22)(11 解之得：t的平均值為的平均值為其中：t t y y 例9-1 試根據(jù)表9-2資料，擬合直線趨勢(shì)方程。 bta

16、yc 直線方程： 22)(11tntytntyb將表中計(jì)算所得數(shù)據(jù)代入上式得： 83.20 11662955. 111314.6 2955. 166111506666 .3141111 .20302t byab所以，所求的直線趨勢(shì)方程為：tyc2955. 183.20表9-2 1990-2000年某產(chǎn)品的年度銷售量 年度時(shí)間t銷售量yt2Ty1990121.2121.21991224.2448.41992325.7977.11993427.216108.81994525.925129.51995628.736172.21996729.349205.11997829.964239.2199893

17、2.281289.819991034.210034520001135.8121393.866314.65062030.1 對(duì)于上述經(jīng)最小二乘法求得的標(biāo)準(zhǔn)方程，如果通過(guò)對(duì)t值作一定處理，從而實(shí)現(xiàn)t=0，那么標(biāo)準(zhǔn)方程就簡(jiǎn)化為如下形式： 顯然，這給計(jì)算帶來(lái)了很大的方便。 2tbtynay t的處理方法為：n當(dāng)時(shí)間數(shù)列為奇數(shù)項(xiàng)時(shí)，取中間的t值為0，也即把它作為原點(diǎn)。原點(diǎn)以前的各項(xiàng)視其離原點(diǎn)的遠(yuǎn)近而分別取-5、-4、-3、-2、-1。原點(diǎn)以后的各項(xiàng)也視其離原點(diǎn)的遠(yuǎn)近分別取5、4、3、2、1。n當(dāng)時(shí)間數(shù)列為偶數(shù)項(xiàng)時(shí)，則用位于中間兩項(xiàng)的中點(diǎn)作為原點(diǎn)，這時(shí)，與原點(diǎn)相鄰的前后兩項(xiàng)分別取-1、+1，然后按照3-+

18、3，-5、+5的取法分別取值。 在上例中，數(shù)列有11項(xiàng)，不奇數(shù)次項(xiàng)數(shù)列，如用簡(jiǎn)捷法，則確定中間的1995年作為原點(diǎn)，得表9-3。 表9-3 年度銷售量的運(yùn)算 年度時(shí)間t銷售量yt2Ty1990-521.225-1061991-424.216-96.81992-325.79-771993-227.24-54.41994-125.91-25.91995028.7001996129.3129.31997229.94239.21998332.2959.81999434.5161382000535.8251790314.8110142.5將表中計(jì)算結(jié)果代入標(biāo)準(zhǔn)方程得：所求直線趨勢(shì)方程為：ba1105 .

19、142118 .3142955. 16182.28 ba于是：tyc2955. 16182.28（2）拋物線方程（二次曲線） 方程式為： 與直線趨勢(shì)方程的參數(shù)估計(jì)一樣，從第二個(gè)基本條件出發(fā)，用最小二乘法，可得到以下標(biāo)準(zhǔn)方程： 4322322tctbtayttctbtatytctbnay 對(duì)于上述標(biāo)準(zhǔn)方程，仍按前面所討論的對(duì)t的處理方法使t=0，則上述方程簡(jiǎn)化為：42222tctayttbtytcnay【例9.2】設(shè)有某產(chǎn)品的銷售資料如表9-4，試擬合長(zhǎng)期趨勢(shì)方程。 年份時(shí)間t銷售量tyt2t2yt41992-47-2816112561993-39-27981811994-213-2645216

20、1995-116-161161199601800001997120201201199821632464161999313499117812000412481619225601244260654708 根據(jù)銷售量的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，宜擬合拋物線： 將上表計(jì)算得到的數(shù)據(jù)代入簡(jiǎn)化后的材料方程式中得： 2ctbtayccabca708606546042609124所以，所求的二次曲線方程式：56. 07 . 0508.17 cba解之得：256. 07 . 0508.17ttyc（3）指數(shù)曲線方程 方程式為： 先將指數(shù)曲線化成直線形式，即將上式兩邊取對(duì)數(shù)，則： btaylglglgabyc 設(shè) ，于是有： 對(duì)

21、于轉(zhuǎn)換后所得的直線方程，仍用前面介紹的最小二乘法求出待定參數(shù)A、B，然后求反對(duì)數(shù)而得a、b的值。lgbB lga,A ,lgyyBtAy 【例9.3】設(shè)有某產(chǎn)品產(chǎn)量資料如下表（見(jiàn)表9-5），試擬合長(zhǎng)期趨勢(shì)方程。 從表中可以看出，產(chǎn)量的環(huán)比發(fā)展速度大體一致，故擬合指數(shù)曲線yc=ab2轉(zhuǎn)化后的直線形式為yt=A+Bt根據(jù)最小二乘法 385. 0105508. 01025. 808. 0551013855525. 810175.51)(11222 tByAtntytny tB表9-5 指數(shù)曲線計(jì)算表 年度時(shí)間t 常量（萬(wàn)噸）y 環(huán)比發(fā)展速度t2tyt1991-424.216-96.81992-325

22、.79-771993-227.24-54.41994-125.91-25.91995028.7001996129.3129.31997229.94239.21998332.2959.81999434.5161382000535.8251790314.8110142.5yylg 得直線方程為： 將直線方程還原成指數(shù)曲線形式：所以長(zhǎng)期趨勢(shì)方程為： ty08. 0385. 020. 1lg43. 2lgBantibAantiatcy20. 143. 2四、季節(jié)變動(dòng)的測(cè)定與分析四、季節(jié)變動(dòng)的測(cè)定與分析 一些經(jīng)濟(jì)變量往往由于風(fēng)俗習(xí)慣、天時(shí)節(jié)氣候等因素的影響呈現(xiàn)季節(jié)性波動(dòng)。因此，研究不同變量的季節(jié)性變動(dòng)的

23、規(guī)律，摸清季節(jié)變動(dòng)的幅度，對(duì)于一年內(nèi)的生產(chǎn)計(jì)劃的制訂或銷量的預(yù)測(cè)起著十分重要的作用。此外，消除序列中季節(jié)因素的影響不僅是分析研究探討其他影響因素的作用的基礎(chǔ)，也是比較不同季節(jié)某些變量（如銷售量）的真正變化的前提。 在時(shí)間序列分析中季節(jié)變動(dòng)的概念是廣義的，它不僅僅指按季度的變化，而是泛指其變動(dòng)周期小于一年的周期性變動(dòng)，如以月、周或其他小于一年的時(shí)間間隔為周期、可在一年內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的變動(dòng)。季節(jié)變動(dòng)產(chǎn)生的原因很多，有自然界的規(guī)律性變化如氣候，也有經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中人們的消費(fèi)習(xí)慣、文化習(xí)俗、社會(huì)活動(dòng)特點(diǎn)等。 季節(jié)變動(dòng)分析的目的是分析季節(jié)變動(dòng)的規(guī)律及其對(duì)所研究事物的影響和作用。測(cè)定季節(jié)變動(dòng)就是要把季節(jié)變動(dòng)因素從序

24、列中分離出來(lái)分析，并測(cè)定其對(duì)序列影響的方向和強(qiáng)度，通常稱這個(gè)分離出來(lái)的季節(jié)影響為季節(jié)指數(shù)。要從一個(gè)時(shí)間序列中把季節(jié)性變動(dòng)分離出來(lái)并計(jì)算其季節(jié)指數(shù)，有許多方法，這里介紹兩種方法：按月（季）平均法和滑動(dòng)平均趨勢(shì)剔除法。 （一）平均法 按月（季）平均法是通過(guò)簡(jiǎn)單平均來(lái)計(jì)算季節(jié)指數(shù)的一種方法。它的具體作法是：（1）將原始序列中同季節(jié)數(shù)據(jù)相加后求平均數(shù)；（2）將各季或月的平均數(shù)除以該序列的總月（季）平均數(shù)，所得到的便是季節(jié)指數(shù)。其計(jì)算公式是 平均數(shù)季總月平均數(shù)季同月季節(jié)指數(shù))(S 【例9.4】表9-6為某商品1997秋季至2000夏各季度的銷售量，請(qǐng)用按月平均方法計(jì)算各月的季節(jié)指數(shù)。 此例所提供的時(shí)間序

25、列是分季度的數(shù)據(jù)，我們用按季平均方法計(jì)算季節(jié)指數(shù)。表9-6第三橫欄第二行概括了4個(gè)年度的同季平均數(shù)和5年中的16個(gè)季節(jié)的總季平均數(shù)，再應(yīng)用上畫公式求得的四個(gè)季節(jié)的季節(jié)指數(shù)，列在表9-6第三欄的最后一行中。 表9-6 季節(jié)指數(shù)計(jì)算 年度一季度二季度三季度四季度合計(jì)1997 131730199846141539199978162051200081019256220011612-7728合計(jì)35366219.25210季(總)平均8.75915.5146.67 (13.125)季節(jié)指數(shù)67.0068.57118.00146.67400 按月（季）平均法應(yīng)用的基本假設(shè)是原時(shí)間序列沒(méi)有明顯的長(zhǎng)期趨勢(shì)和循

26、環(huán)波動(dòng)，因而若干年的同期數(shù)據(jù)的平均可消除不規(guī)則波動(dòng)的影響，當(dāng)平均的期間與循環(huán)波動(dòng)周期一致時(shí)也可消除循環(huán)波動(dòng)因素的作用。 但是，現(xiàn)實(shí)中許多數(shù)據(jù)序列存在明顯的長(zhǎng)期趨勢(shì)和循環(huán)波動(dòng)，它們很難通過(guò)平均法加以清除。因此，對(duì)有明顯長(zhǎng)期趨勢(shì)的數(shù)據(jù)序列，應(yīng)用按月或季平均法計(jì)算的季節(jié)指數(shù)不夠準(zhǔn)確，需采用其他測(cè)定季節(jié)趨勢(shì)的方法，如滑動(dòng)平均趨勢(shì)剔除法。 （二）滑動(dòng)平均趨勢(shì)剔除法 滑動(dòng)平均趨勢(shì)剔除法又稱滑動(dòng)平均比率法，它假定時(shí)間序列各因素間存在乘法關(guān)系，且各年度的不規(guī)則波動(dòng)彼此獨(dú)立。這樣以一年12個(gè)月或4季度為平滑長(zhǎng)度的滑動(dòng)平均就可以消除季節(jié)變動(dòng)（S）和不規(guī)則波動(dòng)（I）的影響，使滑動(dòng)平均數(shù)列成為只包含長(zhǎng)期趨勢(shì)（T）和循

27、環(huán)波動(dòng)（C）兩方面的因素。 再將原時(shí)間序列值Y除以TC，便可獲得只包含季節(jié)變動(dòng)和不規(guī)則波動(dòng)的新序列SI，又稱為季節(jié)變動(dòng)與不規(guī)則波動(dòng)相對(duì)數(shù)；然后再通過(guò)平均去掉不規(guī)則波動(dòng)I而將季節(jié)變動(dòng)分量分離出來(lái)。 利用滑動(dòng)平均趨勢(shì)剔除法計(jì)算季節(jié)指數(shù)的步驟可歸納如下：（1）對(duì)原序列數(shù)據(jù)進(jìn)行12月或4季度的滑動(dòng)平均得出TC；（2）用TC除Y，得出 ；（3）通過(guò)平均方法從SI中消除I的影響得出S的估計(jì)值。 CTYIS 下面以例題說(shuō)明應(yīng)用滑動(dòng)平均趨勢(shì)消除法求季節(jié)指數(shù)的具體作法。 【例9.5】某種商品10年來(lái)各季度銷售量將表9-7的第一列，試用滑動(dòng)平均趨勢(shì)消除法求季節(jié)指數(shù)。n計(jì)算季節(jié)指數(shù)第一步的過(guò)程和結(jié)果分別表示在表9-

28、7的第二、三列，第二步的計(jì)算及結(jié)果反映在第四列。表9-7 滑動(dòng)平均趨勢(shì)剔除法計(jì)算季節(jié)指數(shù) 年一季 （1）實(shí)際銷售量Y （2）4季度滑動(dòng)平均 （3）2季度中心化滑動(dòng) TC （4）=(1)/(3) 滑動(dòng)平均比率 SI 1-1257-1-2288-1-3263279.75284.092.61-4311288.25298.2104.32-1291308.25318.091.52-2368327.75339.9108.32-3341352.00355.595.92-4408359.00373.6109.23-1319388.25386.282.63-2485384.25380.9127.33-33253

29、77.50375.886.53-4381374.00358.9106.24-1305343.75345.188.44-2364346.50346.8105.04-3336347.00350.495.94-4383353.75362.6105.65-1332371.50380.887.25-2435390.00398.2109.25-3410406.50411.099.85-4449415.50426.1105.46-1368436.75437.484.16-2520438.00437.4118.96-3415436.75432.296.06-4444427.75420.8105.57-1332

30、413.75412.580.57-2464411.25414.2112.07-3405417.25419.696.57-4468422.00419.0111.78-1351416.00416.884.28-2440417.50442.599.48-3411467.50468.087.88-4668468.50476.5140.29-1355484.50489.272.69-2504494.00476.4105.89-3449458.75465.496.59-4527472.00470.2112.110-1408468.50504.880.810-2490541.25556.588.110-37

31、40571.75-10-4649- 計(jì)算季節(jié)指數(shù)的最后步驟是：在滑動(dòng)平均比率或相對(duì)數(shù)（上表中第4列數(shù)據(jù)）的基礎(chǔ)上應(yīng)用平均法求出季節(jié)指數(shù)，其計(jì)算過(guò)程和結(jié)果見(jiàn)表9-8。表9-8 季節(jié)性指數(shù)的計(jì)算年季度一季度二季度三季度四季度第1年-92.6104.3第2年91.5108.395.9109.2第3年82.6127.386.5106.2第4年88.4105.095.9105.6第5年87.2109.299.8105.4第6年84.1118.996.0105.5第7年80.5112.096.5111.7第8年84.299.487.8140.2第9年72.6105.896.5112.1第10年80.888

32、.1-平均數(shù)83.5108.294.1111.1平均數(shù)總和369.9季節(jié)指數(shù)84.2109.094.8112.0總計(jì)400.0（三）季節(jié)影響的調(diào)整 在許多管理工作的決策如制訂失業(yè)社會(huì)保障計(jì)劃時(shí)，需要確定真正的失業(yè)狀況，即除開(kāi)季節(jié)影響的失業(yè)數(shù)量分布序列及發(fā)展趨勢(shì)。這就要求季節(jié)影響進(jìn)行調(diào)整。測(cè)定了季節(jié)變動(dòng)之后，可以將它們從原時(shí)間序列中剔除而得到的調(diào)整的時(shí)間序列。 用乘法模型，將原序列除以相應(yīng)的季節(jié)指數(shù)，便得到調(diào)整后的時(shí)間序列 它反映在沒(méi)有季節(jié)因素影響的情況下，時(shí)間序列的變化。 ）（ 5 . 9 ICTSISCTSY 表9-9描述了某產(chǎn)品1999-2001年每月的銷售額及應(yīng)用滑動(dòng)平均趨勢(shì)剔除法所求得

33、的季節(jié)指數(shù)。應(yīng)用式（9.5）求得相應(yīng)的除去了季節(jié)影響的銷售額新序列在第六列。根據(jù)第六列不含季節(jié)影響的序列進(jìn)行趨勢(shì)擬合得到的趨勢(shì)值見(jiàn)第七列，用它來(lái)作的趨勢(shì)分析已經(jīng)剔除了季節(jié)因素的作用。 見(jiàn)表9-9。 表9-9 利用滑動(dòng)平均趨勢(shì)剔除法對(duì)某產(chǎn)品用銷售量的歷史時(shí)間序列數(shù)據(jù)的分析 月份 yiTC中心滑動(dòng)平均 SI=Y1/(TC)S Di=Y1/S=TCIT* CI 11890.493383.37389.652192.1022290.596384.23399.141237.8932490.595418.49408.630243.1342890.680425418.119284.3252600.564460

34、.99427.608241.1764310.986437.12437.097430.987660450.11.4661.467449.9446.586655.148777455.21.7071.693458.95456.075772.139915460.91.9851.990459.79465.564926.4710613467.21.3121.307469.01475.053620.8911485472.81.0261.029471.33489.542498.5912277480.20.5770.600461.67494.031296.4213244492.50.4950.493494.97

35、503.520248.2414296507.30.5830.596496.64513.009305.7515319524.80.6080.595536.13522.498310.8916370540.90.6840.680544.12531.987361.7517313551.90.5670.564554.97541.476305.3918556560.90.9910.986563.89550.965543.2519831567.11.4651.467566.46560.454822.1920960572.71.6761.693567.04569.943964.91211152578.41.9

36、921.990578.89579.4321153.0722759583.71.3001.307580.72588.921769.7223607589.31.0301.209589.89598.410615.7624371596.20.6220.600618.33607.899364.7425298607.70.4900.493604.46617.388304.3726378623.00.6070.596634.23626.877373.6227373640.80.5820.595626.89636.366378.6428443656.70.6570.680651.47645.855439.18

37、29374667.30.5610.564663.12566.344369.6130660674.70.9780.986669.37664.833655.533110041.467684.39674.322989.233211531.693681.04683.8111157.693313881.990697.49693.3001379.67349041.307691.66702.789981.55357151.029694.85712.278732.93364410.600715.00721.707433.06 * T=Y的線性回歸估計(jì)值，應(yīng)用去除了季節(jié)影響的數(shù)據(jù)所擬合的回歸方程如下： tY48

38、9. 9163.380五、循環(huán)波動(dòng)的測(cè)定與分析五、循環(huán)波動(dòng)的測(cè)定與分析 許多工程和物理學(xué)中的時(shí)間序列呈現(xiàn)有規(guī)律性的周期性變動(dòng)成分，可用數(shù)學(xué)上的周期函數(shù)來(lái)描述。但是，在管理和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)時(shí)間序列中的循環(huán)波動(dòng)是對(duì)序列持續(xù)時(shí)間大于一年的相對(duì)膨脹和收縮的交替活動(dòng)的描述，是由周期地變化的幅度及變化的時(shí)間所組成的。 其循環(huán)波動(dòng)從上一個(gè)循環(huán)到下一個(gè)循環(huán)的持續(xù)時(shí)間和幅度變化很大，不能用某個(gè)數(shù)學(xué)上的周期函數(shù)來(lái)表達(dá)。另外，它有時(shí)又與不規(guī)則變動(dòng)混在一起，很難單獨(dú)被測(cè)定。一般采用剩余法將趨勢(shì)分量、季節(jié)分量和不規(guī)則分量從原時(shí)間序列中分離出來(lái)之后，就得到該時(shí)間的循環(huán)分量。 用剩余法測(cè)定循環(huán)波動(dòng)的步驟如下：（1）求出季節(jié)變動(dòng)指

39、數(shù)S；（2）對(duì)原時(shí)間序列進(jìn)行季節(jié)調(diào)整以季消除季節(jié)因素的影響，計(jì)算公式見(jiàn)式（9.5）；（3）應(yīng)用上一步結(jié)果，計(jì)算不含季節(jié)因素的長(zhǎng)期趨勢(shì)T，并進(jìn)一步消除長(zhǎng)期趨勢(shì)的影響，得到循環(huán)一不規(guī)則趨勢(shì)百分?jǐn)?shù)CI，其計(jì)算公式為（4）用滑動(dòng)平均法對(duì)時(shí)間序列CI進(jìn)行滑動(dòng)平均，消除不規(guī)則波動(dòng)的影響后得到循環(huán)波動(dòng)分量C，通常用百分?jǐn)?shù)表示。ICTICT 運(yùn)用剩余法測(cè)定循環(huán)波動(dòng)的實(shí)例見(jiàn)表9-10。表9-10概括了某廠近4年來(lái)各季度冷飲銷售量序列及趨勢(shì)回歸值、季節(jié)調(diào)整后的趨勢(shì)值，運(yùn)用三步滑動(dòng)平均去掉不規(guī)則波動(dòng)I，便得到循環(huán)波動(dòng)相對(duì)數(shù)。 圖9-2是這個(gè)序列循環(huán)波動(dòng)的散點(diǎn)圖。 表9-10 循環(huán)一不規(guī)則趨勢(shì)百分?jǐn)?shù)的估計(jì) 年一季ty

40、tTt=22.61+0.59tSTS CI=Y/(YS)3-滑動(dòng)平均 C I=CI1-111023.200.4610.670.941-223123.791.2229.021.071.021.051-334324.381.6840.961.051.041.011-441624.970.6415.981.001.001.002-151125.560.4611.760.940.990.952-263326.151.2231.901.030.991.042-374526.741.6844.921.001.001.002-481727.330.6417.490.970.990.983-191327.92

41、0.4612.841.010.991511.2234.780.980.990.993-3114829.101.6848.890.980.990.993-4121926.690.6419.001.001.020.984-1133730.280.4613.931.081.021871.2237.660.981.011461.6852.850.960.990.974-4162132.050.6420.511.029.3 時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型 時(shí)間序列分析的主要目的就是根據(jù)歷史資料的發(fā)展與變化規(guī)律的伸延進(jìn)行外推預(yù)測(cè)。但是由于時(shí)間

42、序列中存在著隨機(jī)影響因素，因此僅僅把時(shí)間序列進(jìn)行分解，然后根據(jù)各影響因素的趨勢(shì)和周期的延伸去預(yù)測(cè)未來(lái)，是十分不夠的。必須考慮各種隨機(jī)因素的影響，如市場(chǎng)前景、購(gòu)買者行為的變化和新產(chǎn)品的研制等。而時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型就是基本這種思考，在時(shí)間序列修勻的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。一、自回歸預(yù)測(cè)模型一、自回歸預(yù)測(cè)模型 企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)狀態(tài)常常具有時(shí)間上的延續(xù)性，即今年的水平與去年的水平有密切關(guān)系，而去年又與前年有密切的關(guān)系。因此，我們可把反映企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)狀況的某一方面的時(shí)間序列數(shù)據(jù)作為因變量，而把該序列后推一期或若干期形成的一個(gè)新的時(shí)間序列作為自變量進(jìn)行回歸分析，然后用以預(yù)測(cè)未來(lái)，這樣的預(yù)測(cè)模型就稱作自回歸預(yù)測(cè)模型（

43、簡(jiǎn)稱MA模型）。（一）自回歸預(yù)測(cè)模型的定義 一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)間序列中的長(zhǎng)期趨勢(shì)和季節(jié)因素被剔除后，剩下的部分就很明顯地呈現(xiàn)出忽強(qiáng)忽弱地循環(huán)波動(dòng)的規(guī)律。尤其是長(zhǎng)期趨勢(shì)表現(xiàn)為簡(jiǎn)單線性趨勢(shì)且被從時(shí)間序列中剔除后，這種現(xiàn)象更為顯著。 假定(Xt)是一個(gè)已經(jīng)剔除了長(zhǎng)期趨勢(shì)和季節(jié)因素的時(shí)間序列。 (Xt)并不一定是完全隨機(jī)，但要求有規(guī)律性的變動(dòng)。這樣所得的時(shí)間序列，稱為平穩(wěn)時(shí)間序列。嚴(yán)格講，平穩(wěn)隨機(jī)序列是隨機(jī)變量Xt (t=1,2,T)的序列。不要求相互獨(dú)立，但要求有密切的自相關(guān)關(guān)系，即：（1）概率分布函數(shù)不隨時(shí)間的遷移而變化。（2）平穩(wěn)過(guò)程的期望值、方差、協(xié)方差是不依賴于時(shí)間的常數(shù)。),(),(2121z

44、tzztXXXPXXXP)()()()()()(ztCODtCODzttzttXXXEXVXEXE 如果時(shí)間序列滿足上述規(guī)定，那么可定義自回歸預(yù)測(cè)模型為： 其中： 當(dāng)tS時(shí)， 當(dāng)z 0時(shí)，tptpttiUXbXbXbbX221100)UE(U ,VU , 0st2ttEU0)(zttXUE（二）自回歸預(yù)測(cè)模型的相關(guān)分析 自回歸模型實(shí)際上是把原時(shí)間序列作因變量，把原序推前一期或幾期形成的時(shí)間序列作為自變量建立起來(lái)的模型。但是作為自變量的時(shí)間序列必同原序列具有較為密切的相關(guān)關(guān)系，如果與原時(shí)間序列沒(méi)有相關(guān)關(guān)系或者相關(guān)關(guān)系不密切，那么由此建立起來(lái)的模型就沒(méi)有多大意義。因此在配合模型之前，還須對(duì)原序列同

45、各階滯后序列作自相關(guān)系分析，以便確定自回歸的階數(shù)。 如果X1，X2，Xt是某一時(shí)間序列中n個(gè)連續(xù)時(shí)期的數(shù)值，那么被k個(gè)時(shí)期所隔開(kāi)的數(shù)值之間的自相關(guān)系數(shù)被定義為：)7 . 9( ), 2 , 1()()()()(11221nkXXXXXXXXrkntkntktktttkntktktttk11kr 式中，n為樣本容量，k為滯后期，Xt為樣本數(shù)據(jù)平均值，Xt-k為滯后k期的樣本平均值，k為滯后期。 自相系數(shù)，表示時(shí)間序列滯后期的兩項(xiàng)之間的相關(guān)程度。 【例9.6】某企業(yè)連續(xù)30年的利潤(rùn)總額的序列如表9-11。 表9-11 時(shí)間序列的觀察值 單位：萬(wàn)元 t196819691970197119721973

46、197419751976197719781979Xt706969707170696864657278t19801981198219831984198519861987198819891990Xt7575757075757478868275t19911992199319941995199619971998199920002001Xt7372737277838181858584 按照資料可編制原序列的滯后一期、二期、三期、四期的自相關(guān)序列Xt-1、 Xt-2 、 Xt-3 、 Xt-4 如表9-12： 對(duì)于公式（9.7），現(xiàn)設(shè)：）（, 3 , 2 11111kXXnXXLLkttkttkk), 4

47、 , 3 , 1( 12222kXXnXXLLkttkttkk22)(1ktktkkXnXL)(11111ttttttXXnXXLL表9-12 自相關(guān)序列表 單位：萬(wàn)元 序號(hào)t(年)XtXt-1Xt-2Xt-3Xt-41197271(70)(69)(69)(70)219737071(70)(69)(69)31974697071(70)(69)4197568697071(70)519766468697071619776564686970719787265646869819797872656468919807578726564101981757578726511198275757578721219

48、837075757578131984757075757514198575757075751519867475757075161987787475757017198886787475751819898286787475191990758286787420199173758286782119927273758286221993737273758223199472737273752419957772737273251996837772737226199781837772732719988181837772281999858181837729200085858581833020018485858581

49、222222)(11 )(1tttkttkttkktttttttXnXLttXXnXXLLXXnXXLL(9.8) )1,2,3,(k kkttktkLLLr那么自相關(guān)系數(shù)與簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)一樣，取值范圍為：-1rk1。 |rk|越接近1，說(shuō)明序列自相關(guān)程度越高。按照表9-12可計(jì)算 ：k=1時(shí)，K=2時(shí)， （萬(wàn)元） 43.789)22632249(3011704391tL（萬(wàn)元） 97.960)2249(30116956211L（萬(wàn)元） 37.887)2233(301167097222L（萬(wàn)元） 37.505)22632233(3011689482tLK=3時(shí)，K=4時(shí)，（萬(wàn)元） 7 .796)

50、2217(301164633233L（萬(wàn)元） 3 .356)22632217(3011675923tL（萬(wàn)元） 47.757)2217(301162972244L（萬(wàn)元） 07.244)22632206(3011666504tL（萬(wàn)元） 37.1011)2263(3011717172ttL代入公式（9.8）得：2789. 037.101147.75707.2443969. 037.10117 .7963 .3565335. 037.101137.88737.5058008. 037.101197.96043.7894321rrrr 把上述結(jié)果繪制成圖9-3。 由圖9-3可見(jiàn)，r1、r2的值均在

51、0.5以上，面r3、r4較小，可以認(rèn)為原序列Xt與滯后一期序列Xt-1和滯后二期序列Xt-2有較強(qiáng)的關(guān)系。 因此，可由Xt與Xt-1 、 Xt-2建立二階自回歸模型： 23121tttXbXbbX（三）參數(shù)估計(jì) 預(yù)測(cè)模型的參數(shù)估計(jì)主要是利用有關(guān)的樣本數(shù)據(jù)，對(duì)已確定預(yù)測(cè)模型的參數(shù)作出估計(jì)，對(duì)于自回歸模型而言，就是要估計(jì)出各個(gè)自回歸系數(shù)bi，(i=1,2,p)。 回歸系數(shù)可由最小平方法來(lái)估計(jì)。其估計(jì)過(guò)程表述如下： 自回歸方程為： ptptttXbXbXbbX22110 式中， 為常數(shù)， 為對(duì) 的回歸系數(shù)，如果樣本容量為n，則選取這樣的 ，使殘差平方和 達(dá)到最小 。obpbbb 21、ptttXXX

52、 21、pbbb 10、QbbbbXntpt21tp,- tt2,- t2t1,- t10)XX -X-(根據(jù)多元微分學(xué)， 滿足：pbbb 10、nttpttptptttpnttttptptttnttptptttXXbXbbXbQXXbXbbXbQXbXbbXbQ1, 1101, 1, 11011, 11000)( 0)(0)(將上述方程組化簡(jiǎn)，可得： ptppppptpptppLbLbLbLLbLbLbLLbLbLbL22112222212111212111ptkktktXbXb10 以例9.6提供的資料，根據(jù)自相關(guān)分析建立二階自回歸方程，該方程的回歸系數(shù)的估計(jì)值按正規(guī)方程求解可得： 28.

53、 003. 174.18210bbb則自回歸擬合方程為：根據(jù)上述模型可計(jì)算不同t時(shí)的 值（見(jiàn)表9-13）。2128. 003. 174.18tttXXXtX表9-13 二階自回歸擬合值及其誤差19727171.52-5.2019737072.27-2.2719746970.96-1.9619756870.21-2.2119766469.46-5.4619776565.62-0.6219787267.774.3219797874.703.3019807578.92-3.9219817574.150.85tXtttXXetXt19827574.99-0.0119837074.99-4.991984

54、7569.845.1619857576.39-1.3919867474.99-9.0919877873.964.0419888678.367.6419898285.48-3.4819907579.12-4.1219917373.03-0.0319927272.93-0.9319937372.46-0.5419947273.77-1.7719957772.464.5419968377.895.1119978182.621.6219988178.932.0719998579.492.5120008582.491.5120018482.491.51-5.05 上述計(jì)算結(jié)果可用圖形表示（見(jiàn)圖9-4）。

55、 圖9-4顯示出極為明顯的滯后一期影響。 就是說(shuō)預(yù)測(cè)值同前一期的觀察值基本上是一致的，這也恰恰反映了自回歸預(yù)測(cè)模型的特點(diǎn)。（四）模型檢驗(yàn) 1擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 為了反映回歸效果的有效性，即個(gè)滯后序列作為一個(gè)整體與原序列之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，還需要通過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。如果檢驗(yàn)的結(jié)果是否定的，那么求得的回歸模型也是無(wú)效的，不能用于預(yù)測(cè)。擬合優(yōu)度R2由下式計(jì)算：按表9-13，而 22222)()(1)()(ttttttttXXXXXXXXR5025.25)05. 5()(22ttXX37.1011)(2ttttLXX 所以 當(dāng) ， 時(shí)，查相關(guān)系數(shù)臨界值表得： ，所以自回歸模型線性關(guān)系顯著，模型可以用于預(yù)

56、測(cè)。9748. 037.10115025.25120R9873. 00R05. 027330mn446. 0RRR 0 2偏回歸系數(shù)檢驗(yàn) 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)僅僅反映了若干個(gè)滯后序列作為自變量整體同因變量（原序列）的相關(guān)關(guān)系，還不能說(shuō)明每個(gè)自變量序列同因變量序列之間是否存在線性關(guān)系。所以還要進(jìn)行回歸系數(shù)檢驗(yàn)。如果某個(gè)自變量序列經(jīng)檢驗(yàn)與原序列不存在顯著的線性關(guān)關(guān)系，則要被刪去，重新建立模型。 回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)一般采用t檢驗(yàn)。各回歸系數(shù)的t值可由下式計(jì)算： 式中， 為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差，kkXkbCSbtkmnXXSttX2)(XS把表9-13，資料代入： 其中9719. 0330)05. 5(2XS002

57、75. 068.32212537.887)43.728(37.88797.96037.887221222112211LLLLC43.72822492233301168129 )(301212112ttttXXXXL所以 又則21.2000275. 09719. 003. 11111CSbtXb00298. 068.32212597.96021222111122LLLLC28. 505306. 028. 000298. 09719. 028. 02222CSbtXb 當(dāng) ， 時(shí)，查t相分分表得 由于 所以，Xt-1、 Xt-1分別與Xt的線性相關(guān)顯著。052. 221.202/1ttb052.

58、22t05. 027 mn052. 228. 52/2ttb（五）預(yù)測(cè) 1點(diǎn)估計(jì) 由于 ，當(dāng) 時(shí)：本例中，如果t=2001，則t=2002，所以：22110tttXbXbbX1 tT1210ttTXbXbbX)(46.818528. 08403. 174.18199021991101992萬(wàn)元XbXbbX2區(qū)間估計(jì) 由于 ，當(dāng) ， 時(shí) ， ，則預(yù)測(cè)區(qū)間為：（注：X0=X1991=84），因而9719. 0XS052. 22t05. 027 mn2202/)()(11tttXaTXXXXnStX（注： ）0973. 237.1011)43.7584(30119719. 0052. 2)()(11

59、22202/tttXaXXXXnSt37.1011)-(X ,43.753022632ttttttLXnXX 預(yù)測(cè)區(qū)間為：81.462.0973，即（79.3627萬(wàn)元，83.55738萬(wàn)元）。 該企業(yè)按二階自回預(yù)測(cè)模型，在95%的概率保證下，2002年的利潤(rùn)總額可達(dá)79.3627萬(wàn)元至83.557萬(wàn)元之間。二、指數(shù)修勻預(yù)測(cè)模型二、指數(shù)修勻預(yù)測(cè)模型 長(zhǎng)期趨勢(shì)的修勻主要作用是剔除“隨機(jī)”波動(dòng)的影響。移動(dòng)平均修勻只利用時(shí)間序列中一部分?jǐn)?shù)據(jù)（步長(zhǎng)n個(gè)數(shù)據(jù)），而數(shù)據(jù)平滑修勻則充分利用過(guò)去所有的歷史數(shù)據(jù)。正由于指數(shù)平滑修勻有這樣的特點(diǎn)，R. G. Brown將其發(fā)展為預(yù)測(cè)模型，即所謂多重指數(shù)平滑修勻與預(yù)

60、測(cè)模型。n設(shè)時(shí)間序列的觀察值X1,X2,XT，則可據(jù)其預(yù)測(cè)T+Z期的數(shù)值。n如果時(shí)間序列發(fā)展較穩(wěn)定，一般可采取一次指數(shù)平?jīng)]模型預(yù)測(cè)。一次指數(shù)平滑修勻的原理我們已在本章第二節(jié)有過(guò)介紹，其預(yù)測(cè)公式為： )()1()1()1(1ttttXXXX 上式表明， 的預(yù)測(cè)值 等于 Xt 的平滑值 加上 t 時(shí)刻的預(yù)測(cè)誤差（ ）的倍。如果 t 時(shí)刻的預(yù)測(cè)值過(guò)低，則 ， t1時(shí)刻的預(yù)測(cè)值增大；反之則減小。可見(jiàn)這種方法具有“自適應(yīng)”的功能。它通過(guò)一定的修正措施自動(dòng)適應(yīng)即期的預(yù)測(cè)誤差，以縮小下一期的預(yù)測(cè)誤差，并通過(guò)來(lái)調(diào)整修正幅度。 )1(1tX)1(1tX)1(ttXX 0)()1(ttXX)1(1tXn如果時(shí)間序