電動力學(xué)高教第三(1)ppt課件

1、l難點難點l 矢勢的展開和電偶極輻射公式的導(dǎo)矢勢的展開和電偶極輻射公式的導(dǎo)出出1 1、電磁場的矢勢和標(biāo)勢的引入、規(guī)范不變性、電磁場的矢勢和標(biāo)勢的引入、規(guī)范不變性 2 2、達朗貝爾方程，推遲勢及其物理意義、達朗貝爾方程，推遲勢及其物理意義3 3、矢勢的展開和電偶極輻射、矢勢的展開和電偶極輻射l 主要內(nèi)容主要內(nèi)容第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射 變化的電荷、電流激發(fā)的電磁場隨時間變化。電磁場以變化的電荷、電流激發(fā)的電磁場隨時間變化。電磁場以波的方式脫離場源向外運動，這被稱為電磁波的輻射。波的方式脫離場源向外運動，這被稱為電磁波的輻射。 本章主要研討給定高頻交變電流產(chǎn)生的電磁輻射。本章主要研討

2、給定高頻交變電流產(chǎn)生的電磁輻射。一一. . 電磁輻射電磁輻射 與靜電場引入電勢、靜磁場引入標(biāo)勢類似，為了便于求與靜電場引入電勢、靜磁場引入標(biāo)勢類似，為了便于求解普適的場方程，在變化情況下依然可以引入勢的概念。解普適的場方程，在變化情況下依然可以引入勢的概念。但是，由于電場的旋度不為零，這里引入的矢勢、標(biāo)勢與但是，由于電場的旋度不為零，這里引入的矢勢、標(biāo)勢與靜場情況有很大的不同。靜場情況有很大的不同。二二. . 引入矢勢和標(biāo)勢求解電磁輻射問題引入矢勢和標(biāo)勢求解電磁輻射問題 變化電荷、電流分布激發(fā)電磁場，電磁場又反過來影變化電荷、電流分布激發(fā)電磁場，電磁場又反過來影響電荷、電流分布?？臻g電磁場的分

3、布就是在這一對矛響電荷、電流分布?？臻g電磁場的分布就是在這一對矛盾相互制約下構(gòu)成的。變化的電荷電流分布普通具有邊盾相互制約下構(gòu)成的。變化的電荷電流分布普通具有邊境，因此在求解時要思索它們的邊境條件和邊值關(guān)系。境，因此在求解時要思索它們的邊境條件和邊值關(guān)系。但是，普通情況下這種的邊境很復(fù)雜，使得電荷、電流但是，普通情況下這種的邊境很復(fù)雜，使得電荷、電流分布無法確定，因此使得求解問題無法進展。在本章我分布無法確定，因此使得求解問題無法進展。在本章我們僅討論電荷、電流分布為知的輻射問題。們僅討論電荷、電流分布為知的輻射問題。三輻射問題的本質(zhì)也是邊值問題三輻射問題的本質(zhì)也是邊值問題 本節(jié)從電磁場滿足的

4、麥克斯韋方程出發(fā)引入矢勢、標(biāo)勢，然后討論電磁輻射問題僅討論均勻介質(zhì)。 由于 ，與靜磁場一樣，可以引入矢量勢函數(shù)矢勢 ，使得0 BAAB一用勢描畫電磁場一用勢描畫電磁場1 1矢勢的引入矢勢的引入留意：留意： 與靜磁場不同，引入的矢勢與時間有關(guān)；與靜磁場不同，引入的矢勢與時間有關(guān)； 意義與靜磁場情況一樣，即：意義與靜磁場情況一樣，即：LSSdBldA 在變化電磁場情況，在變化電磁場情況， ，不能象靜電場那樣，不能象靜電場那樣直接引入標(biāo)量勢函數(shù)。直接引入標(biāo)量勢函數(shù)。0tBE2 2標(biāo)勢的引入標(biāo)勢的引入ABtAAtE0)(tAEtAE引入標(biāo)量勢函數(shù)引入標(biāo)量勢函數(shù)tAE與靜場一樣，對于給定的電磁場其矢勢和

5、標(biāo)勢不獨一，與靜場一樣，對于給定的電磁場其矢勢和標(biāo)勢不獨一，可以有不同的矢勢和標(biāo)勢描畫同一個電磁場。可以有不同的矢勢和標(biāo)勢描畫同一個電磁場。1 1矢勢和標(biāo)勢的不獨一性矢勢和標(biāo)勢的不獨一性規(guī)范：給定一組規(guī)范：給定一組 稱為一種規(guī)范；稱為一種規(guī)范；),(A2 2規(guī)范變換規(guī)范變換兩種規(guī)范間變換關(guān)系：兩種規(guī)范間變換關(guān)系：AAt 規(guī)范變換：不同規(guī)范之間滿足的變換關(guān)系稱為規(guī)范變換。規(guī)范變換：不同規(guī)范之間滿足的變換關(guān)系稱為規(guī)范變換。 和和 對應(yīng)同一個電磁場對應(yīng)同一個電磁場),(A) ,(AEtAAtttA)()(AAt BAAA)(當(dāng)勢作規(guī)范變換時，場量當(dāng)勢作規(guī)范變換時，場量E E、B B均堅持不變，即場具

6、有均堅持不變，即場具有“規(guī)規(guī)范不變性。場量范不變性。場量E E、B B不變意味著電磁場中一切物理量不變意味著電磁場中一切物理量和物理規(guī)律都堅持不變，也就是說，和物理規(guī)律都堅持不變，也就是說，“客觀規(guī)律與勢的特客觀規(guī)律與勢的特殊規(guī)范選擇無關(guān)。殊規(guī)范選擇無關(guān)。經(jīng)典電動力學(xué)中，勢是作為描畫電磁場的一種方法而引入經(jīng)典電動力學(xué)中，勢是作為描畫電磁場的一種方法而引入的，規(guī)范不變性是對這種描畫方法所加的要求，而在量子的，規(guī)范不變性是對這種描畫方法所加的要求，而在量子力學(xué)中，規(guī)范不變性是一條重要的原理，因此勢的位置遠力學(xué)中，規(guī)范不變性是一條重要的原理，因此勢的位置遠比在經(jīng)典電動力學(xué)中重要。比在經(jīng)典電動力學(xué)中重

7、要。不僅在電磁相互作用中，而且在其它根本相互作用中，規(guī)不僅在電磁相互作用中，而且在其它根本相互作用中，規(guī)范不變性是決議相互作用方式的一條根本原理。傳送這些范不變性是決議相互作用方式的一條根本原理。傳送這些相互作用的場稱為相互作用的場稱為“規(guī)范場，電磁場是人們熟知的一種規(guī)范場，電磁場是人們熟知的一種較為簡單的規(guī)范場。較為簡單的規(guī)范場。 為了減少勢函數(shù)選取的恣意性，對為了減少勢函數(shù)選取的恣意性，對 的取值加以限制，的取值加以限制，作為確定勢的輔助條件稱為規(guī)范的條件。在不同的問題中作為確定勢的輔助條件稱為規(guī)范的條件。在不同的問題中可采用不同的輔助條件。可采用不同的輔助條件。A規(guī)范條件：規(guī)范條件：0

8、A3 3兩種規(guī)范兩種規(guī)范 在庫侖規(guī)范下，電場表達式中在庫侖規(guī)范下，電場表達式中 為橫場，為橫場， 縱場。縱場。因此，電場的橫場部分完全由因此，電場的橫場部分完全由 決議，而縱場部分那么完決議，而縱場部分那么完全由全由 決議。在這種情況下，決議。在這種情況下， 由電荷的瞬時分布求解，由電荷的瞬時分布求解，與靜電場的電勢類似，因此稱為庫侖場。與靜電場的電勢類似，因此稱為庫侖場。tAA庫侖規(guī)范下庫侖規(guī)范下 滿足的方程：滿足的方程：020AA02證明：證明：l 洛侖茲規(guī)范洛侖茲規(guī)范規(guī)范條件：規(guī)范條件：012tcA后面將看到洛侖茲規(guī)范下，后面將看到洛侖茲規(guī)范下， 所滿足的方程具有高度的所滿足的方程具有高

9、度的對稱性，這種對稱性將滿足相對論的協(xié)變性，有很重要的對稱性，這種對稱性將滿足相對論的協(xié)變性，有很重要的實際意義。實際意義。,A洛侖茲規(guī)范下洛侖茲規(guī)范下 滿足的方程：滿足的方程：012222tc0)1()1(22222tctcA012222tc22222111tctcAtcA證明：證明：2202222011()()AAAJtctcAt 將將 ， 代入麥克斯韋方程代入麥克斯韋方程ABtAE0000,EJtEB三達朗貝爾方程三達朗貝爾方程1 1 真空中的勢函數(shù)滿足的方程真空中的勢函數(shù)滿足的方程AAA2)()(并利用：并利用：得到勢函數(shù)滿足的方程得到勢函數(shù)滿足的方程2202222011AAJtctc

10、 可見可見 滿足泊松方程，與靜電情況類似，即空間某處的滿足泊松方程，與靜電情況類似，即空間某處的 在在時辰時辰 的值由電荷在時辰的值由電荷在時辰 的分布給出，其解為庫侖勢。的分布給出，其解為庫侖勢。tt2 2 庫侖規(guī)范下的勢函數(shù)方程庫侖規(guī)范下的勢函數(shù)方程3 3洛侖茲規(guī)范下的勢函數(shù)方程洛侖茲規(guī)范下的勢函數(shù)方程222202222011AAJctct以上方程稱為達朗貝爾方程以上方程稱為達朗貝爾方程洛侖茲規(guī)范下的達朗貝爾方程是兩個動搖方程，因此由它洛侖茲規(guī)范下的達朗貝爾方程是兩個動搖方程，因此由它們求出的們求出的 及及 均為動搖方式，反映了電磁均為動搖方式，反映了電磁場的動搖性。場的動搖性。),(A)

11、,(BEl 反映了電磁場的動搖性反映了電磁場的動搖性l 兩個方程具有高度的對稱性且相互獨立兩個方程具有高度的對稱性且相互獨立求出一個解，另一個解就迎刃而解。在下一節(jié)我們將看到，求出一個解，另一個解就迎刃而解。在下一節(jié)我們將看到，洛侖茲條件下達朗貝爾方程的解直接反映出電磁相互作用需洛侖茲條件下達朗貝爾方程的解直接反映出電磁相互作用需求時間?；谶@些思索，在研討輻射問題時，普通都是采用求時間?；谶@些思索，在研討輻射問題時，普通都是采用洛侖茲條件下的達朗貝爾方程。洛侖茲條件下的達朗貝爾方程。例：求單色平面電磁波的勢。例：求單色平面電磁波的勢。洛侖茲規(guī)范下：洛侖茲規(guī)范下：單色平面電磁波在沒有電荷，電

12、流分布的自在空間中傳播，單色平面電磁波在沒有電荷，電流分布的自在空間中傳播，因此洛侖茲規(guī)范下的勢方程達朗貝爾方程變?yōu)辇R次動因此洛侖茲規(guī)范下的勢方程達朗貝爾方程變?yōu)辇R次動搖方程：搖方程：222222221010ctAAct 其平面波解為：其平面波解為：A0、0為常數(shù)為常數(shù)00( )( )i k xti k xt ee 那么由洛侖茲規(guī)范：那么由洛侖茲規(guī)范： 222110()20(a )AikAictcckA 2222222222 ()() ( ()()kkck AkeAiki Atccikk Ai Aik k AAccciEck k Ak AikkAccikkAcBekB 電場和磁場為：電場和磁場

13、為：; (, )() (b)AAAkkAikAikABAAik 即使對即使對A加上恣意縱向部分加上恣意縱向部分A ，也不會影響，也不會影響E、B的值的值 這闡明對平面波，即使有洛倫茲條件后，這闡明對平面波，即使有洛倫茲條件后，A和和仍非仍非獨一確定，還剩下一些規(guī)范變換自在度。對此規(guī)范自在獨一確定，還剩下一些規(guī)范變換自在度。對此規(guī)范自在度，我們可選擇最簡單的規(guī)范條件，即取度，我們可選擇最簡單的規(guī)范條件，即取A只需橫向部只需橫向部分分A， 垂直于波矢量垂直于波矢量k BAikAikAAAEiAiAtt 此時有：此時有：自在空間的平面波電磁場只依賴于矢勢自在空間的平面波電磁場只依賴于矢勢A的橫向分量

14、的橫向分量A200ckAkAkA 那么那么上式闡明，實踐上只需給定上式闡明，實踐上只需給定A，就可確定單色平面電磁波。，就可確定單色平面電磁波。2222220110AActct 假設(shè)采用庫侖規(guī)范條件假設(shè)采用庫侖規(guī)范條件 ，自在空間中勢方程為：，自在空間中勢方程為：0A 當(dāng)全空間沒有電荷分布時，庫侖場的標(biāo)勢當(dāng)全空間沒有電荷分布時，庫侖場的標(biāo)勢 =0，那么矢勢：，那么矢勢：222210AAct 將將A代入庫侖規(guī)范，得到代入庫侖規(guī)范，得到庫侖規(guī)范下庫侖規(guī)范下A的勢方程仍是齊次動搖方程，其解的方式為：的勢方程仍是齊次動搖方程，其解的方式為：()0i k xtAA e 0(d)Aik A BAikAik

15、AAAEiAiAtt 上式闡明，上式闡明，A只取橫向分量只取橫向分量A = A即可即可以上闡明，取庫侖規(guī)范后，以上闡明，取庫侖規(guī)范后，A只需橫向部分只需橫向部分A = A ，縱向部分縱向部分A 為零。為零。經(jīng)過上面的例子可看到：經(jīng)過上面的例子可看到：庫侖規(guī)范的特點是：標(biāo)勢庫侖規(guī)范的特點是：標(biāo)勢描畫庫侖作用，可直接由電荷分描畫庫侖作用，可直接由電荷分布布求出；矢勢求出；矢勢A只取橫向分量即可，恰好足夠描畫輻射只取橫向分量即可，恰好足夠描畫輻射電磁波的兩種獨立偏振。場量只依賴于矢勢電磁波的兩種獨立偏振。場量只依賴于矢勢A就可算出。就可算出。洛侖茲規(guī)范的特點是：標(biāo)勢洛侖茲規(guī)范的特點是：標(biāo)勢和矢勢和矢

16、勢A構(gòu)成的勢方程具有對稱構(gòu)成的勢方程具有對稱性。矢勢性。矢勢A的縱向部分和標(biāo)勢的縱向部分和標(biāo)勢的選擇還可有恣意性，即的選擇還可有恣意性，即存在多余的自在度。存在多余的自在度。 雖然如此，洛侖茲規(guī)范在相對論中顯示出協(xié)變性，為后雖然如此，洛侖茲規(guī)范在相對論中顯示出協(xié)變性，為后面四維空間電磁場矢勢與標(biāo)勢的一致，以及實際討論和實面四維空間電磁場矢勢與標(biāo)勢的一致，以及實際討論和實踐計算都提供了很大方便。因此，本書以后都采用洛侖茲踐計算都提供了很大方便。因此，本書以后都采用洛侖茲規(guī)范。規(guī)范。022221tc方程中方程中 為知。假設(shè)為知。假設(shè) 較復(fù)雜，直接得到普較復(fù)雜，直接得到普通解比較困難。本節(jié)先從一個點

17、電荷出發(fā)，然后由迭加原通解比較困難。本節(jié)先從一個點電荷出發(fā)，然后由迭加原理得到解。理得到解。),( tx),(tx一一. . 標(biāo)勢和矢勢滿足的達朗貝爾方程的解標(biāo)勢和矢勢滿足的達朗貝爾方程的解標(biāo)勢的達朗貝爾方程標(biāo)勢的達朗貝爾方程1. 1. 點電荷在空間激發(fā)的標(biāo)勢點電荷在空間激發(fā)的標(biāo)勢)()(),(xtQtx)()(1102222xtQtc),(tr,22222011( ) ( )()Q trrrrrct rtrutr),(),(2222210uurct 這類似于一維動搖方程，其解可以表示為：這類似于一維動搖方程，其解可以表示為： )()(),(crtgcrtftru0r222211()0rrrr

18、ct2rrcrtf)( rcrtg)( 代表向外傳播的球面波代表向外傳播的球面波代表向內(nèi)收斂的球面波代表向內(nèi)收斂的球面波rcrtgrcrtftr)()(),()0( r與點電荷電勢類比有：與點電荷電勢類比有：rcrtQtr04)(),(0)(crtg假設(shè)點電荷不在原點而在空間假設(shè)點電荷不在原點而在空間 點：點：xrcrtxQtx04),(),(可以證明上述解的方式滿足式可以證明上述解的方式滿足式2. 2. 延續(xù)電荷分布在空間產(chǎn)生的電勢延續(xù)電荷分布在空間產(chǎn)生的電勢0( ,)( , )4Vrx tcx tdVr 3. 3. 矢勢矢勢 的解的解AVdrcrtxJtxAV),(4),(0 由于由于 滿

19、足的方程方式上與滿足的方程方式上與 滿足的方程一樣，類比滿足的方程一樣，類比得到得到 的解：的解：AA二二. . 證明證明 、 滿足洛侖茲條件滿足洛侖茲條件A210Atc證：令證：令( , ,)rttt t x xc AVdrtxJV),(40011( , )( , )4J x tJ x tdVrr ( , )1( , )1( , )( , )J x tJ x tJ x tJ x ttrrtctct rr (, )(, )(, )1(, )(, )tctcJ x tJ x tJ x tttJ x tJ x trct ),(),(),(txJtxJtxJct220111( , )4Vx ttdV

20、trttcc 01( , )4Vx tdVrt tcA2101( , )( , )04tcx tJ x tdVrt 0電荷守恒定律電荷守恒定律01( , )4tcJ x tdVr A01( , )4tcJ x tdVr 11( , )( , )J x tJ x tdVrr ( , )( , )0SJ x tJ x tdVdSrr 1 1推遲勢推遲勢 勢函數(shù)在空間勢函數(shù)在空間 點，點， 時辰的值依賴于時辰的值依賴于 時辰的電荷、時辰的電荷、電流分布，即空間勢的建立與場源相比推遲了電流分布，即空間勢的建立與場源相比推遲了 。具有。具有這樣特性的勢稱為推遲勢。這樣特性的勢稱為推遲勢。xtcrtcr三

21、推遲勢及其物理意義三推遲勢及其物理意義 空間點空間點 ， 時辰的電磁場由時辰的電磁場由 時辰的電荷、電流時辰的電荷、電流分布決議。也就是說電荷、電流產(chǎn)生的物理作用在閱歷分布決議。也就是說電荷、電流產(chǎn)生的物理作用在閱歷了時間了時間 后才到達察看點，即場的傳送需求時間，而相后才到達察看點，即場的傳送需求時間，而相互作用的傳播速度在真空中為互作用的傳播速度在真空中為C C。 crxtcrt 2 2電磁相互作用需求時間電磁相互作用需求時間l 本節(jié)僅討論電荷分布以一定頻率做周期運動，且電荷本節(jié)僅討論電荷分布以一定頻率做周期運動，且電荷體系線度遠遠小于電荷到觀測點的間隔的情況。體系線度遠遠小于電荷到觀測點

22、的間隔的情況。l 電磁波是從變化的電荷、電流系統(tǒng)輻射出來的。宏觀電磁波是從變化的電荷、電流系統(tǒng)輻射出來的。宏觀上，主要是利用載有高頻交變電流的天線產(chǎn)生輻射，微觀上，主要是利用載有高頻交變電流的天線產(chǎn)生輻射，微觀上，一個做變速運動的帶電粒子即可產(chǎn)生輻射。上，一個做變速運動的帶電粒子即可產(chǎn)生輻射。計算輻射場的普通計算公式計算輻射場的普通計算公式rttc 假設(shè)電流是一定頻率假設(shè)電流是一定頻率 的交變電的交變電流流00(,)( , )4VrJx tcA x tdr V()000(,)()()iti krtJxtJxeJxe ()0000()(, )4()()4i krtVikrititVJxeA x

23、tdrJxedeA x er VV當(dāng)電流分布給定時，計算當(dāng)電流分布給定時，計算輻射場的根底是推遲勢：輻射場的根底是推遲勢：0JJJitt 上式表示一種時諧波。與穩(wěn)恒電流磁場相比，上式表示一種時諧波。與穩(wěn)恒電流磁場相比，A(x)附加了一附加了一個因子個因子e ikr ，稱為推遲相因子，它表示電磁波傳到場點時有，稱為推遲相因子，它表示電磁波傳到場點時有相位滯后相位滯后kr。2210AcAttc 由洛侖茲條件，可求出標(biāo)勢由洛侖茲條件，可求出標(biāo)勢 ：由此可見，由矢勢由此可見，由矢勢A可完全確定電磁場?？赏耆_定電磁場?；蛴呻姾墒睾愣?，對一定頻率的交變電流情形有：或由電荷守恒定律，對一定頻率的交變電流

24、情形有： 00()(, )(),()4ikritVJxeA x tA x eA xdr V這時電磁場也是時諧電磁場：這時電磁場也是時諧電磁場：(, )()(, )()ititA x tA x ex tx e ()(, )()()(, )()()()()()()itiititititittititB x tA xeB x eE x txAA x eAx eA xettx eiA xeE xix eeA BAAEt 矢勢的展開式矢勢的展開式展開需留意三個線度：展開需留意三個線度：在電流、電荷分布區(qū)域以外，在電流、電荷分布區(qū)域以外， =J =0n 電荷分布區(qū)域的線度電荷分布區(qū)域的線度l ，它決議積分

25、區(qū)域內(nèi)，它決議積分區(qū)域內(nèi) 的大小的大小n 波長波長 =2/k 的線度的線度n 源區(qū)到場點的間隔源區(qū)到場點的間隔 r|x 0000222()()1ititEE x eiE x eiEttEEiBJEtctcicicEBBk 感應(yīng)區(qū)過渡區(qū)：感應(yīng)區(qū)過渡區(qū)：r l l，電磁場的行為很復(fù)雜，普通不詳，電磁場的行為很復(fù)雜，普通不詳細研討這一區(qū)域。細研討這一區(qū)域。本節(jié)研討小區(qū)域內(nèi)的電流所產(chǎn)生的輻射。本節(jié)研討小區(qū)域內(nèi)的電流所產(chǎn)生的輻射。所謂小區(qū)域是指：所謂小區(qū)域是指： l l l，l l l，電磁波脫離了場源后的傳播區(qū)，電磁波脫離了場源后的傳播區(qū)域，通常接納電磁波的地方離發(fā)射系統(tǒng)很遠，這類問題屬于域，通常接納

26、電磁波的地方離發(fā)射系統(tǒng)很遠，這類問題屬于遠場，我們主要討論這一區(qū)域。遠場，我們主要討論這一區(qū)域。這一區(qū)域內(nèi)變化電磁場與靜場性質(zhì)類似。n 近場區(qū)似穩(wěn)區(qū)：近場區(qū)似穩(wěn)區(qū)：r 2,1ikRRekrr 遠場矢勢的普通展開式遠場矢勢的普通展開式選坐標(biāo)原點在電流分布區(qū)域內(nèi)，選坐標(biāo)原點在電流分布區(qū)域內(nèi)，那么那么 與與l 同數(shù)量級。由圖可知：同數(shù)量級。由圖可知：| x|, , |RxRxerxxx 222221222|2221RRrr rxxx xRxRexxexrRRR exp()exp()exp()exp()RRikrik RexikRikex 11222222111RRRRxexexexrRRRRRRRR

27、ex 由于由于 ，所以分母中的，所以分母中的 可以舍去，但是可以舍去，但是要留意，相因子中的要留意，相因子中的 不能隨便舍去。不能隨便舍去。RxeRxeReRx緣由：緣由：2RRReexxkxRe2()exp()11!2!RRRikexikexikex 電偶極輻射電偶極輻射近似公式可以僅取積分中的第一項，有：近似公式可以僅取積分中的第一項，有：VdxJRexAikR)(4)(0電偶極輻射公式電偶極輻射公式()000()( )()44()(1)4RRik RxikRikxikReeRRJ x eeA xdVJ x edVRxReJ xikxdVRee展開式各項對應(yīng)于各級電磁多極輻射。展開式各項對應(yīng)于各級電磁多極輻