復(fù)變函數(shù)教學(xué)—習(xí)題課副本學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)教學(xué)教學(xué)習(xí)題課副本習(xí)題課副本第一頁(yè)，共15頁(yè)。2重點(diǎn)重點(diǎn)(zhngdin)：難點(diǎn)難點(diǎn)(ndin)：1. 復(fù)積分的基本定理；復(fù)積分的基本定理；2. 柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式 復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計(jì)算復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計(jì)算第1頁(yè)/共14頁(yè)第二頁(yè)，共15頁(yè)。3有向曲線有向曲線(qxin)(qxin)復(fù)積分復(fù)積分(jfn(jfn) )積分存在的積分存在的條件及計(jì)算條件及計(jì)算積分的性質(zhì)積分的性質(zhì)柯西積分定理柯西積分定理原函數(shù)原函數(shù)的定義的定義復(fù)合閉路復(fù)合閉路 定定 理理柯西積分柯西積分公公 式式高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式調(diào)和函數(shù)和調(diào)和函

2、數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)第2頁(yè)/共14頁(yè)第三頁(yè)，共15頁(yè)。4 設(shè)設(shè)C為平面上給定的一條光滑為平面上給定的一條光滑(或按段光滑或按段光滑)曲線曲線, 如果選定如果選定C的兩個(gè)可能方向的兩個(gè)可能方向(fngxing)中的一個(gè)作中的一個(gè)作為正方向?yàn)檎较?fngxing)(或正向或正向), 那末我們就把那末我們就把C理解理解為帶有方向?yàn)閹в蟹较?fngxing)的曲線的曲線, 稱為有向曲線稱為有向曲線.xyoAB如果如果(rgu)A到到B作為曲線作為曲線C的正的正向向,那么那么(n me)B到到A就是曲線就是曲線C的負(fù)向的負(fù)向, . C記為記為第3頁(yè)/共14頁(yè)第四頁(yè)，共15頁(yè)。5, , , ,

3、)( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 設(shè)分點(diǎn)為設(shè)分點(diǎn)為個(gè)弧段個(gè)弧段任意分成任意分成把曲線把曲線的一條光滑的有向曲線的一條光滑的有向曲線終點(diǎn)為終點(diǎn)為內(nèi)起點(diǎn)為內(nèi)起點(diǎn)為為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域內(nèi)內(nèi)定義在區(qū)域定義在區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一點(diǎn)上任意取一點(diǎn)在每個(gè)弧段在每個(gè)弧段 第4頁(yè)/共14頁(yè)第五頁(yè)，共15頁(yè)。6,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作和式作和式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 記記 , , 11的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度這里這里kkkkkkzzs

4、zzz ( , 0 時(shí)時(shí)無(wú)限增加且無(wú)限增加且當(dāng)當(dāng) n , )( , , 記為記為的積分的積分沿曲線沿曲線函數(shù)函數(shù)那么稱這極限值為那么稱這極限值為一極限一極限有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不論對(duì)如果不論對(duì)CzfSCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 第5頁(yè)/共14頁(yè)第六頁(yè)，共15頁(yè)。7（1 1）用參數(shù)方程將積分）用參數(shù)方程將積分(jfn)(jfn)化成定積分化成定積分(jfn)(jfn)的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是設(shè)簡(jiǎn)單光滑曲線設(shè)簡(jiǎn)單光滑曲線C)()()()(btatiytxtzz .d)()(d)(ttztzfzzfCba 則則第6頁(yè)/共14頁(yè)第七頁(yè)，共15頁(yè)。8;

5、d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(為常數(shù)為常數(shù)kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf.)(),(連續(xù)連續(xù)沿曲線沿曲線設(shè)設(shè)Czgzf CCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,)4(21則則連結(jié)而成連結(jié)而成由由設(shè)設(shè) CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )5(那末那末上滿足上滿足在在函數(shù)函數(shù)的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為設(shè)曲線設(shè)曲線第7頁(yè)/共14頁(yè)第八頁(yè)，共15頁(yè)。95. 柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理 (柯西積分定理柯西積分定理) . d)( , )( 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)線線與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路與

6、連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路那末積分那末積分析析內(nèi)處處解內(nèi)處處解在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)定理1定理1CzzfBzfC . 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的積分為零的積分為零內(nèi)的任何一條封閉曲線內(nèi)的任何一條封閉曲線沿沿那末函數(shù)那末函數(shù)內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)第8頁(yè)/共14頁(yè)第九頁(yè)，共15頁(yè)。10. )( )( , )()( , )( )( 的原函數(shù)的原函數(shù)內(nèi)內(nèi)在區(qū)域在區(qū)域?yàn)闉槟悄┓Q那末稱即即內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是因此因此zffzFzz . )

7、(一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差的任何兩個(gè)原函數(shù)相差zf. , )()(d)( , )( )( , )( 100110內(nèi)內(nèi)的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)為為域域這這里里那那末末的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)為為內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù)定定理理BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (牛頓牛頓(ni dn)-(ni dn)-萊布尼茲公式萊布尼茲公式) )第9頁(yè)/共14頁(yè)第十頁(yè)，共15頁(yè)。11 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那末那末內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)為為于于它的內(nèi)部完全含它的內(nèi)部完全含閉曲線閉曲線內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單內(nèi)的任何一條正向

8、簡(jiǎn)單為為內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)一個(gè)解析一個(gè)解析(ji x)函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值的平均值.則有則有是圓周是圓周如果如果,0 ieRzzC .d)(21)(2000 ieRzfzf第10頁(yè)/共14頁(yè)第十一頁(yè)，共15頁(yè)。12. , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的內(nèi)部全含于而且它的內(nèi)部全含于線線任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲的的內(nèi)圍繞內(nèi)圍繞的解析區(qū)域的解析區(qū)域?yàn)樵诤瘮?shù)為在函數(shù)其中其中導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為階階它的它的的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)的導(dǎo)

9、數(shù)仍為解析函數(shù)解析函數(shù)解析函數(shù) 第11頁(yè)/共14頁(yè)第十二頁(yè)，共15頁(yè)。13. ),( 0, , ),( 2222內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù)為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域那末稱那末稱并且滿足拉普拉斯方程并且滿足拉普拉斯方程有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具內(nèi)具在區(qū)域在區(qū)域如果二元實(shí)變函數(shù)如果二元實(shí)變函數(shù)DyxyxDyx 任何在任何在 D 內(nèi)解析內(nèi)解析(ji x)的函數(shù)的函數(shù),它的實(shí)部和虛部它的實(shí)部和虛部都是都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù).第12頁(yè)/共14頁(yè)第十三頁(yè)，共15頁(yè)。14. . , , 的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)稱為稱為和函數(shù)中和函數(shù)中的兩個(gè)調(diào)的兩個(gè)調(diào)內(nèi)滿足方程內(nèi)滿足方程在在即即uvxvyuyvxuD ,定理定理(dngl) (dngl) 區(qū)域區(qū)域D D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù). .第13頁(yè)/共14頁(yè)第十四頁(yè)，共15頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會(huì)計(jì)學(xué)。2. 柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式。復(fù)合閉路 定 理。共軛調(diào)和函數(shù)。設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線, 如果選定C的兩個(gè)可能