復變函數與積分變換第五章學習教案

1、會計學1復變函數與積分復變函數與積分(jfn)變換第五章變換第五章第一頁，共45頁。& 1. 留數的定義& 2. 留數定理(dngl)& 3. 留數的計算規(guī)則第1頁/共44頁第二頁，共45頁。的奇點所圍成的區(qū)域內含有)(zfC0zC設C為區(qū)域D內包含的任一條正向簡單閉曲線0z)(fdzzc未必為0,0,z所圍成的區(qū)域內解析在)(Cf=0z.的某去心鄰域(ln y):0( )f zz在在00zzR 解解析析D內的Laurent展式:)(zfRzz 00在第2頁/共44頁第三頁，共45頁。12 = =ic zzzczzzczcnCnCCd)(d )(d0010 = =CCn

2、nzzzczzzcd)(d)(1010 Czzfd)(0(P49例3.3)0 (柯西-古薩基本定理)i 201010)()()(czzczzczfnn = = nnzzczzc)()(001第3頁/共44頁第四頁，共45頁。定義設 z0 為 f (z) 的孤立奇點， f (z) 在 z0去心鄰域(ln y)內的羅朗級數中負冪次項 (z- z0)1 的系數 c1 稱為f (z)在 z0 的留數，記作 Res f (z), z0 。由留數定義(dngy), Res f (z), z0= c1 (1)2()(21),(Re10dzzficzzfsc = = = 故故1Laurentc 是是積積分分過

3、過程程中中唯唯一一殘殘留留下下來來的的系系數數, ,zzficCd )(211 = = 即即綜上，的系數(xsh)01)( zz展式中負冪項Laurent第4頁/共44頁第五頁，共45頁。000( ),( )0,f zzf zzzzR 設設函函數數以以有有限限點點 為為孤孤立立奇奇點點 即即在在點點的的某某去去心心鄰鄰域域內內解解析析 則則稱稱積積分分記作為 f (z)在 的0z),(Re0zzfs。01( ),:, 0;2Cf z dzCzzRi = 定義(dngy)留數,注1c = =dzzfizzfsC = =)(21),(Re0 第5頁/共44頁第六頁，共45頁。二、利用(lyng)留

4、數求積分1. 留數定理 設函數 f(z)在區(qū)域D內除有限個孤立奇點 z1, z2, ., zn 外處處(chch)解析.C是D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線, 則12Res ( ),nkkif z z= = = dzzfc )(Dz1z2z3znC1C2C3CnC第6頁/共44頁第七頁，共45頁。證明(zhngmng)zzfizzfizzfinCCCd )(21d)(21d )(2121 兩邊同時除以 得，i 2如圖, 由復合閉路(b l)原理= = zzfCd)( 1)(CdzzfdzzfC 2)(dzzfnC )(12Res ( ),Res ( ),Res ( ),nf z zf z z

5、f z z= = zzfCd )(12i12Res ( ),.nkkif z z= = = dzzfc )(即即求沿閉曲線(qxin)C積分求C內各孤立奇點處的留數.注1第7頁/共44頁第八頁，共45頁。(1) 如果0z為)(zf的可去奇點, 0Res ( ),0.f z z= =一般規(guī)則(guz)說明：2. 留數的計算(j sun)規(guī)則成Laurent級數求.1 c(2) 如果0z為的本性奇點, )(zf)(zf展開則需將(3) 如果0z為的極點, )(zf則有如下(rxi)計算方法：1) 應用Laurent展式2) 求n級極點的一般方法(求導運算)第8頁/共44頁第九頁，共45頁。1) 應

6、用(yngyng)Laurent展式例5.151Re ,0.zesz 求求解5511zezz = =2345(12!3!4!5!zzzzz) 1 43211 11 11 11,2!3!4!5!zzzz=;0z 511Re ,0.4!zesz = =所所以以第9頁/共44頁第十頁，共45頁。如果 為 的 級極點, 0z)(zfm).()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz = = 規(guī)則(guz)2那末(n m).()(lim),(Res000zfzzzzfzz = =如果 為 的一級極點, 那末0z)(zf規(guī)則(guz)12) 求n級極點的一般方法（當 m=1

7、時就是規(guī)則1)第10頁/共44頁第十一頁，共45頁。規(guī)則(guz)3 如果,0)(,0)(,0)(000 = = zQzQzP設,)()()(zQzPzf= =)(zP及)(zQ在0z都解析，那末0z為的一級極點,)(zf.)()(),(Res000zQzPzzf = = 且有解2coszzz= =因因為為的的一一級級極極點點, ,Re ,cos2zsz 所所以以2|(cos )zzz= = =2sin()2= = .2= = 例2Re ,.cos2zsz 求求第11頁/共44頁第十二頁，共45頁。 = = 22)1(25:zdzzzz計算計算例3解102)1(25)(2= = = = = =

8、zzzzzzzf和和一一個個二二級級極極點點極極點點的的內內部部有有一一個個一一級級在在2)1(25lim)(lim0),(Re200 = = = = =zzzzfzfszz1由由規(guī)規(guī)則則)1(25)1()!12(1lim 1),(Re221 = =zzzzdzdzfsz2由由規(guī)規(guī)則則22lim)25(lim211= = = = =zzzzz0 1),(Re20),(Re2)(2= = = = = =zfsizfsidzzfz 第12頁/共44頁第十三頁，共45頁。2:14= = zcdzzzc正向正向計算計算例2解內內，都都在在圓圓周周個個一一級級極極點點有有cizf , 1:4)(32(

9、)13( )44P zzQ zzz=由由規(guī)規(guī)則則0414141412),(Re),(Re 1),(Re 1),(Re214= = = = = = iizfsizfszfszfsidzzzc 故故第13頁/共44頁第十四頁，共45頁。.2:,d)1(sin22正向正向計算計算= = zCzzzzC思考題思考題答案(d n)22sin 1.i 第14頁/共44頁第十五頁，共45頁。 = =13coszdzzz計算計算例3解的的三三級級極極點點有有一一個個0cos)(3= = =zzzzfiizfsidzzzz = = = = = = =)21(20),(Re2cos132320021Re ( ),

10、0lim( )(31)!11lim(cos )22zzds f zz f zdzz= = = = = 由由規(guī)規(guī)則則第15頁/共44頁第十六頁，共45頁。)(tanNnzdznz = = 計算計算例4解), 2, 1, 0(21,20coscossintan = = = = = = = =kkzkzzzzz即即解得解得令令 0csc)(cot21212 = = = = = =kzkzzz 1,32zk= = 為為一一級級極極點點 由由規(guī)規(guī)則則 得得), 1, 0(1)(cossin21,tanRe21 = = = = = = =kzzkzskz 第16頁/共44頁第十七頁，共45頁。 ninik

11、zsizdznknz422,tanRe2tan2121 = = = = = = = = 故由留數定理(dngl)得：第17頁/共44頁第十八頁，共45頁。A(1)要靈活運用規(guī)則及洛朗級數展開(zhn ki)來求留A數，不要死套規(guī)則。6sin)()()(zzzzQzPzf = = =,)(001cos)0(0sin)0(0)cos1()0( 0)0(000的的三三級級零零點點是是由由于于zpzzpzpzppzzz= = = = = = = = = = = = = =如是f (z)的三級極點(jdin)。630sin1sin2Re,0lim(31)!zzzzzszz= = 由由規(guī)規(guī)則則第18頁/共

12、44頁第十九頁，共45頁。:)(級級數數展展開開作作若若將將Laurentzf! 510 ,sinRe6 = = zzzs = = = = zzzzzzzzzz1! 511! 31)! 51! 31(1sin35366-該方法較規(guī)則(guz)2更簡單！第19頁/共44頁第二十頁，共45頁。 = = 665506sinlim)!16(10 ,sinRezzzzdzdzzzszA(2) 由規(guī)則2 的推導(tudo)過程知，在使用規(guī)則2A時，可將 m 取得比實際級數高，這可使計算更A簡單。如! 51)cos(lim! 51)sin(lim! 510550 = = = = = =zzzdzdzz第20

13、頁/共44頁第二十一頁，共45頁。注意積分路線(lxin)取順時針方向1 = =c1),(Res = = czf說明(shumng)記作 = = Czzfizfd)(21),(Res1.定義(dngy)設函數)(zf在圓環(huán)域 zR內解析，C為圓環(huán)域內繞原點的任何一條正向簡單閉曲線，1( )d2Cf zzi 稱稱積積分分的的值值為為( )f z 在在點點的的留留數數，=Czzfid)(21第21頁/共44頁第二十二頁，共45頁。.1z.2z.kz .證 = = nkkzzfzf1),(Res),(Res = = CCzzfizzfid)(21d)(211. 0= =由留數定義(dngy)有:(繞

14、原點的并將kz內部的正向簡單閉曲線)C包含在 2. 定理如果函數)(zf在擴充復平面內只有有限個孤立奇點, 那末在所有各奇點 (包括 點) 的留數的總和必等于零.)(zf證畢第22頁/共44頁第二十三頁，共45頁。說明(shumng): 由定理得,),(Res),(Res1 = = = =zfzzfnkk = = = =nkkCzzfizzf1),(Res2d )(留數定理(dngl).),(Res2 = =zfi計算(j sun)積分計算無窮遠點的留數.zzfCd)( 優(yōu)點: 使計算積分進一步得到簡化. (避免了計算諸有限點處的留數)第23頁/共44頁第二十四頁，共45頁。規(guī)則(guz)4

15、= = 0 ,11Res),(Res2zzfzf說明: 定理5.2和規(guī)則(guz)4提供了計算函數沿閉曲線 = = 0 ,11Res2d)(2zzfizzfC積分的又一種方法: 此法在很多情況下此法更為簡單.第24頁/共44頁第二十五頁，共45頁?，F取正向簡單(jindn)閉曲線C為半徑足夠大的正向(zhn xin)圓周 :. = =z,1 = =z令令, iireez= = =并設并設,1 = = =r那末那末于是(ysh)有 = = Czzfizfd)(21),(Res = =20d)(21 iiieefi證.d12120 = = iireirefi第25頁/共44頁第二十六頁，共45頁。

16、220111d2()iiifreirere = = = = = = 12d1121fi. )1(為正向為正向 = =內除在 1= =0= = 外無其他奇點 .0 ,11Res2 = =zzf證畢第26頁/共44頁第二十七頁，共45頁。例5 計算積分 Czzz,d14C為正向圓周:.2= =z函數14 zz在2= =z的外部, 除 點外沒有其他(qt)奇點. Czzzd14 = =0 ,11Res22zzfi = =),(Res2zfi = =0 ,1Res24zzi. 0= =解 根據定理(dngl) 5.2與規(guī)則4: 第27頁/共44頁第二十八頁，共45頁。與以下解法(ji f)作比較 :被

17、積函數14 zz有四個一級極點i ,1都在圓周2= =z的內部 , 所以 Czzzd14 1),(Res 1),(Res2 = =zfzfi ),(Res),(Resizfizf 由規(guī)則(guz)3 ,414)()(23zzzzQzP= = = 第28頁/共44頁第二十九頁，共45頁。 Czzzd14.0414141412= = = =i可見(kjin), 利用無窮遠點的留數更簡單.例6 計算積分 Czzizz,)3)(1()(d10C為正向圓周 :.2= =z解 除 )3)(1()(1)(10 = =zzizzf被積函數點外, 其他奇點為.3, 1, i 第29頁/共44頁第三十頁，共45頁

18、。由于i 與 1在C的內部, Czzizz)3)(1()(d101),(Res),(Res2zfizfi = =),(Res3),(Res2 = =zfzfi = =0)3(21210ii則),(Resizf ),(Res zf所以(suy) 1),(Reszf 3),(Reszf .0= =.)3(10ii = =第30頁/共44頁第三十一頁，共45頁。一概念-留數一定理-留數定理（計算閉路復積分）（重點）兩方法-展開式和規(guī)則求留數三規(guī)則-求極點處留數 （ 難點 ）第31頁/共44頁第三十二頁，共45頁。 本節(jié)我們學習了留數的概念、計算以及留數定理. 應重點(zhngdin)掌握計算留數的一

19、般方法,尤其是極點處留數的求法, 并會應用留數定理計算閉路復積分.第32頁/共44頁第三十三頁，共45頁。11.( )2Re ( ),nkkR x dxis R z z = = = ( )( )( )P xR xQ x= =12.( )2Re ( ),(0)ni xi zkkR x edxis R z ez= = 其中(qzhng) 注意: 對 的要求,分母Q(x)次數比分子P(x)至少高兩次， 是函數 在上半平面內的有限個孤立奇點；( )R xkz( )R z 注意: 對 的要求,分母比分子至少高一次， 是函數 在上半平面內的有限個孤立奇點；( )R x( )R zkz第33頁/共44頁第三

20、十四頁，共45頁。思想(sxing)方法 :封閉路線(lxin)的積分 .兩個(lin )重要工作:1) 積分區(qū)域的轉化2) 被積函數的轉化把定積分化為一個復變函數沿某條2013.(cos ,sin )2Re ( ),nkkRdis f z z = = = 注意：其中 是函數 在單位圓內的有限個孤立奇點。kz)(zf第34頁/共44頁第三十五頁，共45頁。 iez = =令令 ddiiez = =,ddizz= = )(21sin iieei = =,212izz = =)(21cos iiee = =,212zz = =當 歷經變程2,0時, 20d)sin,(cos R1= =z的正方向繞

21、行一周.z 沿單位圓周第35頁/共44頁第三十六頁，共45頁。 d )sin,(cos20 RizzizzzzRzd21,21122 = = = =zzfzd )(1 = = =z的有理函數(yu l hn sh) , 且在單位圓周上分母不為零 , 滿足留數定理的條件 .包圍(bowi)在單位圓周內的諸孤立奇點. .),(Res21 = = =nkkzzfi第36頁/共44頁第三十七頁，共45頁。.dsin21dsin0 xxxxxx = =例5.1 計算(j sun)積分.dsin0 xxx 分析(fnx) 所所以以是是偶偶函函數數 ,sinxxzzsin 某某封封閉閉曲曲線線 ,因zzsi

22、n在實軸上有一級極點(jdin), 0= =z應使封閉路線不經過奇點, 所以可取圖示路線:第37頁/共44頁第三十八頁，共45頁。xyoRCrCrRr R 解 , 0dddd= = xxezzexxezzeRrixCizrRixCizrR封閉(fngb)曲線C: RrCrRCrR, 由柯西-古薩定理(dngl)得:ttexxerRitrRixdd = =,dxxeRrix = =，令令tx = =,2sinieexixix = =由第38頁/共44頁第三十九頁，共45頁。, 0dddsin2 = = rRCizCizRrzzezzexxxi知知szezzeRRCizCizdd seRRCyd1 = = = =0sin deR d220sin = =Re d22