確定二次函數(shù)的表達(dá)式

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)(下)第二章 二次函數(shù) 確定二次函數(shù)的表達(dá)式 一、一、教學(xué)教學(xué)目標(biāo)：目標(biāo)： 1.經(jīng)歷確定二次函數(shù)表達(dá)式的過程經(jīng)歷確定二次函數(shù)表達(dá)式的過程,體會(huì)求二次函體會(huì)求二次函數(shù)表達(dá)式的思想方法數(shù)表達(dá)式的思想方法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).2.會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式.3.靈活應(yīng)用二次函數(shù)的三種形式靈活應(yīng)用二次函數(shù)的三種形式:一般式，頂點(diǎn)式，一般式，頂點(diǎn)式，交點(diǎn)式交點(diǎn)式，以便在用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)，以便在用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式時(shí)減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，簡化運(yùn)算過程。式時(shí)減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，簡化運(yùn)算過程。二、重點(diǎn)和難點(diǎn)：二、重點(diǎn)和難點(diǎn)：根據(jù)

2、問題靈活選用二次函數(shù)表達(dá)式的不同形式，根據(jù)問題靈活選用二次函數(shù)表達(dá)式的不同形式，既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。復(fù)習(xí)提問：復(fù)習(xí)提問：1.二次函數(shù)表達(dá)式的一般形式是什么二次函數(shù)表達(dá)式的一般形式是什么?2.二次函數(shù)表達(dá)式的頂點(diǎn)式是什么二次函數(shù)表達(dá)式的頂點(diǎn)式是什么?3.若二次函數(shù)若二次函數(shù)y=ax+bx+c(a0)與與x軸兩交點(diǎn)為軸兩交點(diǎn)為(x1,0),(x2,0)則其函數(shù)表達(dá)式可以表示成什么形則其函數(shù)表達(dá)式可以表示成什么形式式?y=ax+bx+c(a,b,c為常數(shù)為常數(shù),a0)y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-x1)(x-x2)(a0)例例1.若二次函數(shù)圖象過若二次函數(shù)圖象過A(2,-

3、4),B(0,2),C(-1,2)三點(diǎn)三點(diǎn)求此函數(shù)的解析式。求此函數(shù)的解析式。解解：設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c圖象過圖象過B(0,2)c=2y=ax2+bx+2圖象過圖象過A(2,-4),C(-1,2)兩點(diǎn)兩點(diǎn)-4=4a+2b+22=a-b+2解得解得a=-1,b=-1函數(shù)的解析式為：函數(shù)的解析式為：y=-x2-x+2解法2：（利用頂點(diǎn)式）（利用頂點(diǎn)式）圖像過B(0,2),C(-1,2)兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，可知其對(duì)稱軸為可知其對(duì)稱軸為X=-1/2可設(shè)解析式為可設(shè)解析式為y=a(x+1/2)2+kA(2,-4),B(0,2)在圖像上，在圖像上，-4=a(2+1/2)2+k

4、2=a(0+1/2)2+ka=-1,k=9/4y=-(x+1/2)2+9/4即即y=-x2-x+2例例2.已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,-3)，并且當(dāng)并且當(dāng)x=3時(shí)有最大值時(shí)有最大值4，試確定這個(gè)二次，試確定這個(gè)二次函數(shù)的解析式。函數(shù)的解析式。解法解法1：（利用一般式）（利用一般式）設(shè)二次函數(shù)解析式為：設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c(a0)由題意知由題意知16a+4b+c=-3-b/2a=3(4ac-b2)/4a=4解方程組得：解方程組得：a=-7b=42c=-59二次函數(shù)的解析式為：二次函數(shù)的解析式為：y=-7x2+42x-59 解法解法2：（利用頂

5、點(diǎn)式）（利用頂點(diǎn)式）當(dāng)當(dāng)x=3時(shí)，有最大值時(shí)，有最大值4頂點(diǎn)坐標(biāo)為頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4)設(shè)二次函數(shù)解析式為：設(shè)二次函數(shù)解析式為： y=a(x-3)2+4函數(shù)圖象過點(diǎn)（函數(shù)圖象過點(diǎn)（4，-3）a(4-3)2+4=-3a=-7二次函數(shù)的解析式為：二次函數(shù)的解析式為：y=-7(x-3)2+4例例3.二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)的圖象過點(diǎn)A(0,5),B(5,0)兩點(diǎn)，它的對(duì)稱軸為直線兩點(diǎn)，它的對(duì)稱軸為直線x=3，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。解解:二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=3設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-3)2+k圖象過點(diǎn)圖象

6、過點(diǎn)A(0,5),B(5,0)兩點(diǎn)兩點(diǎn)5=a(0-3)2+k0=a(5-3)2+k解得：解得：a=1k=-4二次函數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式表達(dá)式:y=(x-3)2-4即即y=x2-6x+5小結(jié)小結(jié):已知頂點(diǎn)坐標(biāo)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)（h,k）或?qū)ΨQ軸方程或?qū)ΨQ軸方程x=h時(shí)時(shí)優(yōu)先選用頂點(diǎn)式。優(yōu)先選用頂點(diǎn)式。 解：（解：（交點(diǎn)式交點(diǎn)式）二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,0),(-1,0)設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y=a(x-3)(x+1)函數(shù)圖象過點(diǎn)函數(shù)圖象過點(diǎn)(1,4)4=a(1-3)(1+1)得得a=-1函數(shù)的表達(dá)式為：函數(shù)的表達(dá)式為：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3例已知

7、二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)例已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,4),(-1,0)和和(3,0)三點(diǎn)，求二次函數(shù)的表達(dá)式。三點(diǎn)，求二次函數(shù)的表達(dá)式。知道拋物線與知道拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，選用交點(diǎn)式比較簡便標(biāo)，選用交點(diǎn)式比較簡便其它解法其它解法：（：（一般式一般式）設(shè)二次函數(shù)解析式為設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c二次函數(shù)圖象過點(diǎn)二次函數(shù)圖象過點(diǎn)(1,4),(-1,0)和和(3,0)a+b+c=4a-b+c=0 9a+3b+c=0解得：解得：a=-1b=2c=3函數(shù)的解析式為：函數(shù)的解析式為：y=-x2+2x+3（頂點(diǎn)式）（頂點(diǎn)式）解：解：拋物線與拋物線與x軸相交兩點(diǎn)軸相交兩點(diǎn)(-

8、1,0)和和(3,0)，(-1+3)/2=1點(diǎn)點(diǎn)(1,4)為拋物線的頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)可設(shè)二次函數(shù)解析式為：可設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a(x-1)2+4拋物線過點(diǎn)拋物線過點(diǎn)(-1,0)0=a(-1-1)2+4得得a=-1函數(shù)的解析式為：函數(shù)的解析式為：y=-(x-1)2+4 歸納：歸納：在確定二次函數(shù)表達(dá)式時(shí)在確定二次函數(shù)表達(dá)式時(shí)（1）若已知圖像上三個(gè)非特殊點(diǎn)，常設(shè)一般式）若已知圖像上三個(gè)非特殊點(diǎn)，常設(shè)一般式；（2）若已知二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸，常設(shè)頂）若已知二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸，常設(shè)頂點(diǎn)式點(diǎn)式較為簡便；較為簡便；（3）若已知二次函數(shù)與）若已知二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，常設(shè)交軸的兩個(gè)交點(diǎn)

9、，常設(shè)交點(diǎn)式較為簡單。點(diǎn)式較為簡單。請(qǐng)選擇最優(yōu)解法，求下列二次函數(shù)表達(dá)式。請(qǐng)選擇最優(yōu)解法，求下列二次函數(shù)表達(dá)式。展示自我：展示自我：(1)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，且經(jīng)過點(diǎn)軸，且經(jīng)過點(diǎn)（-2，2），求此拋物線的表達(dá)式？），求此拋物線的表達(dá)式？(4)已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，1），它的頂點(diǎn)），它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（坐標(biāo)是（8，9），求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式？），求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式？(3)已知拋物線的頂點(diǎn)在已知拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，對(duì)稱軸是直線軸上，對(duì)稱軸是直線x=1，且經(jīng)，且經(jīng)過（過（2，3），求此拋物線的表達(dá)式？），求此

10、拋物線的表達(dá)式？(2)已知拋物線的頂點(diǎn)在已知拋物線的頂點(diǎn)在y軸上軸上,且經(jīng)過（且經(jīng)過（-1，-3）和（和（2，6),求此拋物線的表達(dá)式？求此拋物線的表達(dá)式？(5)已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且過（已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且過（2，5），），（-1，3）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式？）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式？做一做做一做 如圖，某建筑的屋頂設(shè)計(jì)成橫截面為拋物線如圖，某建筑的屋頂設(shè)計(jì)成橫截面為拋物線 （曲（曲 線線AOB） 的薄殼屋頂它的拱寬的薄殼屋頂它的拱寬AB為為6m，拱高，拱高CO為為 0.9m試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,并寫出這段拋物線所對(duì)應(yīng)的二并寫出這段拋物線所對(duì)

11、應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式次函數(shù)表達(dá)式? 圖26.2.6 解解:以線段以線段AB的中垂線為的中垂線為y軸軸,以過點(diǎn)以過點(diǎn)o且且與與y軸垂直的直線為軸垂直的直線為x軸軸,建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系)33(1 . 01 . 039 . 0,)9 . 0, 3(9 . 0, 326222xxyaaaxyBOCABCBAB函數(shù)表示式為二次因此這段拋物線對(duì)應(yīng)的中代入設(shè)它的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)它的函數(shù)表達(dá)式為:y=ax(a0)議一議議一議 通過上述問題的解決通過上述問題的解決,您能體會(huì)到求二次函數(shù)您能體會(huì)到求二次函數(shù)表達(dá)式采用的一般方法是什么表達(dá)式采用的一般方法是什么? （待定系數(shù)法）（待定系數(shù)法）你能否總結(jié)出上述解

12、題的一般步驟你能否總結(jié)出上述解題的一般步驟?1.若無坐標(biāo)系若無坐標(biāo)系,首先應(yīng)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系首先應(yīng)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系;2.設(shè)拋物線的表達(dá)式設(shè)拋物線的表達(dá)式;3.寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);4.列方程列方程(或方程組或方程組);5.解方程或方程組解方程或方程組,求待定系數(shù)求待定系數(shù);6.寫出函數(shù)的表達(dá)式寫出函數(shù)的表達(dá)式;224) 1(2x 二次函數(shù)二次函數(shù)y=x2+px+q的圖像與的圖像與X軸正半軸交于軸正半軸交于M,N兩點(diǎn)，與兩點(diǎn)，與Y軸正向交于軸正向交于R,且且OM MN OR=1 2 3(O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)),求二次函求二次函數(shù)表達(dá)式數(shù)表達(dá)式.oRMNYX 求點(diǎn)求點(diǎn)C的坐標(biāo)的坐標(biāo)若一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過若一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式。求這個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式。1.已已知平面直角坐標(biāo)系兩點(diǎn)知平面直角坐標(biāo)系兩點(diǎn)A（1，2）B（0，3）點(diǎn)）點(diǎn)C在在X軸上，其橫坐標(biāo)