第六章 直線(xiàn)回歸與相關(guān)

1、第六章第六章 直線(xiàn)回歸與相關(guān)直線(xiàn)回歸與相關(guān) 客觀事物在發(fā)展過(guò)程中是相互聯(lián)系、相互影響，客觀事物在發(fā)展過(guò)程中是相互聯(lián)系、相互影響，常常要研究常常要研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上變量間的關(guān)系兩個(gè)或兩個(gè)以上變量間的關(guān)系。 相關(guān)分析和回歸分析是研究事物之間既相互聯(lián)系相關(guān)分析和回歸分析是研究事物之間既相互聯(lián)系又相互制約的關(guān)系、探索其緊密聯(lián)系的程度、揭又相互制約的關(guān)系、探索其緊密聯(lián)系的程度、揭示其變化的具體形式和內(nèi)在規(guī)律性的一種常用的示其變化的具體形式和內(nèi)在規(guī)律性的一種常用的統(tǒng)計(jì)分析方法統(tǒng)計(jì)分析方法，也是構(gòu)造各種數(shù)學(xué)模型、借助于，也是構(gòu)造各種數(shù)學(xué)模型、借助于數(shù)學(xué)方法對(duì)事物進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)、預(yù)測(cè)和控制的數(shù)學(xué)方法對(duì)事物進(jìn)行

2、分析、評(píng)價(jià)、預(yù)測(cè)和控制的重要工具，在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的重要工具，在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用。函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系表現(xiàn)為一個(gè)現(xiàn)象發(fā)生數(shù)量上的表現(xiàn)為一個(gè)現(xiàn)象發(fā)生數(shù)量上的變化，而另一個(gè)現(xiàn)象也相應(yīng)產(chǎn)變化，而另一個(gè)現(xiàn)象也相應(yīng)產(chǎn)生數(shù)量上的變化，并且有一個(gè)生數(shù)量上的變化，并且有一個(gè)確切的數(shù)值與之相對(duì)應(yīng)。確切的數(shù)值與之相對(duì)應(yīng)。特點(diǎn)特點(diǎn)1-11-1對(duì)應(yīng)的具有數(shù)量對(duì)應(yīng)的具有數(shù)量上的嚴(yán)格確定性關(guān)系上的嚴(yán)格確定性關(guān)系（數(shù)學(xué)上以函數(shù)的形式表現(xiàn)）（數(shù)學(xué)上以函數(shù)的形式表現(xiàn)）函數(shù)關(guān)系的例子函數(shù)關(guān)系的例子: :1.1.圓的面積圓的面積(S)(S)與半徑與半徑(R)(R)之間的關(guān)系可表示為之間的關(guān)系可表示

3、為2.2.某種商品的銷(xiāo)售額某種商品的銷(xiāo)售額( (R R) )與銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售量( (Q Q) )之間的關(guān)系可之間的關(guān)系可表示為表示為 ( (其中其中 p p 為單價(jià)為單價(jià)) ) 3.3.企業(yè)的原材料消耗額企業(yè)的原材料消耗額( (y y) )與產(chǎn)量與產(chǎn)量( (x x1) 1) 、單位產(chǎn)量、單位產(chǎn)量消耗消耗( (x x2)2)、原材料價(jià)格、原材料價(jià)格( (x x3)3)之間的關(guān)系可表示為之間的關(guān)系可表示為 y y = = x x1 1 x x2 2 x x3 3 2SRRpQ非確定關(guān)系非確定關(guān)系表現(xiàn)為現(xiàn)象之間確實(shí)存在的相表現(xiàn)為現(xiàn)象之間確實(shí)存在的相互依存的關(guān)系，但數(shù)量上不是互依存的關(guān)系，但數(shù)量上不是嚴(yán)

4、格對(duì)應(yīng)的依存關(guān)系嚴(yán)格對(duì)應(yīng)的依存關(guān)系,并且其關(guān)并且其關(guān)系數(shù)值是不固定的。系數(shù)值是不固定的。 現(xiàn)象之間確實(shí)存在著數(shù)量上的依存關(guān)系?，F(xiàn)象之間確實(shí)存在著數(shù)量上的依存關(guān)系?，F(xiàn)象之間數(shù)量上的關(guān)系不是確定的?，F(xiàn)象之間數(shù)量上的關(guān)系不是確定的。 變量間都存在著十分密切的關(guān)系，但不能由一個(gè)或幾個(gè)變量間都存在著十分密切的關(guān)系，但不能由一個(gè)或幾個(gè)變量的值精確地求出另一個(gè)變量的值。變量的值精確地求出另一個(gè)變量的值。統(tǒng)計(jì)學(xué)中把這些變統(tǒng)計(jì)學(xué)中把這些變量間的關(guān)系稱(chēng)為量間的關(guān)系稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系，把存在相關(guān)關(guān)系的變量稱(chēng)為，把存在相關(guān)關(guān)系的變量稱(chēng)為相相關(guān)變量關(guān)變量。 相關(guān)關(guān)系的例子相關(guān)關(guān)系的例子: :1. 1. 人的身高人的身

5、高(h)(h)與體重與體重(w)(w)之間的關(guān)系之間的關(guān)系。2. 2. 人的血壓人的血壓(P)(P)與年齡與年齡、體質(zhì)、生活習(xí)慣及從事的、體質(zhì)、生活習(xí)慣及從事的工作與職業(yè)等的關(guān)系。工作與職業(yè)等的關(guān)系。3. 3. 食品的銷(xiāo)售與產(chǎn)品的質(zhì)量食品的銷(xiāo)售與產(chǎn)品的質(zhì)量、包裝、消費(fèi)者愛(ài)好、包裝、消費(fèi)者愛(ài)好等的關(guān)系。等的關(guān)系。4. 4. 農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系。 一種是一種是因果關(guān)系因果關(guān)系，即一個(gè)變量的變化受另一，即一個(gè)變量的變化受另一個(gè)或幾個(gè)變量的影響（個(gè)或幾個(gè)變量的影響（單向依存、單向依存、 互為因果互為因果）。）。如小麥的生長(zhǎng)速度受遺傳特性、營(yíng)養(yǎng)水平、管理如小麥的

6、生長(zhǎng)速度受遺傳特性、營(yíng)養(yǎng)水平、管理?xiàng)l件等因素的影響。條件等因素的影響。 另一種是另一種是平行關(guān)系平行關(guān)系，它們互為因果或共同受，它們互為因果或共同受到另外因素的影響。如人的身高和胸圍之間的關(guān)到另外因素的影響。如人的身高和胸圍之間的關(guān)系屬于平行關(guān)系。系屬于平行關(guān)系。相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的聯(lián)系與區(qū)別相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的聯(lián)系與區(qū)別 區(qū)別：區(qū)別： 相關(guān)關(guān)系中的依存關(guān)系是不確定的；而函數(shù)關(guān)系中相關(guān)關(guān)系中的依存關(guān)系是不確定的；而函數(shù)關(guān)系中的依存關(guān)系是確定的。的依存關(guān)系是確定的。 函數(shù)關(guān)系所確定的相互依存關(guān)系可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式函數(shù)關(guān)系所確定的相互依存關(guān)系可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式確切地表示出來(lái)；而相關(guān)關(guān)系一般是不確定的，

7、不能用確切地表示出來(lái)；而相關(guān)關(guān)系一般是不確定的，不能用數(shù)學(xué)表達(dá)式準(zhǔn)確地表示出來(lái)。數(shù)學(xué)表達(dá)式準(zhǔn)確地表示出來(lái)。 聯(lián)系：聯(lián)系：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象進(jìn)行分析、了解現(xiàn)象之間的密切對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象進(jìn)行分析、了解現(xiàn)象之間的密切聯(lián)系程度時(shí)，必須利用相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表聯(lián)系程度時(shí)，必須利用相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表明現(xiàn)象間的相互依存的關(guān)系。明現(xiàn)象間的相互依存的關(guān)系。 研究研究“一因一果一因一果”，即一個(gè)自變量與一個(gè)依變，即一個(gè)自變量與一個(gè)依變量的回歸分析稱(chēng)為量的回歸分析稱(chēng)為一元回歸分析一元回歸分析； 研究研究“多因一果多因一果”，即多個(gè)自變量與一個(gè)依變，即多個(gè)自變量與一個(gè)依變量的回歸分析稱(chēng)為量的回

8、歸分析稱(chēng)為多元回歸分析多元回歸分析。 一元回歸分析又分為一元回歸分析又分為直線(xiàn)回歸分析直線(xiàn)回歸分析與與曲線(xiàn)回曲線(xiàn)回歸分析歸分析兩種；多元回歸分析又分為兩種；多元回歸分析又分為多元線(xiàn)性回歸多元線(xiàn)性回歸分析分析與與多元非線(xiàn)性回歸分析多元非線(xiàn)性回歸分析兩種。兩種。 對(duì)多個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，研究一個(gè)變量與對(duì)多個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，研究一個(gè)變量與多個(gè)變量間的線(xiàn)性相關(guān)稱(chēng)為多個(gè)變量間的線(xiàn)性相關(guān)稱(chēng)為復(fù)相關(guān)分析復(fù)相關(guān)分析；研究其；研究其余變量保持不變的情況下兩個(gè)變量間的線(xiàn)性相關(guān)余變量保持不變的情況下兩個(gè)變量間的線(xiàn)性相關(guān)稱(chēng)為稱(chēng)為偏相關(guān)分析偏相關(guān)分析。 函數(shù)關(guān)系 有精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式 （確定性的關(guān)系） 直線(xiàn)回歸分析

9、 一元回歸分析 變量間的關(guān)系 因果關(guān)系 曲線(xiàn)回歸分析 (回歸分析） 多元線(xiàn)性回歸分析 多元回歸分析 相關(guān)關(guān)系 多 元 非 線(xiàn) 性 回 歸 分 析 （非確定性的關(guān)系） 簡(jiǎn)單相關(guān)分析 直線(xiàn)相關(guān)分析 平行關(guān)系 復(fù)相關(guān)分析 （相關(guān)分析） 多元相關(guān)分析 偏相關(guān)分析 2 直線(xiàn)回歸直線(xiàn)回歸 33.730.516YX回歸模型的類(lèi)型回歸模型的類(lèi)型一個(gè)預(yù)報(bào)變量一個(gè)預(yù)報(bào)變量?jī)蓚€(gè)及兩個(gè)以上預(yù)報(bào)兩個(gè)及兩個(gè)以上預(yù)報(bào)變量變量回歸模型回歸模型多元回歸多元回歸一元回歸一元回歸線(xiàn)性線(xiàn)性回歸回歸非線(xiàn)性非線(xiàn)性回歸回歸線(xiàn)性線(xiàn)性回歸回歸非線(xiàn)性非線(xiàn)性回歸回歸 2.1 直線(xiàn)回歸方程的建立直線(xiàn)回歸方程的建立 iiixy2總體線(xiàn)性回歸模型的圖示

10、YX iiiyxi yxx 觀察值觀察值總體線(xiàn)性回歸模型總體線(xiàn)性回歸模型 iiiyxyx(1)(1)使因變量的觀察值與估計(jì)值之間的離差平方和使因變量的觀察值與估計(jì)值之間的離差平方和達(dá)到最小來(lái)求得達(dá)到最小來(lái)求得 和和 的方法。即的方法。即(2)用最小二乘法擬合的直線(xiàn)來(lái)代表用最小二乘法擬合的直線(xiàn)來(lái)代表x與與y之間的關(guān)系之間的關(guān)系與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差比其他任何直線(xiàn)都小與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差比其他任何直線(xiàn)都小aybx最小二乘估計(jì)法最小二乘估計(jì)法建立樣本線(xiàn)性回歸方程的方法建立樣本線(xiàn)性回歸方程的方法最小二乘法最小二乘法xy e1e2e3e4yyiiiniine1221 a、b應(yīng)使回歸估計(jì)值應(yīng)使回歸估計(jì)值 與實(shí)際觀測(cè)

11、值與實(shí)際觀測(cè)值y的的偏差平方和最小偏差平方和最小，即：，即：總的離回歸平方和，總的離回歸平方和，即剩余平方和即剩余平方和 y22()(a)Qyyybx 最小最小112a0a2a0niiiniiiiQybxQybxxb 經(jīng)整理，得關(guān)于經(jīng)整理，得關(guān)于a、b的的正規(guī)方程組正規(guī)方程組： xxySSSPxxyyxxnxxnyxxyb222)()(/)(/ ) )( (aybx112111aanniiiinnniiiiiiinbxyxxbx y 在在6-7式中，分子為自變量式中，分子為自變量x的離均差與依變量的離均差與依變量y的的離均差的乘積和離均差的乘積和 ，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng)乘乘積和積和，記作，記作 ，分母是

12、自變量，分母是自變量x的的離均差平方和離均差平方和 ，記作，記作SSX。 )(yyxxxySP2)(xxxxySSSPxxyyxxb2)()(aybx為為回歸估計(jì)值回歸估計(jì)值，是當(dāng)，是當(dāng)x在其研究范在其研究范圍內(nèi)取某一個(gè)值時(shí)，圍內(nèi)取某一個(gè)值時(shí)，y值平均數(shù)值平均數(shù) 的的估計(jì)值。估計(jì)值。y xay）（）（ xEyEy最小剩余平方和2) ( yyQ0) (yy),(yxxbya)(xxbyy【例例6-1】食品感官評(píng)定時(shí)，測(cè)得食品甜度與蔗糖食品感官評(píng)定時(shí)，測(cè)得食品甜度與蔗糖濃度的關(guān)系如表濃度的關(guān)系如表6-2所示，試建立所示，試建立y與與x的直線(xiàn)回歸的直線(xiàn)回歸方程。方程。2.1.3 計(jì)算示例計(jì)算示例（1

13、）作散點(diǎn)圖）作散點(diǎn)圖 以蔗糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)（以蔗糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)（x）為橫坐標(biāo)，甜度）為橫坐標(biāo)，甜度（y）為縱坐標(biāo)作散）為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖，如圖點(diǎn)圖，如圖6-2所示所示。食品甜度與蔗糖濃度的關(guān)系0510152025300246810蔗糖質(zhì)量分?jǐn)?shù) x %甜度 y4286. 57/0 .38/nxx7714.207/4 .145/nyy2143.537/0 .385 .259/222nxxSSx7857.6677 .145381 .856)(nyxxySPxy0343.847/4 .14520.3104/222nyySSy 2550. 12123.537857.66xxySSSPba20.7714 1.2550

14、 5.428613.9585ybxxy2550. 19585.13 根據(jù)直線(xiàn)回歸方根據(jù)直線(xiàn)回歸方程可作出回歸直線(xiàn)程可作出回歸直線(xiàn)，見(jiàn)圖。從圖看出，見(jiàn)圖。從圖看出，并不是所有的散，并不是所有的散點(diǎn)都恰好落在回歸點(diǎn)都恰好落在回歸直線(xiàn)上，這說(shuō)明直線(xiàn)上，這說(shuō)明用用 去估計(jì)去估計(jì)y是有是有偏差的。偏差的。y 附：直線(xiàn)回歸的偏離度估計(jì)附：直線(xiàn)回歸的偏離度估計(jì) 偏差平方和偏差平方和 的大小表示了實(shí)測(cè)點(diǎn)與回的大小表示了實(shí)測(cè)點(diǎn)與回歸直線(xiàn)偏離的程度，因而此偏差平方和又稱(chēng)為歸直線(xiàn)偏離的程度，因而此偏差平方和又稱(chēng)為離回歸離回歸平方和平方和。統(tǒng)計(jì)學(xué)證明：在直線(xiàn)回歸分析中離回歸平方。統(tǒng)計(jì)學(xué)證明：在直線(xiàn)回歸分析中離回歸平方

15、和的自由度為和的自由度為n-2。那么，。那么，離回歸均方離回歸均方為：為： 離回歸均方是模型（離回歸均方是模型（6-1）中）中2的估計(jì)值。的估計(jì)值。 離回歸均方的平方根叫離回歸均方的平方根叫離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤，記為，記為 ，2) ( yy)2/() (2nyyyxS 離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤Syx的大小表示了回歸直線(xiàn)與實(shí)測(cè)點(diǎn)的大小表示了回歸直線(xiàn)與實(shí)測(cè)點(diǎn)偏差的程度偏差的程度，即回歸估測(cè)值，即回歸估測(cè)值 與實(shí)與實(shí) 際觀測(cè)值際觀測(cè)值y偏離（偏離（差）的程度，所以，用差）的程度，所以，用離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤Syx來(lái)表示回歸方來(lái)表示回歸方程的偏離度。程的偏離度。 )2/() (2nyySyxy

16、 xxyySSSPSSyy/) (222) ( yy2160. 0 2143.53/7857.660343.84 /) (222xxyySSSPSSyy2078. 0) 27/(2160. 0) 2/() (2nyySyx 如果如果x和和y變量間并不存在直線(xiàn)關(guān)系，變量間并不存在直線(xiàn)關(guān)系， 但由但由n對(duì)觀測(cè)值（對(duì)觀測(cè)值（xi，yi）也可以根據(jù)上面介紹的方法）也可以根據(jù)上面介紹的方法求得一個(gè)回歸方程求得一個(gè)回歸方程 =a+bx。 顯然，這樣的顯然，這樣的回歸方程所反應(yīng)的兩個(gè)變量間的直線(xiàn)關(guān)系是不回歸方程所反應(yīng)的兩個(gè)變量間的直線(xiàn)關(guān)系是不真實(shí)的。真實(shí)的。 如何判斷直線(xiàn)回歸方程所反應(yīng)的兩個(gè)如何判斷直線(xiàn)回歸

17、方程所反應(yīng)的兩個(gè)變量間的直線(xiàn)關(guān)系的真實(shí)性呢？這取決于變量變量間的直線(xiàn)關(guān)系的真實(shí)性呢？這取決于變量x與與y間是否存在直線(xiàn)關(guān)系。間是否存在直線(xiàn)關(guān)系。從從y的變異著手來(lái)分的變異著手來(lái)分析。析。y )(yy ) ()()(yyyyyy2)(yy2)()( yyyy) )(2) ()(22yyyyyyyy)()(xxbyyxxba()ybxyb xx)(xxbyy) )() )(yyxxbyyyy所以有所以有 （6-9） 反映了反映了y的總變異程度，稱(chēng)為的總變異程度，稱(chēng)為y的的總偏總偏差平方和差平方和，記為，記為SSy； 反映了由于反映了由于y與與x間存在直線(xiàn)關(guān)系所引間存在直線(xiàn)關(guān)系所引起的起的y的變異程

18、度，稱(chēng)為的變異程度，稱(chēng)為回歸平方和回歸平方和，記為，記為SSR； )()()(xxbxxbyyxxbxxySSbSPb202xxxyxyxxySSSSSPSPSSSP2)(yy22) ()(yyyy2)( yy2)(yy 反映了除反映了除y與與x存在直線(xiàn)關(guān)系以外的一切存在直線(xiàn)關(guān)系以外的一切因素（包括因素（包括x對(duì)對(duì)y的非線(xiàn)性影響及其他一切未加控的非線(xiàn)性影響及其他一切未加控制的隨機(jī)因素）所引起的制的隨機(jī)因素）所引起的y的變異程度，稱(chēng)為的變異程度，稱(chēng)為離回離回歸平方和或剩余平方和歸平方和或剩余平方和，記為，記為SSr或或SSe。 所以，所以，y的總變異平方和可分解為：的總變異平方和可分解為：rRy

19、SSSSSSrRydfdfdf2()yy 在直線(xiàn)回歸分析中，回歸自由度等于自在直線(xiàn)回歸分析中，回歸自由度等于自變量的個(gè)數(shù)，變量的個(gè)數(shù)， 即即 ；y的總自由度的總自由度 ；離回歸自由度；離回歸自由度 。于是。于是： 離回歸均方離回歸均方 ， 回歸均回歸均 方方 。 1Rdf1 ndfy2 ndfrrrrdfSSMS/RRRdfSSMS/ x與與y兩個(gè)變量間是否存在直線(xiàn)關(guān)系，可用兩個(gè)變量間是否存在直線(xiàn)關(guān)系，可用F檢檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)。驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)。 無(wú)效假設(shè)無(wú)效假設(shè)HO： =0，備擇假設(shè)，備擇假設(shè)HA： 0。 在無(wú)效假設(shè)成立的條件下，回歸均方與離回在無(wú)效假設(shè)成立的條件下，回歸均方與離回歸均方的比值服從

20、歸均方的比值服從 和和 的的F分布，分布，所以，可以用下式來(lái)檢驗(yàn)回歸方程的顯著性。所以，可以用下式來(lái)檢驗(yàn)回歸方程的顯著性。11df22 ndf)2/(/nSSSSdfSSdfSSMSMSFrRrrRRrR回歸平方和的計(jì)算：回歸平方和的計(jì)算：22)()(xxbyySSRxyxbSPSSbxxb222)(xxyxyxxySSSPSPSSSP2xxyyRyrSSSPSSSSSSSS2,0343.84ySS，7857.66xySP2143.53xSS8161.832143.537857.6622xxyxyRSSSPbSPSS2182. 08161.830343.84RyrSSSSSS527, 1, 6

21、171rRydfdfndf變異來(lái)源變異來(lái)源偏差平方和偏差平方和SS自由度自由度df均方均方MSF值值顯著性顯著性回歸回歸83.8161183.81611922.39*剩余剩余0.218250.0436總變異總變異84.03436xy2550. 19585.1301. 0,26.1639.1922)5 , 1(01. 0PFF 采用回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)采用回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)t檢驗(yàn)檢驗(yàn)也可檢驗(yàn)也可檢驗(yàn)x與與y之之間是否存在直線(xiàn)關(guān)系。間是否存在直線(xiàn)關(guān)系。 t檢驗(yàn)時(shí)，檢驗(yàn)時(shí)，無(wú)效假設(shè)無(wú)效假設(shè)HO： =0，備擇假設(shè)備擇假設(shè)HA： 0。 2,ndfSbtbxyxbSSSSrrryxMSdfSSSy 對(duì)于

22、對(duì)于 【例例8.1】 資資 料料 ，已計(jì)算得，已計(jì)算得 故有故有2182. 0,2143.53rxSSSS 0286. 02143.53/52182. 0/xrrxyxbSSdfSSSSSS84.430286. 02550. 1bSbt 當(dāng)當(dāng) ，查，查t值表，得值表，得 因因 ， ， 否定否定HO：0，接受，接受HA：0，即直線(xiàn)回歸系數(shù)，即直線(xiàn)回歸系數(shù)b=1.2550是極顯著的，表明蔗糖濃度與甜度大小存在是極顯著的，表明蔗糖濃度與甜度大小存在極顯著的直線(xiàn)關(guān)系，可用所建立的直線(xiàn)回歸方程來(lái)進(jìn)極顯著的直線(xiàn)關(guān)系，可用所建立的直線(xiàn)回歸方程來(lái)進(jìn)行行 預(yù)測(cè)和控制。預(yù)測(cè)和控制。 5272 ndf015. 2)

23、10(05. 0t365. 3)10(01. 0t)5(01. 084.43tt01. 0P 特別要指出的是：利用直線(xiàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)特別要指出的是：利用直線(xiàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)或控制時(shí)，一般只適用于原來(lái)研究的范圍，不測(cè)或控制時(shí)，一般只適用于原來(lái)研究的范圍，不能隨意把范圍擴(kuò)大，因?yàn)樵谘芯康姆秶鷥?nèi)兩變量能隨意把范圍擴(kuò)大，因?yàn)樵谘芯康姆秶鷥?nèi)兩變量是直線(xiàn)關(guān)系，這并不能保證在這研究范圍之外仍是直線(xiàn)關(guān)系，這并不能保證在這研究范圍之外仍然是直線(xiàn)關(guān)系。若需要擴(kuò)大預(yù)測(cè)和控制范圍，則然是直線(xiàn)關(guān)系。若需要擴(kuò)大預(yù)測(cè)和控制范圍，則要有充分的理論依據(jù)或進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)依據(jù)。利用要有充分的理論依據(jù)或進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)依據(jù)。利用直線(xiàn)回歸方

24、程進(jìn)行預(yù)測(cè)或控制直線(xiàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)或控制 ， 一一 般只能內(nèi)插般只能內(nèi)插，不要輕易外延。，不要輕易外延。3 直線(xiàn)相關(guān)直線(xiàn)相關(guān) 進(jìn)行直線(xiàn)相關(guān)分析的基本任務(wù)在于根據(jù)進(jìn)行直線(xiàn)相關(guān)分析的基本任務(wù)在于根據(jù)x、y的的實(shí)際觀測(cè)值，計(jì)算表示兩個(gè)相關(guān)變量實(shí)際觀測(cè)值，計(jì)算表示兩個(gè)相關(guān)變量x、y間間線(xiàn)性線(xiàn)性相相關(guān)程度和性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)量關(guān)程度和性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)量相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r，并進(jìn)行顯并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。著性檢驗(yàn)。n3.1 決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)n 直線(xiàn)回歸分析中：直線(xiàn)回歸分析中： n n n 由這個(gè)等式不難看到，由這個(gè)等式不難看到，y與與x直線(xiàn)回歸效果的直線(xiàn)回歸效果的好壞取決于回歸平方和好壞取決于回歸平方和

25、 與離回歸平方與離回歸平方和和n 的大小，或者說(shuō)取決于回歸平方和在的大小，或者說(shuō)取決于回歸平方和在y的總平方和的總平方和 中所占的比例的大小。這個(gè)中所占的比例的大小。這個(gè)比例越大，比例越大，y與與x的直線(xiàn)回歸效果就越好，反之則差的直線(xiàn)回歸效果就越好，反之則差。n 我們把比值我們把比值 /n叫做叫做x對(duì)對(duì)y的的決定系數(shù)（決定系數(shù)（determination coefficient ），記為），記為 r2，即，即 2)(yy22) ()(yyyy2)( yy2) (yy2)( yy2)( yy2)( yy 決定系數(shù)的大小表示了回歸方程估測(cè)可靠程度的決定系數(shù)的大小表示了回歸方程估測(cè)可靠程度的高低高低

26、，或者說(shuō)表示了回歸直線(xiàn)擬合度的高低，或者表，或者說(shuō)表示了回歸直線(xiàn)擬合度的高低，或者表示示x對(duì)對(duì)y的變異影響大小。顯然有的變異影響大小。顯然有0r21。如。如r20.81，表明，表明SSR占占SSy的的81，也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，x決定了決定了y變異變異的的81，決定作用強(qiáng)。，決定作用強(qiáng)。222)()(yyyyrxyyxyxyxxyyxxybbSSSPSSSPSSSSSPyyyyr2222)() ( SPxy/SSx是以是以x為自變量、為自變量、y為依變量時(shí)的為依變量時(shí)的回歸回歸系數(shù)系數(shù)byx。 若把若把y作為自變量、作為自變量、x作為依變量作為依變量 ，則回，則回歸系數(shù)歸系數(shù) bxy =SPxy

27、/SSy ，所以決定系數(shù)，所以決定系數(shù)r2等于等于y對(duì)對(duì)x的回歸系數(shù)與的回歸系數(shù)與 x對(duì)對(duì)y的回歸系數(shù)的乘積。這就是說(shuō)，的回歸系數(shù)的乘積。這就是說(shuō)，決定系數(shù)反應(yīng)了決定系數(shù)反應(yīng)了x為自變量、為自變量、y為依變量和為依變量和y為自變?yōu)樽宰兞俊⒘?、x為依變量時(shí)兩個(gè)相關(guān)變量為依變量時(shí)兩個(gè)相關(guān)變量x與與y直線(xiàn)相關(guān)的信直線(xiàn)相關(guān)的信息息 ，即，即決定系數(shù)表示了決定系數(shù)表示了 兩個(gè)互為因果關(guān)系的相關(guān)兩個(gè)互為因果關(guān)系的相關(guān)變量間直線(xiàn)相關(guān)的程度變量間直線(xiàn)相關(guān)的程度。但。但決定系數(shù)決定系數(shù)介于介于0和和1之間之間，不能反應(yīng)直線(xiàn)關(guān)系的性質(zhì)不能反應(yīng)直線(xiàn)關(guān)系的性質(zhì)是同向增減或是異向是同向增減或是異向增減。增減。 相關(guān)系數(shù)

28、可表示相關(guān)系數(shù)可表示y與與x的直線(xiàn)相關(guān)的密切程度，的直線(xiàn)相關(guān)的密切程度，也可表示直線(xiàn)相關(guān)的性質(zhì)也可表示直線(xiàn)相關(guān)的性質(zhì)，記為，記為r，即，即yxxySSSSSPr nyynxxnyxxy2222)()()( 8517. 06583.2928048.2376967.224yxxySSSSSPr8048.237/)(22nxxSSx6583.292/)(22nyySSy6967.224/)(nyxxySPxy 根據(jù)實(shí)際觀測(cè)值計(jì)算得來(lái)的相關(guān)系數(shù)根據(jù)實(shí)際觀測(cè)值計(jì)算得來(lái)的相關(guān)系數(shù)r是樣本是樣本相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)， 它是雙變量正態(tài)總體中的總體相關(guān)系它是雙變量正態(tài)總體中的總體相關(guān)系數(shù)數(shù)的估計(jì)值。樣本相關(guān)系數(shù)的

29、估計(jì)值。樣本相關(guān)系數(shù)r是否來(lái)自是否來(lái)自0的總體的總體，還須對(duì)樣本相關(guān)系數(shù)，還須對(duì)樣本相關(guān)系數(shù)r 進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。 此此 時(shí)時(shí)無(wú)無(wú) 效效 假假 設(shè)、備擇假設(shè)為設(shè)、備擇假設(shè)為HO:=0，HA:0。與直。與直線(xiàn)回歸關(guān)系顯著性檢驗(yàn)一樣，可采用線(xiàn)回歸關(guān)系顯著性檢驗(yàn)一樣，可采用t檢驗(yàn)法與檢驗(yàn)法與F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法對(duì)相關(guān)系數(shù)對(duì)相關(guān)系數(shù)r的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。 F檢驗(yàn)：檢驗(yàn)： F= ， df1=1，df2=n-2 (6-22) t 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)： t= ，df=n-2 (6-23) rSr) 2()1 (2nrSr)2()1 (22nrr 統(tǒng)計(jì)學(xué)家已根據(jù)相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)家已根據(jù)相關(guān)系數(shù)r

30、顯著性顯著性t檢驗(yàn)法計(jì)算出了臨檢驗(yàn)法計(jì)算出了臨界界r值并列出了表格。值并列出了表格。 所以可以直接采用查表法對(duì)相關(guān)所以可以直接采用查表法對(duì)相關(guān)系數(shù)系數(shù)r進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。 具體作法是：具體作法是： 先根據(jù)先根據(jù) 自由度自由度 n-2 查臨界查臨界 r 值值 ( 附附 表表 8 )，得，得 和和 。 若若|r| ，P0.05，則，則相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r不顯著，在不顯著，在r的右上方標(biāo)記的右上方標(biāo)記“ns”；若；若 |r| ，0.01P0.05，則相關(guān)系數(shù)，則相關(guān)系數(shù) r 顯著，在顯著，在r的右上方標(biāo)記的右上方標(biāo)記“*”；若；若|r| ， P 0.01， 則相則相 關(guān)關(guān) 系系 數(shù)數(shù) r

31、 極顯著，在極顯著，在 r 的右上方標(biāo)記的右上方標(biāo)記“*”。 )2(01. 0nr)2(05. 0nr)2(05. 0nr)2(01. 0nr)2(01. 0nr)2(05. 0nrn 而而|r| = | -0.8517| ，P0.01，表明該，表明該品種大豆子粒內(nèi)脂肪含量與蛋白質(zhì)含量呈極顯著負(fù)品種大豆子粒內(nèi)脂肪含量與蛋白質(zhì)含量呈極顯著負(fù)相關(guān)。相關(guān)。 )40(01. 0r0.05(40)0.01(40)=0.304=0.393rr， 相關(guān)系數(shù)對(duì)樣本相關(guān)關(guān)系的計(jì)量r值相關(guān)程度1絕對(duì)相關(guān)0.81高度相關(guān)0.50.8中度相關(guān)0.30.5低度相關(guān)00.3無(wú)相關(guān)0絕對(duì)無(wú)相關(guān)xyyxbbr根據(jù)散點(diǎn)圖，確定

32、回歸方程形式：根據(jù)散點(diǎn)圖，確定回歸方程形式：xbay計(jì)算得到：計(jì)算得到：5078.678706.0308440608.35341.900.26abSSSyxyyxxxyxy8706.05078.6799896.0yyxxxySSSr8982.0)7(7977.0)7(001.001.0rr 直線(xiàn)回歸分析與相關(guān)分析在生物科學(xué)研究領(lǐng)直線(xiàn)回歸分析與相關(guān)分析在生物科學(xué)研究領(lǐng)域中已得到了廣泛的應(yīng)用，但在實(shí)際工作中卻域中已得到了廣泛的應(yīng)用，但在實(shí)際工作中卻很容易被誤用或作出錯(cuò)誤的解釋。為了正確地很容易被誤用或作出錯(cuò)誤的解釋。為了正確地應(yīng)用直線(xiàn)回歸分析和相關(guān)分析這一工具，必須應(yīng)用直線(xiàn)回歸分析和相關(guān)分析這一工

33、具，必須注意以下幾點(diǎn)：注意以下幾點(diǎn)： （1）變量間是否存在相關(guān)）變量間是否存在相關(guān) 直線(xiàn)回歸分析和相關(guān)分析畢竟是處理變量間關(guān)系的直線(xiàn)回歸分析和相關(guān)分析畢竟是處理變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法，在將這些方法應(yīng)用于生物科學(xué)研究時(shí)要考慮，在將這些方法應(yīng)用于生物科學(xué)研究時(shí)要考慮到到生物本身的客觀實(shí)際情況生物本身的客觀實(shí)際情況，譬如，譬如變量間是否存在直線(xiàn)變量間是否存在直線(xiàn)相關(guān)以及在什么條件下會(huì)發(fā)生直線(xiàn)相關(guān)，求出的直線(xiàn)回相關(guān)以及在什么條件下會(huì)發(fā)生直線(xiàn)相關(guān)，求出的直線(xiàn)回歸方程是否有意義，歸方程是否有意義，某性狀作為自變量或依變量的確定某性狀作為自變量或依變量的確定等等，都必須由生物科學(xué)相應(yīng)的專(zhuān)業(yè)知識(shí)來(lái)決定，

34、并且等等，都必須由生物科學(xué)相應(yīng)的專(zhuān)業(yè)知識(shí)來(lái)決定，并且還要用到生物科學(xué)實(shí)踐中去檢驗(yàn)。還要用到生物科學(xué)實(shí)踐中去檢驗(yàn)。如果不以一定的生物如果不以一定的生物科學(xué)依據(jù)為前提，把風(fēng)馬牛不相及的資料隨意湊到一塊科學(xué)依據(jù)為前提，把風(fēng)馬牛不相及的資料隨意湊到一塊作直線(xiàn)回歸分析或相關(guān)分析，那將是根本性的錯(cuò)誤。作直線(xiàn)回歸分析或相關(guān)分析，那將是根本性的錯(cuò)誤。 （2）其余變量盡量保持一致）其余變量盡量保持一致 由于自然界各種事物間的相互聯(lián)系和相互制約，一由于自然界各種事物間的相互聯(lián)系和相互制約，一個(gè)變量的變化通常會(huì)受到許多其它變量的影響，因此個(gè)變量的變化通常會(huì)受到許多其它變量的影響，因此，在研究?jī)蓚€(gè)變量間關(guān)系時(shí)，要求其余變量應(yīng)盡量保，在研究?jī)蓚€(gè)變量間關(guān)系時(shí)，要求其余變量應(yīng)盡量保持在同一水平，否則，回歸分析和相關(guān)分析可能會(huì)導(dǎo)持在同一水平，否則，回歸分析和相關(guān)分析可能會(huì)導(dǎo)致完全虛假的結(jié)果。例如研究人的身高和胸圍之間的致完全虛假的結(jié)果。例如研究人的身高和胸圍之間的關(guān)系，如果體重固定，身高越高的人，胸圍越小，但關(guān)系，如果體重固定，身高越高的人，胸圍越小，但當(dāng)體重在變化時(shí)，其結(jié)果也就會(huì)變化。當(dāng)體重在變化時(shí)，其結(jié)果也就會(huì)變化。 （3）觀測(cè)值要盡可能的多）觀測(cè)值要盡可能的多 在進(jìn)行直線(xiàn)回歸與相關(guān)分析時(shí)，