數(shù)學物理方法分離變量法實用教案

1、本章(bn zhn)基本要求n掌握有界弦的自由振動解及其物理(wl)意義n著重掌握分離變量(binling)法的解題思路、n 解題步驟及其核心問題-本征值問題1第1頁/共82頁第一頁，共82頁。分離(fnl)變量法核心：本章考慮(kol)問題（1）混合問題（2）邊值問題本章(bn zhn)層次：2偏微分方程常微分方程齊次方程+齊次邊界條件非齊次方程+齊次邊界條件非齊次方程+非齊次邊界條件第2頁/共82頁第二頁，共82頁。分離分離(fnl)變量法思路起源變量法思路起源物理上由樂器發(fā)出的聲音可以分解為各種不同頻率物理上由樂器發(fā)出的聲音可以分解為各種不同頻率(pnl)的的單音，每種單音振動時形成正弦

2、曲線，可以表示成單音，每種單音振動時形成正弦曲線，可以表示成32.1 2.1 齊次方程齊次方程(fngchng)(fngchng)問題問題特點：含兩個變量的函數(shù)可以表示為兩個分別只含一特點：含兩個變量的函數(shù)可以表示為兩個分別只含一個變量的函數(shù)之積。個變量的函數(shù)之積。第3頁/共82頁第三頁，共82頁。這個定解問題的特點這個定解問題的特點(tdin)是：偏微分方程是線性奇次的，是：偏微分方程是線性奇次的，邊界條件也是奇次的。邊界條件也是奇次的。研究研究(ynji)兩端固定的弦的自由振兩端固定的弦的自由振動動定解問題(wnt)解：解：這是解的分離變量這是解的分離變量泛定方程：泛定方程：邊界條件：邊界

3、條件：0( )tux 0( )ttux 0( , )x lu x t初始條件：初始條件：4研究兩端固定的弦的自由振動研究兩端固定的弦的自由振動定解問題（第一類齊次邊界條件）（第一類齊次邊界條件）由前面思路，設(shè)由前面思路，設(shè)第4頁/共82頁第四頁，共82頁。( , )( ) ( )u x tX x T t x, t x, t 是相互是相互(xingh)(xingh)獨獨立的變量立的變量（求非零解）（求非零解）代入方程(fngchng)中，分離過程：得出兩個常微分方程： 代入邊界條件：5第5頁/共82頁第五頁，共82頁。高數(shù)中結(jié)論高數(shù)中結(jié)論(jiln)(jiln)：6若有二階常系數(shù)若有二階常系數(shù)(

4、xsh)(xsh)線性齊次方線性齊次方程程其中其中p p、q q為常數(shù)，則特征方程為為常數(shù)，則特征方程為第6頁/共82頁第六頁，共82頁。7120CC12( )xxX xC eC e 00( )X120CC0( )X l 120llC eC e 0 (1) 12( )X xC xC20C 120C lC120CC(2)0 第7頁/共82頁第七頁，共82頁。C2是積分(jfn)常數(shù)812( )cossinX xCx Cx 10C 20sinCl 非零解非零解20C 00( )X0( )X l (3)0 第8頁/共82頁第八頁，共82頁。固得到(d do)下面一族解：A、B 是積分是積分(jfn)

5、常數(shù)常數(shù)1 2 3, ,n 時間函數(shù)解9解方程 n=1,2,3 第9頁/共82頁第九頁，共82頁。代入初始條件，有 一般(ybn)情況下滿足不了，怎么辦？！利用利用(lyng)(lyng)疊加原疊加原理！理！10第10頁/共82頁第十頁，共82頁。此時(c sh)要滿足初始條件，則 11第11頁/共82頁第十一頁，共82頁。則定解問題則定解問題(wnt)的最終解為的最終解為12第12頁/共82頁第十二頁，共82頁。是駐波(zh b)，（固有振動模式）相鄰節(jié)點之間距離等于(dngy)半波長 波長=節(jié)點數(shù) n+1 ,位置 lnlnnlnlx,) 1(,2, 0 13第13頁/共82頁第十三頁，共8

6、2頁。14本征頻率lnavlannn22,pwpw n=1 時,1lapw基頻基波（決定了音調(diào)） n1 時lannpw諧頻諧波（決定了音色） 波腹波腹波節(jié)波節(jié)第14頁/共82頁第十四頁，共82頁。（4）確定(qudng)級數(shù)解中的待定常數(shù)（利用初始條件）（1）將偏微分方程(wi fn fn chn)化簡為常微分方程(wi fn fn chn)（U=XT)（2）確定固有值和固有函數(shù)（利用邊界條件）（3）確定形式解（級數(shù)形式解）15第15頁/共82頁第十五頁，共82頁。1620ttxxua u例：求解例：求解(qi ji)（第二類齊次邊界條件）（第二類齊次邊界條件）20XTa XT( , )( )

7、 ( )u x tX x T t2 ( )( )( )( )TtXxX xa T t 200Ta TXX 解：解：設(shè)設(shè)第16頁/共82頁第十六頁，共82頁。17此時此時(c sh)邊界條邊界條件為：件為：相應(yīng)相應(yīng)(xingyng)的特征值問題的特征值問題為：為：120CC12( )xxX xC eC e 0 (1) 0)0(21CCX0)(21lleCeClX第17頁/共82頁第十七頁，共82頁。1812( )X xC xC120CC(2)0 0)0(2 CX0)(1ClX0)0(1 CX0cos)(2lClX12( )cossinX xCx Cx 非零解非零解20C (3)0 第18頁/共8

8、2頁第十八頁，共82頁。19第19頁/共82頁第十九頁，共82頁。同樣很難滿足(mnz)初始條件，由疊加原理得 201),(),(nntxutxu此時(c sh)要滿足初始條件，有 第20頁/共82頁第二十頁，共82頁。21故定解問題故定解問題(wnt)的最終解為的最終解為第21頁/共82頁第二十一頁，共82頁。2.2 2.2 有限有限(yuxin)(yuxin)長桿上的熱傳導(dǎo)長桿上的熱傳導(dǎo)22第22頁/共82頁第二十二頁，共82頁。23第23頁/共82頁第二十三頁，共82頁。24此特解仍然很難滿足此特解仍然很難滿足(mnz)初始條件，由疊加原理得級數(shù)初始條件，由疊加原理得級數(shù)解為解為第24頁

9、/共82頁第二十四頁，共82頁。25由初始條件有 第25頁/共82頁第二十五頁，共82頁。2.3 二維拉普拉斯方程(fngchng)的定解問題 （1）圓域 因為邊界(binji)形狀是個圓周，圓域邊界(binji)條件中x、y是不可直接分離的，故化為極坐標求解。26第26頁/共82頁第二十六頁，共82頁。27第27頁/共82頁第二十七頁，共82頁。第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原點約束條件的變量分離點約束條件的變量分離(fnl)形式的解形式的解28第28頁/共82頁第二十八頁，共82頁。29周期(zhuq)本征值問題歐拉方程(fngchng)第2

10、9頁/共82頁第二十九頁，共82頁。第二步：求解第二步：求解(qi ji)周期本征值問題和歐拉周期本征值問題和歐拉方程方程0( )(2 )p 2( )cossin0,1,2,nnnnnanbnn30第30頁/共82頁第三十頁，共82頁。根據(jù)疊加原理根據(jù)疊加原理(yunl)，得到級數(shù)解，得到級數(shù)解31第31頁/共82頁第三十一頁，共82頁。第三步：利用第三步：利用(lyng)邊界條邊界條件件利用傅立葉級數(shù)系數(shù)(xsh)的求解公式32第32頁/共82頁第三十二頁，共82頁。歐拉方程歐拉方程(fngchng) 常系數(shù)(xsh)線性微分方程附錄(fl)： 歐拉方程33第33頁/共82頁第三十三頁，共8

11、2頁。歐拉方程的算子歐拉方程的算子(sun z)解法解法: 34第34頁/共82頁第三十四頁，共82頁。則由上述(shngsh)計算可知: 用歸納法可證 于是(ysh)歐拉方程 轉(zhuǎn)化(zhunhu)為常系數(shù)線性方程:35第35頁/共82頁第三十五頁，共82頁。 （2）矩形(jxng)域36第36頁/共82頁第三十六頁，共82頁。37時有非零解只有0第37頁/共82頁第三十七頁，共82頁。38疊加后的級數(shù)解為疊加后的級數(shù)解為第38頁/共82頁第三十八頁，共82頁。39第39頁/共82頁第三十九頁，共82頁。泛定方程泛定方程邊界條件邊界條件本征值問題本征值問題本征值本征值本征函數(shù)本征函數(shù) k=1,

12、2,3 21()2klp p k=0,1,2,3 40k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 第40頁/共82頁第四十頁，共82頁。412.4 非奇次方程(fngchng)的解法 研究一根弦在兩端研究一根弦在兩端(lin dun)固定的情況下，受固定的情況下，受強迫力作用所產(chǎn)生的振動現(xiàn)象。強迫力作用所產(chǎn)生的振動現(xiàn)象。 即考慮下列即考慮下列(xili)定解問題：定解問題：第41頁/共82頁第四十一頁，共82頁。42 怎么辦？！怎么辦？！ 很明顯現(xiàn)在很明顯現(xiàn)在(xinzi)不能直接用前面的變量不能直接用前面的變量分離起手式進行分解，因為等式右邊的非齊次分離起手式進行分解，因為等式右邊的非齊次尾巴沒

13、辦法處理！尾巴沒辦法處理！ 現(xiàn)在的情況現(xiàn)在的情況(qngkung)下，弦的振動和兩個原因下，弦的振動和兩個原因有關(guān)，一是外力，二是初始狀態(tài)。有關(guān)，一是外力，二是初始狀態(tài)。 有否經(jīng)歷過類似有否經(jīng)歷過類似(li s)情景？是否有可借鑒的情景？是否有可借鑒的類似類似(li s)情況？情況？第42頁/共82頁第四十二頁，共82頁。43 借用借用(jiyng)結(jié)論：結(jié)論： 這里我們這里我們(w men)用一招移花接木！用一招移花接木！ 全響應(yīng)全響應(yīng)(xingyng)=零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)(xingyng)+零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)(xingyng) 零輸入零輸入=初始狀態(tài)引起振動，與外力無關(guān)；初始狀態(tài)引起振

14、動，與外力無關(guān)； 零狀態(tài)零狀態(tài)=外力引起振動，與初始狀態(tài)無關(guān)外力引起振動，與初始狀態(tài)無關(guān)第43頁/共82頁第四十三頁，共82頁。44 設(shè)解為：設(shè)解為：初始狀態(tài)原因初始狀態(tài)原因(yunyn)（零輸入）（零輸入）外力外力(wil)原因原因（零狀態(tài)）（零狀態(tài)）第44頁/共82頁第四十四頁，共82頁。45 （零輸入（零輸入(shr)響應(yīng)）響應(yīng)） （ 零狀態(tài)零狀態(tài)(zhungti)響響應(yīng)）應(yīng)）第45頁/共82頁第四十五頁，共82頁。46 對對V（x，t），可直接用前面），可直接用前面(qin mian)的的變量分類法求出：變量分類法求出：第46頁/共82頁第四十六頁，共82頁。47 對對W（x，t），如

15、何），如何(rh)求？求？lxtWWtWWtlxtxfxWatWttlxx0 , 00, 00,0),(00022222第47頁/共82頁第四十七頁，共82頁。48第48頁/共82頁第四十八頁，共82頁。49第49頁/共82頁第四十九頁，共82頁。50第50頁/共82頁第五十頁，共82頁。51 設(shè)設(shè)解法解法(ji f)二二第51頁/共82頁第五十一頁，共82頁。52第52頁/共82頁第五十二頁，共82頁。53（零狀態(tài)響應(yīng)）第53頁/共82頁第五十三頁，共82頁。54 原方程原方程(fngchng)的解的解為：為：xlntTtxunn1sin)(),(p第54頁/共82頁第五十四頁，共82頁。5

16、5 例 在環(huán)形(hun xn)域 內(nèi)求解下列定解問題解解由于求解區(qū)域是環(huán)形區(qū)域，所以由于求解區(qū)域是環(huán)形區(qū)域，所以(suy)改選改選用平面極坐標系，利用直角坐標與極坐標系用平面極坐標系，利用直角坐標與極坐標系之間的關(guān)系之間的關(guān)系第55頁/共82頁第五十五頁，共82頁。56將上述將上述(shngsh)定解問題用極坐標定解問題用極坐標表示出來：表示出來： 利用利用(lyng)上節(jié)求出的圓域拉普拉斯方程的上節(jié)求出的圓域拉普拉斯方程的本征函數(shù)，設(shè)解為本征函數(shù)，設(shè)解為第56頁/共82頁第五十六頁，共82頁。57 代入方程代入方程(fngchng)并整并整理得到：理得到：比較兩端比較兩端(lin dun)的

17、系數(shù)可得的系數(shù)可得第57頁/共82頁第五十七頁，共82頁。58再由邊界條件得再由邊界條件得通解通解(tngji)為：為：求解求解(qi ji)得得第58頁/共82頁第五十八頁，共82頁。59特解有特解有所以所以(suy)有有代入邊界條件有代入邊界條件有原定解問題原定解問題(wnt)的解為的解為第59頁/共82頁第五十九頁，共82頁。602.5 2.5 非齊次邊界條件的處理非齊次邊界條件的處理(chl)(chl)設(shè)有定解問題設(shè)有定解問題(wnt)(wnt) 邊界條件非齊次，若用前面方法邊界條件非齊次，若用前面方法(fngf)(fngf)分離變量，由邊界條件分離變量，由邊界條件沒有辦法得到只與某個

18、常微分方程有關(guān)的具體邊界函數(shù)值。沒有辦法得到只與某個常微分方程有關(guān)的具體邊界函數(shù)值。 怎么辦？！怎么辦？！第60頁/共82頁第六十頁，共82頁。61想辦法想辦法(bnf)(bnf)把邊界條件化為齊次！把邊界條件化為齊次！),(),(),(txWtxVtxu設(shè)法設(shè)法(shf)(shf)作一代換將邊界條件化為齊次的，令作一代換將邊界條件化為齊次的，令所以所以(suy)(suy)要求要求選取選取W(x,t)使使V(x,t)的邊界條件化為齊次的，即的邊界條件化為齊次的，即第61頁/共82頁第六十一頁，共82頁。62 一般這樣的函數(shù)一般這樣的函數(shù)(hnsh)(hnsh)是很容易找到的，最簡單的如是很容易

19、找到的，最簡單的如選取關(guān)于選取關(guān)于x x的線性函數(shù)的線性函數(shù)(hnsh)(hnsh)： 代入代入w w（x x，t t）要滿足）要滿足(mnz)(mnz)的邊界條件，可求出：的邊界條件，可求出：第62頁/共82頁第六十二頁，共82頁。63此時關(guān)于此時關(guān)于(guny)V(guny)V的定解問的定解問題為題為因此只要因此只要(zhyo)(zhyo)做如下代換，做如下代換，V V將滿足齊次邊界條件。將滿足齊次邊界條件。第63頁/共82頁第六十三頁，共82頁。64其中其中(qzhng)(qzhng)關(guān)于關(guān)于(guny)V(guny)V（x x，t t）的問題即前述非齊次方程、齊次邊界條件問題。）的問題

20、即前述非齊次方程、齊次邊界條件問題。第64頁/共82頁第六十四頁，共82頁。65 當邊界條件不同時當邊界條件不同時(tngsh)(tngsh)，方法一致（關(guān)鍵在與，方法一致（關(guān)鍵在與w w（x x，t t）的選?。?，）的選?。?，W W（x x，t t）的形式不同。）的形式不同。常用常用(chn(chn yn yn) )的最簡單的的最簡單的w w（x x，t t）形式）形式第65頁/共82頁第六十五頁，共82頁。66通過上式可以通過上式可以(ky)(ky)求出求出W W（x x）的形式。）的形式。注：若注：若f f，u1u1，u2u2都與都與t t無關(guān)，則可選取無關(guān)，則可選取(xunq)W(xu

21、nq)W（x x）（與）（與t t無關(guān)），無關(guān)）， 使使V V（x x，t t）同時滿足齊次方程和齊次邊界條件，此時）同時滿足齊次方程和齊次邊界條件，此時 W W（x x）需滿足：）需滿足：第66頁/共82頁第六十六頁，共82頁。67此時此時(c sh)u(c sh)u（x x，t t）=V=V（x x，t t）+W+W（x x），則），則V V（x x，t t）滿足）滿足第67頁/共82頁第六十七頁，共82頁。68例1：求的形式解，其中(qzhng)A,B均為常數(shù)。解：令代入方程(fngchng)有第68頁/共82頁第六十八頁，共82頁。69通過(tnggu)二次積分即邊界條件求得：則V的方

22、程(fngchng)為：第69頁/共82頁第六十九頁，共82頁。70利用分離變量法，帶齊次邊界(binji)的方程的解為利用(lyng)第二個初始條件代入第一個初始條件有即第70頁/共82頁第七十頁，共82頁。71由傅里葉系數(shù)(xsh)公式可得因此(ync)，原定解問題的解為：第71頁/共82頁第七十一頁，共82頁。72例2 求定解問題(wnt)其中(qzhng)b,u1均為常數(shù)。解：令代入方程(fngchng)有第72頁/共82頁第七十二頁，共82頁。73分解(fnji)為兩個方程（零輸入(shr)響應(yīng)）（零狀態(tài)(zhungti)響應(yīng)）第73頁/共82頁第七十三頁，共82頁。74對于問題(wnt)（I），可