數(shù)學(xué)建?；貧w分析實(shí)用教案

1、引言(ynyn) 回歸分析是處理很難用一種精確方法表示出來(lái)的變量之間關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法，它是最常用的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，能解決預(yù)測(cè)、控制、生產(chǎn)工藝優(yōu)化等問(wèn)題。它在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究各個(gè)領(lǐng)域中均有廣泛的應(yīng)用。 回歸分析一般分為線性回歸分析和非線性回歸分析。本節(jié)著重介紹線性回歸分析的基本結(jié)論及其在Matlab中的相應(yīng)(xingyng)命令。線性回歸分析是兩類回歸分析中較簡(jiǎn)單的一類，也是應(yīng)用較多的一類。第1頁(yè)/共32頁(yè)第一頁(yè)，共32頁(yè)。一 一元線性回歸(hugu)分析 針對(duì)一組（二維）數(shù)據(jù)針對(duì)一組（二維）數(shù)據(jù) （其中（其中 互不相同），其最簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)擬合形式互不相同），其最簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)擬合形式為尋求直線為

2、尋求直線 ，使，使 在最在最小二乘準(zhǔn)則下與所有小二乘準(zhǔn)則下與所有(suyu)(suyu)數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近。數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近。 但由于隨機(jī)觀測(cè)誤差的存在，滿足上述數(shù)但由于隨機(jī)觀測(cè)誤差的存在，滿足上述數(shù)據(jù)點(diǎn)的直線應(yīng)該是據(jù)點(diǎn)的直線應(yīng)該是 (1.1)(1.1) 其中其中x, yx, y是準(zhǔn)確的是準(zhǔn)確的, , 是兩個(gè)未知參數(shù)，是兩個(gè)未知參數(shù)， 是均值為零的隨機(jī)觀測(cè)誤差，具有不可觀測(cè)性，是均值為零的隨機(jī)觀測(cè)誤差，具有不可觀測(cè)性， 可以合理地假設(shè)這種觀測(cè)誤差服從正態(tài)分布?？梢院侠淼丶僭O(shè)這種觀測(cè)誤差服從正態(tài)分布。ix第2頁(yè)/共32頁(yè)第二頁(yè)，共32頁(yè)。 于是于是(ysh)(ysh)我們得到一元線性回歸模型為我們得到

3、一元線性回歸模型為 (1.2) (1.2) 其中其中 未知，固定的未知參數(shù)未知，固定的未知參數(shù) 稱為回歸稱為回歸系數(shù)，自變量系數(shù)，自變量x x稱為回歸變量。稱為回歸變量。 (1.1) (1.1)式兩邊同時(shí)取期望得：式兩邊同時(shí)取期望得： 稱為稱為y y 對(duì)對(duì)x x的回歸直線方程。的回歸直線方程。 在該模型下，第在該模型下，第i i個(gè)觀測(cè)值可個(gè)觀測(cè)值可以看作樣本（這些樣本相互獨(dú)立但不同分布以看作樣本（這些樣本相互獨(dú)立但不同分布, ,i = 1,2,ni = 1,2,n）的實(shí)際抽樣值，即樣本值。）的實(shí)際抽樣值，即樣本值。第3頁(yè)/共32頁(yè)第三頁(yè)，共32頁(yè)。 一元線性回歸分析的主要任務(wù)是：a.用實(shí)驗(yàn)值（

4、樣本值）對(duì) 作點(diǎn)估計(jì)；b.對(duì)回歸系數(shù) 作假設(shè)檢驗(yàn)；c.在 處對(duì)y 作預(yù)測(cè)，并對(duì)y作區(qū)間估計(jì)。1、 回歸參數(shù) 估計(jì) 假設(shè)有n組獨(dú)立(dl)觀測(cè)值： 則由(1.2)有 （1.3）第4頁(yè)/共32頁(yè)第四頁(yè)，共32頁(yè)。 其中其中 相互獨(dú)立。記相互獨(dú)立。記 稱稱 為偏離真實(shí)直線的偏差為偏離真實(shí)直線的偏差(pinch)(pinch)平平方和。由最小二乘法得到的估計(jì)方和。由最小二乘法得到的估計(jì) 稱為稱為 的最小二乘估計(jì)，其中的最小二乘估計(jì)，其中 （經(jīng)驗(yàn)）回歸方程為（經(jīng)驗(yàn)）回歸方程為 （1.41.4） 第5頁(yè)/共32頁(yè)第五頁(yè)，共32頁(yè)。這樣我們得到這樣我們得到 的無(wú)偏估計(jì)的無(wú)偏估計(jì)(gj) (gj) ，其中其中

5、 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布第6頁(yè)/共32頁(yè)第六頁(yè)，共32頁(yè)。2 模型(mxng)的假設(shè)、預(yù)測(cè)、控制1 1、回歸方程的顯著性檢驗(yàn)、回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 在實(shí)際問(wèn)題中，因變量在實(shí)際問(wèn)題中，因變量y y 與自變量與自變量x x之間是否有之間是否有線性關(guān)系線性關(guān)系(1.1)(1.1)只是一種假設(shè)，在求出回歸方程之后，只是一種假設(shè)，在求出回歸方程之后，還必須對(duì)這種回歸方程同實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合的效果進(jìn)還必須對(duì)這種回歸方程同實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合的效果進(jìn)行行(jnxng)(jnxng)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。 由由(1.1)(1.1)可知，可知， 越大，越大，y y 隨隨x x變化的趨勢(shì)就變化的趨勢(shì)就 越明顯；反之，越明顯；反

6、之， 越小，越小，y y 隨隨x x變化的趨勢(shì)就越不明變化的趨勢(shì)就越不明顯。特別當(dāng)顯。特別當(dāng) =0 =0時(shí)，則認(rèn)為時(shí)，則認(rèn)為y y 與與x x之間不存在線性關(guān)之間不存在線性關(guān)系，當(dāng)系，當(dāng) 時(shí)，則認(rèn)為時(shí)，則認(rèn)為y y與與x x之間有線性關(guān)系。因此，之間有線性關(guān)系。因此，問(wèn)題歸結(jié)為對(duì)假設(shè)問(wèn)題歸結(jié)為對(duì)假設(shè) 進(jìn)行進(jìn)行(jnxng)(jnxng)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。11110第7頁(yè)/共32頁(yè)第七頁(yè)，共32頁(yè)。 假設(shè)假設(shè): : 被拒絕，則回歸顯著，認(rèn)為被拒絕，則回歸顯著，認(rèn)為y y 與與x x之間存在線性關(guān)系，所求的線性回歸方程之間存在線性關(guān)系，所求的線性回歸方程有意義；否則回歸不顯著，有意義；否則回歸不顯著，y

7、 y與與x x的關(guān)系不能用的關(guān)系不能用一元一元(y yun)(y yun)線性回歸模型來(lái)描述，所得的線性回歸模型來(lái)描述，所得的回歸方程也無(wú)意義。此時(shí)，可能有如下幾種情回歸方程也無(wú)意義。此時(shí)，可能有如下幾種情況：況：（1 1）x x對(duì)對(duì)y y沒(méi)有顯著影響，此時(shí)應(yīng)丟掉變量沒(méi)有顯著影響，此時(shí)應(yīng)丟掉變量x x；（2 2）x x對(duì)對(duì)y y 有顯著影響，但這種影響不能用線性有顯著影響，但這種影響不能用線性關(guān)關(guān) 系來(lái)表示，應(yīng)該用非線性回歸；系來(lái)表示，應(yīng)該用非線性回歸；（3 3）除）除x x之外，還有其他不可忽略的變量對(duì)之外，還有其他不可忽略的變量對(duì)y y 有有顯顯 著影響，從而削弱了著影響，從而削弱了x x

8、對(duì)對(duì)y y 的影響。此時(shí)應(yīng)的影響。此時(shí)應(yīng)用用 多元線性回歸模型。因此，在接受多元線性回歸模型。因此，在接受H0 H0 的同的同 時(shí)，需要進(jìn)一步查明原因以便分別處理。時(shí)，需要進(jìn)一步查明原因以便分別處理。第8頁(yè)/共32頁(yè)第八頁(yè)，共32頁(yè)。檢驗(yàn)方法：（檢驗(yàn)方法：（a a）F F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法 對(duì)樣本方差對(duì)樣本方差 進(jìn)行分解，有進(jìn)行分解，有 上式中的上式中的 是由實(shí)際觀測(cè)值沒(méi)有落在回歸直線是由實(shí)際觀測(cè)值沒(méi)有落在回歸直線上上引起的（否則為零），引起的（否則為零），U U 是由回歸直線引起的。因是由回歸直線引起的。因此，此，U U 越大，越大， 就越小，表示就越小，表示y y 與與x x的線性關(guān)系就的線性關(guān)

9、系就越越顯著；否則，顯著；否則，U U 越小，越小， 就越大，表示就越大，表示y y 與與x x的線的線性性關(guān)系就越不顯著。這樣我們就找到了一種判別回歸關(guān)系就越不顯著。這樣我們就找到了一種判別回歸直線擬合程度直線擬合程度(chngd)(chngd)好壞的方法：如果好壞的方法：如果U /sU /s接近于接近于1 1，即，即U / U / 較大時(shí)，則對(duì)擬合效果感到滿意。較大時(shí)，則對(duì)擬合效果感到滿意。第9頁(yè)/共32頁(yè)第九頁(yè)，共32頁(yè)。 由由F F分布有分布有 其中其中r r稱為相關(guān)系數(shù)。對(duì)給定的顯著水平稱為相關(guān)系數(shù)。對(duì)給定的顯著水平a a ，有置信，有置信 水平為水平為1-a 1-a 的臨界值的臨界

10、值 ，從而，從而F F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法 的檢驗(yàn)準(zhǔn)則的檢驗(yàn)準(zhǔn)則(zhnz)(zhnz)為：當(dāng)為：當(dāng) 時(shí)，時(shí)，拒絕拒絕 ；否則就接受；否則就接受第10頁(yè)/共32頁(yè)第十頁(yè)，共32頁(yè)。（b b）t t檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法當(dāng)成立時(shí)，由當(dāng)成立時(shí)，由T T分布分布(fnb)(fnb)的定義有的定義有因此，對(duì)于給定的顯著水平因此，對(duì)于給定的顯著水平a a ，用，用T T統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn) ，有置信水平為有置信水平為1-a 1-a 的臨界值的臨界值, ,從而從而t t檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)準(zhǔn)則為：檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)準(zhǔn)則為：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，拒絕時(shí)，拒絕 ；否則就接受；否則就接受第11頁(yè)/共32頁(yè)第十一頁(yè)，共32頁(yè)。2 2、預(yù)測(cè)與控制、預(yù)測(cè)與控制

11、當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了: : ，接下來(lái)的問(wèn)題是如，接下來(lái)的問(wèn)題是如何利用回歸方程何利用回歸方程 進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制。進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制。預(yù)測(cè)就是對(duì)固定的預(yù)測(cè)就是對(duì)固定的x x值預(yù)測(cè)相應(yīng)的值預(yù)測(cè)相應(yīng)的y y 值，控制就是通值，控制就是通過(guò)控制過(guò)控制x x的值，以便把的值，以便把y y 的值控制在制定的范圍內(nèi)。的值控制在制定的范圍內(nèi)。(a)(a)預(yù)測(cè)預(yù)測(cè) 設(shè)設(shè)y y 與與x x滿足模型滿足模型(1.2)(1.2)。令。令 表示表示x x的某個(gè)固的某個(gè)固定值，且定值，且 假設(shè)假設(shè)(jish) (jish) 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 的預(yù)的預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)區(qū)間如下。測(cè)區(qū)間如下。第12頁(yè)/共32頁(yè)

12、第十二頁(yè)，共32頁(yè)。 y y 的預(yù)測(cè)值為的預(yù)測(cè)值為 的回歸值的回歸值 。它是。它是 的無(wú)偏的無(wú)偏(w pin)(w pin)估計(jì)，即估計(jì)，即 給定顯著水平給定顯著水平 ， 的置信水平為的置信水平為1- 1- 的預(yù)測(cè)區(qū)間的預(yù)測(cè)區(qū)間 為為 ，其中，其中 由上式可知，剩余標(biāo)準(zhǔn)差由上式可知，剩余標(biāo)準(zhǔn)差 越小，預(yù)測(cè)區(qū)間越越小，預(yù)測(cè)區(qū)間越小，預(yù)測(cè)值越精確；對(duì)于給定的樣本觀測(cè)值和置信小，預(yù)測(cè)值越精確；對(duì)于給定的樣本觀測(cè)值和置信水平而言，水平而言， 越靠近越靠近 時(shí)，預(yù)測(cè)精度就越高。時(shí)，預(yù)測(cè)精度就越高。第13頁(yè)/共32頁(yè)第十三頁(yè)，共32頁(yè)。 (b)(b)控制控制 若要若要 的值以的值以1- 1- 的概率落的概

13、率落在在 指定區(qū)間指定區(qū)間(c,d)(c,d)之內(nèi)，變量之內(nèi)，變量(binling)x(binling)x應(yīng)控應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)制在什么范圍內(nèi) 的問(wèn)題就是所謂的控制問(wèn)題。它是預(yù)測(cè)問(wèn)題的反的問(wèn)題就是所謂的控制問(wèn)題。它是預(yù)測(cè)問(wèn)題的反 問(wèn)題。問(wèn)題。 只要控制只要控制x x滿足以下兩不等式滿足以下兩不等式 這要求這要求 若方程若方程 分別有解分別有解a,ba,b，則，則(a,b)(a,b)就是所求的就是所求的x x的控制區(qū)間。的控制區(qū)間。第14頁(yè)/共32頁(yè)第十四頁(yè)，共32頁(yè)。二 可線性化的一元(y yun)非線性回歸（曲線回歸） 在工程技術(shù)中，自變量在工程技術(shù)中，自變量x x與因變量與因變量y y 之

14、間有時(shí)呈之間有時(shí)呈現(xiàn)出非線性（或曲線）關(guān)系，這是通?，F(xiàn)出非線性（或曲線）關(guān)系，這是通常(tngchng)(tngchng)出現(xiàn)兩種情況：一種是呈現(xiàn)多項(xiàng)式的出現(xiàn)兩種情況：一種是呈現(xiàn)多項(xiàng)式的關(guān)系，這種情況通過(guò)變量替換可化為多元線性回歸問(wèn)關(guān)系，這種情況通過(guò)變量替換可化為多元線性回歸問(wèn)題給予解決；另一種是呈現(xiàn)出其它非線性關(guān)系，通過(guò)題給予解決；另一種是呈現(xiàn)出其它非線性關(guān)系，通過(guò)變量替換可化為一元線性回歸問(wèn)題給予解決。變量替換可化為一元線性回歸問(wèn)題給予解決。 若匹配曲線（經(jīng)驗(yàn)公式）為含參量若匹配曲線（經(jīng)驗(yàn)公式）為含參量a,ba,b的非線性的非線性曲線，采用的辦法是通過(guò)變量替換把非線性回歸化為曲線，采用的辦

15、法是通過(guò)變量替換把非線性回歸化為線性回歸。通常線性回歸。通常(tngchng)(tngchng)匹配的含參量匹配的含參量a,ba,b的的非線性曲線有以下六類，具體的替換方法如下：非線性曲線有以下六類，具體的替換方法如下：第15頁(yè)/共32頁(yè)第十五頁(yè)，共32頁(yè)。 1 1 雙曲線雙曲線 作變量替換作變量替換 得得 2 2 冪函數(shù)曲線冪函數(shù)曲線 兩邊取常用對(duì)數(shù)：兩邊取常用對(duì)數(shù)： ，再作，再作 代換代換 則冪函則冪函 數(shù)曲線方程就變成直線方程數(shù)曲線方程就變成直線方程 注：對(duì)于非線性回歸注：對(duì)于非線性回歸(hugu)(hugu)問(wèn)題的問(wèn)題的MatlabMatlab實(shí)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題，一種方法是化為相應(yīng)的線性模型實(shí)

16、現(xiàn)，現(xiàn)問(wèn)題，一種方法是化為相應(yīng)的線性模型實(shí)現(xiàn)，另種方法是直接應(yīng)用另種方法是直接應(yīng)用MatlabMatlab中相應(yīng)的命令，其結(jié)中相應(yīng)的命令，其結(jié)果是一致的。果是一致的。第16頁(yè)/共32頁(yè)第十六頁(yè)，共32頁(yè)。三 多元線性回歸(hugu)分析 一般地，在實(shí)際問(wèn)題中影響應(yīng)變量一般地，在實(shí)際問(wèn)題中影響應(yīng)變量y y 的自變量往的自變量往 往不止一個(gè)，不妨設(shè)有往不止一個(gè)，不妨設(shè)有k k 個(gè)為個(gè)為 。通通 過(guò)觀測(cè)過(guò)觀測(cè)(gunc)(gunc)得到一組（得到一組（k +1k +1維）相互獨(dú)維）相互獨(dú)立的試驗(yàn)觀測(cè)立的試驗(yàn)觀測(cè)(gunc)(gunc) 數(shù)據(jù)數(shù)據(jù) ， 其中其中n k +1n k +1。假設(shè)變量。假設(shè)變

17、量y y 與變量與變量 之間有線性關(guān)系：之間有線性關(guān)系： (1.5)(1.5) 其中其中 是隨機(jī)變量，一般假設(shè)是隨機(jī)變量，一般假設(shè) 則觀測(cè)則觀測(cè)(gunc)(gunc)數(shù)據(jù)滿足數(shù)據(jù)滿足 (1.6)(1.6)第17頁(yè)/共32頁(yè)第十七頁(yè)，共32頁(yè)。 其中其中 互不相關(guān)且均是與互不相關(guān)且均是與 同分布的同分布的隨機(jī)變量。令隨機(jī)變量。令 則則(1.6)(1.6)可簡(jiǎn)寫為可簡(jiǎn)寫為 其中其中X X 為已知的為已知的n n* *(k +1)(k +1)矩陣，稱為回歸設(shè)計(jì)矩陣，稱為回歸設(shè)計(jì)(shj)(shj)矩陣或資料矩陣，矩陣或資料矩陣，Y Y 是是n n維觀察值列向維觀察值列向量，量， 為為k +1k +

18、1維未知的列向量，維未知的列向量， 是滿足是滿足 的的n n維隨機(jī)列向量維隨機(jī)列向量. .第18頁(yè)/共32頁(yè)第十八頁(yè)，共32頁(yè)。 一般稱一般稱 (1.7) (1.7) 為為k k 線性回歸模型（高斯線性回歸模型（高斯馬爾科夫線性模型）馬爾科夫線性模型） 對(duì)對(duì)(1.7)(1.7)取數(shù)學(xué)期望取數(shù)學(xué)期望(qwng)(qwng)得到得到 稱為線性回歸方程。稱為線性回歸方程。第19頁(yè)/共32頁(yè)第十九頁(yè)，共32頁(yè)。 對(duì)線性模型所要考慮的主要問(wèn)題是：對(duì)線性模型所要考慮的主要問(wèn)題是：（i i）用實(shí)驗(yàn)觀測(cè)）用實(shí)驗(yàn)觀測(cè)(gunc)(gunc)數(shù)據(jù)對(duì)未知參數(shù)數(shù)據(jù)對(duì)未知參數(shù) 做點(diǎn)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)，從而建立因變量做點(diǎn)估計(jì)

19、和假設(shè)檢驗(yàn)，從而建立因變量y y 和自和自 變量變量 之間的線性關(guān)系；之間的線性關(guān)系；（iiii）在）在 處對(duì)處對(duì)y y 的值作預(yù)的值作預(yù)測(cè)和測(cè)和 控制，并對(duì)控制，并對(duì)y y 作區(qū)間估計(jì)。本部分總是假作區(qū)間估計(jì)。本部分總是假設(shè)設(shè) n k +1 n k +1。 （具體方法略）（具體方法略）第20頁(yè)/共32頁(yè)第二十頁(yè)，共32頁(yè)。四、逐步(zhb)線性回歸分析 逐步線性回歸分析方法就是一種自動(dòng)從大量可逐步線性回歸分析方法就是一種自動(dòng)從大量可供選擇的變量中選擇那些供選擇的變量中選擇那些(nxi)(nxi)對(duì)建立回歸方對(duì)建立回歸方程比較重要的變量的方法，它是在多元線性回歸基程比較重要的變量的方法，它是在

20、多元線性回歸基礎(chǔ)上派生的一種算法技巧，詳可參閱相應(yīng)的文獻(xiàn)。礎(chǔ)上派生的一種算法技巧，詳可參閱相應(yīng)的文獻(xiàn)。 其基本思路為：從一個(gè)自變量開始，視自變其基本思路為：從一個(gè)自變量開始，視自變量對(duì)量對(duì)y y 作用的顯著程度，從大到小依次逐個(gè)引入回作用的顯著程度，從大到小依次逐個(gè)引入回歸方程。當(dāng)引入的自變量由于后面自變量的引入而歸方程。當(dāng)引入的自變量由于后面自變量的引入而變得不顯著時(shí)，要將其剔除掉。引入一個(gè)自變量或變得不顯著時(shí)，要將其剔除掉。引入一個(gè)自變量或從回歸方程中剔除一個(gè)自變量，為逐步回歸的一步。從回歸方程中剔除一個(gè)自變量，為逐步回歸的一步。對(duì)于每一步，都要進(jìn)行對(duì)于每一步，都要進(jìn)行y y 值檢驗(yàn)，以確

21、保每次引入值檢驗(yàn)，以確保每次引入新的顯著性變量前回歸方程中只包含對(duì)新的顯著性變量前回歸方程中只包含對(duì)y y 作用顯著作用顯著的變量。這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直至即無(wú)不顯著的變的變量。這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直至即無(wú)不顯著的變量從回歸方程中剔除，又無(wú)顯著變量可引入回歸方量從回歸方程中剔除，又無(wú)顯著變量可引入回歸方程止。程止。第21頁(yè)/共32頁(yè)第二十一頁(yè)，共32頁(yè)。五 回歸(hugu)分析的Matlab實(shí)現(xiàn) MatlabMatlab統(tǒng)計(jì)工具箱中提供了一些回歸分析的命令，統(tǒng)計(jì)工具箱中提供了一些回歸分析的命令，現(xiàn)介紹如下?，F(xiàn)介紹如下。 1 1、多元線性回歸、多元線性回歸 多元線性回歸的命令是多元線性回歸的命令是r

22、egressregress，此命令也可用，此命令也可用于于 一元線性回歸。其格式為：一元線性回歸。其格式為： （1 1）確定）確定(qudng)(qudng)回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，用命令：回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，用命令： b=regress(Y b=regress(Y，X)X)。 （2 2）求回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)，并檢驗(yàn)回）求回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)，并檢驗(yàn)回歸歸 模型，用命令：模型，用命令： bb，bintbint，r r，rintrint，stats=regress(Ystats=regress(Y，X X，alpha)alpha)。 （3 3）畫出殘差及其置信區(qū)間，用命令：）畫出殘差及其置

23、信區(qū)間，用命令： rcoplot rcoplot（r r，rintrint）。）。第22頁(yè)/共32頁(yè)第二十二頁(yè)，共32頁(yè)。 在上述命令中，各符號(hào)的含義為：在上述命令中，各符號(hào)的含義為： （i i） ，Y Y，X X的定義同本部分前面所述。對(duì)一的定義同本部分前面所述。對(duì)一元線性回歸，在元線性回歸，在 ，Y Y，X X中取中取k=1k=1即可；即可； （iiii）alphaalpha為顯著性水平（缺省時(shí)為為顯著性水平（缺省時(shí)為0.050.05）；）； （iiiiii）bintbint為回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)；為回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)； （iviv）r r與與rintrint分別為殘差及其置信區(qū)間；分別為殘

24、差及其置信區(qū)間； （v v）statsstats是用于檢驗(yàn)回歸模型的統(tǒng)計(jì)量，有三個(gè)是用于檢驗(yàn)回歸模型的統(tǒng)計(jì)量，有三個(gè)數(shù)值數(shù)值(shz)(shz)，第一個(gè)是，第一個(gè)是 ，第二個(gè)是，第二個(gè)是F F值，第三值，第三個(gè)是與個(gè)是與F F對(duì)應(yīng)的概率對(duì)應(yīng)的概率P P。其中。其中 與與F F定義同前，值越大，定義同前，值越大，說(shuō)明回歸方程越顯著，說(shuō)明回歸方程越顯著，P a(0.01P a(0.01或或0.05) 0.05) 時(shí)拒時(shí)拒絕絕 ，回歸模型成立。，回歸模型成立。第23頁(yè)/共32頁(yè)第二十三頁(yè)，共32頁(yè)。 例例1 1 合金的強(qiáng)度合金的強(qiáng)度y y 與其中的碳含量與其中的碳含量x x有比較密切的關(guān)系，今從有比

25、較密切的關(guān)系，今從生產(chǎn)中收集了一批數(shù)據(jù)如下表。試先擬合一個(gè)生產(chǎn)中收集了一批數(shù)據(jù)如下表。試先擬合一個(gè)(y (y )函數(shù)函數(shù)y(x)y(x)，再用回歸分析對(duì)它進(jìn)行檢驗(yàn)。，再用回歸分析對(duì)它進(jìn)行檢驗(yàn)。 x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 y 42.0 41.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 55.0 50.0y 42.0 41.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 55.0 50.0 解解 先畫出散點(diǎn)圖：先畫出散點(diǎn)圖：

26、 x=0.10:0.01:0.18;x=0.10:0.01:0.18; y=42.0,41.5,45.0,45.5,45.0,47.5,49.0,55.0,50.0;y=42.0,41.5,45.0,45.5,45.0,47.5,49.0,55.0,50.0; plot(x,y, + )plot(x,y, + ) 可知可知y y與與x x大致為線性關(guān)系。大致為線性關(guān)系。 設(shè)回歸模型為設(shè)回歸模型為 ，用，用regressregress和和rcoplotrcoplot編程如下：編程如下： clc,clearclc,clear x1=0.10:0.01:0.18 ;x1=0.10:0.01:0.18

27、 ; y=42.0,41.5,45.0,45.5,45.0,47.5,49.0,55.0,50.0 ;y=42.0,41.5,45.0,45.5,45.0,47.5,49.0,55.0,50.0 ; x=ones(9,1),x1;x=ones(9,1),x1; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) b,bint,stats,rcoplot(r,rint)第24頁(yè)/共32頁(yè)第二十四頁(yè)，共32頁(yè)。第25頁(yè)/共32頁(yè)第二十五頁(yè)，共32頁(yè)。得到得到b

28、=27.4722 137.5000b=27.4722 137.5000 bint=18.6851 36.2594 bint=18.6851 36.2594 75.7755 199.2245 75.7755 199.2245stats=0.7985 27.7469 0.0012stats=0.7985 27.7469 0.0012即即 =27.4722 =27.4722， =137.5000 =137.5000， 的置信區(qū)的置信區(qū)18.685118.6851，36.259436.2594， 的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是75.775575.7755，199.2245199.2245；R2=0.7985

29、R2=0.7985，F(xiàn) =27.7469F =27.7469， p = 0.0012 p = 0.0012?？芍O(shè)回歸模型?？芍O(shè)回歸模型成立。成立。 觀察命令觀察命令rcoplot(r,rint)rcoplot(r,rint)所畫的殘差分布，除第所畫的殘差分布，除第8 8個(gè)數(shù)據(jù)外個(gè)數(shù)據(jù)外其余殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，第其余殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，第8 8個(gè)點(diǎn)應(yīng)視為異常點(diǎn)，將其個(gè)點(diǎn)應(yīng)視為異常點(diǎn)，將其剔除后重新計(jì)算，可得剔除后重新計(jì)算，可得b=30.7280 109.3985b=30.7280 109.3985bint=26.2805 35.2834bint=26.2805 35.2834

30、 76.9014 141.8955 76.9014 141.8955stats=0.9188 67.8534 0.0002stats=0.9188 67.8534 0.0002應(yīng)該用修改后的這個(gè)應(yīng)該用修改后的這個(gè)(zh ge)(zh ge)結(jié)果。結(jié)果。第26頁(yè)/共32頁(yè)第二十六頁(yè)，共32頁(yè)。第27頁(yè)/共32頁(yè)第二十七頁(yè)，共32頁(yè)。 2 2、多元二項(xiàng)式回歸、多元二項(xiàng)式回歸 多元二項(xiàng)式回歸可用命令：多元二項(xiàng)式回歸可用命令： rstool(x,y,model,alpha)rstool(x,y,model,alpha)。其中，輸入數(shù)據(jù)。其中，輸入數(shù)據(jù)x x、y y 分別為分別為n n m m矩陣和矩陣

31、和n n維列向量；維列向量；alphaalpha為顯著性水為顯著性水平平 （缺省時(shí)為（缺省時(shí)為0.050.05）；）；modelmodel由下列由下列(xili)4(xili)4個(gè)個(gè)模型中選擇模型中選擇1 1個(gè)個(gè) （用字符串輸入，缺省時(shí)為線性模型）：（用字符串輸入，缺省時(shí)為線性模型）： linearlinear（線性）：（線性）： purequadraticpurequadratic（純二次）：（純二次）： interactioninteraction（交叉）：（交叉）： quadraticquadratic（完全二次）：（完全二次）：第28頁(yè)/共32頁(yè)第二十八頁(yè)，共32頁(yè)。 3 3 、非線性

32、回歸、非線性回歸 非線性回歸可用命令非線性回歸可用命令(mng lng)(mng lng) nlinfit,nlintool,nlparci,nlpredcinlinfit,nlintool,nlparci,nlpredci來(lái)實(shí)現(xiàn)。來(lái)實(shí)現(xiàn)。 命令命令(mng lng)(mng lng)格式如下：格式如下： 回歸：回歸可用命令回歸：回歸可用命令(mng lng)(mng lng) beta,r,J=nlinfit(x,y,model,beta0) beta,r,J=nlinfit(x,y,model,beta0) 或者或者 nlintool(x,y,model,beta0,alpha) nlin

33、tool(x,y,model,beta0,alpha)來(lái)實(shí)現(xiàn)。來(lái)實(shí)現(xiàn)。 其中命令其中命令(mng (mng lng)beta,r,J=nlinfit(x,y,model,beta0)lng)beta,r,J=nlinfit(x,y,model,beta0)的的作用作用 為確定回歸系數(shù)；為確定回歸系數(shù)； 而命令而命令(mng (mng lng)nlintool(x,y,model,beta0,alpha)lng)nlintool(x,y,model,beta0,alpha)產(chǎn)生一產(chǎn)生一個(gè)交互個(gè)交互 式的畫面，畫面中有擬合曲線和式的畫面，畫面中有擬合曲線和y y的置信區(qū)間。通過(guò)的置信區(qū)間。通過(guò)左下

34、左下 方的方的ExportExport下拉式菜單，可以輸出回歸系數(shù)等。下拉式菜單，可以輸出回歸系數(shù)等。第29頁(yè)/共32頁(yè)第二十九頁(yè)，共32頁(yè)。 這里的輸入數(shù)據(jù)這里的輸入數(shù)據(jù)x x、y y分別為分別為n nm m矩陣和矩陣和n n維列向維列向量，對(duì)一元非線性回歸，量，對(duì)一元非線性回歸，x x為為n n維列向量；維列向量； model model是事先用是事先用m-m-文件定義的非線性函數(shù)；文件定義的非線性函數(shù)；beta0beta0是是回歸系數(shù)的初值?；貧w系數(shù)的初值。BetaBeta是估計(jì)出的回歸系數(shù)，是估計(jì)出的回歸系數(shù)，r r（殘（殘差）、差）、J J（JacobianJacobian矩陣）是估計(jì)預(yù)測(cè)誤差需要的數(shù)矩陣）是估計(jì)預(yù)測(cè)誤差需要的數(shù)據(jù)。據(jù)。alphaalpha為顯著性水平，缺省時(shí)為為顯著