角平分線的判定定理

1、ODEPP P到到OAOA的距離的距離P P到到OBOB的距離的距離角平分線上的點(diǎn)角平分線上的點(diǎn)幾何語(yǔ)言描述：幾何語(yǔ)言描述： OC OC平分平分AOBAOB， 且且PDOAPDOA， PEOBPEOB PD= PEPD= PEACB 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)：角平分線的性質(zhì)：不必再證全等不必再證全等 如圖，由如圖，由 于點(diǎn)于點(diǎn) D ， 于點(diǎn)于點(diǎn) E，PD= PE ， 可以得到什么可以得到什么結(jié)論結(jié)論 ？ OBPE PD OA 已知：如圖，已知：如圖， ， ，垂足分別是，垂足分別是 A、B，PD=PE ， 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在在

2、的角平分線上。的角平分線上。AOBOAPD OBPE BADOPE 已知：如圖，已知：如圖， ， ， 垂足分別是垂足分別是 D、E，PD=PE， 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在在 的角平分線上。的角平分線上。AOB OAPD OBPE 證明： 90PEOPDO作射線OP 點(diǎn)點(diǎn)P在在 角的平分線上角的平分線上AOB 在 RtPDO 和RtPEO 中，（ HL）BOPAOP （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） OP = OP （公共邊公共邊）PD = PE （ 已已 知知 ）PEORt PDORt 角平分線角平分線的判定的判定BADOPEOAPD OBPE 角平分線的判定角平分線的判定的應(yīng)用書寫格式的應(yīng)用書寫格式：

3、OP 是是 的平分線的平分線AOBOAPD OBPE PD= PE （到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)， 在這個(gè)角的平分線上）DEOPAB角平分線的性質(zhì)：角平分線的性質(zhì)：角平分線的判定角平分線的判定BADOPECPD = PEOP 是是 的平分線的平分線AOBOAPD OBPE OP 是是 的平分線的平分線AOBPD = PEOAPD OBPE 用途：證線段相等用途：證線段相等用途：判定一條射線是角平分線用途：判定一條射線是角平分線練一練練一練填空：填空：(1). 1= 2,DCAC, DEAB _(_)(1). DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_ _)ACDEB121= 2DC=DE到一個(gè)

4、角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角平分線上。到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角平分線上。在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等例例1.1.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，DD是是BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分別是，垂足分別是E E、F F，且且BEBECFCF。求證：。求證：ADAD是是ABCABC的角平分線。的角平分線。A AB BC CE EF FDD已知：如圖，已知：如圖，BEBEACAC于于E E， CFCFABAB于于F F，BEBE、CFCF相交于相交于DD， BD=CD BD=CD 。求證：求證： ADA

5、D平分平分BAC BAC 。ABCFED課堂練習(xí)課堂練習(xí)拓展與延伸3、已知:BDAM于點(diǎn)D,CEAN于點(diǎn)E,BD,CE交點(diǎn)F,CF=BF,求證:點(diǎn)F在A的平分線上.A A A A A A ADNE BFMCA3、已知、已知PA=PB， 1+ 2=1800， 求證：求證：OP平分平分AOBAOBP12EFABCPEDFMN例題例題2.2.如圖，如圖，ABCABC的角平分線的角平分線BMBM、CNCN相交相交于點(diǎn)于點(diǎn)P P。求證：點(diǎn)。求證：點(diǎn)P P也在也在A A的平分線上。的平分線上。證明：過點(diǎn)證明：過點(diǎn)P P作作PDABPDAB于于DD，PEBCPEBC于于E E， PFACPFAC于于F F

6、證明：過點(diǎn)證明：過點(diǎn)P作作PD 、PE、PF分別垂直分別垂直于于AB、BC、CA，垂足為，垂足為D、E、F BM是是ABC的角平分線，點(diǎn)的角平分線，點(diǎn)P在在BM上（已知）上（已知） PD=PE （在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即點(diǎn)即點(diǎn)P到邊到邊 AB、BC、CA的距離相等的距離相等隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)3 已知：如圖，已知：如圖，ABC的的B的外角的平分的外角的平分線線BD和和C的外角平的外角平分線分線CE相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P。求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在在BAC的的平分線上。平分線上。CA B P DE練習(xí)：練習(xí)： 8

7、、如圖，三條公路相交，現(xiàn)在要修、如圖，三條公路相交，現(xiàn)在要修建一加油站，使加油站到三條公路的距建一加油站，使加油站到三條公路的距離相等，問加油站該選在什么位置上？離相等，問加油站該選在什么位置上？3、 如圖，在直線l上找出一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AOB的兩邊OA、OB的距離相等 （第 3 題） 在一個(gè)角的內(nèi)部且在一個(gè)角的內(nèi)部且到角到角的兩邊距離相等的兩邊距離相等的的點(diǎn)點(diǎn)，在在這這個(gè)個(gè)角角的的角平分線上角平分線上1、如圖所示，、如圖所示，BF與與CE相交于相交于D，BD=CD，BFAC于于F，CEAB于于E。求證：點(diǎn)。求證：點(diǎn)D在在BAC的角平分線上。的角平分線上。EABDCF例、如圖，例、如圖，AB

8、C的角平分線的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)，求證：相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)到三邊點(diǎn)到三邊B，BC，CA的距離相等。的距離相等。ABCMNPEFD證明：過點(diǎn)證明：過點(diǎn)P作作PD，PE，PF分別垂直于分別垂直于AB，BC，CA，垂足為，垂足為D，E，F(xiàn)。是是ABC的角平分線，的角平分線，點(diǎn)點(diǎn)P在在BM上上PD=PE同理同理PD=PE=PF即點(diǎn)即點(diǎn)P到三邊，到三邊，CA的距離相等。的距離相等。證明：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)證明：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn) 4 4、如圖，已知如圖，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的的平分線相交于點(diǎn)平分線相交于點(diǎn)F F，求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)F F在在D

9、AEDAE的平分的平分線上線上 GHP2、如圖：、如圖：AD是是ABC的角平分線，的角平分線，DEAB、DFAC，垂足分別為，垂足分別為E、F連接連接EF，EF與與AD交于交于G，AD與與EF垂直嗎？垂直嗎？ACBEFGD課內(nèi)拓展延伸 如圖，如圖，ABC中，點(diǎn)中，點(diǎn)O是是BAC與與ABC的平分線的的平分線的交點(diǎn)，過交點(diǎn)，過O作與作與BC平行的直線分別交平行的直線分別交AB、AC于于D、E已已知知ABC的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為15，BC的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為6，求，求ADE的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). CBAEDOCBAEDO1 1：畫一個(gè)已知角的角平分線；：畫一個(gè)已知角的角平分線；及畫一條已知直線的垂線；及畫一條已知直線的垂線；2 2：角平分線的性質(zhì)：角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等3 3：角平分線的判定結(jié)論：角平分線的判定結(jié)論：到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上。到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上。判定：到角的兩邊的距離相判定：到角的兩邊