一階線性微分方程及其解法

1、二、可分離變量的微分方程)2 . 1 ()()(dxxfdyyg則稱方程（則稱方程（1 1）為）為可分離變量可分離變量的微分方程的微分方程. .解法解法 設函數(shù)設函數(shù))(yg和和)(xf是連續(xù)的是連續(xù)的, , 一階微分方程的一般形式：一階微分方程的一般形式：)1(),(yxfy 若方程（若方程（1）可以寫成如下形式：）可以寫成如下形式：時，時，當當0)(1 yg xxhygyd)()(d)3 . 1 (d)()(d)2 . 1 (xxhygy變量分離變量分離兩端積分兩端積分CxHyG )()(可以驗證可以驗證: (1.4)式式為微分方程為微分方程 (1) 的的(隱式隱式)通解通解.).( 為為

2、任任意意常常數(shù)數(shù)C)4 . 1 (時，當0)(20yg.) 1 (0的解也是方程yy 注注: 若題目只需求通解，則不必討論若題目只需求通解，則不必討論.0)(情形情形 yg例1 求微分方程求微分方程.2dd的通解的通解xyxy 解解分離變量分離變量,d2dxxyy 兩端積分兩端積分,d2d xxyy,ln12Cxy .2為所求通解為所求通解xCey ,21xCeey ,21xCeey C例2求微分方程求微分方程.edd的通解yxyx解解分離變量分離變量,ddxeyyx兩端積分兩端積分xyyxded,ln1Ceyx.為所求通解xeCey ,1xeCeey ,1xeCeeyC).( 為任意常數(shù)為任

3、意常數(shù)C注意到注意到:當當C=0時即時即y=0也是方程的解也是方程的解應用應用: 衰變問題衰變問題: : 放射性元素鈾不斷地放射出微粒子而變成放射性元素鈾不斷地放射出微粒子而變成其它元素其它元素, ,鈾的含量不斷減少鈾的含量不斷減少, ,由物理學知識由物理學知識, ,鈾的衰變速度與未鈾的衰變速度與未衰變的原子的含量衰變的原子的含量M M成正比成正比, ,已知已知t=0t=0時時, ,鈾的含量為鈾的含量為M M0,0,求衰變過程求衰變過程中鈾含量中鈾含量M(tM(t) )隨隨t t的變化規(guī)律的變化規(guī)律解解)0( ,dkkMdtMvdtMd(這里顯然有)0變量分離變量分離kdtMdM兩端積分兩端積

4、分tktMlnln即即ktCeM 00|MMt又又故故CM 0ktMMe0故故, ,衰變規(guī)律為衰變規(guī)律為練習練習12.1第第3題題,增加一個條件增加一個條件:曲線過曲線過(2,3)點點,求曲線方程求曲線方程xyy變量分離變量分離,d1dxxyy兩端積分兩端積分|ln|ln|lnCxy|ln|lnCxy Cxy 即即又又6632xyC，yx即所求曲線方程為：故時練習練習:12.2第第3題題xduufxxf0)()()()(xf，uf求為可微函數(shù)兩邊求導得兩邊求導得:)(1)(xfxfyy1ydxdy1dxydy1變量分離變量分離0)0(f注意注意: :這里隱藏一個初始條件這里隱藏一個初始條件利用

5、變量代換求微分方程的解利用變量代換求微分方程的解.)(的的通通解解求求2yxdxdy 解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdu ,arctanCxu 解得解得得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解為原方程的通解為.)tan(xCxy 例例6變量代換變量代換是解方程的一種常用的手段是解方程的一種常用的手段.1的通解求yxdxdy.ln的通解求xyyyyxxyu 令yxu令二、齊次方程二、齊次方程形如形如dyyfdxx的一階微分方程稱為齊次方程的一階微分方程稱為齊次方程或或dxxfdyy解法：解法： 針對齊次方程針對齊次方程 dyydxx，

6、作變量代換作變量代換 yux即即 yxu，則，則 dyduuxdxdx將其代入原式，得：將其代入原式，得： duuudx，即，即 uududxx這是一個這是一個關(guān)于變量關(guān)于變量u與與x的的可分離變量的方程；可分離變量的方程；然后，然后，利用分離變量法求得利用分離變量法求得 11( )dudxuux例例1 求方程求方程 22dydyyxxydxdx的通解的通解 解解 原方程化為原方程化為22dyydxxyx21ydyxydxx,即即 這是齊次方程，這是齊次方程， 令令 yuxyxu,即即 dyduuxdxdx故故 代入得：代入得：21duuuxdxu進行分離變進行分離變量整理，并兩邊積分，量整理

7、，并兩邊積分，ln| |ln| |ln|uuxc故所求通解為：故所求通解為： ln| |yycx這是關(guān)于變量這是關(guān)于變量u與與x的可分離變量方程，的可分離變量方程，111dudxux得：得：書上還有一個例子，自己可以練習練習書上還有一個例子，自己可以練習練習22()2xydxxydy10 xy2221 ( )22( )ydyxyxydxxyxyux212duudxxu2112ududxux2111( )ln(1)( )ln( )ln222uxc2(1)1cxu222()c xyx10 xy1c 22yxx求求微分方程微分方程，滿足初始條件滿足初始條件 的特解的特解 解：解： 方程可化為：方程可

8、化為： 它是齊次方程。令代入整理后，有分離變量，則有 兩邊積分，得 即 代入上式，于是所求方程的通解為 把初始條件代入上式，求出，故所求方程的特解為 例例3 求方程求方程 10 xyeydxyx dy的通解的通解 解：解：這是一個齊次方程。先將方程變形為這是一個齊次方程。先將方程變形為110 xydxxedyy令令 xuyxyudxduuydydy,即即 ，故故 代入得：代入得： 110udueuyudy這是關(guān)于變量這是關(guān)于變量u與與x的可分離變量方程，的可分離變量方程，分離變量分離變量 ，并，并兩邊積分，得：兩邊積分，得： 11uuedudyyue 故故 ln()lnlnuueyc 所以，原

9、方程通解為所以，原方程通解為 ：xyyexc五、小結(jié)五、小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容是：本節(jié)主要內(nèi)容是：1齊次方程齊次方程 dyyfdxx2齊次方程的解法：關(guān)鍵是令齊次方程的解法：關(guān)鍵是令 yux，從而，從而 原方程轉(zhuǎn)化為可分離原方程轉(zhuǎn)化為可分離 變量方程去求解；變量方程去求解； yxu，則，則 dyduuxdxdx，代入原方程后，代入原方程后，dxxfdyy或或判下列微分方程是否為一階線性微分方程：判下列微分方程是否為一階線性微分方程：一、一階線性微分方程及其解法一、一階線性微分方程及其解法例例1 1在微分方程中，若在微分方程中，若未知函數(shù)未知函數(shù)和和未知函數(shù)的導數(shù)未知函數(shù)的導數(shù)都是一次都是一次的，則稱

10、其為一階線性微分方程。的，則稱其為一階線性微分方程。1. 1. 一階線性微分方程的定義一階線性微分方程的定義223)1(xyy 2sin1)4(xyxdxdy 22)3(xyy )12sin() ()2(3 xxyyxyyy )5(1sin)6(2 xyxy（是）（是）（是）（是）(1) )()(xQyxPdxdy 2. 2. 一階線性微分方程的一般式一階線性微分方程的一般式3. 3. 一階線性微分方程的分類一階線性微分方程的分類 當當 時，方程（時，方程（1）稱為一階線性）稱為一階線性齊次齊次微微分方程。分方程。0)( xQ 當當 時，方程（時，方程（1）稱為一階線性）稱為一階線性非齊次非齊

11、次微分方程。微分方程。0)( xQ(2) )()(yQxyPdydx或或)2 . 2(0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnCxxPy 齊次線性方程的通解為：齊次線性方程的通解為：.d)( xxPCey1 齊次線性方程：齊次線性方程：求求解法解法:分離變量：分離變量：1. 常數(shù)變易法常數(shù)變易法2 非齊次線性方程：非齊次線性方程：).()(ddxQyxPxy )()(待待定定將將變變易易xCC 作變換作變換 xxPexCyd)()(,)()()(d)(d)( xxPxxPexPxCexCy得得代代入入原原方方程程和和將將,yy ),()(d)(xQex

12、CxxP 可分離變量方程可分離變量方程,d)()(d)(CxexQxCxxP 積分得積分得一階非齊次線性微分方程一階非齊次線性微分方程(2.1)的通解為的通解為: xxPxxPeCxexQyd)(d)(d)(.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中C2. 常數(shù)變易公式常數(shù)變易公式的通解為：d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP )()(xQyxPdxdy)()(xQyxPdxdy （2）一階線性非齊次微分方程）一階線性非齊次微分方程常數(shù)變易法常數(shù)變易法1）一般式）一般式2）解法）解法3）通解公式）通解公式)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxxPCe)(dxexQedxxPdxxP )

13、()()(齊次的齊次的通解通解非齊次的特解dxxPey)()()(CdxexQdxxP關(guān)于通解公式要注意：關(guān)于通解公式要注意：只表示某一只表示某一個函數(shù)個函數(shù)若 時，絕對值符號可不寫即即特別注意特別注意： 而是而是| )(|ln)(xdxxPln| ()|ln()( )( )xxP x dxeeexln()()xex ln( )1( )xex例例1 1、求微分方程、求微分方程2xyye 的通解的通解. .1122xyye 102yy 解法解法1 1（常數(shù)變易法）常數(shù)變易法）原方程變形為原方程變形為 : : 對應的齊次方程為對應的齊次方程為 ：得通解為得通解為11( )22dxxP x dxyC

14、eCeCe設原方程的解為設原方程的解為 12( )xyC x e從而從而 11122( )( )2xxyCx eC x e代入原方程得代入原方程得111111222( )( )( )222xxxxCx eC x eC x ee1( )2xCxe2( )xC xeC化簡得化簡得 兩邊積分，得兩邊積分，得 122( )xxxyC x eCee11( ),( )22xP xQ xe 所以，原方程的通解所以，原方程的通解 解法解法2（用公式法）（用公式法）把它們代入公式得把它們代入公式得11()1222dxdxxyeeedx C22()xxeeC. 1 2的通解的通解求求xyxy ,1)(xxP ,x

15、xQ2)( Cdxexeydxxdxx121 Cdxexexxln2ln解解例例2 2則通解為則通解為 Cdxxx31xCx 341. 00)12( 12的特解的特解滿足滿足求求 xydxxxydyx,2)(xxP 21)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx2221 Cdxxex)1(ln2解解練習練習則通解為則通解為 Cxxx2122原方程變形為原方程變形為,122xxyxdxdy 其中其中2121xCx .1的通解的通解求方程求方程xeyxyx ,1)(xxP ,)(xexQx Cxexeeyxxxxxdd1d1 Cxexeexxxdlnln Cxexxd1 .1Cexx 解解(不)例

16、4通解：通解： Cxxxexxd1得得由由01 xy,21 C因此方程滿足初始條件的特解為因此方程滿足初始條件的特解為221121xxy (ln )ln0 xy dyyydx(講講)求以下方程在求以下方程在 下的特解下的特解eyx1|yxyydydx1ln1原方程可化為：原方程可化為：原方程通解為：原方程通解為：()()()Py dyPy dyxeQy edyCyCyxlnln21Cyyxln)ln2(或或0)(3dyyxydx求方程通解：求方程通解：若化為：若化為：xyydxdy3則則不是不是一階線性的一階線性的而化為：而化為：xyyyxydydx123則則是是一階線性的一階線性的再見書上習

17、題再見書上習題),(tv設設降降落落傘傘下下落落速速度度為為.)0( 系系落落速速度度與與時時間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)速速度度為為零零，求求降降落落傘傘下下傘傘離離開開跳跳傘傘塔塔時時速速度度成成正正比比，并并設設降降落落后后，所所受受空空氣氣阻阻力力與與設設降降落落傘傘從從跳跳傘傘塔塔下下落落 t,ddkvmgtvm 解解例9kvmgF :其其所所受受力力為為maF :由由牛牛頓頓第第二二定定律律得得(方法1)gvmktv dd即即一階非齊次線性方程一階非齊次線性方程dddCtegevtmktmk dCtegetmktmk Cekmgetmktmk .tmkCekmg kmgcv|t :00代入

18、通解得代入通解得將將).e1(tmkkmgv 所求特解為所求特解為選擇題考點選擇題考點（間斷點，求旋轉(zhuǎn)體體積，求平面圖形面積，全微分，間斷點，求旋轉(zhuǎn)體體積，求平面圖形面積，全微分，偏導數(shù)的幾意義，二重積分幾何意義，交換積分次序偏導數(shù)的幾意義，二重積分幾何意義，交換積分次序）大題考點大題考點1、求極限求極限2、隱函數(shù)求導（一個方程和方程組情形）隱函數(shù)求導（一個方程和方程組情形）3、抽象函數(shù)求導抽象函數(shù)求導4、求極值、求極值5、直角坐標系下計算二重積分、直角坐標系下計算二重積分6、極坐標系下計算二重積分（或是化為極坐標）、極坐標系下計算二重積分（或是化為極坐標）7、解齊次方程、解齊次方程（令令U=

19、U=。，轉(zhuǎn)化為。，轉(zhuǎn)化為U U和和X X的方程）的方程）8 8、解一階線性方程、解一階線性方程（用公式或常數(shù)變易法）（用公式或常數(shù)變易法）9、討論函數(shù)在分界點處的連續(xù)性，可導性，可微性、討論函數(shù)在分界點處的連續(xù)性，可導性，可微性計計算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積. 解解兩曲線的交點兩曲線的交點)1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素dxxxdA)(2 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 畫草圖如右畫草圖如右dxxfVba2)( dyy2)( dcVd)(yx

20、xy0cxyo)(xfy 注注： ，即動點，即動點P P以以任意方式任意方式即沿即沿任意曲線任意曲線趨向定趨向定點點P P0 0時，都有時，都有f(Pf(P) A) AAPfPP)(lim022222200)()cos(1limyxyxyxyx 求二重極限方法類似一元函數(shù)的一些求二重極限方法類似一元函數(shù)的一些方法方法：等價無窮小替換；：等價無窮小替換；重要極限公式；無窮小的性質(zhì)；（恒等變形；利用連續(xù)性；夾重要極限公式；無窮小的性質(zhì)；（恒等變形；利用連續(xù)性；夾逼準則；換元；利用公式和運算法則）逼準則；換元；利用公式和運算法則）xcos122x等價無窮小替換等價無窮小替換；對于多元函數(shù)的極限要求不

21、高，只要求會求些較簡單的二重極限對于多元函數(shù)的極限要求不高，只要求會求些較簡單的二重極限注意注意：在多元函數(shù)中，：在多元函數(shù)中，洛必達法則不再適用洛必達法則不再適用，但如果通過換元后，但如果通過換元后的一元函數(shù)照樣可用的一元函數(shù)照樣可用例例求求yyxxy1)0,2(),()1lim（xyxyxxy1)0,2(),()1lim（211)0,2(),(limeexyx),(),(lim),(),(1limyxgyxfyxgeyxf（型1211)0,2(),(limeeyxyyx或或用重要公式用重要公式原式原式例例求求xyxyyx1sinlim)0,2(),(xyxyyxsinlim)0,2(),(

22、xyxyyxsinlim)0, 2(),(22)0, 0(),(1coslimyxxyyxyyyxsinxlim)0, 2(),(2222)0, 0(),(1sinlimyxyxyx）（100020無窮小的性質(zhì)無窮小的性質(zhì)04222zzyx),(yxzz 22xz求設設確定確定兩邊對x求偏導數(shù)：0422xzxzzxzxxz2再對上式對再對上式對x求偏導數(shù)：求偏導數(shù)：（按商的求導公式按商的求導公式）.)2()2()2()2()2(2222zzxxzzxzxzxz對于一階偏導數(shù)，還可用公式法對于一階偏導數(shù)，還可用公式法zxFFxzzFxFzzyxzyxFzxzx242,24),(222令22(,)

23、f xyx y22x2x y 2( ,)f x x y例例1.000),(222222 yxyxyxxyyxf討論討論是否處在點,)0 , 0(1) 連續(xù)；連續(xù)；(2) 偏導數(shù)存在；偏導數(shù)存在；(3) 可微可微.解解 (1) ),(lim00yxfyx)sin,cos(lim0 f sincoslim0 )sin(coslim0 = 0 = f (0,0)處處連連續(xù)續(xù)在在)0 ,0(),(yxf(2) )0 , 0(xf0)0 , 0()0 ,(lim0 xfxfx0000lim20 xxxx0)0 , 0( yf同同理理.)0 , 0(),(處處偏偏導導數(shù)數(shù)存存在在在在yxf0)0 , 0(

24、)0 , 0()0 , 0(),(lim0 yfxffyxfyx(3)？)0 , 0(),(fyxf 令令22yxyx 0 如果考慮點如果考慮點),(yxP 沿著直線沿著直線xy 趨近于趨近于)0 , 0(， 則則22)(0limyxxyxy )0 , 0()0 , 0(yfxfyx ,22yxyx 22)(0)(0limlimyxxyxyxy ,21 220)(0limlimxxxxxxy ),()0 , 0()0 , 0(oyfxfzyx 即即 f (x, y) 在點在點)0 , 0(處不可微處不可微. 0lim0 )0()( o例例2 證證令令,cos x,sin y則則22001sin

25、limyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f )0 , 0(xfxfxfx)0 , 0()0 ,(lim0 , 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf故函數(shù)在點故函數(shù)在點 (0, 0) 處連續(xù)處連續(xù) ; ,)()(22yx 下面證明：下面證明：)0 , 0(),(在點在點yxf可微可微 .yfxffyx)0 , 0()0 , 0( yx1sin x 00令令則則 ),(yxf)0 , 0(),(,1sin22 yxyxxy)0 , 0(),(, 0 yx且且可微可微在點在點,)0 , 0(),(yxf. 0),(d)0,0( yxf注注 此題表明此

26、題表明, 偏導數(shù)連續(xù)只偏導數(shù)連續(xù)只是是可微的可微的充分條件充分條件.而非而非必要條件必要條件.例例1.1. 求函數(shù)求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點求駐點. .得駐點得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點在點(1,0) 處處為極小值為極小值; ;解方程組解方程組ABC ),(yxfx09632 xx ),(yxfy0632 yy的極值的極值. .求二階偏導數(shù)求二階偏導數(shù),66),( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy,12 A,0 B,6 C,06122 BAC5)0,1( f,0 Axyxyxyxf

27、933),(2233 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 在點在點( 3,0) 處處不是極值不是極值; ;在點在點( 3,2) 處處為極大值為極大值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12 A,0 B,6 C,06122 BAC)0,3( f6,0,12 CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0 A在點在點(1,2) 處處不是極值不是極值; ;6,0,12 CBA)2,1(f,0)6(122 BACABC機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 重復是學習之母重復是學習之母弗萊格弗萊格 世界上最快而又最慢，最長而又最短，最平凡而又最世界上最快而又最慢，最長而又最短，最平凡而又最珍貴，最容易被人忽視，而又最令人后悔的就是時間珍貴，最容易被人忽視，而又最令人后悔的就是時間高爾基高爾基 謝謝大家對我的支持！ ！祝大家考試取得好成績！得得由由01 xy,21 C因此方程滿足初始條件的特解為因此方程滿足初始條件的特解為221121xxy 二、一階線性微分方程的應用二、一階線性微