第二章(多自由度系統(tǒng)的運動微分方程)

1、 基于壓電作動器的垂尾抖振主動抑制基于壓電作動器的垂尾抖振主動抑制（此系統(tǒng)有（此系統(tǒng)有一、兩千個自由度一、兩千個自由度（3D實體單元）實體單元） ）多自由度振動系統(tǒng)多自由度振動系統(tǒng)XYZ多自由度系統(tǒng)的運動多自由度系統(tǒng)的運動 微分方程微分方程第二章：第二章：2.2.用牛頓第二定律列寫系統(tǒng)的運動微用牛頓第二定律列寫系統(tǒng)的運動微 分方程分方程3.3.用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分 方程方程第二章第二章: :多自由度系統(tǒng)的運動微分方程多自由度系統(tǒng)的運動微分方程 建立多自由度系統(tǒng)運動微分方程的建立多自由度系統(tǒng)運動微分方程的各種方法的概述各種方法的概述1.1.多自由度系統(tǒng)運動

2、微分方程的一般形式多自由度系統(tǒng)運動微分方程的一般形式建立多自由度系統(tǒng)運動微分方程的各種方法的概述建立多自由度系統(tǒng)運動微分方程的各種方法的概述( )( )( )( )mu tcu tku tf t 回想單自由度系統(tǒng)運動微分方程的一般形式回想單自由度系統(tǒng)運動微分方程的一般形式 多自由度系統(tǒng)運動微分方程的一般形式多自由度系統(tǒng)運動微分方程的一般形式( )u tm質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣M( ) tu位移向量位移向量cC阻尼矩陣阻尼矩陣kK剛度矩陣剛度矩陣( )f t() tf激振力向量激振力向量( )( )( )( )ttttMuCuKuf多自由度系統(tǒng)運動微分方程的一般形式多自由度系統(tǒng)運動微分方程的一般形式建

3、立方法建立方法HamiltonHamilton原理：原理： 主要適用于連續(xù)系統(tǒng)主要適用于連續(xù)系統(tǒng)建立多自由度系統(tǒng)運動微分方程的各種方法的概述建立多自由度系統(tǒng)運動微分方程的各種方法的概述2.2.系統(tǒng)運動微分方程的建立方法系統(tǒng)運動微分方程的建立方法牛頓第二定律牛頓第二定律: : 適用于自由度不多的離散系統(tǒng)或簡單的適用于自由度不多的離散系統(tǒng)或簡單的 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)動量矩定理動量矩定理: : 主要主要適用于自由度不多的離散系統(tǒng)適用于自由度不多的離散系統(tǒng)影響系數(shù)法：影響系數(shù)法： 主要適用于自由度不多的離散系統(tǒng)主要適用于自由度不多的離散系統(tǒng)LagrangeLagrange方程法：方程法：主要適用于離散系

4、統(tǒng)主要適用于離散系統(tǒng)有限單元法：有限單元法： 離散系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)都適用，是一種最離散系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)都適用，是一種最 通用的建模方法通用的建模方法用牛頓第二定律列寫系統(tǒng)的運動微分方程用牛頓第二定律列寫系統(tǒng)的運動微分方程1.1.直角坐標(biāo)形式的牛頓第二定律直角坐標(biāo)形式的牛頓第二定律222222xyzd xmFdtd ymFdtd zmFdt 列寫運動方程時要選定一個正方向，計算各力在正方向的投影。列寫運動方程時要選定一個正方向，計算各力在正方向的投影。 加速度的正負(fù)號是由合外力的正負(fù)決定的，因此在列寫方程時只要加速度的正負(fù)號是由合外力的正負(fù)決定的，因此在列寫方程時只要 用用 或或 或或 表示就可以了

5、。表示就可以了。x z y 2. 2. 用牛頓第二定律列寫運動微分方程用牛頓第二定律列寫運動微分方程用牛頓第二定律列寫系統(tǒng)的運動微分方程用牛頓第二定律列寫系統(tǒng)的運動微分方程11k u11c u 221()cuu221()k uu221()cuu32k u32c u 221()kuu2( )ft1( )f t1u1m2u2m受力分析時假定兩質(zhì)量塊均沿著坐標(biāo)的正方向運動.因為這樣在受力分析時容易確定所受力的大小和方向,不容易出錯.2 22213 22213 22()()( )m uk uuk uc uuc uf t根據(jù)牛頓第二定律，得到系統(tǒng)的運動方程：1 11 12211 12211()()( )

6、mukuk uucuc uuf t122122111112232232222200ccckkkmuuufccckkkmuuuf 1 11 12211 12211222213 22213 22()()( )()()( )mukuk uucuc uuf tm uk uuk uc uuc uf t( )( )( )( )ttttMuCuKuf用牛頓第二定律列寫系統(tǒng)的運動微分方程用牛頓第二定律列寫系統(tǒng)的運動微分方程1.1.總體思路總體思路用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程影響系數(shù)法柔度影響系數(shù)DK剛度影響系數(shù)C阻尼影響系數(shù)質(zhì)量影響系數(shù)MMuCuKufKuf剛度影響系數(shù)

7、 ：第 個自由度產(chǎn)生單位位移，其他自由度位移為零時，需要在第 自由度處沿著位移方向施加的力。ijkji012jjNjkkk00001 j第 行111122121jjNjNNNNNkkkkkkkkk用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程2.2.剛度影響系數(shù)剛度影響系數(shù)11u 1m20u 2m解：解：121,0uu令【例】用影響系數(shù)法寫出圖示系統(tǒng)的剛度矩陣。1k1u1m2m2u2k3k1112kkk212kk 11122122kkkkK1k2k2k11k21k用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程21u 2m10u 1m120,1uu令1

8、22kk2223kkk122223kkkkkkK剛度矩陣：2k3k2k12k22k1k1u1m2m2u2k3k11122122kkkkK用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程KufMuCuKuf01 uKfD f柔度矩陣柔度矩陣柔度影響系數(shù) ：第 個自由度上作用單位力，其他自由度作用力為零時，在第 自由度上產(chǎn)生的位移。ijdji12jjNjdddj第 行00001111122121jjNjNNNNNddddddddd用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程3.3.柔度影響系數(shù)柔度影響系數(shù)11d111k d21121()k dd1m11F

9、 2m20F 21d21121()k dd321k d21121111()1k ddk d21121321()0k ddk d2311121 323221121 323kkdk kk kk kkdk kk kk k1k1u1m2m2u2k3k【例】用影響系數(shù)法寫出圖示系統(tǒng)的柔度矩陣。用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程12d112k d22212()k dd22212112()0k ddk d22212322()1kddk d1m10F 2m21F 22d322k d22212()k dd121221221 21 32 3, kkdddkkkkk k111221

10、22ddDdd柔度矩陣：柔度矩陣：1k1u1m2m2u2k3k用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程4.4.阻尼影響系數(shù)阻尼影響系數(shù)MuCuKufCuf00阻尼影響系數(shù) ：第 個自由度產(chǎn)生單位速度，其他自由度處的速度為零 時，需要在第 自由度處施加的力。ijcjiijmji質(zhì)量影響系數(shù) ：第 個自由度產(chǎn)生單位加速度，其他自由度處的加速度 為零時，需要在第 自由度處施加的力。MufMuCuKuf0用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程5.5.質(zhì)量影響系數(shù)質(zhì)量影響系數(shù)1m2m3m 此系統(tǒng)用剛度法方便還是柔度法方便？1112220( )(

11、)00( )( )mu tu tkkmu tu tkkkkkkK奇異（秩虧損）奇異（秩虧損）用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程6.6.思考思考 能否對此系統(tǒng)實施柔度法？剛度法實施過程中要求系統(tǒng)僅一個自由度有位移，人為地增加了系統(tǒng)約束的數(shù)目，求解比較繁。柔度法維持原系統(tǒng)的約束，實施比較方便。特別是用實驗來確定系統(tǒng)的彈性性質(zhì)時均采用柔度法，剛度法幾乎不能實現(xiàn)。如果系統(tǒng)具有剛體運動自由度，則柔度法失效，但剛度法卻可奏效。所以剛度法的應(yīng)用范圍比柔度法要大。用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程7.7.小結(jié)小結(jié)111d21d31d1l11m

12、 g2m g3m gA1112311cos()sinlmmm glA對 取矩:1112131123()ldddmmm g112311()lmmm gd1cos11112311cos()lmmm gd111213212223313233dddDdddddd【課堂練習(xí)】【課堂練習(xí)】求圖示擺的柔度矩陣求圖示擺的柔度矩陣用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程12223212323()()llddmmm gmm g22321()lmm gxB對 取矩122312111 ()() ()llmm g xxm gxA對 取矩122d32d1m g2m g3m g1l2l3l2xB

13、A1x111213212223313233dddDdddddd用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程31233123233()()llldmmm gmm gm gC對 取矩3331 lm gx333lxm gB對 取矩32323221 ()()llm g xxm gx2223()lxmm gA對 取矩3213123212111 ()() ()lllm g xxxm g xxm gx11123()lxmmm g111213212223313233dddDdddddd133dBAC3m g2m g1m g1l2l3l3x1x2x用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程用影響

14、系數(shù)法建立系統(tǒng)的運動微分方程STOP( )( )( )( )ttttMuCuKuf1. 1. 多自由度系統(tǒng)運動微分方程的一般形式多自由度系統(tǒng)運動微分方程的一般形式上次課內(nèi)容回顧上次課內(nèi)容回顧2. 2. 用牛頓第二定律列寫運動微分方程用牛頓第二定律列寫運動微分方程受力分析時假定兩質(zhì)量塊均沿著坐標(biāo)的正方向運動.因為這樣在受力分析時容易確定所受力的大小和方向,不容易出錯.剛度影響系數(shù) ：第 個自由度產(chǎn)生單位位移，其他自由度位移為零時，需要在第 自由度處沿著位移方向施加的力。ijkji3.3.剛度影響系數(shù)剛度影響系數(shù)上次課內(nèi)容回顧上次課內(nèi)容回顧柔度影響系數(shù) ：第 個自由度上作用單位力，其他自由度作用力

15、為零時，在第 自由度上產(chǎn)生的位移。ijdji4.4.柔度影響系數(shù)柔度影響系數(shù)1KD5.5.剛度矩陣和柔度矩陣的關(guān)系剛度矩陣和柔度矩陣的關(guān)系6.6.剛度法和柔度法的優(yōu)缺點剛度法和柔度法的優(yōu)缺點上次課內(nèi)容回顧上次課內(nèi)容回顧剛度法：剛度法：優(yōu)點：當(dāng)系統(tǒng)具有優(yōu)點：當(dāng)系統(tǒng)具有剛體運動剛體運動自由度時，剛度法仍可應(yīng)用，因此適自由度時，剛度法仍可應(yīng)用，因此適 用范圍廣；用范圍廣；缺點：缺點：剛度法實施過程中要求系統(tǒng)僅一個自由度有位移，人為地剛度法實施過程中要求系統(tǒng)僅一個自由度有位移，人為地 增加了系統(tǒng)約束的數(shù)目，增加了系統(tǒng)約束的數(shù)目，求解比較繁求解比較繁；柔度法：柔度法：優(yōu)點：優(yōu)點：柔度法維持原系統(tǒng)的約束，

16、柔度法維持原系統(tǒng)的約束，實施比較方便實施比較方便；缺點：缺點：如果系統(tǒng)具有如果系統(tǒng)具有剛體運動剛體運動自由度，則柔度法失效自由度，則柔度法失效； LagrangeLagrange方程的產(chǎn)生背景方程的產(chǎn)生背景2.2.利用利用LagrangeLagrange方程建立系統(tǒng)的運動方程建立系統(tǒng)的運動微分方程微分方程3.3.課堂練習(xí)課堂練習(xí)第二章第二章: :多自由度系統(tǒng)的運動微分方程多自由度系統(tǒng)的運動微分方程LagrangeLagrange方程的產(chǎn)生背景方程的產(chǎn)生背景1.1.牛頓力學(xué)方程的缺陷牛頓力學(xué)方程的缺陷I2R1R1m2mr1k2k隔離體隔離體1 1的受力分析的受力分析I2R1R11k R1T121

17、11IT Rk RR隔離體隔離體2 2的受力分析的受力分析1T2T1221mRTT1m2RI2R1R1m2mr1k2k隔離體隔離體3 3的受力分析的受力分析剛體平面運動微分方程：（見剛體平面運動微分方程：（見理論力學(xué)理論力學(xué)，范欽珊主編），范欽珊主編）()cxcyccmxFmyFJMF2T22kRf2mr2RLagrangeLagrange方程的產(chǎn)生背景方程的產(chǎn)生背景隔離體隔離體3 3的受力分析的受力分析2mr22222mRTkRf 2T22kRf2R22212Rm rfrr2222232m Rk RT LagrangeLagrange方程的產(chǎn)生背景方程的產(chǎn)生背景2222232m Rk RT

18、12111IT Rk RR1221mRTT22221222113()02mmRIk Rk R21122122232eqneqRkkkRImmmR2222112212()32nk Rk RmmRILagrangeLagrange方程的產(chǎn)生背景方程的產(chǎn)生背景隔離體的受力分析將未知約束力引入到動力學(xué)方程中導(dǎo)致動力學(xué)方程中未知變量急劇增加LagrangeLagrange方程的產(chǎn)生背景方程的產(chǎn)生背景 LagrangeLagrange方程的產(chǎn)生背景方程的產(chǎn)生背景2.Lagrange2.Lagrange方程的產(chǎn)生背景方程的產(chǎn)生背景 18世紀(jì)機(jī)器工業(yè)的發(fā)展迫切需要對受約 束的機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)分析 1788年

19、，在分析力學(xué)中對力學(xué)提出 了全新的敘述方式Lagrange力學(xué) Lagrange方程避開了處理系統(tǒng)內(nèi)部的 約束反力LagrangeLagrange方程的產(chǎn)生背景方程的產(chǎn)生背景利用利用LagrangeLagrange方程建立系統(tǒng)的運動微分方程方程建立系統(tǒng)的運動微分方程約束方程不包含質(zhì)點的速度，或者包含質(zhì)點的速度，但約約束方程不包含質(zhì)點的速度，或者包含質(zhì)點的速度，但約束方程是可以積分的約束稱為束方程是可以積分的約束稱為完整約束。完整約束。約束方程包含質(zhì)點的速度且不可積分的約束稱為約束方程包含質(zhì)點的速度且不可積分的約束稱為非完整約束。非完整約束。唯一地確定質(zhì)點系在空間的構(gòu)型的獨立坐標(biāo)稱為唯一地確定質(zhì)

20、點系在空間的構(gòu)型的獨立坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)。 完整約束完整約束（理論力學(xué)理論力學(xué) 范欽珊范欽珊 主編）主編） 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)（理論力學(xué)理論力學(xué) 范欽珊范欽珊 主編）主編）d (), 1,d iiiiTTVQintqqq 系統(tǒng)不存在粘性阻尼時系統(tǒng)不存在粘性阻尼時動能T廣義坐標(biāo)iqV勢能iq廣義坐標(biāo) 對應(yīng)的非保守主動力iQd (), 1,d iiiiiTTDVQintqqqq 系統(tǒng)存在粘性阻尼時系統(tǒng)存在粘性阻尼時耗散函數(shù)D1.1.完整約束系統(tǒng)的完整約束系統(tǒng)的LagrangeLagrange方程的具體形式方程的具體形式利用利用LagrangeLagrange方程建立系統(tǒng)的運動微分方程方程建立

21、系統(tǒng)的運動微分方程2.2.利用利用LagrangeLagrange方程建立系統(tǒng)運動微分方程的步驟方程建立系統(tǒng)運動微分方程的步驟 判斷系統(tǒng)的自由度數(shù)目，選定系統(tǒng)的廣義坐標(biāo); 以廣義坐標(biāo)及廣義速度來表示系統(tǒng)的動能,勢能和耗散函數(shù)；3. 3. 用用LagrangeLagrange方程建立系統(tǒng)運動微分方程的優(yōu)點方程建立系統(tǒng)運動微分方程的優(yōu)點 不用做隔離體的受力分析,免去處理約束力, 是建立復(fù)雜離散 系統(tǒng)運動微分方程的首選方法； 將以上各量代入Lagrange方程，即得到系統(tǒng)的運動方程. 對于非保守主動力，將其虛功寫成如下形式1niiiWQ q從而確定對應(yīng)于各個廣義坐標(biāo)的非保守廣義力； 即可用于線性系統(tǒng)

22、，也可用于非線性系統(tǒng)。利用利用LagrangeLagrange方程建立系統(tǒng)的運動微分方程方程建立系統(tǒng)的運動微分方程4.4.【例題】【例題】試求圖示雙擺系統(tǒng)的運動方程。解：選取 和 為廣義坐標(biāo)12111(,)m xy1L2L12xyO222(,)mxy111sinxL111cosyL21122sinsinxLL21122coscosyLL取 軸為重力勢能零點，則系統(tǒng)的勢能為x1122Vmgym gy11121122cos(coscos)mgLm g LL系統(tǒng)的動能為221 12 21122Tmvm v2222221111 111 111 1(cos)(sin)()vxyLLL 222222221

23、 12212 1221()()2cos()vxyLLL L 2222121 1212211 222 211()cos()22Tmm Lm LLm L 利用利用LagrangeLagrange方程建立系統(tǒng)的運動微分方程方程建立系統(tǒng)的運動微分方程111222d ()0d d ()0d TTVtTTVt 動能 和勢能 的表達(dá)式TV2121 121221222122121211()cos() sin()()sin0mm Lm LLm LLmm gL 2212211222212211222cos() sin()sin0m LLm Lm LLm gL 方程是非線性的，在微振動假設(shè)下此方程可進(jìn)一步簡化利用利

24、用LagrangeLagrange方程建立系統(tǒng)的運動微分方程方程建立系統(tǒng)的運動微分方程 由微振動假設(shè),系統(tǒng)各個廣義坐標(biāo)和廣義速度都可以看作是一階小量,從而導(dǎo)出的微幅振動方程也將精確到一階小量. 利用拉格朗日方程求系統(tǒng)的運動微分方程時，系統(tǒng)的能量要對廣義坐標(biāo)求一階導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)后精度將降低一階，所以在計算動能和勢能的時候必須精確到二階小量。方同著振動理論及應(yīng)用利用利用LagrangeLagrange方程建立系統(tǒng)的運動微分方程方程建立系統(tǒng)的運動微分方程5.5.微振動假設(shè)下的注意事項微振動假設(shè)下的注意事項6.6.思考思考 在微振動假設(shè)下,在用Lagrange方程列寫系統(tǒng)的運動微分方程時有兩種處理方式：

25、在計算動能和勢能時就將其精確到二階小量，然后代入Lagrange 方程； 在計算動能和勢能時不做任何處理，代入Lagrange方程后最后再 化簡（線性化）；問：哪一種方式簡便？ 為什么？利用利用LagrangeLagrange方程建立系統(tǒng)的運動微分方程方程建立系統(tǒng)的運動微分方程7.7.【例題】【例題】在微振動假設(shè)下，試求圖示雙擺系統(tǒng)的運動方程。111(,)m xy1L2L12xyO222(,)mxy系統(tǒng)的勢能為11121122cos(coscos)VmgLm g LL系統(tǒng)的動能為2222121 1212211 222 211()cos()22Tmm Lm LLm L 22112122211()

26、22VgL mmgL mconst221212cos1,cos122 22121()cos()12 2222121 1212 1 222 211()22Tmm Lm LLm L 利用利用LagrangeLagrange方程建立系統(tǒng)的運動微分方程方程建立系統(tǒng)的運動微分方程111222d ()0d d ()0d TTVtTTVt 2121 12122121 12212 1222222()()00mm Lm LLmm gLm LLm Lm gL21211112121212222212222()00()00mm gLmm Lm LLm gLm LLm L 2222121 1212 1 22222211

27、2122211()2211()22Tmm Lm LLm LVgL mmgL mconst 對于離散系統(tǒng)對于離散系統(tǒng), ,耗散函數(shù)耗散函數(shù)的計算類似于系統(tǒng)的計算類似于系統(tǒng)彈性勢能彈性勢能的計算的計算, ,只不過只不過需要將需要將彈性勢能彈性勢能的計算中的的計算中的剛度系數(shù)剛度系數(shù)換成換成阻尼系數(shù)阻尼系數(shù), ,廣義位移換廣義位移換成成廣廣義速度義速度111122nndefTijijijDc qqq Cq 耗散函數(shù)耗散函數(shù): :勢能勢能: :111122nnTijijijVk q qq Kq利用利用LagrangeLagrange方程建立系統(tǒng)的運動微分方程方程建立系統(tǒng)的運動微分方程8.8.耗散函數(shù)的

28、計算耗散函數(shù)的計算1f1m1k2k3k1c2c3c2m3m2f3f22211221332111()()222Dc ucuuc uu耗散函數(shù)：耗散函數(shù)：試列出如下系統(tǒng)的耗散函數(shù)：試列出如下系統(tǒng)的耗散函數(shù)：22211221332111()()222Vk ukuukuu彈性勢能：彈性勢能：利用利用LagrangeLagrange方程建立系統(tǒng)的運動微分方程方程建立系統(tǒng)的運動微分方程21221 112121() 2NiiiNiiiiTmuVk uk uuuuuukkkkkmmmmNNNfffNf121212312N1N1N11N【例【例1 1】 建立圖示系統(tǒng)的運動方程建立圖示系統(tǒng)的運動方程解: 取 為廣義坐標(biāo)，則該系統(tǒng)的動、勢能分別為： 12,Nu uu課堂練習(xí)課堂練習(xí)_iVu_idTdtu_iTu1_Vuiimu 0_NVu1 1221()k uk uu111()()iiiiiik uukuu(2,1)iN1()NNNkuud (), 1,d ii